BTNC_ TRƯƠNG THỊ HƯƠNG_ Mot so ung dung cua dinh ly Viet

Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít 1 tiết lýthuyết, 1 tiết bài tập, vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước cácbài toán có liên quan đến đ

TRƯỜNG CAO ĐẲNG HẢI DƯƠNG

KHOA TỰ NHIÊN

ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET

Hải Dương, năm 2020

TRƯỜNG CAO ĐẲNG HẢI DƯƠNG

KHOA TỰ NHIÊN

BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET

Sinh viên thực hiện: Trương Thị Hương

Khóa học: 2017 – 2020 Ngành học: Toán - Sinh K41 Giảng viên Bài giảng : Nguyễn Thị Tuyết Mai

Hải Dương , năm 2020

MỤC LỤC

A - MỞ ĐẦU

I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

III PHƯƠNG PHÁP 1

IV PHẠM VI 2

B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI I LÝ THUYẾT 3

II MỘT SỐ ỨNG DỤNG 6

DẠNG 1 6

DẠNG 2 8

DẠNG 3 13

DẠNG 4 15

DẠNG 5 20

DẠNG 6 22

DẠNG 7 24

DẠNG 8 25 III BÀI TẬP TỔNG HỢP

A MỞ ĐẦU

   -

I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng củachương trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùngphong phú Do vậy khả năng gặp phương trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vàoTHPT, vào các trường chuyên, lớp chọn là rất cao Mà đặc biệt là các bài toán liênquan đến định lý Viet

Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lýthuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước cácbài toán có liên quan đến định lý Viet và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này.Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả nănggiải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khảnăng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, em đã nghiên cứu và viếtchuyên đề:

“Một số ứng dụng của định lý Viet”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trước những thiên

hướng tốt, chưa tốt mà em thấy rất cần phân loại và một số phương pháp giải cho cácem

- Thứ hai: Bản thân người giáo viên cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm

chủ kiến thức

- Thứ ba: Đề cập tới một số ứng dụng của định lý Viet Rút ra một số nhận xét và

chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng Từ đó dần hình thành khả năngtổng hợp, khái quát và các năng lực tư duy khác cho học sinh

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trongchương trình đại số lớp 9

- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

4

- Qua học hỏi kinh nghiệm của những thày cô giáo của mình - những người có nhiềunăm công tác, có bề dày kinh nghiệm

IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Em đã nghiên cứu với học sinh khối 9 của trường THCS Đoàn Tùng

- Chuyên đề này áp dụng được với mọi đối tượng học sinh Tuy nhiên với mỗi đốitượng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ phù hợp

- Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong việc ôn luyện học sinh giỏi, Bài giảng họcsinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn

B NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

+ Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

2

b a

−

+ Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1,2 =

2

b a

− ± ∆

(Chú ý: Nếu ac < 0 thì ∆ = b2 - 4ac > 0 => PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt )

* Công thức nghiệm thu gọn: (áp dụng khi b chẵn)

Đặt b = 2b’; ∆’ = b’2 - ac

+ Nếu ∆’ < 0 : Phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆’ = 0 : Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b'

- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 =

ac

- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = - 1; nghiệm kia là x2 =

Sxx

2 1

2 1

thì chúng là nghiệm số của phương trình: t2

Syx

thì α, β lànghiệm phương trình: t2 - st + p = 0

4 Các ứng dụng cơ bản (thường dùng):

a Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2

b Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2

c Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia

d Tìm 2 số biết tổng và tích

e Lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm

5 Một số kết quả thu được từ định lý Viet:

a

b x

x 0

vµ 0 a

2 1

2 1

Δ

ax2 + bx + c = 2 a[x2 (x1 x2)x x1x2]

a

cxa

bx

⇒ KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất ⇔ 2 số bằng nhau

- Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi)

Còn S = x1 + x2 (thay đổi)

Do: S2 - 4P ≥ 0 ⇔ (S−2 P)(S+2 P)≥0

⇔ S - 2 P≥ 0 ; S = 2 P ⇔ x1 = x2 = P

⇒ KL: 2 số dương có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau

c Xét dấu các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (*) (a ≠ 0)

;a

bS

- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0

- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là

0Δ

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dương là:

0P

0Δ

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là:

0P

0Δ

- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dương là:

0Δ

- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là:

0Δ

d Điều kiện của tham số để hệ phương trình:

) m (

) m (

gy.x

fyx

có 1 nghiệm duy nhất là: f 2

(m) - 4g (m) = 0

(Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t2 - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép)

II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT

x1 = 1 ; 2 =2) Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm

a

c x

2 (

5 2 3

1 2

−

−

− +

−

+

m x

a Ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c ≠0, a - b + c ≠0, nhưng có a.c = − 15 < 0

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 <x2 Áp dụng hệ thức Viét có:

.

5 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: − 3 và 5

) 3 )(

2 (

5 2 3

1 2

m m

m

(Với m ≠2; m ≠3) Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

m

m x x

;

1

c Ở phương trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:

a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0 Nên x1 = − 1; x2 = 2m− 2mà không thấy được phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai

Vì vậy ta cần xét m – 3 = 0; m – 3 ≠0, rồi nhẩm nghiệm.

Kết luận:

Như vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠0) (*) thì ta cần

+ Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm

+ Xét a ≠0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm

Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt)

Để giải quyết được tốt các định lí, khi đó phải đưa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm được nghiệm

Bài giảng : Phương trình trên có dạng x4 +5x2 (x +1) – 6 ( x+ 1)2 = 0 (5)

Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)2 ta được:

a) Phương trình x2 − 2px+ = 5 0 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.

b) Phương trình x2 + 5x q+ = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2 − 7x q+ = 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm

của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 −qx+ 50 0 = , biết phương trình có 2nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

DẠNG 2

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Đối với bất phương trình giữa các nghiệm của một phương trình

ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm

Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1 x2

nhờ đó có thể tính được giá trị của biểu thức mà không phải giải phương trình

2 MỘT SỐ VÍ DỤ

Tính theo c giá trị của biểu thức A = 3

1

1

x + 3 2

3

1 2

3 6

2 1

2 1

c x x

x x

3 1

3 2

3 1

2 1 2 1

3 2 1

.

3

x x

x x x x x

3

3

1 2 3

2

1 2

9 18

c

Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trước hết ta cũng phải tính S = x1 + x2 ; P =

x1 x2 Sau đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính được giá trị của biểu thức

VD2: Không giải phương trình , hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn

16

5 1 4

85

= +

Bài giảng : Phương trình (*) có

16

1 16

21 4 16

2

2 2

85 16

84 16

85

=

16

64 4

x + không biẻu diễn trực tiếp được dưới dạng x1 + x2 và x1 x2 Tuy

1 2

1

2 1

x x

a x x

2 1

2 2 1

2 2

2 1

2 1

4 2

4 1

4 =x x = x +x − x x = a − −

x x

2 1 2 1

3 2 1

3 2

3 1

Vậy S (a4 4a2 2)(.a3 3a) a a7 7a5 14a3 7a

7 mà khi thay α vào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có:

3

; x1 x2 = 1

3

5 5

3 7 14

Tính giá trị của biểu thức A = x1 − 2 − x2 + 1

Bài giảng : Ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm

bế tắc Thế nhưng nếu học sinh khéo thay thế x1 − 2 bởi x1 + 1như trên với bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đước 1 cách dễ dàng Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là 1 phương án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều Với phương trình ax2 +bx+c= 0có 2 nghiệm x1 , x2 và S =

2 1

5

2

3 1

40 4 ) (

18

4 18

18

8 8 3 6 4 10 5

12

8 8 ) 1 2 ( 3 ) 2 5 ( 2 5

12

2

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= + +

=

+ +

=

− + + + + +

+

=

− + + +

+ +

x x

x x

x x

x x

4 2 1

2 1

5

2

3 1

2 2 1

2 1 1

2

2

3 1 3

2 1

3 2

3 1

* Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Trong thực tế nhiều khi taphải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Để làm được các bài tập kiểu này ta phải tìm S,P trong từng phương trình rồi xem xét, thay thế 1 cách hợp lý ( thường thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tách được giá trị của biểu thức đó

VD 6: Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phương trình x2 +ax+ 1 = 0và x3, x4là nghiệm của phương trình x2 +bx+ 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức:

1 4

3

4 3

x x

b x x

2 2 4 3

2 1

2 4 2

2 1

2 4

2 4

b,c là hai nghiệm của phương trình : x2 +qx+ 2 = 0

Chứng minh hệ thức (b−a) (.b−c)= pq− 6

b,c là hai nghiệm của phương trình : x2 +qx+ 2 = 0 nên theo định lý Viét ta có :

1

ab

p b

2

bc

q c b

x

d x1 x2 +x2 x1

e x1 + x2

tìm giá trị của mỗi biểu thức:

2 1

3 2 2

2 1

2 2

1 2

1

+ + + +

+

x

x x

x x

x x

x

-  1 − 2 

1 1

x x

2 1

+

+

x x

x

2 1 2

2 1

2 2 2 1

2

4

x x x x

x x x x

2 1

2 1

3

1 − x + x − x +

x

6 Cho phương trình x2 +(a− 4)x+a2 − 3a+ 3 = 0gọi x1; x2là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị của a để.

9

8 1

2 2 1

ax

( thi học sinh giỏi năm 2002 -2003)

7 Cho phương trình x2 −x− 1 = 0 có 2 nghiệm x1; x2 hãy tính giá trị của biểu thức

10 Giả sử phương trình x2 +ax+b= 0 có nghiệm x1; x2và phương trình x2 +cx+d = 0

có nghiệm x3,x4.

CMR 2(x +x )(x +x )(x +x )(x +x ) (= b−d)2 −(a2 −c2) (b−d) (+ a+c) (2 b+d)

4 2 3 2 4 1 3

2 − ≥

=

∆ S P hay S2 ≥ 4P Đó chính là điều kiện tồn tại hai số v và V mà tổng v + V

= S và v V =P Như vậy khi biết tổng hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua tích giải phương trình bậc hai

2 MỘT SỐ VÍ DỤ

a,b〉0 cho trước).

Bài giải: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật ( 0 〈x;y〈 2a)

Theo giả thiết ta có x+y= 2a

X = + −

2 2

=

2 2

2 2

b a

a

y

b a

2 2

b a a y

b a a x

Nếu a=b ⇒ ∆′=0 (1) có nghiệm kép là x1 =x2 =a Khi đó hình chữ nhật là vuông

cạnh a

Nếu a〈b ⇒ ∆′ 〈0 ⇒ (1) vô nghiệm khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn đầu bài.

Hướng dẫn: ở VD này dễ dàng phát hiện ra để tìm a và b trước hết ta phải xác định

được a.b ( phần a) ; a+b ( ở phần b;c)

Nên a,b là nghiệm của phương trình : x2 − 5x+ 6 = 0

Giải phương trình này ta được x1 = 3 ;x2 = 2 Vậy a= 3 và b = 2 hoặc a= 2 và b= 3

10

29

2 2

10

10 2

)

ab

ab b

10

49 )

ab

b

a

⇔ a+b = 7 và ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10

* Nếu a+b = 7 và ab = 10 ⇒ a,b là 2 nghiệm của phương trình

0 10 7

+

= +

=

− +

= + +

14 7 6

2 2

x

zx yz xy

z y x

Hướng dẫn : Để giải hệ phương trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm được x+y và

xy sau đó đưa về phương trình bậc 2 đã biết cách giải

+

= +

= + +

7

5

2

xy y x

xy y x

= + +

0 12 ) (

5

2

y x y x

xy y x

y x S

= +

0 12

5

2 S S

P S

4

; 3

5

S S P S

5 4 5 3

P S S

P S

) 1 ( 2 3

P S P

S

Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phương trình

0 2 3

=

− +

= + +

14 7 6

2 2

x

zx yz xy

z y x

− + +

=

− +

= + +

14 ) (

2 7 6

2

xz yz xy z

y x

zx yz xy

z y x

=

− +

= + +

) 3 ( 9 ) (

) 2 ( 7

) 1 ( 6

z x y

zx yz xy

z y x

=

− +

= + +

) 3 ( 9 ) (

) 2 ( 7

) 1 ( 6 )

(

z x y

zx yz xy

y z x

Từ (1) và (3) theo định lí Viét ⇒y và x+z là các nghiệm của phương trình

0 9 6

=

) 6 ( 2

) 5 (

) 4 ( 3

z x

z x y

Từ (5) và (6) Theo định lí Viet ⇒x và z là các nghiệm của phương trình

0 2 3

2 − t+ =

t ⇒ t1 = 1 ;t2 = 2

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1)

Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phương trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp

ta đã đưa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất làx+z) , số thứ là y và ta giải được hệ nhờ định lí Viet

e.Tổng là 4 7 và tích là -17

2 Tìm 2 số x,y biết:

x1 2 =

S =

a

b x

x1 + 2 = −Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét

S P

S P

3 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P〈 0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm Thường có 2 cách giải:

Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

S

P

Thì hai nghiệm đều dương

nếu :

0

〉

Hoặc S=0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S〈 0 ,P≤ 0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

2 MỘT SỐ VÍ DỤ

VD1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm cùng dấu Khi đó 2

nghiệm mang dấu gì ?

−

0 4 5

0 4 5

2

m

m m

4

9 2

m m

5

m m

m m

4

m m

a Một nghiệm

b Hai nghiệm cùng dấu phên biệt

c Hai nghiệm âm phân biệt

2

1 1

2

1 0 0

Qua ví dụ này, nhấn mạnh cho HS hiểu được dạng ax2 + bx + c = 0 có 1

nghiệm nghĩa là như thế nào?

Tìm m để phương trình

a Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn

b Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ

m

a

m m

m m

b PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ khi và chỉ khi

TH2: Nếu m – 4 ≠0 ⇔m ≠4 phương trình đã cho là phương trình bậc hai có 3 khả năng xảy ra để phương trình có một nghiệm dương

i) PT có 2 nghiệm trái dấu Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac < 0

0 0

4

m

m m

b

m a

Kết hợp lại ta có: Với 1 ≤ ≤m 4 hoặc m = 0 thì phương trình có một nghiệm dương

VD4: Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm

(m + 1)x2 – 2x + m – 1 = 0

Bài giảng :

Ta xét các khả năng xảy ra:

i) Khi m + 1 = 0 ⇔m = -1, PT đã cho có dạng -2x – 2 = 0 ⇔ x = -1 < 0

Vậy m = -1 không phải là giá trị cần tìm

ii) Khi m ≠ -1 PT đã cho là phương trình bậc hai

Cách 1: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có một nghiệm dương, tức là:

1

m m

Không có giá trị của m thoả mãn

Vậy giá trị cần tìm của m là -1 < m ≤ 2

Cách 2: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là: P = 0 hay – 1 < m < 1

+ Hoặc PT có một nghiệm bằng 0, tức là: P = 0 hay m = 1

+ Hoặc PT có 2 nghiệm cùng dương, tức là:

1

m m

1

m m

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

nghiệm

a Trái dấu

b Hai nghiệm dương

c Hai nghiệm âm

a Có đúng một nghiệm dương

b Có đúng một nghiệm không dương

DẠNG 5

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VIÉT VÀO SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC

1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ở dạng này các bài toán thường gặp là: Tìm điều kiện của tham số để so sánh nghiệm với một số cho trước.

Để giải các bài tập kiểu này ta thường thực hiện các bước sau:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

B2: Từ điều kiện đầu bài tìm ra được biểu thức về mối liên hệ giữa các nghiệm của

phương trình

B3: Thay tổng, tích giữa các nghiệm vào biểu thức

B4: Tìm giá trị của tham số, rồi kết luận.