Tập đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn toán kèm đáp án chi tiết

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học .... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1... Chứng minh rằng khi m thay đổi, gi

Tập đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn toán kèm đáp án chi tiết là tài liệu mới nhất hữu ích cho bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Chúc các em học

sinh thi đạt kết quả cao nhất.

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học

Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi.

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao

BE, CF cắt nhau tại H Tia AO cắt đường tròn (O) tại D

a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn

+

c a

c

b c

b a

- HẾT -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi:Toán - Lớp 9 Bài 1: (2điểm)

“=” xảy ra khi x=0 Thử lại x=0 là nghiệm pt

Vậy pt đã cho có nghiệm x=0

Suy ra OH 2 ≤ ⇒ 2 OH ≤ 2 (3).

Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là 2, đạt được khi và

chỉ khi m =7

2 Kết luận: m =7

nên x 2 + 1 và x + 1 nguyên tố cùng nhau với x, y là các số nguyên

thì (2y - 1) 2 là số chính phương nên x 2 + 1 và x + 1 đều là số chính

phương

lại có x 2 và x 2 + 1 là hai số chính phương liên tiếp ⇒ x 2 = 0

⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình (1) ta tìm được y = 0, và y =1

Vậy các cặp số tự nhiên (x,y) là (0,1); (0,0).

D

O F

E

H

C B

A

0,25

·BFC =BEC· =90 ( cùng nhìn cạnh BC)0 0,5Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC 0,25

b Ta có ·A CD =90 0 ⇒DC⊥AC

Mà HE⊥AC; suy ra BH//DC (1)Chứng minh tương tự: CH//BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành

0,25 0,25 0,25 0,25

c Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD

Do đó AM, HO trung tuyến của ∆ AHD

⇒G trọng tâm của ∆AHD GM 1

AM 3

Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, GM 1

AM = 3Suy ra G là trong tâm của ∆ ABC

0,25 0,25 0,25

a c

b

a

+ +

≥ +

2 Tương tự ta thu được :

c b a

b a

c

b

+ +

≥ +

2 ,

c b a

c b

a

c

+ +

≥ +

+

+ +

+

c a

c

b c

b

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1

c So sánh: P2 và 2P.

Bài 2: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 4x2 +3x+ =3 4 x3 +3x2 +2 2x−1

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d1): y = 3x – m – 1

và (d2) : y = 2x + m - 1 Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (d1) và (d2) luôn nằm trên một đường thẳng cố định

3 2 2 1

= − + − = − (3 2) ( 2 1) + − =2(TM ĐKXĐ) 0.25Thay x =2 vào P ta có 2 2 2(3 2)

Nếu a -2a+2=1 2 → =a 1 thử lại thấy thoả mãn

Vậy a 4 + 4 là số nguyên tố thì a=1 hoặc a= -1 0.25

b) Từ a= 3 2 − 3 + 3 2 + 3<=> a3 =( 23 − 3 + 3 2+ 3 )3

<=> a3 = 3a +4<=> a3 - 3a = 4 0.25Mặt khác từ a3 = 3a +4 <=> a(a2 - 3 ) = 4 <=> a2 - 3 = 4 : a (vì

cos

AEF ABC

S

HA HC

AB BC = S Do đó:

.

Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*)

=

+

=

)2()cba(3bc

)1(c

⇔ (b – 6)(c – 6) = 18Nên ta có các trường hợp sau:

Các bài toán biến đổi căn thức và các câu hỏi khai thác biểu

thức rút gọn

2 điểm

Câu 2

Phương trình đại số: phương trình bậc cao, pt vô tỉ : 1 điểm

Hàm số đồ thị: 1 điểm 2 điểm

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

HUYỆN Năm học:

Môn thi: Toán học – Lớp 9

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian

b) Tìm các giá trị của x sao cho A< 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B biết rằng (4 220)

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2

2x − 3xy− 2y + 6x− 2y= 1

Câu 4 (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A là một điểm nằm

trên nửa đường tròn (O) (A B A C≠ , ≠ ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC,

D là điểm đối xứng với B qua A, I là trung điểm AH, J là trung điểm của DH.

a) Chứng minh rằng ∆AJH đồng dạng với ∆HIC.

b) Gọi E là giao điểm của HD và CI Chứng minh : 2AE < AB?

c) Khi A di động (A B A C≠ , ≠ ), xác định vị trí điểm A trên nửa đường tròn sao cho tam giác ABC có chu vi lớn nhất.

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

HUYỆN Năm học:

Môn thi: Toán học – Lớp 9

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là: MinB= 4 khi x= 16

b Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua 1 điểm cố định

Gọi M x y( 0 ; 0) là điểm cố định của đường thẳng

⇒ Đường thẳng y+ 2m2 − = 1 (m2 + +m 1)x− 2m luôn đi qua M( )2;3

Khi p= ⇒ 2 p2 + = 2 6là hợp số ⇒ Mâu thuẫn với giả thiết p2 + 2

là số nguyên tố ⇒ p= 2 không thỏa mãn đề.

a Ta thấy ∆ABC ngoại tiếp

HCI HIC+ = ⇒AHJ HIC+ = ⇒JH ⊥CI

Từ đó ∆JEIvuông tại E ⇒I J E, , thuộc đường tròn đường kính

Khi A di động trên nửa đường tròn (O)

Ta có chu vi tam giác ABC là: C∆ABC = AB AC BC+ + 0,5

⇒ thuộc trung trực của BC ⇒A là giao điểm của trung trực

BC với đường tròn (sau này A là điểm chính giữa cung BC)

Môn thi: Toán – Lớp: 9

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

2 2 :

1 1

Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:

………

UBND HUYỆN

Môn thi: Toán – Lớp: 9

Bài 1: (2,0 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm

a) ĐK: x > 0; x ≠ 1

( ) ( )( ) ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2

x x x

−

⇒ ≥ + =

Dấu “ = ” xảy ra khi x = 4(tmđk)

Vậy Pmin = 4 khi x = 4⇒ P =2 khi x = 4

0,250,25

2) a) Vì ( )d :y ax b a= + ( ≠ 0) đi qua 2 điểm A; B nên:

a b

0,25

Bài 4: (2,0 điểm)

P F

Vì CH // BD (cùng vuông góc với AD) suy ra ACH ABD· =·

(đồng vị)

Lại có AND ABD· = · (cùng chắn cung AD)

ACH AND

⇒ = , hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh

AF do đó tứ giác ANCF nội tiếp ⇒FAC FNC· = · (hệ quả

2) Gọi giao điểm của ND với AB là P

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác APD ta có:

1 1

Bài 2: (2đ) Cho 2 điểm A( )1;3 và B(− 2;1)

a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và B

b) Xác đinh khoảng cách từ O đến (d)

Bài 3: (2đ)

a) Giải phương trình 3x2 + 6x+ + 7 5x2 + 10x+ 21 5 2 = − x x− 2

b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + 2xy− 7x− = 12 0

Bài 4 : ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O;R) AB và CD là hai đường kính cố

định của (O) vuông góc với nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K

và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB

1.Tính sin 2MBA· + sin 2MAB· + sin 2MCD· + sin 2MDC·

2.Chứng minh: OK2 =AH R AH(2 − )

3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất

Bài 5: (1đ) Cho VABC có A 105 ;B 45 ;µ = o µ = o BC= 4cm Tính độ dài AB; AC

HẾT( Đề thi gồm có 2 trang )Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh ………

2

x x x

Vì x > 0⇒ x−1> 0; 1

1

x− > 0 Áp dụng BĐT Cô si ta được:

−

⇒ ≥ + =

Dấu “ = ” xảy ra khi x = 4(tmđk)

Vậy Pmin = 4 khi x = 4⇒ P =2 khi x = 4

2 2

3

H K

D

C

A O

Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông

MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH

Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)

3 P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học :

Môn thi: Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1:(2 điểm) Cho A =

a) Giải phương trình sau: x2 − 5x+ = 14 4 x+ 1

b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = (m-1)x + (m +1) (d)

Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một

điểm cố định

Bài 3:(2 điểm)

a) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng

b) Tìm số tự nhiên n sao cho 2

6

A n= + +n là số chính phương

Bài 4: (3 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm

A di động trện nửa đường tròn Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC Gọi

Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB

a) Chứng minh: AB EB + AC AD = AB2

b) Chứng minh bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

c) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R.

Bài 5: (1 điểm) Cho x≠ 0;y≠ 0.Chứng minh rằng :

Họ và tên thí sinh: ; Số báo

a ĐKXĐ: x≥ 0,x≠ 1

( 1)

A= − x x−

0.25đ0.75đ

0.25đ

 ( )

2 2

3 0

1 2 0

x x

Gọi (x y0 ; 0) là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m

Ta có: y0 = (m− 1)x0 + +m 1 có nghiệm với mọi m

b

Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c)

Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5

Do a,b,c là các số có vai trò như nhau nên :

1

1 1

c

b c

1

2 1

c

b c

b

( loại vì 4 là hợp số)Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7

0.25đ

0.25đ

0.25đ0.25đ

E

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Gọi I là giao điểm của AH và DE => IA = ID = IH = IE

=> Bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

0.5 đ0.25đ0.25đ

0.25đ

0.25đ0.25đ0.25đ

Bài 5:(1 điểm)

2 2 2 16

16 2

10 2

10

) 1

( ) (

4

1 2

1

y x y

x x

y y

=

2

3 ) 1

( ) 1 1 (

4

1 1 1 2

2

10 2

10

− +

− + + + +

Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:

2 2 2

10 2

10

2 1 1 2

1

y x x

y y

4 4 16

( 4

1

y x y

=>

2

5 2

3 2

Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học

Môn thi: Toán- Lớp 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)

Bài 1 (2 điểm)

a Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2)

b Xác định m để ba đường thẳng trên là 3 đường thẳng phân biệt đồng quy

2 Có hay không số tự nhiên n để: 1990 + n2 là số chính phương

Bài 4 (3 điểm) Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K

1 Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

2 Kẻ OM ⊥ BC tại M Gọi G là trọng tâm của DABC

Chứng minh SAHG = 2SAGO

3 Chứng minh: + + ≥ 9

HF

CF HE

BE HD AD

Bài 5.(1điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M 1 1

x y

= +

- HẾT -

(Đề thi gồm có 1 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo

danh

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN - Lớp 9 Bài 1: (2 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm

1 ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1

: 2

⇒ (m + n) (m – n) M 4 nhưng 1990 không chia hết cho 4

⇒ Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để: 1990 + n2 là số chính

A

+ Vì ∆ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK nên ∆

ACK vuông tại C

2 Chứng minh S AHG = 2S AGO

+ Vì M là trung điểm của BC (cmt)

⇒AM là đường trung tuyến của ∆ABC

0.25

+ ∆ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt)

⇒G thuộc đoạn AM, AG = 2

+ Vì M là trung điểm của HK (cmt)

⇒∆AHK có AM là đường trung tuyến Mà G thuộc đoạn AM,

AG = 2

3AM (cmt) ⇒G là trọng tâm của ∆AHK

0.25

+ Chứng minh HO đi qua G, HG = 2GO

+ ∆AHG và ∆AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO,

HG = 2GO

Do đó: S AHG = 2S AGO

0.25

Chứng minh: + + ≥ 9

HF

CF HE

BE HD AD

Ta có:

AB CF

AB HF AC

BE

AC HE BC

AD

BC HD CF

HF BE

HE AD

HD

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2

1

+ +

= + +

Sử dụng x y z+ + ≥ 3 3 xyz ta có 3 1

3 ) 1 1 1 (

xyz z

y

⇒(x+y+z) (1 +1 +1) ≥ 9

z y x

0.25+ Áp dụng kết quả bài toán trên ta có:

( + + ).( + + ) ≥ 9

HF

CF HE

BE HD

AD CF

HF BE

HE AD HD

BE HD AD

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

2 Cho đường thẳng (d): y = (m + 4)x - m + 6.

a,Tìm m để (d) cắt đường thẳng (d1) y = 2x + 4 tại một điểm trên trục hoành

b,Chứng minh rằng: khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm

cố định

Bài 3: (2,0 điểm)

1.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy- 2x + 3y = 21

2.Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với AB.Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt đường thẳng xy tại M, MB cắt CH tại K

a) Chứng minh MC ⊥OC

b) Chứng minh K là trung điểm của CH

c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R

b

2

1 3 3 1

a) Đường thẳng (d1) y = 2x + 4 cắt trục hoành tại M(-2;0)

Khi đó (d) cắt đường thẳng (d1) tại một điểm trên trục hoành

Vì x,y nguyên dương nên x+3 nguyên dương và x+3≥4

Vì (x+3).(y-2) =21 nên x+3 là Ư(21)

0,250,25

2

A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= §(x + y)(x + 4y)¨ §(x + 2y)(x + 3y)¨ + y4

a a) Chứng minh MC - Chứng minh AOM COMˆ ⊥=OC (0,75 điểm)ˆ

- Chứng minh ∆AOM = ∆COM

- Chứng minh MC ⊥ CO

0,250,250,25

b

b) Chứng minh K là trung điểm của CH ( 1 điểm)

∆MAB có KH//MA (cùng ⊥AB) ⇒ (

c c) Xác định vị trí của C để chu vi ∆ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm

Suy ra P ACB ≤ 2R 2R 2 2R 1 + = ( + 2) , dấu "=" xảy ra khi M là điểm

Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

2/ Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3)

lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC

a/ Viết phương trình của đường thẳng AB; BC (0,5đ Khá) b/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành (0,5 Khá)

trên tia đối của BA, kẻ tiếp tuyến IC (C là tiếp điểm) Gọi M là 1 điểm cố

định thuộc nửa đường tròn đường kính AB không chứa điểm C (M khác

A;B) Gọi N là giao điểm thứ 2 của IM với (O); H là hình chiếu của C

trên AB; K là hình chiếu của O trên IM, E là giao điểm của CH và OK

a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB (1đ Khá)

b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN (1đ Giỏi)

c/ Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E (1đ SX)

Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a2 + + =b2 1 2(ab a b+ + ) Chứng

minh a; b là 2 số chính phương liên tiếp (1đ SX)

- Hết UBND HUYỆN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học

Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

x x

x x

y = x

+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng

2 3

y = x +b Vì N thuộc đường thẳng BC tìm ra b = – 6 Vậy phương trình

của đường thẳng BC là 2 – 6

3

y = x + Tương tự ta có ptđt AB là 7 – 6

2 – 6 3

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P là trung điểm AC nên P là

trung điểm của BD, tìm ra tọa độ điểm D(10;12)

0,25đ0,25đ2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của

nó bằng 2023

Gọi số cần tìm là abcd ĐK: a b c d N; ; ; ∈ ;1 ≤ ≤a 9;0 ≤b c d; ; ≤ 9

Theo bài ra ta có: abcd a b c d+ + + + = 2023 (1)

Vì abcd a b c d+ + + + = 2023 nên abcd < 3000 và 1 ≤ ≤a 9 nên a=1; 2

+ Chỉ ra: ∆OHE đồng dạng với ∆OKIsuy ra OK.OE=OH.OI (3)

+ ∆OCI vuông tại C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2 (4)

+ Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2 Chỉ ra ∆OKM đồng dạng với ∆OME

0,25đ0,25đ

Nên OME OKM· =· = 90 0 suy ra: ME⊥OM.

Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM

cũng cố định tức là đường thẳng ME cố định Nên quỹ tích điểm E là nằm

trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM

Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn giữa 2 đường tiếp

tuyến của đường tròn (O) tại A và B

0,25đ

0,25đ

Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a2 + + =b2 1 2(ab a b+ + ) Chứng

minh a; b là 2 số chính phương liên tiếp (1đ SX)

a b− + = a là số chính phương suy ra a là số chính phương

Nên đặt a = x2 (x là số nguyên) Khi đó:

Ta thấy x và (x+1) hoặc (x-1) và x là các số nguyên liên tiếp

Suy ra: x2 và (x+1)2 hoặc (x-1)2 và x2 là các số chính phương liên tiếp

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

Ghi chú: Các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học

Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)