Lý thuyêt về siêu dây

Lý thuyết dây là một ứng cử viên cho một lý thuyết thống nhất tất cả bốn loại tương tác: mạnh, điện từ, yếu và hấp dẫn. Ban đầu nó vốn được đề xuất để mô tả tương tác mạnh giữa các hadron, trước khi Sắc động lực học lượng tử (Quantum ChromoDynamics, QCD) ra đời. Khi đã có QCD, lý thuyết dây được rất ít người quan tâm trong một thời gian khá dài. Tuy nhiên, khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất là, khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưng của lượng tử trường hấp dẫn: không khối lượng, spin 2, lý thuyết dây mới lại dược chú ý đến. Lý thuyết dây trong đó có siêu đối xứng trên lá thế, được gọi là lý thuyết dây siêu đối xứng, hay gọi tắt là siêu dây. Trong lý thuyết siêu dây, bên cạnh tọa độ boson , gọi là tọa độ chẵn, ta có thêm tọa độ fermion , spinơ hai thành phần Majorana (thực), gọi là tọa độ lẻ. Trường được thay bằng siêu trường, tức là hàm đối với cả tọa độ chẵn và lẻ. Do tính phản đối xứng, một siêu trường khi khai triển Taylor, chỉ chứa một số hữu hạn số hạng. Các số hạng này tương ứng với những trường cổ điển có định hướng khác nhau: trường vô hướng, trường vectơ, trường spinơ. Số chiều khả dĩ trong lý thuyết siêu dây là D=10. Các qua trình sinh hủy dây và chuyển hóa dây qua nhau được mô tả bằng cách lượng tử hóa dây lần thứ hai bằng phương pháp tích phân phiếm hàm và để làm điều đó chúng ta áp dụng hình thức luận BRST.

MỞ ĐẦU

Lý thuyết dây là một ứng cử viên cho một lý thuyết thống nhất tất cả bốn loại tương tác: mạnh, điện từ, yếu và hấp dẫn Ban đầu nó vốn được đề xuất để mô tả tương tác mạnh giữa các hadron, trước khi Sắc động lực học lượng tử (Quantum ChromoDynamics, QCD) ra đời Khi đã có QCD, lý thuyết dây được rất ít người quan tâm trong một thời gian khá dài Tuy nhiên, khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất là, khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưng của lượng tử trường hấp dẫn: không khối lượng, spin 2,

lý thuyết dây mới lại được chú ý đến

Trong lý thuyết dây, vai trò hạt điểm (không chiều) được thay bằng một dây có kích thước cực nhỏ (một chiều) Đối với hạt điểm, thời gian trôi

đi, vị trí của nó vẽ ra một đường trong không gian D chiều gọi là “đường thế” (world line) Còn khi hạt là dây, thời gian trôi đi, nó vẽ nên một siêu mặt hai chiều nào đấy, gọi là lá thế, (world sheet) Vì trong trường hợp đường thế, tọa độ mỗi điểm của nó X, 1, 2, ,D, có thể được tham số hóa bằng một biến kiểu thời gian  (đó là thời gian riêng, không nhất thiết phải là tọa độ 0

x ct), cho nên, trong trường hợp lá thế, ta sẽ tham số hóa tọa độ X của mỗi điểm trên lá thế bằng cặp a  , , 0,1

a

     , trong đó tham số  1  có thể coi là biến không gian dọc theo chiều dài của dây Như vậy, lý thuyết dây có thể coi là một lý thuyết chứa ít nhất là D trường

vô hướng X trong một không gian 2 chiều có tensơ metric tổng quát của lá thế (không gian không nhất thiết phải là Minkowski hai chiều)

Ban đầu, bằng cách tương đối tính hóa dây cổ điển trong không gian

D chiều, người ta thu được một lý thuyết, gọi là lý thuyết dây boson Để nó bất biến Lorentz, số chiều D của không gian phải bằng 26 Đó là một con số quá lớn so với số chiều bốn của không - thời gian Minkowski Việc compact hóa không gian với số chiều ngoại phụ D4 theo cách thức của lý thuyết Kaluza-Klein, sẽ gặp những khó khăn khó lòng có thể vượt qua được Không những thế, tồn tại trong lý thuyết những trạng thái có chuẩn âm Những trạng thái này không tương ứng với bất kỳ một hạt vật lý nào, cho nên, chúng được gọi là “hạt ma”, hay “hạt vong” (tiếng Anh là ghost, tachyon, mà tiếng Việt là hồn, vong, ma, v.v…) Một điều cốt yếu nữa mà lý thuyết dây boson không có được đó là không có trạng thái tương ứng với hạt fermion Như vậy, lý thuyết dây boson chỉ thích hợp khi mô tả trường tương tác (boson), không thích hợp khi mô tả trường chất (fermion)

Để xây dựng một lý thuyết trong đó có cả trạng thái chất và trạng thái

trên là thế, được gọi là lý thuyết dây siêu đối xứng, hay gọi tắt là siêu dây Trong lý thuyết siêu dây, bên cạnh tọa độ boson a, gọi là tọa độ chẵn, ta có thêm tọa độ fermion  , spinơ hai thành phần Majorana (thực), gọi là tọa độ

lẻ Trường được thay bằng siêu trường, tức là hàm đối với cả tọa độ chẵn và

lẻ Do tính phản đối xứng, một siêu trường khi khai triển Taylor, chỉ chứa một số hữu hạn số hạng Các số hạng này tương ứng với những trường cổ điển có định hướng khác nhau: trường vô hướng, trường vectơ, trường spinơ,…

Siêu dây có rất nhiều ưu điểm Số chiều của không gian có thể chỉ là 10

D , tachyon có thể khử được, tồn tại cả trạng thái boson lẫn fermion Ngoài ra nhờ siêu đối xứng, các phân kỳ xuất hiện khi tính toán các đặc trưng cho tán xạ và phân rã, đều tự khử do đóng góp vào phân kì của hai loại trường boson và fermion có giá trị bằng nhau và trái dấu nhau

Khóa luận này, được dành để bàn đến siêu dây Các tính toán được thực hiện chi tiết và những hệ quả được trình bày trong phần kết luận

CHƯƠNG I SIÊU ĐỐI XỨNG TRÊN LÁ THẾ

1 Siêu đối xứng

Các phép biến đổi đối xứng trong lý thuyết trường thường là những nhóm và được phân chia thành hai phạm trù cơ bản: đối xứng trong và đối xứng ngoài Đối xứng trong bao gồm các phép biến đổi hàm trường, không liên quan gì đến sự biến đổi không thời gian Do lý thuyết trường phát triển

từ cơ học lượng tử, cho nên, nhóm đối xứng trong thường là nhóm unitary

để chuẩn của hàm trường được giữ nguyên không đổi Nhóm đối xứng ngoài tác động lên không thời gian, như nhóm Lorentz, nhóm Poincaré, nhóm bảo giác hay nhóm biến đổi tổng quát của lý thuyết hấp dẫn Einstein Do hàm trường được định nghĩa tại từng điểm trong không - thời gian, cho nên, khi tọa độ không - thời gian thay đổi, thành phần của chúng cũng thay đổi theo Nói theo ngôn ngữ của lý thuyết nhóm, trường làm thành một biểu diễn của nhóm đối xứng ngoài Nhóm đối xứng trong dùng để phân biệt các hạt cơ bản, còn nhóm đối xứng ngoài dùng để phân biệt các trạng thái động lực của chúng

Định lý no-go của Coleman và Mandula đã chứng tỏ rằng, trong một

lý thuyết trường có tương tác, đối xứng trong và đối xứng ngoài là rời nhau, nghĩa là vi tử sinh của chúng giao hoán nhau

Tuy nhiên, sau đó đã chứng tỏ rằng, định lý này chỉ đúng khi các vi tử sinh là các toán tử boson, nghĩa là, chúng là vô hướng (cho dilatation, cho phép biến đổi trong), vectơ (cho tính tiến hay phép biến đổi bảo giác đặc biệt), hay tensơ (cho phép quay, phép biến đổi Lorentz), v.v… Nếu vi tử sinh là fermion, nghĩa là nó là spinơ, thì sự hạn chế suy ra từ định lý no-go

sẽ không còn nữa: giao hoán tử của nhóm trong và nhóm ngoài vẫn có thể khác không

Nếu bên cạnh các vi tử sinh của nhóm bảo giác, gọi là vi tử sinh chẵn,

ta thêm vào một hoặc một số vi tử sinh spinơ, gọi là vi tử sinh lẻ, sao đại số của chúng gồm cả giao hoán tử (cho chẵn-chăn, và chẵn-lẻ) và phản giao hoán tử (cho lẻ-lẻ), thì đại số thu được sẽ là đại số phân bậc hoặc siêu Lie Nhóm tương ứng được gọi là siêu nhóm hay nhóm siêu đối xứng

Do vi tử sinh lẻ là spinơ, cho nên khi nó tác động lên trường boson kết quả sẽ là trường fermion, và ngược lại, khi tác động lên trường fermion, kết quả sẽ là trường boson Như vậy, có thể nói, siêu đối xứng là đối xứng giữa các trường có spin khác nhau Boson và fermion có thể nằm trong cùng một

đa tuyến, gọi là siêu đa tuyến

Để diễn tả siêu đối xứng, người ta có thể thêm vào không - thời gian thông thường, gọi là không gian chẵn, một loại không gian mới, gọi là không

gian lẻ, sao cho thay vì giao hoán, tọa độ của chúng lại phản giao hoán nhau Không gian gồm cả tọa độ chẵn và lẻ được gọi là siêu không gian Trường xác định trên siêu không gian được gọi là siêu trường Do tính phản đối xứng của tọa độ lẻ, khai triển Taylor của siêu trường theo tọa độ lẻ sẽ chỉ chứa một số hữu hạn số hạng, hệ số bên cạnh các tọa độ lẻ sẽ là các trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ chẵn Tập hợp các hệ số khai triển được đồng nhất với siêu đa tuyến

2 Siêu đối xứng trên lá thế

Bên cạnh các toán độ bosonic người ta đưa thêm vào các bạn đồng hành của chúng, các tọa độ fermionic , đó là các spinor 2 thành phần trên lá thế:

Và là các đại lượng phản giao hoán Ngoài ra chúng còn là các đại lượng thực (majorana):

Siêu đối xứng lá thế biến đổi trộn lẫn tọa độ bosonic và fermionic.Phép biến như thế này được gọi là phép biến đổi siêu đối xứng.nếu phép biến đổi không phụ thuộc vào vị trí của từng điểm trên lá thế thì phép biến đổi đó là phép biến đổi toàn cục (global); nếu phép biến đổi phụ thuộc vào từng điểm trên lá thế thì phép biến đổi đó được gọi là phép biến đổi định xứ( local) Phép biến đổi siêu đối xứng như sau:

Trong đó  là tham số spinor majorana phản giao hoán cực vi

Để mô tả sự chuyển động của siêu dây, cần phải xây dựng tác dụng bất biến siêu đối xứng lá thế.Điều này có thể làm được bằng cách dựa trên khái niệm siêu trường và siêu không gian Khi ta bổ xung thêm các tọa độ Grassmann (A=1,2) các tọa độ mới này lập lên spinor majorana phản giao hoán hai thành phần, vào không gian hai chiều (α=0,1) thì không gian mới thu được lập lên siêu không gian bốn chiều (λ,θ) Hàm số tổng quát

xác định trên siêu không gian được gọi là siêu trường.khai triển của siêu trường theo θ có dạng

(1)

Bậc của khai triển bị hạn chế là do tính chất

(2)

Từ biểu thức khai triển của siêu trường ta thấy siêu trường bao gồm

cả trường bosonic , trường fermionic và trường lạ như là các trường thành phần trong khai triển theo các biến số Grassmann

Vi tử sinh của phép biến đổi siêu đối xứng có dạng

Sử dụng khai triển taylor cho quy luật biến đổi siêu trường (5) và áp dụng đồng nhất thức Fierz:

(7)

Người ta tìm được quy luật biến đổi của các trường thành phần:

(8)

Để xây dựng lagrangian cho tác dụng bất biến đối với siêu đối xứng, người

ta phải xây dựng đạo hàm hiệp biến như sau:

Áp dụng phương trình Euler-lagrange cho tác dụng trên ta thấy rằng:

Vì thế có thể đặt và loại bỏ nó khỏi biểu thức của lagrangian ngay từ đầu mà không ảnh hưởng gì đến kết quả sau này

3 Phương trình chuyển động và điều kiện ràng buộc:

Chuyển động của siêu dây được mô tả bằng tác dụng bất biến siêu đối xứng sau:

(15)

Trong đó là các ma trận Dirac 2x2 có dạng

,

Và chúng thỏa mãn phản giao hoán

Áp dụng phương trình euler-lagrange ta thu được phương trình chuyển động

(16)

Để có được phương trình này ta phải đặt điều kiện biên và điều kiện đầu để

số hạng trên bề mặt bằng không.tùy theo các điều kiện biên và điều kiện đầu

cụ thể mà lý thuyết siêu dây chia thành các miền :

Đối với siêu dây mở có 2 miền :

Miền NS-thỏa mãn điều kiện biên Neveu-Schwarz

Điều kiện biên NS-NS

Trong đó là nghịch đảo của

Từ đây chúng ta viết lại lagrangian của dây fermionic như sau:

Ta viết lại biểu thức (15)như sau:

(29)

(30)

Điều đầu tiên ta thấy trong biểu thức trên, nó không bất biến bảo giác, nhưng chúng ta có thế bắt biến đổi theo cách đặc biệt dưới biến đổi bảo giác giống như phương trình (15) xuất hiện lại nếu chúng ta sử dụng điều kiện chuẩn weyl

Để tìm điều kiện ràng buộc chúng ta tính biến phân của phương trình (30) theo tenxor metric , tính toán tương tự đối với dây bosonic ta thu được:

;

(31)

Từ đó suy ra, từ tác dụng bất biến sẽ cho phương trình:

Phương trình (31) đưuọc gọi là phương trình ràng buộc

4 Lƣợng tử hóa siêu dây

Siêu tọa độ ( )tuân theo phản giao hoán chính tắc sau

là duy nhất: một hạt đối với spin zero Tất cả các mode khác thu được bằng cách cho các toán tử hoặc lên các trạng thái chân không Có các toán

tử vector, chúng ta chỉ thu được các trạng thái spin nguyên Do đó, miền Neveu-Schwarz chỉ mô tả được dây bosonic, mode spin nguyên

Trong miền Ramond, trạng thái chân không bị suy biến.có duy nhất một tập các toán tử

Đặt =

là các ma trận Dirac trong không thời gian D-chiều của siêu dây và nó thỏa mãn các hệ thức sau

Dẫn đến

5 Siêu đại số Neveu-schawarz và ramond

Các bậc tự do của dây không chỉ thỏa mãn phương trình chuyển động

mà còn thỏa mãn điều kiện ràng buộc, vốn suy ra từ sự bất biến đối với việc tái tham số hóa của hàm tác dụng Để thuận tiện cho việc khảo sát các điều kiện đó, ta định nghĩa các tổ hợp:

(37)

ở đây ta đã định nghĩa như sau:

Điều kiện ràng buộc (31) được suy ra trong lý thuyết siêu dây cổ điển Khi chuyển sang lý thuyết siêu dây lượng tử, những điều kiện trên có thể dẫn đến những điều kiện không tương thích, do sự có mặt của dị thường

Để tìm điều kiện ràng buộc lượng tử, ta sẽ chuyển việc sử dụng trực tiếp các đại lượng trên bằng “biến đổi Fourier” của chúng:

Cho siêu dây mở:

(38)

Thay các biểu thức dưới đây vào (4.1)

Và sử dụng các khai triển trong (18) vàz (20) và khai triển sau:

Tương tự đối với điều kiện ràng buộc của tensor năng –xung lượng chúng ta định nghĩa các toán tử G thông qua khai triển chuỗi fourier của tổ hợp các thành phần của siêu dòng để xét điều kiện ràng buộc lượng tử đối với siêu dòng:

(44)

Sử dụng:

Và

Và các dạng khai triển trong (18) và (20) và

Ta thu đưuọc toán tử G theo các miền tương ứng với các nghiệm là:

Trong miền NS:

(45)

+miền R-NS

+miền R-R

Các vi tử (R) và (L) giao hoán và phản giao hoán với nhau, còn riêng rẽ thì chúng lập lên đại siêu đại số Neveu-Schwarz hoặc siêu đại số Ramond

6 Chuẩn nón sáng (light-cone gauge)

Xét chuẩn nón ánh sang có , là siêu đồng hành của , nó chịu ràng buộc bởi điều kiện mở rộng sau:

Như ta thấy ở trên để giao hoán tử do

rằng lý thuyết của chúng ta sẽ đúng với D=10 và

Chương 2 LƯỢNG TỬ HÓA SIÊU DÂY BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM

VÀ HÌNH THỨC LUẬN BRST

1.Hình thức luận BRST

Trong cơ học lượng tử cách lượng tử hóa bằng các giao hoán tử khi chuyển sang không gian 4 chiều minkowski có vấn đề khó khăn đó là sự không đồng nhất giữa không gian và thời gian trong phương trình trường, cách lượng tử đó cũng không mô tả được quá trình sinh và hủy hạt cũng tương tự trong lý thuyết siêu dây ta nhận thấy rằng khi ta lượng tử hóa bằng các giao hoán tử và phản giao hoán tử thì tọa độ tương ứng với thời gian không thể chuyển thành toán tử được, và lượng tử hóa theo cách này lý thuyết siêu dây của chúng ta không mô tả được quá trình sinh hủy dây và các quá trình chuyển hóa dây qua nhau

Để giải quyết các vấn đề đó chúng ta sẽ lượng tử hóa siêu dây bằng phương pháp phiếm hàm của feymann

Theo nguyên tắc bất kì biên độ cơ học lượng tử nào cũng có thể được viết bằng phiếm hàm của cấu hình trường (field configuration) và các hàm sóng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối:

(55)

Trong khai triển nhiễu loạn, chúng ta giả sử tại bậc 1 là hàm tuyến tính của trường Hơn nữa biến đổi chuẩn tuyến tính tại bậc thấp nhất:

(56)

Trong đó có thể là một toán tử chứa đạo hàm riêng Nếu biến đổi chuẩn

là tuyến tính bậc một thì chúng yêu cầu tổ hợp tác dụng:

Biên độ (52) sẽ viết như sau:

Kết quả của tích phân sẽ không phụ thuộc vào phép quay Unitary của nguyên hàm Do đó, chúng ta có thể chéo hóa ma trận M:

số hạng khác Chúng ta thu được nghịch đảo của định thức, chúng ta thêm vào dấu trừ đối với đóng góp của dạng này nó xuất hiện là một hàm e mũ dạng:

(63)

Chúng ta có thể thu được dấu trừ nếu chúng ta thay trường bosonic

bằng trường fermionic :

(64)

được gọi là biến Grassmann và chúng thỏa mãn hệ thức:

Ta định nghĩa tích phân theo biến như sau:

;

;

Biểu thức trong hàm exp có dạng:

(68)

ở đây là lagrange đa trường khi chúng ta lấy trung bình sẽ kéo theo

Trong lý thuyết chuẩn, phân kì có thể xuất hiện nó yêu cầu sự tái chuẩn hóa.Trong trường hợp này, điều quan trọng đó là để kiểm tra có sự tái chuẩn hóa không chú ý đến cấu trúc của lý thuyết chuẩn

ta có các phép biến đổi đối xứng sau:

(69)

ở đây là hằng số cấu trúc của nhóm chuẩn:

(70)

3 Các trường ma và siêu ma

trong hình thức luận trên chúng ta thấy ngoài các số hạng thông thường là

còn thêm hai số hạng mới nữa là số hạng gauge fixing và số hạng ma

Sau đây ta sẽ áp dụng hình thức luận này đối với trường hợp của lý thuyết

dây bosonic và siêu dây

2.1.Trường ma

a.Trường ma cổ điển

Đầu tiên chúng ta nghiên cứu hình thức luận BRST áp dụng đối với dây bosonic. Trong trường hợp dây bosonic, bên cạnh các biến tọa độ , chúng ta xét thêm các biến số ma vector và phản ma tensor đối xứng không vết:

euler-(73)