Ứng dụng của Định lý viét

ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN.. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số dạng toán... - Áp dụng hệ thức Viet- Khử t

ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN.

Định lý Vi-ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì:

1 2

1 2

b

a c

x x

a

 + = −







* Hệ quả: (trường hợp đặc biệt)

a) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn nghiệm kia là: x2 = c

a

b) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn nghiệm kia là: x2 = c

a

−

* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

u v S

u v P

+ =





thì u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P ≥ 0

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số dạng toán

Dạng 1: Tính giá trị các biểu thức nghiệm

BT1: Cho phương trình x2 −6x− =7 0 (1)

Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: 2 2

1 2

1 2

1 2

x +x ;

5 5

1 2

1 2

x +x

Hướng dẫn:

Có a c= − <7 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm

Theo Hệ thức Vi-ét ta có: 1 2

1 2

6

x x

+ =





Suy ra: +) 2 2

1 2 50

1 2 16806

+) x13 + =x23 342 +) x17 +x27 =823542 +) 4 4

1 2 2402

* Chú ý ta có thể mở rộng bài toán trên với yêu cầu: Tính giá trị của biểu thức:

1n 2n; 1 1n 2n ; 2 1n 2n

S = x +x S + =x + +x + S + =x + +x +

Bằng cách áp dụng kết quả của bài toán sau:

Cho phương trình bậc 2: ax + bx + c 0 (a 0)2 = ≠ có 2 nghiệm là x x 1, 2

Chứng minh rằng: với 1n 2n

n

S =x +x thì a S n+2 +b S n+1+c S n =0 HD:

Do x x là nghiệm của phương trình nên ta có: 1, 2

1n 2n 1n 2n 1n 2n 0

Hay: aSn+2 +bS n+1+cS n =0

Áp dụng vào bài toán trên, phương trình: x2 −6x− =7 0 có hai nghiệm

1, 2

x x

+) S1 = + =x1 x2 6 +)S2 =x12 +x22 =50

3 1 2 6 2 7 1 342

+) S4 =x14+x24 =6S3+7S2 =2402

5 1 2 6 4 7 3 16806

+) S6 =x16 +x26 =6S5 +7S4 =117650

7 1 2 6 6 7 5 823542

BT2: Tính

HD:

Đặt: 1 1 5

2

x = − + ;

2

2

Ta có: 1 2

1 2

1

x x

+ = −





⇒ x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 x2 + − =x 1 0

⇒ Sn+2 +S n+1+S n =0

Có S1 = −1;S2 =3;S3 = −4;S4 =7;S5 = −11;S6 =18

Vậy A = 18

BT3 (HSG QN 2001-2002):

Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình 30x2 −3x=2002

Hãy rút gọn biểu thức: ( 2002 2002) ( 2001 2001)

2000 2000

S

=

+

HD:

Phương trình đã cho có: ∆ = +9 4.30.2002 0> nên phương trình có hai nghiệm x1 =a x; 2 =b

S =a +b S + =a + +b + S + =a + +b +

Ta có: 30Sn+2 −3S n+1−2002S n =0

⇒30Sn+2 −3S n+1=2002S n

2002

S

+ − +

Vậy S = 2002

Dạng 2: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước.

* PP giải: - Tìm ĐK để PT ax2+bx c+ =0có nghiệm x x : 1, 2 a≠ ∆ ≥0; 0

- Kết hợp hệ thức Viet với ĐK cho trước để xác định tham số m

- Kiểm tra lại m có thỏa mãn ĐK có nghiệm không rồi kết luận

* Một số bài tập

BT1: Cho PT: x2 −2(m−2) x+(m2 +2m− =3) 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2

1 2

1 2

5

+

HD:

Ta phải có: 1 2

1 2

1 2

7

4

5

m

m





BT2: Cho phương trình: x2 −2(m−2) x m− 2 +3m− =4 0

Tìm m để tỉ số giữa 2 nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2

HD: Có:

2

a c= −m + m− = −m−  − <

  với m∀

⇒phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Tỷ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 mà hai nghiệm trái dấu nên: x1= −2x2 hoặc x2 = −2x1

1 2 2 2 2 1 0 1 2 2 1 2 0

x + x x + x = ⇔ x x + x +x = (*)

Theo Hệ thức Viét ta có: 1 2 2

1 2

2

+ = −





Thay vào (*) ta được:

4

m

m

=



BT3: Cho phương trình ẩn x: x2 + + =x m 0

Xác định m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều lớn m

HD:

Cách 1: PT có 2 nghiệm phân biệt x x 1, 2 ⇔ 1 4 0 1

4

∆ = − > ⇔ < (*)

Theo Hệ thức Viét ta có: 1 2

1 2

1

+ = −





Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x đều lớn m 1, 2 ⇔ 1

2

>



 >



0



− >  − + − >  + − >

2

1

2 0

0

2

m m

m m

m m m

m

 < −



− − >

+ + >





(**)

Từ (*) và (**) ta được giá trị m cần tìm là: m < -2

Cách 2:

Đặt x – m = t ⇔x = t + m

PT đã cho trở thành:

t m+ + +t m + = ⇔ +m t m+ t m+ + m= (1) Phương trình đã cho có hai nghiệm lớn hơn m

⇔ phương trình ẩn t (1) có 2 nghiệm dương phân biệt

0

0

P

∆ >





⇔ > ⇔ ⇔ > −

 >



Cách 3: Tính x x theo m; giải bất phương trình ẩn m.1, 2

BT4: Cho PT: x2 +(2m−3) x m+ 2 −3m=0

Xác định m để PT có 2 nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 1< < <x1 x2 6

HD:

Có ∆ = >9 0 ⇒ PT luôn có 2 nghiệm phân biệt: x1= −m 3;x2 =m

Với mọi m ta có: m – 3 < m hay x1<x2

Do 1< < <x1 x2 6 ⇒1< − < < ⇔ < <m 3 m 6 4 m 6

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x x không phụ thuộc vào hệ số1, 2

* PP giải - Tìm ĐK để PT ax2 +bx c+ =0có nghiệm x x : 1, 2 a≠ ∆ ≥0; 0

- Áp dụng hệ thức Viet

- Khử tham số m từ hệ trên, ta suy ra hệ thức cần tìm.

* Một số bài tập

BT1: Cho PT: x2 +2(m+3) x+4m− =1 0 (1)

Tìm 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x x không phụ thuộc vào m1, 2 HD

∆ = + − − = = + + > với mọi m

Nên PT (1) luôn có 2 nghiệm x x với mọi m1, 2

Theo Hệ thức Viét ta có:

Trừ từng vế hai đẳng thức ta được: 2( x1+x2) −x x1 2 =13

BT2: Cho PT: x2−(m+2) (x+ 2m− =1) 0 có các nghiệm x x1, 2

Lập một hệ thức giữa x x độc lập với m1, 2

HD

Khử m từ 1 2

1 2

2

+ = +



 ta được x x1 2 =2( x1+ − −x2 2) 1

Do đó: 2( x1+x2) −x x1 2 =5 là hệ thức cần tìm

Dạng 4: Lập phương trình bậc 2 biết điều kiện của 2 nghiệm.

* PP giải - Tính tổng hai nghiệm S= +x1 x2và tích hai nghiệm P x x= 1 2

- Phương trình có hai nghiệm x x là 1, 2 X2 −SX + =P 0

* Một số bài tập

BT1: Cho PT x2 −2(m−1) x m− =0

a, CMR: Phương trình luôn có 2 nghiệm x x với mọi m1, 2

b, Với m≠0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn:

1 1

2

2 2

1

1 1

x

x

 = +





 = +



HD

a, Có

2

∆ = − + = − ÷ + >

b, Ta có : 1 1 1 2

1 x x 1 1 m

1 2

2 2

1 x x 1 1 m

Tính:

( ) ( )

2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1

m

y y

−

−

Vậy y y là 2 nghiệm của phương trình: 1, 2

BT2: Cho PT x2 −4x−(m2 +3m) =0 có hai nghiệm x x 1, 2

Lập pt bậc 2 ẩn y có 2 nghiệm y y1, 2 ( y1≠ ≠1, y2 ≠1)

thỏa mãn:

1 2 1 2

3







HD

- Có:

2

∆ = + + = + ÷ + >

- Theo Hệ thức Viét: 1 2 ( 2 )

1 2

4

+ =





- Theo bài ra:+)y1+ y2 = + =x1 x2 4

3

1(1 1) 2 1 2 3 1 1 1 2

1 2 1 2 3 1 1 2 1 2

1 2

3

y y

Vậy y y là 2 nghiệm của pt: 1, 2 y2−4y− =3 0

BT3: Cho m là số thực khác -1 Hãy lập một phương trình bậc hai có 2 nghiệm

1, 2

1

1

m







HD

Theo bài ra, ta có :

( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1

m

m





Biến đổi ta được

1 2

1 2

4 1 4

1

m m

x x

m

 + =



1; 2

x x

⇒ là nghiệm của PT : (m+1) x2 −4x+ − =4 m 0

Dạng 5: Xét dấu các nghiệm của PT bậc 2 và PT trùng phương

*PP giải

Cho PT ax2 + + =bx c 0 1( ) (a≠ 0) Để xét dấu các nghiệm số của PT ta dựa vào

dấu của ∆, S và P

- Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu (x1 < < 0 x2) ⇔ <P 0.

- Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆ ≥P>00

- Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương ( 1 2)

0

0

S

∆ ≥





< ≤ ⇔ >

 >



.

- Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm ( 1 2 )

0

0

S

∆ ≥





≤ < ⇔ >

 <



.

- Phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < 0 x2và x1 <x2 0

0

P S

<



⇔  >

- Phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < 0 x2và x1 =x2 0

0

P S

<



⇔  =

*Một số bài tập

BT1: Tìm các giá trị của m để PT sau có ít nhất một nghiệm không âm

x +mx+ m− = (1)

HD

Cách 1: Có 2 ( ) ( )2

∆ = − − = − ≥ với mọi m

PT (1) có nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viét, có 1 2

+ = −





PT (1) có hai nghiệm (pb hoặc kép) đều âm 1 2

1 2

2

m

+ < − <

>  − >



Vậy điều kiện để PT (1) có ít nhất một nghiệm âm là m≤ 2

Cách 2:

Phải có x1 ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ 0 2 m 0 m 2

Khai thác bài toán

Tìm giá trị của m để PT sau có nghiệm x4 +mx2 +(2m− = 4) 0 (2)

HD

Đặt 2

0

x = ≥t ĐK để PT (2) có nghiệm là PT 2 ( )

t +mt+ m− = có ít nhất một

nghiệm không âm

BT2: Cho PT 4 ( ) 2 ( )

x − m− x − m− = (1) Tìm m để PT (1) có:

a, 4 nghiệm pb

b, 3 nghiệm pb

c, 2 nghiệm pb

d, 1 nghiệm

e, vô nghiệm

HD

Đặt x2 = ≥t 0, ta có t2 − 2(m− 1) (t− m− = 3) 0 (2)

Có ∆ = ' (m+ 1) (m− 2) Theo hệ thức Viet, có 2( 1)

3





= −



a, PT(1) có 4 nghiệm pb ⇔PT (2) có 2 nghiệm phân biệt dương

' 0 0 0

P S

∆ >





⇔ >

 >



b, PT(1) có 3 nghiệm pb ⇔PT (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

0

0

P

S

=



⇔  >



c, PT(1) có 2 nghiệm pb ⇔PT (2) có nghiệm kép dương ⇔ ∆ =S' 0>0



hoặc PT(2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ <P 0

d, PT(1) có 1 nghiệm ⇔PT (2) có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 0

0

P S

=



⇔  <



e, PT(1) vô nghiệm⇔PT (2) vô nghiệm ⇔ ∆ < ' 0

hoặc PT(2) có hai nghiệm (kép hoặc pb) âm

' 0 0 0

P S

∆ ≥





⇔ >

 <



Dạng 6: Tìm GTLN & GTNN của các biểu thức nghiệm Chứng minh các bất đẳng thức nghiệm

BT1: Cho PT 2x2 +2(m+2)x m+ 2+4m− =4 0 (1)

Chứng minh khi (1) có hai nghiệm x1; x2 thì x1+ +x2 3x x1 2 ≤16

HD

PT (1) có nghiệm khi

' m 2 2 m 4m 4 0 m 4m 12 0 6 m 2

Theo hệ thức Viet ta có:

( )

1 2

2

1 2

2

4 4

2

x x





=



Ta có

2 2

1 2 1 2

x + +x x x = m + m− = m+  −

Vì − ≤ ≤6 m 2 nên

BT2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

HD

Để phương trình đã cho có nghiệm thì:

∆' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ≥ 0 ⇒ - 5 ≤ m ≤ - 1 (*)

Khi đó theo hệ thức Viét ta có:

1 2

2

1 2

1

4 3

2

x x

+ = − −







Do đó: A = m2 +82m+7

Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) ≤ 0 Suy ra: A =

2

7 8

2

) 4 (

9 − m+ 2 ≤

2 9

Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:

2

9

khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều kiện (*)

BT3: : (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 – 1998)

Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x m+ = 0 ( mlà tham số)

a) Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Trong trường hợp m > 0 và x x1 , 2 là các nghiệm của phương trình nói trên

hãy tìm GTLN của biểu thức

1 2

A

x x

=

m

∆ = + + >

b) Theo kết quả phần a phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Viét ta có 1 2 ( )

1 2





Vì P = m > 0 nên x x2 , 2 ≠ 0 biểu thức A được xác định với mọi giá trị x x1, 2 tính theo m

.

A

Thay S và P vào biểu thức A ta được : A 4 m 1

m

Theo bất dẳng thức Cô Si vì m 1 : 2 m.1

  ( do m > 0 và

1 0

m > )

Vậy biểu thức A có GTNN là 8

Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra ⇔ m 1 m 1

m

= ⇔ = ±

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

BT4 (HSG QN 2004-2005)

Gọi a là số thực sao cho PT x2 − 3ax a− = 0 có hai nghiệm pb x x1 ; 2 Tìm GTNN của biểu thức

2 2

a A

Hướng dẫn

Do PT x2 − 3ax a− = 0 có hai nghiệm pb x x1 ; 2 nên

( )

2

2

2

 + >





( )

2 2

2

3 3

 + >





Khi đó

2 2 2

A

A

+

+

Theo (1) thì 2

9a + 4a> 0 nên áp dụng BĐT Cosi, ta được A≥ 2

2

A= ⇔ a + a a= ⇔ =a −

Khi 1

2

a=−

thì 1 2

1 1;

2

x = − x =−

Vậy A đạt GTNN bằng 2 khi 1

2

a=−

; 1 2

1 1;

2

x = − x = −

Dạng 7: Giải PT, hệ PT bậc hai chứa hai ẩn

*PP giải

Đặt S = x + y ; P = x.y (S2 ≥4P) Sau khi tìm được S, P thì x, y là nghiệm của

PT X2 −SX + =P 0

* Một số bài tập

BT1: Giải phương trình: 5 . 5 6

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: x ≠ - 1

Đặt:

5 1 5 1

x

u x

x x x

x

ν

−

 =

 = +



(*) ⇒

ν ν

 + = −  + + − 



⇒ u u.ν 65

ν

+ =





u, v là nghiệm của phương trình: x2 - 5x + 6 = 0

Giải PT ta được u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3

Nếu:







=

=

2

3

ν

u

thì (*) trở thành: x2 - 2x + 3 = 0

∆' = 1 – 3 = - 2 < 0

Phương trình vô nghiệm:

Nếu:







=

=

3

2

ν

u

thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0 Suy ra: x1 = 1; x2 = 2 (TMĐK)

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2

( )

4 2

x y



 + =



Tìm m để hệ PT đã cho có hai cặp nghiệm (x y1; 1) (; x y thỏa 2; 2) x1≠x2 và

HD

Từ (2) ta có y = 4 – x Thay vào (1) ta được

x + −x +mx m+ − − − = ⇔x m x − x+ m+ =

Do hệ PT cần có hai nghiệm ( x y1; 1) (; x y với 2; 2) x1 ≠x2 nên (3) phải có hai

nghiệm phân biệt x x1 ; 2 tức là ' 0 16 2 3( 15) 0 7

3

∆ > ⇔ − + > ⇔ < −

Khi đó ta có

1 2

4

.

2

m

x x

+ =





4 4

= −



 = −



Xét

( )

2

m

+

BT3 : Cho hệ PT 2 2 2 ( )

6

x y m

I

+ =



 + = −



Tìm GTNN của biểu thức A = xy + 2x + 2y trong đó (x ; y) là nghiệm của hệ (I) HD

Ta có

( )2

x y m

+ =





Hệ (I) có nghiệm khi S2 − 4P≥ ⇔ 0 m2 ≤ ⇔ − ≤ ≤ 4 2 m 2

A xy= + x y+ = +P S= m − + m= m+ −

Dấu bằng xảy ra khi m = -1 (TMĐK)

Vậy GTNN của A bằng -4 tại m = -1

Dạng 8: Định lý Vi-ét và các bài toán khác

BT1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0 Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6

HD: a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0

b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0

Theo định lý viét ta có:









=

= +

1 a.b

p -b

a

và









=

= +

2 b.c

q -c b

Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1)

pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3

Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)

BT2: Giả sử a, b là hai số khác nhau Chứng minh rằng nếu PT

2 2 0 1 ; 2 2 0 2

có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1) và (2) là nghiệm của PT x2 +2x ab+ =0 3( )

HD

Giả sử (1) có hai nghiệm pb 2

(2) có hai nghiệm pb x2 ≠ ⇒x0 x02 +ax0 +2b=0

(a b x) 0 2b 2a 0 (a b x) 0 2(a b)

Vì a b≠ ⇒ =x0 2 thế vào (1) ta có: 4 2+ a+2b= ⇒ = − −0 a b 2

Thay a vào (1), ta có 2 ( ) ( ) ( )

x − +b x+ b= ⇒ −x x b− = ⇒ =x x =b

Tương tự, ta có x2 =a

Do đó 1 2

1 2

+ = +





Theo Viet đảo ta có: x x là hai nghiệm của PT 1; 2

BÀI TẬP ĐỀ XUẤT

Bài 1: ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 )

Xét phương trình : x4 −2(m2+ +2) 5m2+ =3 0 (1) với m là tham số

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt

2) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là x x x x1 , , , 2 3 4 Hãy tính theo m giá

trị của biểu thức M = 2 2 2 2

x + x + x + x

Bài 2: Cho phương trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2

a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức

M

x x x x

=

+

b) Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ?

Bài 3: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của PT mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) =

0 thoả mãn điều kiện x12 +x22 =1

Bài 4: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 5: Cho x1 =

2

1

3 + ; x2 =

3 1

1

+

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2

Bài 6: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1)

Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1)

Bài 7: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao cho hai

nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn hệ:







=

−

=

−

35 x x

5 x x 3 2

3 1

2 1

Bài 8: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - 2 (1); a2 + b2 +

c2 = 2 (2)

Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  − ; 0 

3

4

khi biểu diễn trên trục số

Bài 9: Xác định m để hệ phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

3 2

m m







x y yx

Bài 10: Xác định m để hệ ( )

2 2

2 2





x

có đúng 2 nghiệm phân biệt

Bài 11: Giả sử x x là hai nghiệm của phương trình (ẩn x): 1, 2

Chứng minh rằng:

49 7