Giáo trình Cơ ứng dụng (ĐCN) Chương 6

Ta gọi momen tĩnh của mặt cắt ngang F đối với các trục x, y là các tích phân sau:  ; [chiều dài]3 6.1 F F S Sx : moment tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x Sy : moment tĩnh của mặt

Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

I KHÁI NIỆM

Trong thí nghiệm về kéo nén đúng

tâm, ta nhận thấy với cùng một loại

vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt

ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng

lớn hơn Nhưng đối với thí nghiệm

uốn, xoắn thì khả năng chịu lực của

chúng không những phụ thuộc diện

tích mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc

hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang

nữa Thí nhiệm cho thấy, thanh tròn

rỗng như hình 5-1 chịu được momen

xoắn lớn gấp hai lần thanh tròn đặc có

cùng diện tích mặt cắt ngang Đối với

thanh chữ nhật đặt đứng (h 5-1a) chịu lực P thì ứng suất trên mặt cắt ngang của

thanh nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang (h 5-1b), độ võng nhỏ hơn 16 lần khi đặt

ngang

6-1

Vì vậy ngoài diện tích mặt cắt ngang F ta cần xét đến những đại lượng khác đặc

trưng cho hình dạng của mặt cắt ngang về hình học Đó là momen tĩnh và momen

quán tính

II- MOMEN TĨNH CỦA MẶT CẮT NGANG

1 Momen tĩnh đối với một trục

Ta gọi momen tĩnh của mặt cắt ngang F đối với các trục x, y là các tích phân sau:

 ; [chiều dài]3 (6.1)

F

F

S

Sx : moment tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x

Sy : moment tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục y

x,y: khoảng cách từ diện tích vi cấp dF tới các trục tương ứng

Ví dụ: Tính moment tĩnh chính trung tâm của tiết diện chữ

nhật kích thướcbxh

Bài giải : hệ có hai trục đối xứng x, y là hệ trục chính trung

tâm Để tính Ix ta lấy diện tích vi phân dA là một giải bế rộng b, bề dày dy, khoảng

cách đến trục x là y

12

3 2

/

2 /

2

bdy y dA y I

h h A



(6-2)

Tương tự

12

3

hb

I y 

Ghi chú: Moment tĩnh đối với một trục của mặt cắt hình dạng phức tạp bằng tổng

Ví dụ:

2 Momen tĩnh đối với những trục song song

Ta tính momen tĩnh của trục với OXY so với hệ trục cũ Oxy song song tương

ứng với gốc Oï(b, a)

Ta cĩ Ġ

3 Trục trung tâm

Ghi chú: mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là trục trung tâm

4 Trọng tâm mặt cắt ngang

Trọng tâm mặt cắt ngang là giao điểm của các trục trung tâm

Gọi xc, yc là tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang (C(xc,yc)) ta có:

Ngược lại nếu biết trọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x, y thì ta có thể

biết được momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với hệ

trục đó

Vậy mọi trục đi qua trọng tâm mặt cắt đều có momen tĩnh bằng 0

Ví dụ:

1) Xác định trọng tâm của mặt cắt ngang hình chữ nhật:

2) Xác định tọa độ trọng tâm hình tam giác: (chỉ xét tung độ yc)

Tính momen tĩnh của mặt cắt ngang so với trục x trùng với cạnh đáy

Xét một dãy song song với trục x Coi dãy đó là một hình chữ nhật có diện tích

b(y).dy

Ta có: b(y) = Ay +B

y = 0 => b(y) = b => B = b

3) Xác định tọa độ trọng tâm hình nữa tròn:

Xác định momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x trùng cạnh đáy

Xét một dãy dài b(y) rộng dy

Ta có: y = R.sin( ; b(y) = 2Rcos( ;

d(y) = R.dj.cosj

dF = b(y) dy = 2Rcosj.Rcosj dj

= 2R2cos2j dj

Vì y là trục đối xứng nên Sy = 0

b) Do Sy = 0 nên trọng tâm C nằm trên trục tung => xc = 0

IV MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG

1 Xác định momen quán tính của mặt cắt ngang hình chữ nhật với các

trục trung tâm x,y

Do hệ trục X, Y là trục đối xứng nên

Jxy = 0 Momen quán tính đối với trục X và trục Y

2.Xác định momen quán tính của mặt cắt ngang hình tam giác đối với

trục x đi qua đáy

3 Mặt cắt ngang hình tròn

Trước hết ta tính momen quán tính cực của mặt cắt ngang hình tròn Lấy diện

tích phân tố dF là diện tích của một hình vành khăn

Ðể tính dF ta coi hình vành khăn như một hình chữ

nhật dài 2 d rộng d

Do đó

Ta có J( = Jx + Jy

Mà Jx = = Jy

Nếu mặt cắt ngang hình tròn rỗng thì:

Trong sức bền vật liệu, nhiều khi cần thiết phải xác định momen quán tính

của một mặt cắt đối với trục trung tâm của nó

Nhưng việc tính toán đối với trục trung tâm là khó khăn và phức tạp hơn nhiều

so với việc tính tóan đối với những trục ở vị trí đặc biệt rồi sau đó ta dùng công

thức biến đổi để đưa về trục trung tâm

Ở đây ta thiết lập công thức biến đổi momen quán tính từ hệ trục 0xy bất kỳ về

hệ trục CXY là trục trung tâm song song với nó

Ta có:

Nhưng các hệ trục X, Y là các trục trung tâm nên

Như vậy: đối với mặt cắt ngang có trục trung tâm thì momen quán tính của mặt

cắt ngang đối với trục trung tâm là nhỏ nhất

Chú ý: trục x, y là bất kỳ nhưng trục X, Y phải là trục trung tâm

CỦA MOMEN QUÁN TÍNH

1 Hệ trục quán tính chính

Ta biết rằng khi xoay hệ trục thì momen

quán tính ly tâm sẽ thay đổi và có giá trị

bằng 0 khi chuyển từ giá trị âm sang

dương hoặc ngược lại

Hệ trục có momen quán tính ly tâm bằng

0 gọi là Hệ trục quán tính chính hay Hệ

trục chính

Nếu hệ trục quán tính chính lại đi qua trọng tâm mặt cắt ngang thì được gọi là

Hệ trục quán tính chính trung tâm hay Hệ trục chính trung tâm

Ðối với hệ trục chính trung tâm ta luôn luôn có:

SX = Sy= 0

Jxy = 0

Ta tìm sự liên hệ giữa momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hệ trục oxy

và hệ trục ouv xoay với nó một góc (

Ta có:

a) Nếu cộng hai biểu thức của Ju và Jv vế với vế ta được Ju + Jv = Jx + Jy

Tức là: Tổng momen quán tính của một mặt cắt ngang đối với hai trục vuông

góc nhau là không đổi khi quay các trục đó quanh giao điểm của chúng

Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu trong chương

trạng thái ứng suất để xác định hệ trục chính và momen quán tính chính

b) Giá trị dương của các đại lượngĠgọi là bán kính quán tính của mặt cắt đối

với các trục tương ứng

c) Ellip vẽ theo phương trìnhĠ gọi là ellip quán tính của mặt cắt Ơí đây các

trục x và y đều là các trục quán tính chính Thông thường ellip quán tính vẽ trên

hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt

Momen quán tính của một số mặt cắt ngang