Bài soạn Ung dung cua dinh ly Vi-et

Qua việc dạy toán 9 chúng tôi nhận thấy các em vận dụng định lý Viet vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và vận dụng đợc nhiều nội dung của định lý vào các dạng bài toán

A lý do chọn đề tài

Đại số là một phần không thể thiếu trong chơng trình toán học THCS Một trong những kiến thức quan trọng của Đại số 9 là phơng trình bậc hai Với nội dung này, học sinh đã giải đợc phơng trình nhờ vào công thức nghiệm hay vận dụng định lý Viet vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình

Tuy nhiên với định lý Viet, ứng dụng của nó không chỉ đơn thuần là tìm tổng và tích của hai nghiệm hay là tính nhẩm nghiệm của phơng trình Qua việc dạy toán 9 chúng tôi nhận thấy các em vận dụng định lý Viet vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và vận dụng đợc nhiều nội dung của định lý vào các dạng bài toán; trong khi đó định lý Viet có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán đại số

Qua những năm giảng dạy và tìm hiểu chơng trình đại số 9, chúng tôi nhận thấy đợc định lý Viet có vai trò quan trọng và ứng dụng nhiều trong việc giải các bài tập, đặc biệt là phơng trình bậc hai có chứa tham số Nó có ý nghĩa quan trọng không những giúp cho học sinh có đợc phơng pháp giải phơng trình bậc hai, tính nhẩm nghiệm của phơng trình, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng mà còn

là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán phức tạp thờng hay gặp trong các sách tham khảo, tài liệu nâng cao hay trong các đề thi vào lớp 10, thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Đồng thời đó cũng là kiến thức đợc sử dụng rộng rãi trong chơng trình toán học THPT

Trớc vấn đề đó, chúng tôi đã mạnh dạn đi sâu vào nghiên cứu về những

“ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập” Với đề tài này chúng tôi mong

muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét vào giải bài tập, đồng thời làm tăng khả năng học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh

Xin đợc giới thiệu với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp một số ứng dụng của định lý Viet vào giải bài tập mà chúng tôi đã đa vào áp dụng trong các buổi ôn tập và bồi dỡng học sinh trong những năm gần đây.

B Nội dung

Sự kết hợp của định lý Viet vào dấu các nghiệm số tạo nên nhiều bài toán phong phú gây nên những ý muốn tìm tòi và khám phá của các em học sinh Trớc hết, hãy nhắc lại nội dung của định lý:

có một nghiệm là x 1 = - 1 còn nghiệm kia là x 2 = - ac

* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

P u.v

S v u

thì u và v là hai nghiệm của phơng trình: x 2 - Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số u và v là: S 2 - 4P ≥ 0

Dựa vào tổng và tích hai nghiệm (nếu có) của phơng trình bậc hai, ta xét đợc các trờng hợp về dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai

II Bảng tóm tắt về dấu các nghiệm của phơng trình:

=

a

c x x P

a

b x x S

2 1

2 1

.

IIi Một số ví dụ minh hoạ việc ứng dụng định lý Viet trong giải toán

(Chú ý: Các ví dụ dới đây đợc viết cho phơng trình bậc hai với ẩn số x,

tham số m)

1 Vận dụng của định lý Viet trong giải toán về mối liên hệ giữa các nghiệm của ph ơng trình bậc hai

Từ bảng tóm tắt ta tìm ra phơng pháp giải một số dạng sau:

a Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

Phơng pháp: Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu

b Dạng 2 : Tìm điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu và nghiệm

âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng (x 1 > x 2)

c 0

Ví dụ: Với giá trị nào của m thì phơng trình (1’) có hai nghiệm khác dấu trong

đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng

Giải: Điều kiện

3 m 1

m

0 m 0 0 2

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn bài toán.

c Dạng 3 : Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

a b a c

Ví dụ: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm đối nhau:

3

m 0 2- m

0 3- m a b a

c 0

0

0

0

Với giá trị nào của m thì phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu

Giải: Phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu

0 1 m -

1 m

1 - m m

1 - m m 1 - m

0 1 - m 0

0

2

Dạng 5 : Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm.

Phơng pháp: Phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm ⇔

c 0

0 a

Ví dụ: Cho phơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0

Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Giải: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

1 m

1 - m m

1 - m 1 - m

1 m

1 - m

m x

x

1 - m

1 - m x

x

1 - m m 1

-m

'

0 1 - m

0 2

0 2

0

0 2

0

2

Vậy 0 < m <

2 1

* Có những phơng trình bậc hai, không cần giải phơng trình ta vẫn có thể tìm

đ-ợc mối liên hệ giữa hai nghiệm của chúng:

Dạng 6: Liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình

Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 – x – 1 = 0

1

1

2 1

2 1

a

c x x

a

b x x

Giải: Phơng trình có hai nghiệm

2 2 2

2 2

2

8 2 2

4 2

2 1

2 1

=

m m

m x x P

m m

m x x S

Suy ra S – 4P = - 6 hay (x1 + x2) – 4.x1x2 + 6 = 0

Bài tập áp dụng:

nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 2 Tìm m để phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu:

Hoàn toàn tơng tự đối với nghiệm x2.

Với tính chất trên, việc xác định các biểu thức chứa nghiệm của phơng trình bậc hai đôi khi thuận lợi hơn nhiều

Ví dụ: Cho phơng trình: x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x2 < 0)

Tính giá trị của biểu thức:

10 9 8

8 2

3 1 3

8 8 3 2

2 1

4 2

5 1

2

4 2 1

2 1

5 1

2

2 1

3 2

4 1

− +

− +

=

−

− + +

−

=

− + + +

=

x x x x C

x x x

x x B

x x x x A

Giải: Theo định lý Viet ta có: S = 2 ; P = - 1, áp dụng các hệ thức trên ta có:

2 1

5

2

3 1

2 1 1

2

2

3 1 3

2 1

3 1

3x1 + − x2 − = x1+ + x2 −

(phơng trình có ac = - 1 < 0 nên x1 và x2 trái dấu, mà x2 < 0 nên x1 > 0)

= 3(x1 + x2) -

9

11 2

1 3 2

1 = S− =

10 9

4 2

Bài 2: Cho phơng trình: x2 – x – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2

Không giải phơng trình, hãy tính giá trị các biểu thức:

A = x1 – 3x2 ; B = x8

1 + x6

2 + 13x2

2

ứ ng dụng định lý Viet trong bài toán lập ph ơng trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1: Cho hai số x1

3 1 3

1

− +

−

= +

Nên x1.x2

2

1 3 1

1 2

1 3

= +

1

1 3 2

Từ: x1+ x2 = - 5 suy ra + =( + )2− 2 2 = 729 − 2 = 727

2

2 1

2 2

2 1

4 2

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình x2 + px + q = 0 sao cho hai

nghiệm x1, x2 của phơng trình thoả mãn hệ:

3 1

2 1

x x

x x

2 2 2 1

2 1 2 1

2 1 3

2

3 1

2 1

xxxxxx

xxx

x

xx

−+

=

−+

⇔

7qp

25qpx

xxxx

x

xxx

x

2 2

2 1 2 1 2

1

2 1 2

352

5

254

2 2

Giải hệ này tìm đợc p = 1; q = - 6 hoặc p = - 1; q = - 6

Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:

2 2

2 1

1

k

k x

x x

ứ ng dụng của định lý Viet trong giải toán chứng minh

Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phơng trình x2 + px + 1 = 0 và b, c lànghiệm của phơng trình x2 + q.x + 2 = 0

Chứng minh: (b – a)(b – c) = p.q – 6

Đây không phải là một bài toán chứng minh đẳng thức thông thờng, mà là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của hai phơng trình và hệ số của các phơng trình đó Vì vậy để chứng minh đợc đẳng thức ta cần biết cách vận dụng định lý Viet và vận dụng định lý Viet vào phơng trình bậc hai để rút ra những kết luận phục vụ cho bài toán

2 b.c

q - c b

Nhận xét: Bài toán quả thực là khó nếu nh không biết cách vận dụng hệ quả của

⇔a(3a + 4) ≤ 0 ⇔ − ≤ a ≤ 0

3 4

Chứng minh tơng tự ta đợc: − ≤ b ≤ 0

3

4

; − ≤ c ≤ 0 3

4

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0 Gọi

c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0

Chứng minh hệ thức: (c – a)(a – b)(b – c)(b – d) = (p – q)2

Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ( )200

2 ,

3 dới dạng thập phân, ta

đ-ợc chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dâú phẩy là 9

4 á p dụng định lý Viet vào bài toán cực trị

Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 - (2m - 1)x + m -2 = 0

11 2

2

≥ +

Dấu “=” xảy ra khi m = 43 Vậy Min( 2

Khi đó, với định lý Viet ta có: x1 + x2 = - m – 1

9 2

7

≤ +

Dấu “=” xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là

2

9 khi m = - 4

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của:

x ⇒ 0 ≤ t ≤ 25 (1)Viết A dới dạng: A = t(t3 + 2t – 40) + 101

Do (1) nên t3 ≤ 1258 ; 2t ≤ 5 ⇒ t3 + 2t – 40 ≤ 1258 + 5 – 40 < 0

Ta có: a.c = -2(m2 - m + 1) < 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm

(trái dấu) Theo định lý Viet ta có: S = x1 + x2 = ,

1

1

2

2 +

−

+ +

m m

m m

Suy ra: Giá trị lớn nhất của S là 3, khi đó (*) có nghiệm kép m = 1:

Giá trị nhỏ nhất của S là

3

1, khi đó (*) có nghiệm kép m = -1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 ( m là tham số) Tìm m sao cho 2 nghiệm x, x của phơng trình thoả mãn

10x1x2 + 2

2

2

1 x

x + đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

* Nhờ định lý này, ta đã giải đợc một số bài toán đại số Còn phong phú hơn nếu nh ta biết khai thác thành nhiều bài toán khác từ một bài toán

5 Một số dạng toán khác.

Trong giảng dạy, tôi đã giới thiệu cho học sinh bắt đầu từ bài toán tổng quát:

Bài toán mở đầu:

Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2

b −

− +1

Từ đó suy ra hệ thức (*)

Với bài toán mở đầu ta giải đợc các bài toán khác nhờ ứng dụng bài toán trên:

Bài toán 1: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 - 2x - 2 = 0

Bài toán 2:

3

5 5

Do đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 - α x + 1 = 0

Theo bài toán mở đầu ta có: Sn + 2 - αSn + 1 + Sn = 0 với S1 = α, S2 = α2 - 2

Từ đó tính đợc:

S7 = x1 + x2 = α7 - 7α5 + 11α3 - 7α

Mặt khác: S7 = x1 + x2 = 53 53 1534

7 7 7

Bài toán 3: Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá ( 4 + 15 ) 7

Giải:

Đặt x1 = 4 + 15 , x2 = 4 − 15, ta có: x1.x2 = 1, x1 + x2 = 8

Khi đó x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 - 8x + 1 = 0

Đặt Sn = x1 + x2n (n ∈ N *) Theo bài toán mở đầu ta có: Sn + 2 - 8Sn + 1 + Sn = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

b Chứng minh rằng Sn = x1n + x2n (n ∈ N*) là số nguyên

c Tìm số d trong phép chia S2005 cho 5

Ngoài việc ứng dụng định lý Viet vào giải bài tập, ta còn giải đợc bài tập dựa vào định lý Viet đảo

x - 5

=

+

=

1 x

x - 5 x

v

1 x

x - 5

=

+

=

6 u.v

5 v u 1

x

x - 5 x 1 x

x - 5 x.

u.v

1 x

x - 5 x 1 x

x - 5 x.

v u 1 x

x - 5

x

v

1 x

x - 5

31 xy

11 y x

= + +

12 y x xy

7 yx y x

2 2

12 S.P

7 P S

Khi đó S và P là hai nghiệm của phơng trình: t2 - 7t + 12 = 0

Giải phơng trình này ta đợc t = 4 và t = 3

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình u2 - 4u + 3 = 0

⇒ u = 1 và u = 3 Suy ra: (x = 1 ; y = 3) hoặc (x = 3 ; y = 1)

+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình v2 - 3v + 4 = 0

= +

17 y x

3 y x

−=

+

+

25 3

19 2

)

(5

xy y x

xy y x

Từ việc phân loại và giải các dạng bài tập, khắc sâu cho học sinh định lý Viet và hệ quả của nó qua những tiết học cũng nh tiết luyện tập, trong những buổi

bồi dỡng Các em đã biết vận dụng định lý Viet và hệ quả của nó vào giải các dạng bài tập một cách nhuần nhuyễn, trên cơ sở đó vận dụng vào giải đợc các bài tập tơng tự nâng cao.

Trong các buổi lên lớp, với lớp đại trà chúng tôi đã đa ra những bài tập dễ hơn, bổ sung nhiều bài tập tơng tự để học sinh nhận dạng, vận dụng rút ra phơng pháp giải Đối với học sinh khá giỏi bài tập đợc mở rộng hơn và mức độ khó đợc nâng cao dần

Thực tế cho thấy: Trớc khi áp dụng đề tài này, học sinh rất lúng túng trong việc tìm ra cách giải Điều đó dẫn đến những sai lầm thờng gặp khi làm bài

Sau khi áp dụng, học sinh giải toán có hứng thú hơn, các em nắm đợc kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa - các kiến thức bổ trợ đợc giáo viên cung cấp và vận dụng linh hoạt vào giải các bài tập Thông qua đó học sinh nắm vững nội dung của định lý Viet và hệ quả của nó hơn

Qua việc thực hành giải toán học sinh hình thành đợc phong cách học toán:

Độc lập suy nghĩ, tìm tòi sáng tạo, cẩn thận chính xác khi làm bài Trình bày bài làm chặt chẽ đầy đủ, biết phân chia các dạng bài tập, có nhiều em còn tìm ra đợc những lời giải hay và đặt ra những câu hỏi mới khá độc đáo

Chất lợng học toán nói chung và giải bài tập đại số nói riêng đợc nâng lên rõ rệt, điều đó đợc thể hiện thông qua kết quả của các bài kiểm tra định kỳ, đặc biệt

là qua các kỳ thi khảo sát chất lợng và thi khảo sát học sinh khá giỏi

D bài học kinh nghiệm

Qua đây cho thấy:

- Để giải một bài toán thì trớc hết cần phải nắm chắc lý thuyết, qua đó phân dạng bài tập; suy luận, sáng tạo bằng cách tự đặt ra vấn đề trên cơ sở đó giải quyết những yêu cầu khó hơn, phức tạp hơn từ đó rút ra phơng pháp giải, tìm định hớng chung cho mỗi dạng bài tập

- Khi làm một bài tập, cần phân tích kỹ đề bài, tìm mối liên hệ các điều kiện bài toán để tìm ra lời giải Từ các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng

nh sách tham khảo, cần biết khai thác, phát triển đặt ra những câu hỏi khó hơn, xây dựng bài toán tổng quát (nếu có thể) Nên đặt bài toán dới nhiều dạng khác nhau để từ đó rút ra phơng pháp giải chung Hệ thống kiến thức lại theo chuyên

đề, các dạng toán phục vụ cho việc học tập

- Không ngừng tham khảo tài liệu nâng cao, tìm mối liên hệ giữa các bài tập

để có định hớng bổ sung thêm cho học sinh những vấn đề còn vớng mắc

- Thực hiện dạy các dạng toán theo chuyên đề để học sinh tiếp thu kiến thức

đợc liền mạch, vận dụng kiến thức linh hoạt hơn, đợc thực hành nhiều hơn

- ứng dụng của định lý Viet trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi ngời học phải có tính sáng tạo, có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ngời giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em

Nghiên cứu đề tài “ ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập” không

chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy, biết vận dụng

Trên đây là một số kinh nghiệm mà chúng tôi rút ra đợc qua thực tế tìm hiểu

và giảng dạy trên lớp cũng nh trong các buổi bồi dỡng phụ đạo Tuy nhiên, các vấn đề nêu trên cha phải là đầy đủ, toàn diện Mong các thầy cô và đồng nghiệp tham khảo và bổ sung thêm để đề tài này đợc hoàn thiện hơn

Chân thành cảm ơn sự góp ý của đồng nghiệp

E tµi liÖu tham kh¶o

Mục lục

A Lí do chọn đề tài

B Nội dung

I Định lí Viet

II Bảng tóm tắt về dấu các nghiệm của phơng trình

III Một số ví dụ minh hoạ việc ứng dụng định lí Viet trong giải toán

C Kết quả thu đợc

D Bài học kinh nghiệm

E Tài liệu tham khảo