PHỔ KHỐI LƯỢNG TRONG LÝ THUYẾT DÂY

Hiện nay, trong vật lý học hiện đại, lý thuyết dây đang được xem như là một phương hướng triển vọng nhất hướng tới mục tiêu xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh, thống nhất các loại tương tác trong vũ trụ, bao gồm cả tương tác hấp dẫn. Khóa luận sẽ đi sâu phân tích phổ khối lượng trong lý thuyết dây nhằm chứng tỏ rằng, lý thuyết dây có thể mô tả hạt như là các dạng dao động khác nhau của một sợi dây, trong đó, có cả dạng dao động tương ứng với hạt graviton, lượng tử của trường hấp dẫn. Từ đó sẽ chứng tỏ rằng, các đặc trưng của hạt như khối lượng, spin sẽ không còn là tham số của lý thuyết mà có thể suy ra được từ lý thuyết. Như vậy, lý thuyết dây cơ bản hơn mọi lý thuyết hạt đã biết. Tuy nhiên, một vấn đề nảy sinh là sự xuất hiện hạt tachyon, một dạng hạt có bình phương khối lượng âm, trong quá trình phân tích phổ khối lượng ở cả dây boson lẫn siêu dây. Khóa luận sẽ giới thiệu một phương pháp khử tachyon đơn giản bằng việc cắt một phần phổ khối lượng của siêu dây, thông qua việc đưa vào toán tử chiếu GSO. Bằng việc yêu cầu trị riêng của toán tử GSO ứng với các trạng thái vật lý phải thỏa mãn điều kiện âm dương nhất định, ta sẽ loại bỏ bớt một phần các trạng thái của lý thuyết. Kết quả thu được không những lý thuyết không còn chứa tachyon mà còn có số boson và fermion ở cùng một mức khối lượng là như nhau. Đây là điều kiện cần để siêu đối xứng trong không thời gian được thỏa mãn.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA VẬT LÝ

Đinh Quang Sáng

PHỔ KHỐI LƯỢNG TRONG LÝ THUYẾT DÂY

Khóa luận tốt nghiệp đại học hệ chính quy Chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Hệ đào tạo Cử nhân khoa học tài năng

Cán bộ hướng dẫn: TS Phạm Thúc Tuyền

Hà Nội - 2012

về tài liệu trong suốt quá trình học tập ở trường.

Tôi cũng nhận được sự giúp đỡ, ủng hộ của nhiều người trong đó có gia đình,bạn bè Tôi xin cảm ơn tất cả

Hà Nội, tháng 5 năm 2012Đinh Quang Sáng

Mục lục

1.1 Dây boson cổ điển 4

1.2 Lượng tử hóa dây boson 8

1.3 Đại số Virasoro 9

1.4 Phổ khối lượng dây boson 11

1.5 Chuẩn nón sáng 13

2 Chương II Lý thuyết siêu dây 18 2.1 Siêu đối xứng lá thế 18

2.2 Siêu dây cổ điển 22

2.3 Lượng tử hóa siêu dây 24

2.4 Siêu đại số Virasoro 25

2.5 Phổ khối lượng siêu dây 28

2.6 Phân tích phổ khối lượng siêu dây 31

2.7 Toán tử chiếu GSO 32

Mở đầu

Từ thực nghiệm vật lý hiện nay chúng ta có thể cho rằng các hạt vi mô liên kếtvới nhau thông qua bốn loại lực cơ bản: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện

từ và tương tác hấp dẫn Bất kỳ một hiện tượng vật lý nào xuất hiện trong tự nhiên,

dù phức tạp đến bao nhiêu, cũng có thể giải thích được trên cơ sở của bốn loại tươngtác đó Xây dựng được một lý thuyết thống nhất cho cả bốn tương tác nói trên là mộtước mơ ấp ủ từ lâu của các nhà vật lý Thống nhất các tương tác trên cùng một nềntảng sẽ giúp ta có cái nhìn toàn diện, sâu sắc hơn về bản chất các hiện tượng, các mốiquan hệ động lực, đồng thời cũng từ đó đưa ra hàng loạt các tiên đoán mới

Trong lịch sử của vật lý học, những thời kỳ thăng hoa nhất chính là những khithống nhất được các lý thuyết ,các quan niệm ,hoặc tìm ra mối liên hệ giữa các đốitượng mà thoạt đầu tưởng chừng như rất khác nhau Chẳng hạn như trong một thờigian dài, con người vẫn tin rằng, điện và từ là hai hiện tượng vật lý không có bất kỳ

sự liên quan gì đến nhau Mãi cho đến năm 1865, khi James Clerk Maxwell tìm ra một

hệ các phương trình hoàn chỉnh mô tả mối quan hệ giữa chúng thì điện trường và từtrường mới được thống nhất thành một trường duy nhất gọi là trường điện từ

Một phát kiến quan trọng nữa diễn ra vào khoảng 100 năm sau phát minh củaMaxwell Năm 1960, Weinberg-Salam đề xuất một mô hình thống nhất tương tác điện

từ và tương tác yếu với nhau thành một tương tác duy nhất, gọi là tương tác điện yếu.Lượng tử hóa lý thuyết này cho ta một lý thuyết thống nhất tương tác điện yếu ở tầm

vi mô Lý thuyết điện yếu lượng tử lại kết hợp với sắc động lưc học lượng tử (QCD,Quantum ChromoDynamics) tạo thành một lý thuyết hoàn chỉnh thống nhất ba loạitương tác: điện từ, yếu và mạnh Đó là mô hình tiêu chuẩn (SM, standard model), xâydựng trên nhóm đối xứng chuẩn SU (3) × SU (2) × U (1)

Nhiều nhà vật lý tin rằng mô hình tiêu chuẩn mới chỉ là 1 mô hình tiến gần đến

1 lý thuyết hoàn chỉnh, thống nhất cả 4 loại tương tác thành 1 loại tương tác duy nhất.Với niềm tin đó, nhiều nỗ lực đã được đặt ra nhằm mục đích tích hợp trường hấp dẫnvào trong standard model nhằm tiến tới 1 lý thuyết đại thống nhất (GUT) Tuy nhiên

nỗ lực này vấp phải rất nhiều khó khăn nghiêm trọng Ta nhớ rằng, SM là 1 lý thuyếtlượng tử trong khi lý thuyết tương đối tổng quát, lý thuyết mô tả hấp dẫn, lại là 1 lýthuyết cổ điển Rõ ràng, việc xây dưng 1 lý thuyết tự tương thích trong đó có 1 phần

cổ điển và 1 phần lượng tử là hầu như không thể thực hiện được Và do đó, người tanghĩ ngay đến việc tiến hành lượng tử hóa trường hấp dẫn Tuy nhiên, khi kết hợp lýthuyết tương đối với lý thuyết lượng tử, người ta thấy rằng sự không tương thích giữa

2 trụ cột của vật lý hiện đại này gần như không khắc phục nổi Theo lý thuyết lượng

tử, chân không vật lý luôn tồn tại những thăng giáng nhất định, những thăng giángnày làm cho không thời gian không còn trơn tru nữa Đặc biệt, ở các thang khoảngcách vô cùng bé (cỡ kích thước Plank) thì các thăng giáng này vô cùng dữ dội, nó làmcho không thời gian bị biến dạng, vặn xoắn kỳ dị Không thời gian bị biến dạng dữ dộinhư vậy không còn phù hợp với hình học trơn tru của lý thuyết tương đối nữa Ngoài

ra còn 1 số khó khăn khác về mặt tính toán như các phân kỳ không thể khử được bằngphương pháp tái chuẩn hóa cũng làm cho việc xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tửhầu như không thể thực hiện được Trên thực tế, người ta vẫn có thể dùng standardmodel kèm với lý thuyết hấp dẫn để mô tả vũ trụ ngày nay, nhưng để nghiên cứu vũtrụ tại các thời điểm gần Big Bang hoặc để nghiên cứu các tính chất của lỗ đen thìviệc xây dựng 1 lý thuyết lượng tử thống nhất các loại tương tác, bao gồm cả tươngtác hấp dẫn là tối cần thiết

Một phương hướng hiện nay được xem là có triển vọng nhất để xây dựng lýthuyết đại thống nhất đó là lý thuyết dây Sự ra đời của lý thuyết dây gắn liền với

1 loạt các phát hiện quan trọng trong lý thuyết hạt cơ bản Đặc biệt phải nói đến ýtưởng về quan hệ đối ngẫu giữa các quá trình tán xạ và hủy cặp, một đóng góp quantrọng vào việc hình thành mô hình Veneziano, rất thành công trong vật lý hạt tươngtác mạnh Liền sau sự ra đời của mô hình Veneziano, người ta đã nhận thức được rằngvật lý hạt cơ bản cần được mô tả bằng lý thuyết dây, trong đó các hạt cơ bản khôngđược xem như các hạt điểm nữa mà là như các sợi dây vô cùng bé chuyển động trongkhông thời gian Khi chuyển động, dây quét nên 1 siêu mặt trong không thời gian,được gọi là các lá thế Nền tảng của lý thuyết dây chính là lý thuyết trường lượng tử

mô tả động lực học của dây trên lá thế

Trong lý thuyết dây, các dây vô cùng bé dao động theo các mode khác nhau sẽtương ứng với các hạt khác nhau, trong đó có cả mode dao động ứng với hạt graviton,lượng tử của trường hấp dẫn Do chỉ có 1 loại dây mà mô tả được tất cả các hạt cơ bảnthông qua dao động dây, cho nên ta có thể nói rằng lý thuyết dây là 1 lý thuyết thốngnhất đích thực, và ta có thể dùng dây để mô tả mọi hiện tượng vật lý Chẳng hạn, xétphân rã beta, ta tưởng tượng rằng có 1 sợi dây dao động theo 1 kiểu nào đó mà nó mô

tả hạt α sẽ bị tách thành 2 sợi dây khác lại dao động theo 1 kiểu nào đó mô tả hạt β và γ

Xuất phát từ những ý tưởng chủ đạo rất hấp dẫn và có sức thuyết phục ấy,trong vài thập kỷ qua, lý thuyết dây đã có những bước phát triển quan trọng, trong

đó, cao trào là 2 cuộc "cách mạng dây" Cuộc "cách mạng dây" lần thứ nhất diễn ravào khoảng năm 1984-1986 đã chỉ ra rằng lý thuyết dây có đủ khả năng bao hàm cảbốn tương tác cơ bản và vật chất, tất cả các thành tựu của vật lý học hiện đại đều xuấthiện trong lý thuyết dây 1 cách tự nhiên Cuộc "cách mạng dây" lần thứ 2 diễn ra vàokhoảng năm 1994-1996 liên quan đến việc phát hiện ra rằng 5 lý thuyết dây hiện cóđều liên hệ với nhau thông qua phép biến đổi đối ngẫu, chúng là hình ảnh khác nhaucủa 1 lý thuyết duy nhất - lý thuyết M (M-theory) mà đặc trưng cơ bản của nó là lýthuyết bao hàm cả siêu hấp dẫn, không thời gian có 11 chiều và ngoài các dây ra, lýthuyết còn chứa cả các membranes nhiều chiều như là các đối tượng cơ bản Tuy đangtrong bước đầu hình thành, lý thuyết M đã có được những áp dụng hiệu quả, chẳnghạn như trong việc nghiên cứu các lý thuyết chuẩn siêu đối xứng hoặc các tính chấtlượng tử của lỗ đen Đó sẽ là lý thuyết đại thống nhất lượng tử trong không thời gian

11 chiều bao gồm cả 4 loại tương tác cơ bản, đặc biệt là miền năng lượng thấp sẽ cho

lý thuyết tương tác hấp dẫn siêu đối xứng

Như vậy, với tất cả các ưu điểm kể trên, lý thuyết dây (rộng hơn là lý thuyếtM) rõ ràng là 1 ứng cử viên sáng giá cho 1 lý thuyết thống nhất, tự tương thích

Trong khóa luận này, tôi muốn trình bày những hiểu biết đầu tiên của mình về

lý thuyết dây trong khuôn khổ lượng tử hóa lần thứ nhất Mục tiêu mà khóa luận nàytheo đuổi là chứng tỏ rằng, lý thuyết dây có thể mô tả hạt như là các dạng dao độngkhác nhau của một sợi dây Từ đó sẽ chứng tỏ rằng, các đặc trưng của hạt như khốilượng, spin sẽ không còn là tham số của lý thuyết mà có thể suy ra được từ lý thuyết.Như vậy, lý thuyết dây cơ bản hơn mọi lý thuyết hạt đã biết Tôi cũng muốn chứng tỏrằng, lý thuyết dây hoàn toàn có thể diễn tả được lý thuyết hấp dẫn Các công thức

đã được tính toán một cách chi tiết

Chương 1

Lý thuyết dây boson

1.1.1 Mô tả dây boson

Trước tiên, ta thử xét 1 dây vật chất phân bố dọc theo 1 đường thẳng với lực

c Thế năng trên 1 đơn vị độ dài của dây là T, cũng chính bằng khối lượng nghỉ trên 1đơn vị dài của dây (chọn hệ đơn vị c=1) Khi đó, thế năng và động năng của dây lầnlượt là:

V =

Z

Z1

Z

Với dτ = dt

q(1 − v2

⊥) là thời gian riêng của dây

Tác dụng trên là bất biến đối với phép biến đổi Lorentz dldτ là vi phân diện tích của

1 mặt 2 chiều trong không gian Minkovski

Trong lý thuyết dây boson, đối tượng cơ bản là các dây có kích thước vô cùng

bé, dây dao động theo 1 kiểu nhất định có thể mô tả các vi hạt khác nhau Khi chuyểnđộng trong không thời gian, dây vạch nên 1 siêu mặt gọi là lá thế (world-sheet), tùytheo dây là đóng hay mở mà lá thế có thể có dạng 1 "mặt cong" hoặc 1 "mặt ống"

Để dễ hình dung, ta xét lá thế có dạng mặt cong Ta tiến hành tham số hóa,tức "chia lưới" lá thế này bằng các "vạch ngang" và "vạch dọc" tương ứng với 2 tham

số τ và σ xác định trong miền:

−∞ ≤ τ ≤ +∞

0 ≤ σ ≤ π

Ta có thể hình dung τ như là thời gian riêng của dây, còn σ như là tọa độ dài xác định

1 điểm trên dây 1 điểm trên lá thế có thể được xác định bởi 1 cặp tham số (τ ,σ), ứng

Ở đây ta thấy có sự tương tự với lý thuyết trường cổ điển trong không thời gian

2 chiều Trong trường hợp này, τ ,σ đóng vai trò là các tọa độ trong không thời gian 2

không thời gian của lý thuyết dây, µ = 0, 1, , D − 1) Do đó, ta tiến hành khảo sát dâytrên lá thế tương tự như trong lý thuyết trường cổ điển Các bước tiến hành lần lượt làxác định Lagrangian thỏa mãn 1 số tính chất nào đó sao cho tác dụng tương ứng thỏamãn 1 số đối xứng nhất định, thay Lagrangian này vào phương trình Euler-Lagrange

ta có được phương trình chuyển động của dây, kết hợp với các điều kiện biên ta sẽ giải

các dòng bảo toàn của dây như tensơ năng xung lượng

Vi phân diện tích mặt dldτ trong tác dụng (1.1) được tổng quát hóa thành viphân diện tích lá thế:

Tác dụng Polyakov là bất biến đối với phép tái tham số hóa (định xứ), phépbiến đổi Poincaré (toàn xứ) và phép biến đổi bảo giác Weyl (định xứ).

Phép tái tham số hóa có dạng:

Phép biến đổi Poincaré có dạng:

Từ bất biến tái tham số hóa và bất biến bảo giác Weyl, ta có thể chọn 3 thành

Để ý rằng trong quá trình gauge-fixing, ta đã chọn cố định 1 giá trị cho tensơ

biến phân tác dụng (1.4) theo metric h, từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta sẽ thu đượccác phương trình xem như điều kiện ràng buộc đi kèm theo phương trình chuyển động

∂αXµ∂βXµ− 1

2hαβh

Cho hαβ = ηαβ ,với ηαβ là metric Minkovski 2 chiều, và để ý biểu thức của tensơnăng xung lượng trong lý thuyết trường cổ điển:

δLδ(∂αXµ)∂βX

1.1.2 Phương trình chuyển động cho dây boson cổ điển

Thay Lagrangian (1.13) vào phương trình Euler-Lagrange ta được phương trìnhchuyển động của dây:

Với dây mở ta có điều kiện biên:

Với dây đóng ta có điều kiện biên tuần hoàn:

Trong cả 2 trường hợp, xµ và pµ lần lượt là tọa độ và xung lượng khối tâm của dây.

Ta tiến hành lượng tử hóa dây boson bằng phương pháp lượng tử hóa chính

[Xµ(τ, σ), Πν(τ, σ0)] = iδµ

νδ(σ − σ0)[Xµ(τ, σ), Xν(τ, σ0)] = 0

[Πµ(τ, σ, Πν(τ, σ0)] = 0

(1.25)

Suy ra

[Xµ(τ, σ), ˙Xν(τ, σ0)] = iπδµνδ(σ − σ0)[Xµ(τ, σ), Xν(τ, σ0)] = 0

[ ˙Xµ(τ, σ), ˙Xν(τ, σ0)] = 0

(1.26)

thức giao hoán (1.26) ta tìm được các hệ thức giao hoán cho các giao động tử quỹ đạo:Với dây mở

Do đó, ta có thể đoán nhận ý nghĩa các dao động tử quỹ đạo αµn, ˜αµn(n>0) nhưcác toán tử hủy, αµ−n, ˜α−nµ (n>0) như các toán tử sinh.

Không gian Fock các trạng thái được tạo ra bằng cách cho các toán tử sinh

αµ−n, ˜αµ−n tác động lên trạng thái chân không sẽ là không gian Hilbert các trạng tháikích thích của dây Tuy nhiên ta có thể thấy rằng, có rất nhiều vectơ của không gianFock không có chuẩn xác định dương và do đó, chúng không thể diễn tả các trạng tháivật lý Ví dụ, với n>0, ta có trạng thái |ni = α0−n Khi đó:

h0|α0nα0−n|0i = h0|[α0n, α0−n]|0i = −nη00δn,−nh0|0i = −n < 0

Các bậc tự do của dây không chỉ thỏa mãn phương trình chuyển động mà cònthỏa mãn điều kiện ràng buộc (1.17) hoặc (1.18), (1.19), vốn suy ra từ sự bất biến đốivới việc tái tham số hóa của hàm tác dụng

T00= T01 = 0Trong lý thuyết cổ điển Tαβ = 0 trên mọi "quỹ đạo" thực của dây Tuy nhiên,

tác dụng của nó lên mọi vectơ trong không gian Fock, vật lý hoặc không vật lý, đềubằng không Đòi hỏi quá mức này chắc chắn sẽ dẫn đến một sự không tương thích nào

trong điện động lượng học Giải pháp trong điện động lực học lượng tử là yêu cầu:

∇ ~A|ψi = 0chỉ thỏa mãn cho các trạng thái vật lý |ψi

chuyển việc sử dụng trực tiếp các đại lượng trên bằng “biến đổi Fourier” của chúng:

Các đại lượng này được gọi là các toán tử Virasoro

Trong đó a là số hạng hiệu chỉnh, xuất hiện trong quá trình đổi thứ tự các giao động

tử Nó còn gọi là tham số Regge

Từ định nghĩa trên và các hệ thức giao hoán chính tắc giữa các giao động tử

Trong đó, A(n) được gọi là số hạng dị thường chỉ xuất hiện trong trường hợp n + m = 0

Trong đó D là số chiều không thời gian

Trước tiên, ta định nghĩa trạng thái chân không, ký hiệu |0i, là trạng thái thỏamãn điều kiện:

Các trạng thái kích thích là các vectơ trong không gian Fock:

là toán tử bình phương khối lượng của dây.

Dựa vào các hệ thức giao hoán giao động tử quỹ đạo, ta tìm trị riêng của toán

Từ (1.50) và (1.56) ta thấy, trạng thái nền không kích thích (ứng với p=q=0)

đóng Người ta xác định được tham số Regge đối với dây boson a=1 Do đó, ta thấyrằng trạng thái nền trong lý thuyết dây boson có bình phương khối lượng bé hơn 0,các hạt tương ứng đươc gọi là tachyon Tìm cách loại bỏ tachyon là 1 mục tiêu quantrọng của lý thuyết dây

Như đã nói ở các phần trước, từ bất biến tái tham số hóa và bất biến bảo giác Weyl,

ta có thể đưa metric trên lá thế về metric Minkovski Hơn thế nữa, ta có thể chọn các

dưới dạng:

Điều kiện (1.57) gọi là chuẩn nón sáng Ta sẽ chứng minh trong chuẩn nón sáng,chỉ có các thành phần tọa độ ngang là độc lập, 2 thành phần tọa độ (+,-) đều có thểbiểu diễn theo các tọa độ ngang Để đơn giản, trong phần này ta chỉ xét dây mở, trườnghợp dây đóng được xét tương tự

biểu thức liên hệ dao động tử (-) và các dao động tử ngang:

α−n = 1

p+

12

α−n = 1

p+

12

Từ biểu thức trên và để ý rằng αµ0 = pµ, ta tính được toán tử bình phương khốilượng:

Ta thu đươc biểu thức phổ khối lượng tương tự như biểu thức (1.50)

Điều kiện bất biến Lorentz

Như đã thấy ở phần trước, khi lượng tử hóa hiệp biến với chuẩn bảo giác thôngthường sẽ tồn tại các trạng thái có chuẩn âm, sinh ra bởi các thành phần 0 (thànhphần thời gian)của các dao động tử tác động lên chân không Khi sử dụng chuẩn nón

ràng buộc cho ta loại hẳn 2 thành phần phụ thuộc này, chỉ còn phải làm việc với (D-2)thành phần chuyển động ngang Do đó, các trạng thái có chuẩn âm đã được loại bỏ.Nhưng đổi lại, tính bất biến Lorentz trong trường hợp này lại bị ảnh hưởng

Bất biến Lorentz yêu cầu [Ji−, Jj−] = 0 hay ∆m = 0 Từ đó suy ra D=26 vàa=1 Như vây, trong chuẩn nón sáng, để lý thuyết là bất biến Lorentz thì số chiềukhông thời gian D=26 và tham số Regg a=1.

Ta thử phân tích 1 vài bậc của phổ khối lượng Để đơn giản, trước hết ta xéttrường hợp dây mở Với a=1, phổ khối lượng trở thành:

Trạng thái nền không kích thích ứng với p=0, không có dao động tử tác động,

hạt tachyon như đã xét ở trường hợp chuẩn bảo giác

không thời gian cho nên ta thấy trạng thái kích thích đầu tiên này cũng biến đổi như 1biểu diễn vectơ của nhóm SO(D-2) Mặt khác, bất biến Lorentz đòi hỏi các trạng tháivật lý phải lập thành biểu diễn vectơ của nhóm quay SO(D-1) Như vậy, trạng tháikích thích đầu tiên này phải mô tả hạt có khối lượng bằng 0 (điều kiện bất biến chuẩn

sẽ làm suy giảm đi 1 bậc tự do) Và thật vậy, từ biểu thức phổ khối lượng ta dễ dàngsuy ra được rằng m=0, thỏa mãn lập luận ở trên Vậy trạng thái kích thích đầu tiênnày mô tả hạt boson có khối lượng m=0

Trạng thái kích thích tiếp theo sẽ là α−2i |0i và αi

−1αj−1|0i, ứng với mức khối

diễn tensơ hạng 2 đối xứng không vết của nhóm SO(25) Vậy trạng thái kích thích này

mô tả hạt có khối lượng m>0 với spin=2

Bây giờ ta xét trường hợp dây đóng Không gian Fock sẽ được tạo nên từ tác

về phía trái hay phải Khi đó, một trạng thái kích thích không khối lượng sẽ được lậpnên từ tích αi−1|0iRαj−1|0iL Trạng thái này có thể phân tích thành các thành phần bấtkhả quy: đối xứng không vết, phản đối xứng và vết (vô hướng):

αi−1|0iRα−1j |0iL = 1

2αi

−1|0iRαj−1|0iL+ αj−1|0iRα−1i |0iL−

−2δij(D − 2)−1αk−1|0iRα−1k |0iL ++δij(D − 2)−1αk−1|0iRαk−1|0 >L +

2αi

−1|0iRαj−1|0iL− αj−1|0iRαi−1|0iL

Ngoặc móc đầu tiên là một tensơ đối xứng, diễn tả hạt có spin 2 và khôngkhối lượng Hạt này hoàn toàn được đoán nhận là graviton Số hạng ở giữa là một

vô hướng Nó được coi là diễn tả hạt dilaton Ngoặc móc thứ hai một tensơ hạnghai hoàn toàn phản xứng Nó sẽ diễn tả một hạt không khối lượng nào đó Việc tồn

tại hai trường không khối lượng đi kèm với graviton là một đặc trưng của lý thuyết dây.

Như vậy, cho dù thế nào, lý thuyết dây boson cũng vẫn thể hiện khả năng đoánnhận phong phú của lý thuyết dây Nó có thể diễn tả được spin, diễn tả được khốilượng và tiên đoán được sự tồn tại của những hạt đóng vai trò lượng tử của tương táchấp dẫn

Như vậy, cho dù nào, lý thuyết dây boson thể khả đoánnhận phong phú lý thuyết dây Nó diễn tả spin, diễn tả khốilượng tiên... để lý thuyết bất biến Lorentz số chiềukhơng thời gian D=26 tham số Regg a=1.

Ta thử phân tích vài bậc phổ khối lượng Để đơn giản, trước hết ta xéttrường hợp dây mở Với a=1, phổ khối lượng. .. Regge dây boson a=1 Do đó, ta thấyrằng trạng thái lý thuyết dây boson có bình phương khối lượng bé 0,các hạt tương ứng đươc gọi tachyon Tìm cách loại bỏ tachyon mục tiêu quantrọng lý thuyết dây