Giáo trình Cơ ứng dụng (ĐCN) Chương 7

KHÁI NIỆM Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện thành phần nội lực là momen xoắn Mz Dấu Mz: nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều kim đồng h

Chương 7 THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY

I KHÁI NIỆM

Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện

thành phần nội lực là momen xoắn Mz

Dấu Mz: nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ: dương ngược

lại: Mz < 0

II- ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG

CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

1 Các giả thuyết khi xoắn

Trước khi thí nghiệm xoắn, ta kẻ lên bề mặt

của thanh những đường thẳng song song với trục

của thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường

tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt

cắt ngang

Sau khi biến dạng, ta nhận thấy các đường thẳng song song với trục trở thành

những đường xoắn ốc còn các đường tròn vẫn tròn và vuông góc với trục của

thanh Mạng lưới ô chữ nhật trở thành mạng lưới hình bình hành

Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán

cho một thanh tròn chịu xoắn thuần túy

a./ Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng

Trước và sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang vẫn giữ phẳng và vuông góc với

trục thanh (tức là z = 0)

b./ Giả thuyết về bán kính của thanh

Trước và sau khi thanh bị biến dạng bán kính của của

mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi

c./ Giả thuyết về chiều dài của thanh

Trước và sau khi thanh bị biến dạng, chiều dài của

thanh cũng như khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang

bất kỳ là không đổi

d./ Giả thuyết về các thớ dọc

Trong quá trình thanh bị biến dạng, các thớ dọc không

ép lên nhau và cũng không tách xa nhau 2 Ứng suất

trên mặt cắt ngang

Tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố mnpq

mnpq giới hạn bởi hai mặt cắt ngang cách nhau dz, hai mặt trụ đồng trục có bán

kính  và d, hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc d

Sau khi biến dạng, mặt cắt ngang 2-2 sẽ xoay tương đối một góc d so với mặt cắt

1-1, d được gọi là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2

Theo giả thuyết a và c: các mặt cắt 1-1 và 2-2 chỉ xoay tương đối với nhau

nhưng vẫn phẳng và khoảng cách không đổi, do đó trên mặt cắt ngang không

có ứng suất pháp

Nhận xét:

a) Ứng suất tiếp  trên mặt cắt ngang phân bố bậc nhất theo bán kính R của

thanh

b) Phương của ứng suất tiếp tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang vuông góc

với bán kính đi qua điểm đó

Đối với tất cả các điểm trên mặt cắt ngang đại lượngĠ không đổi nên:

mà

chính là momen quán tính cực Jrcủa mặt cắt ngang nên:

(7-1)

Thay vào biểu thức của  :

(7.2)

Trong đó:

 : ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại điểm đang xét

Mz: momen xoắn nội lực



J : momen quán tính cực của mặt cắt ngang đang xét

 : khoảng cách từ điểm đang xét đến tâm 0 của mặt cắt ngang

Ta thấy các giá trị J và  luôn luôn dương, do đó chiều của ứng tiếp  cùng

chiều với momen xoắn Mz

Ðối với mặt cắt ngang tròn:

Ðối với mặt cắt ngang hình tròn đặc:

Đối với mặt cắt ngang hình tròn khăn:

Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ( theo bán kính mặt cắt ngang)

III BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng của thanh được thể hiện bởi sự xoay của mặc

cắt ngang quanh trục của nó Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của

đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó Ta hãy thiết lập công thức tính góc xoắn

của một đoạn thanh nào đó có chiều dài l

IV TÍNH THANH CHỊU XOẮN- MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ CỦA

THANH CHỊU XOẮN

Một thanh chịu xoắn phải đảm bảo hai điều kiện: bền và cứng

1 Ðiều kiện bền

Muốn thanh chịu xoắn đủ bền thì ứng suất tiếp lớn nhất trên các mặt cắt ngang

không vượt quá ứng suất cho phép

Từ điều kiện bền ta có thể suy ra ba dạng bài toán cơ bản:

(7.4a)

b./ Xác định tải trọng cho phép

(7.4b)

c./ Chọn kích thước mặt cắt ngang

2 Ðiều kiện cứng

Khi biến dạng, góc xoắn tỷ đối lớn nhất không được vươt quá góc xoắn tỷ đối

cho phép

[ ] được cho trong các sổ tay kỹ thuật, giá trị của nó phụ thuộc công dụng và kích

thước của thanh

Thường [] = 0,15(2 [độ/mét]

Từ điều kiện cứng ta cũng suy được ba dạng bài toán cơ bản

Ðối với thanh có mặt cắt ngang hình vành khăn :

3 Mặt cắt ngang hợp lý

Dựa vào biểu đồ ứng suất tiếpĠ ta nhận thấy càng gần tâm mặt cắt, ứng suất tiếp

có giá trị càng bé Ðiều đó chứng tỏ phần vật liệu nằm gần tâm mặt cắt làm việc ít

hơn phần vật liệu nằm gần chu vi mặt cắt Vậy muốn tiết kiệm vật liệu ta có thể

khoét bỏ phần vật liệu ở tâm Nhưng để momen chống xoắn W vẫn giữ như cũ,

ta phải tăng đường kính ngoài và đường kính trong một cách thích hợp

Vậy mặt cắt ngang hợp lý của thanh chịu xoắn là hình vành khăn

Ðể đánh giá mức độ hợp lý của mặt cắt

ngang người ta dùng đại lượng  gọi

là momen chống xoắn riêng là đại

lượng không thứ nguyên

(7.7)

Ý nghĩa của  là: Trị số của momen

chống xoắn riêng của mặt cắt ngang càng

lớn thì mặt cắt đó càng được hợp lý, đồng thời trọng lượng của thanh sẽ càng nhẹ

Nhưng ta chú ý rằng khi tăng momen chống xoắn riêng  quá lớn tức bề dày

sẽ càng bé, điều này đưa đến tai hại là:

a Sự giảm bề dày  đòi hỏi phải tăng đường kính ngoài của mặt cắt để

momen chống xoắn ( không đổi) như vậy sẽ làm cho kích thước mặt cắt

ngang của thanh sẽ quá lớn

b Bề dày  quá bé sẽ làm cho thanh dễ bị mất ổn định khi chịu xoắn: lúc

đó trên toàn thanh sẽ hình thành những nếp nhăn

c Mặc khác, việc chế tạo những thanh rỗng khó khăn và giá đắt hơn thanh

đặc Vì vậy người ta chỉ dùng thanh rỗng trong những trường hợp cần giảm

trọng lượng

VII DẠNG PHÁ HŨY CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

Ta hãy xét một phân tố nằm trên bề mặt của thanh, các ứng suất tiếp tác dụng lên

phân tố có giá trị cực đại max Phương của các ứng suất chính  và 1  tạo với 3

trục z một góc 450 và 1350

Qua vòng tròn Mohr ta có:

s1 = t ; s2 = 0 ; s3 = - t

Từ đó ta có thể suy luận dạng phá hũy của thanh tròn chịu xoắn như sau:

Ðối với vật liệu dẻo: giới hạn bền cắt thấp hơn nhiều so với giới hạn bền kéo và

nén

Ví dụ: thép CT3 có  = 24500 N/cmb 2 ;  = 42000 N/cmbk 2

Do đó sự phá hũy khi xoắn của thanh tròn làm bằng vật liệu dẻo là do ứng suất

tiếp gây ra Dạng phá hũy của chúng là theo mặt cắt ngang hoặc mặt cắt dọc của

thanh

Ðối với vật liệu giòn thì giới hạn bền kéo thấp hơn bền nén và cắt Ví dụ: gang

xám có  = 20500N/cmbk 2 ;  = 23350N/cmb 2 ;  = 79000N/cmbn 2 Do đó sự

phá hủy của thanh tròn làm bằng vật liệu giòn là do ứng suất pháp 1 gây ra Dạng

phá hủy của chúng theo đường xoắn ốc vuông góc với 1

Ðối với gỗ thì khả năng chịu cắt theo thớ dọc là yếu nhất vì vậy sự phá hủy của

thanh gỗ khi xoắn là do max dọc theo trục gây nên Ðường nứt là những đường

dọc theo thớ