Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục 2 Hàm số liên tục trên một khoảng * Định nghĩa: - Hàm số fx được gọi là liên tục trên khoảng a; b nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó... Từ
Trang 2Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
1) Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
) ( )
(
0
x f x
f x
f(x) liên tục tại x 0 (a; b)
*) Các bước c/m hàm số f(x) liên tục tại 1 điểm xo:
xo € TXD, tính f(xo)
tồn tại
*) Hàm số f(x) vi phạm 1 trong 3 bước trên thì không liên tục tại 1 điểm xo hay gián đoạn tại điểm xo đó:
) (
lim
0
x
f x
x
) ( )
(
0
x f x
f x
Trang 3Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:
- Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó
- Hàm số f(x) được gọi là liên tục đoạn [a; b] nếu nó liên tuc trên khoảng (a; b) và
Nx: Đồ thị của hàm số liên tục trên 1 khoảng là một “ đường liền” trên khoảng đó
*) Định lý 1:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác
định của chúng
*) Định lý 2:
Tổng, hiệu, tích, thương ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại
) ( )
( lim
), ( )
(
b x a
x
Trang 43) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Bài tập hàm số liên tục
f(x) liên tục tại một điểm
f(x) liên tục trên một khoảng
f(x) = 0
có nghiệm
*) Định lý 3:
Trang 5Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra
1) f(x) =
3) f(x) =
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x 0 (a; b) lim f ( x ) f ( x0)
x
*)Phương pháp:
Tại điểm x0 = 2
2) f(x) = 2 x 1 nếu x > 1
x2 - 2 nếu x ≤ 1 Tại điểm x0 = 1
x
1
nếu x # 0
Tại điểm x0 = 0
1
1 2
x x
Trang 6Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài1
Bài giải: TXĐ: D =R =>xo = 2 € D
1
1 lim
2
x
x
x
= 5
f (2) = 5
=> lim ( ) ( 2 )
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 2
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b) lim f ( x ) f ( x0)
x
=
*)Phương pháp:
1) f(x) =
1
1
2
x x
KL:H/s gián đoạn tai x = 1
Tại điểm x0 = 2
TXĐ: R
1 )
2 lim(
) (
lim
1
2 1
x
x x
f
Tinh
) ( lim )
(
lim
1 1
x f x
f
x
x
Ta có: lim ( )
x
f(x) = 2 x 1 nếu x > 1
x2 - 2 nếu x ≤ 1
1 )
1 2
lim(
) (
lim
1 1
x
x x
f Tinh
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b)
*)Phương pháp:
Trang 7Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
Bài 1:
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x 0 (a; b)
*)Phương pháp:
3) f(x) = x
1
nếu x # 0
1 nếu x = 0 Tại điểm x0 = 0
Bài giải: TXD: R do đó xo = 0 € TXD
0 0
1 lim )
( lim
x
KL: Hàm số f(x) gián đoạn tại xo = 0
Trang 8Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
*)Phương pháp:
ÁP DỤNG ĐỊNH
LÝ 1, 2:
các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lượng giác, liên tục trên tập xác định của chúng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
4 x
16
x2
a) f( x) =
8 nếu x = 4
nếu x 4
b) f(x) = 2 x 1 nếu x > 1
x2 - 2 nếu x ≤ 1 a/ Vẽ đồ thị h.s sau Từ đó nhận xét tính liên tục trên TXĐ
x
x x
x
f ( ) ( 1)
b/ Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Bài 3:
Trang 94 x
16
x2
a) f( x) =
8 nếu x = 4
nếu x 4
Bài giải:
Tập xác định: D = R
Hàm số liên tục tại x = 4
Với x 4: Hàm số f(x) = liên tục trên các khoảng (-; 4) và (4; +) Xét tại x = 4:
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
4 x
16
x lim
2
4
4
f(4) = 8
) x ( f
lim
4
x
) x ( f
lim
4
x
=
= f(4)
4 x
16
x2
Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng
Trang 10
b) f(x) = 2 x 1 nếu x > 1
x2 - 2 nếu x ≤ 1
Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
Bài giải:
Tập xác định: D = R
*) Với x > 1 hoặc x < 1 thì h/s f(x) trên là các hàm đa thức nên nó liên tục trên các khoảng (-; 1) và (1; +)
*) Tai x = 1 thì h/s f(x) gián đoạn
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (-; 1) và (1; +)
và gián đoạn tại x = 1
Trang 11
0 x
neáu
x -1
0 x
eáu n
1 )
1
( )
x
x
x x
f
o
-1
1
x
y
)
; 0 ( va ) 0
; (
=> Hàm số liên tục trên
b/
+) Ta có: f(x) = x - 1 với x>0;
f(x) = 1 - x (x<0) là hàm đa thức
nên liên tục trên
Bài 3: a) Vẽ đồ thị h/số
BÀI TẬP: HÀM SỐ LIÊN TỤC
)
; 0 ( va ) 0
;
+ Tại x =0 không thuộc
TXD của h/s nên h/s gián
đoạn tại x = 0
Kl: Hàm số liên tục trên (-; 0) va (0; +),gi¸n ®o¹n t¹i x = 0
Trang 12Vấn đề 3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
*)Phương pháp Sử dụng kết quả:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài 4: a) Cho phương trình: x3 - 3 x + 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm ( 1; 2 ) b/ Phương trình x4 – 3x3 + 1 = 0 có nghiệm
hay không trên khoảng (-1; 3) c/ CMR :ph¬ng trinh
có nghiệm với mọi m m(2cosx 2) 2sin5x 1.
Trang 13Vấn đề 3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
*)Phương pháp Sử dụng kết quả:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài 4: a) Cho phương trình: x3 - 3 x + 1 = 0
Bài giải:
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm ( 1; 2 )
Hàm số f(x) là đa thức nên liên tục trên R hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]
f(1) =
f(2) = 3 f(1).f(2) = - 3 < 0
x0 ( 1; 2) : f(x0) = 0
-1 f(x)= x3 - 3 x + 1
Trang 14BÀI TẬP: HÀM SỐ LIÊN TỤC
b/ Hàm số f(x) = x4 – 3x3 + 1 liên tục trên R, do đó liên tục trên
khoảng ( -1; 3) và có : f( -1) = 5 ;f(1) = -1; f(3) = 1 > 0 Do đo trên khoảng (- 1; 3) thì Pt có 2 nghiệm
1 5
sin 2 ) 2 cos
2 ( )
f
m f
4 ( ).
4 (
là hàm số xác định và liên tục trên R nên liên tục trên
và có
Vậy pt :f(x)=0 có nghiệm với mọi m
Đặt
4
; 4
c/ CMR :phương trinh cú nghệm với mọi m m ( 2 cos x 2 ) 2 sin 5 x 1 .
Trang 15BÀI TẬP
Đ3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng
Trang 16Cám ơn các thầy giáo, cô giáo cùng tập thể lớp 11a1
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi