Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai

1 KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI TRONG GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I.. Đặt vấn đề - Có nhiều cách tiếp cận để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị

Trang 1

1

KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI

TRONG GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

I Đặt vấn đề

- Có nhiều cách tiếp cận để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

- Chuyên đề này chỉ đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai một ẩn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số loại biểu thức cơ bản

II Các tính chất của hàm số bậc nhất, bậc hai một ẩn được khai thác và sử dụng

1 Hàm số bậc nhất một ẩn

Xét hàm số y = ax + b = f(x) với x là ẩn; a, b là các tham số, a≠0 Ta có:

- Nếu a > 0 thì, với α≤ x≤β có: f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);

- Nếu a<0 thì với α≤ x≤β có: f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α);

2 Hàm số bậc hai một ẩn

Xét hàm số y = a +bx+c với x là ẩn số; a, b, c là các tham số, a≠0 Ta có:

a) Nếu a > 0 thì:

- với ∀ ℝ => f(x)≥f( ) = ∆ ; min f(x) = f( );

- với ∀ / ≤ α≤ x≤β => f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);

- với ∀ /α≤ x≤β≤ => f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α);

- với α≤ ≤β, ∀ /α≤ x≤β => f( )≤f(x)≤ max {f(α); f(β)}; min f(x) = f( ); max f(x) = max {f(α); f(β)};

- Một cách tổng quát:

với ∀ / α≤ x≤β => min f(α); f(β); f( ) ≤ f(x) ≤ max {f(α); f(β)};

Trang 2

2

min f(x) = min f(α); f(β); f( ) ; max f(x) = max {f(α); f(β)}

* Chứng minh:

- Ta có các biến đổi sau:

i) f(x) = a +bx+c = a + - ∆ với ∀ ℝ;

ii) f(x) = (x- α)(ax+aα+b) + f(α); f(x) = (x- β)(ax+aβ +b) + f(β) với ∀ , ℝ; Một cách tổng quát: f(x) = (x- m)(ax+am+b) + f(m) với ∀ ℝ;

- Từ i) suy ra f(x)≥f( ) = ∆ với ∀ ℝ (đpcm!)

- Với a > 0, ∀ / ≤ α≤ x≤β thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)>(2aα+b)>0; (x- β)<0, (ax+aβ +b)>(2aα+b)>0 nên từ ii) suy ra f(α)≤f(x)≤f(β) (đpcm!);

- Với a > 0, ∀ / α≤x≤β≤ thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)<(2aβ+b)<0; (x- β)<0,

(ax+aβ +b)<(2aβ+b)<0 nên từ ii) suy ra f(β)≤f(x)≤f(α) (đpcm!);

- Với a > 0, α≤ ≤β, ∀ /α≤ x≤β thì: f( )≤f(x)≤ f(α) và f( )≤f(x)≤ f(β) suy ra f( )≤f(x)≤ max {f(α); f(β)} (đpcm!)

b) Nếu a < 0 thì:

- với ∀ ℝ => f(x) ≤f( ) = ∆ ; max f(x) = ( ) = ∆;

- Một cách tổng quát:

với ∀ / α≤ x≤β => min {f(α); f(β)}≤f(x)≤ max f(α); f(β); f( ) ;

min f(x) = min {f(α); f(β)} ; max f(x) = max f(α); f(β); f( )

* Chứng minh: Như với trường hợp a>0

* Minh họa bằng đồ thị:

Trang 3

3

III Các thí dụ

Thí dụ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của E(x) = x + | − 1|+| − 2|+| − 3|+| − 4| với ℝ

* Tóm tắt lời giải:

- Biến đổi E(x) =

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧10 − 3 ớ ≤ 1

8 − ớ 1 < < 2 + 4 ớ 2 ≤ ≤ 3

3 − 2 ớ 3 < < 4

5 − 10 ớ ≥ 4

- Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất 1 ẩn, tìm được min E(x) = 6 = E(2)

* Nhận xét: Chọn x thích hợp, thay vào, được biểu thức E phức tạp hơn => khó hình dung lời giải hơn Chẳng hạn: chọn x = t2+t+1,

có E(t) = t2+t+1+|t + t|+|t + t − 1|+|t + t − 2|+ |t + t − 3| Tìm min E!

Thí dụ 2

Biết , , ℝ thỏa mãn hệ ràng buộc sau: 2x+y+3z=6; 3x+4y-3z=4; x, y, z ≥ 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F(x, y, z ) = 2x+3y-4z

- Từ hệ điều kiện, tính được: x=4-3z; y=3z-2; ≤ ≤

- Suy ra: F(x, y, z ) = 2 – z với ≤ ≤

- Từ đó tìm được: min F(x, y, z ) = = F(0; 2; ) và max F = = F(2; 0; )

* Nhận xét: Chọn x, y, z thích hợp, chẳng hạn x=m2, y=(n-1)2, z=(p+1)2, khai triển rồi thay vào, được biểu thức F phức tạp hơn => khó tìm ra lời giải hơn

Thí dụ 3

Cho biểu thức f(x) = x2 + 4x – 6 với ℝ/ x≥1 Tìn minf(x)

- Viết f(x) = (x-1)(x+5) – 1 ; suy ra f(x) ≥ -1 với ∀x≥1 ; f(x) = -1 <=> x = 1

- Vậy với ∀x≥1 minf(x) = -1

Trang 4

4

Thí dụ 4

Cho biểu thức g(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) với ℝ Tìn min g(x)

- Có g(x) =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = (x2+5x+4)( x2+5x+6);

- Đặt x2+5x+4 = t => t =(x+ )2 - ≥ - với ∀ ℝ ; khi đó g = t(t+2) với t ≥ -

- g = (t+1)2 -1=> g ≥ -1 ; g = -1 <=> t = -1 <=> x2+5x+4 = -1 <=> x= ±√

Thí dụ 5

Cho h(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 với ℝ Tìm min h(x)

- Viết h(x) = (x2+x+1) = t2

- với ℝ thì t= x2+x+1 = (x+ )2 + ≥ => h(x) = t2 ≥

- Từ đó có min h(x) = , đạt khi x =

Thí dụ 6

Cho k(x) = 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x với ℝ Tìm min k(x)

- Với ℝ có: k(x) =

− 5 + 8 ớ ≤ 1

−3 + 15 − 8 ớ 1 < < 4

− 5 + 8 ớ ≥ 4

- Với ≤ 1, có k(x)= − 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4 ;

- Với 1 < < 4, k(x)= −3 + 15 − 8 =(x-1)(12-3x)+4 ≥ 4;

- Với ≥ 4, k(x)= − 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4

- Từ đó suy ra min k(x) = 4, đạt khi x = 1 hoặc x = 4

* Nhận xét:

- Nếu xét chẳng hạn 0≤x≤5, sẽ có cả maxk(x) => có bài toán hay và phức tạp hơn;

- Có thể chuyển sang bài toán với nội dung phương trình:

Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x = a

Trang 5

5

Thí dụ 7

Cho p(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a với ế ℝ/-2≤x≤0, a là tham số Tìm giá trị của a để min p(x) = 2

- Nếu > 0 hay a>0, có p(x) = 4x(x-a) + a2 – 2a nên p(x) ≥ a2 – 2a với -2≤x≤0; suy ra min p(x) = a2 – 2a; min p(x) = 2 <=> a2 – 2a = 2; a>0 <=> a = 1+√3;

- Nếu -2≤ ≤0 hay -4≤a≤0 , có p(x) = (2x-a)2 -2a nên p(x) ≥ -2a với -2≤x≤0;

suy ra min p(x) = – 2a; min p(x) = 2 <=> -2a = 2 <=> a = -1;

- Nếu <-2 hay a<-4, có p(x) = (x+2)(4x-4a-8) + a2+6a+16 nên p(x) ≥a2+6a+16 với -2≤x≤0; min p(x) = 2 <=> a2+6a+16 = 2 <=> không tồn tại a

Thí dụ 8

Tìm giá trị nhỏ nhất của G(x) = x2 + (x+1)2 + (x-1)2 + (x+2)2 + (x-3)2 với ℝ

- Biến đổi G(x) = x2 - 2x + 15; G = (x-1)2 + 14;

- Từ đó tìm được min G = 14 = G(1)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H(x) = √− + 2 + 3 + √− + 3 + 10

- Điều kiện của x để biểu thức H(x) có nghĩa là: -1≤x≤3

- Đặt: - x2+2x+3= t(x); có t(x) = (x+1)(3-x) = -(x-1)2+4 nên với -1≤x≤3 thì 0≤t≤4;

- Khi đó có: H = H(t) = √ + √ + + 7 ≥ √0 + √0 − 1 + 7 = √6 với 0≤t;

H = √6 khi t = 0; -1≤x≤3 <=> x= -1

- Từ đó tìm được: min H(x) = √6 = H(-1)

* Nhận xét: Sẽ là sai lầm nếu làm tương tự để tìm max H(x) !

Thí dụ 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I(x, y) = (x – 2y +1)2 + (2x + ay + 5)2

với , ℝ; a là tham số

Trang 6

6

- Xét hệ − 2 + 1 = 0

2 + + 5 = 0 (1) ; hệ (1) có nghiệm <=> <=> a ≠ - 4

- Nếu a ≠ - 4, có I(x, y) ≥ 0 với ∀ , ℝ; I(x, y) = 0 <=> (x, y) là nghiệm của hệ (1); vậy min I(x, y) = 0

- Nếu a = - 4, có I(x, y) = (x – 2y +1)2 + (2x - 4y + 5)2

- Đặt x-2y+1=t => I = 5t2+12t+9; I = 5( + ) + ; t ℝ

- Từ đó tìm được min I(x, y) = ; đạt khi x, y là nghiệm của ph/trình: x-2y =

Thí dụ 10

Cho , ℝ / x, y ≥ 0; x+y=2 (*) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K(x, y) = (4x2+3y)(4y2+3x) + 25xy (Đề TS ĐH khối D năm 2009)

- Đặt t =xy; áp dụng BĐT Côsi và cùng với điều kiện (*) suy ra 0≤t≤ ;

- Biến đổi được K = 16t2 – 2t + 12 = f(t) với 0≤t≤ ;

- Tính được f(0) = 12; f( ) = ; f( ) = ;

- Có f(t) = 16(t - )2 + => f(t)≥ = f( ) với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≥ ; t= <=>xy= ; x+y=2; x,y≥0<=> (x;y)= √ ; √ hoặc (x; y)= √ ; √

- Lại có: f(t) = (t- )(16t+2) + ≤ với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≤ với , ℝ/(*); t= <=> xy= ; x+y=2; x,y≥0 <=> (x;y) = ( ; )

- KL: min K(x,y) = = f( ); khi (x;y)= √ ; √ hoặc (x; y)= √ ; √ ; max K(x,y) = = f( ), đạt khi (x;y) = ( ; )

* Nhận xét:

Trang 7

7

Thí dụ 11

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức L(x,y) = ( ) với , ℝ

- Biến đổi được L(x,y) = ; => L(x,y) ≤ với ∀ , ℝ; L=2 <=> x=0; ∀ ℝ;

- Tìm được minL(x,y) = Đạt khi x=0; ∀ ℝ

* Nhận xét:

Thí dụ 12

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x,y) = (8+x2+x)(20-x2-x) với ℝ

- Đặt t = (8+x2+x) => M(x,y) = - t2 + 28t với t ≥ ;

- Có M(x,y) = -(t-14)2+196≤196 với t ≥ ; M(x,y)=196 <=> t=14<=>x=2; x=-3;

- Từ đó có max M(x,y) = 196 Đạt khi x=2 hoặc x=-3

* Nhận xét: Lựa chọn các dạng thức khác của t, sẽ được các biểu thức phức tạp và khó tìm lời giải hơn

Thí dụ 13

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N(x,y) = - x2 - 26y2 + 10xy – 14x + 76y – 59 với , ℝ

- Biến đổi: N(x,y) = -x2 + (10xy – 14x) - 26y2 + 76y – 59

= -(x - (5y-7))2 + (5y-7))2 - 26y2 + 76y – 59 = -(x - (5y-7))2 - y2 + 6y – 10

= -(x - (5y-7))2 – (y – 3)2 – 1 Suy ra N(x,y) ≤ -1 với , ℝ

- N(x,y) = -1 <=> (x - (5y-7))2 = (y – 3)2 = 0 <=> y=3; x=8

- Vậy max N(x,y) = -1, đạt khi x=8 và y=3

* Nhận xét:

Trang 8

8

+ Xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + k, bằng cách chọn A theo 2 biến x, y và B theo y thích hợp, ta được biểu thức F(x,y) và có bài toán tìm min F !

+ Nếu xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, rồi chọn A theo 3 biến x, y, z; chọn B theo 2 trong 3 biến x, y, z và C 1 trong 3 biến, ta được biểu thức F(x,y,z)

và có bài toán tìm min F !

Chẳng hạn: từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, chọn A = (-2x-3y+4z); B=√15(x+y) và C =√30 , k = 2015; được F = (-2x-3y+4z)2+(x+y)2+30z 2+ 2015 Hay: F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015

Khi đó có bài toán: Với , , ℝ, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015 (đáp số: min F(x,y,z)

= 2015, đạt khi x=y=z=0)

+ Một cách tổng quát, từ biểu thức F = aA2 + bB2 + cC2 + k, (với a, b, c là các hằng số dương), bằng cách chọn A=(mx+ny+pz)2, B=(rx+sy)2, C=tz2, và k thích hợp, sẽ có bài toán tìm GTNN của biểu thức F theo ý muốn !

Thí dụ 14

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức O(x,y) = √ − 2 + 2 + √ + 2 + 2 với , ℝ

- Nhận thấy O(x,y) tồn tại và O(x,y) > 0 với ∀ ℝ nên O(x,y) đạt min <=>

O2(x,y) đạt min

- Có (√ − 2 + 2 + √ + 2 + 2)2 =2x2 + 2 + 2√ − 2 + 2 √ + 2 + 2

= 2x2 + 4 + 2 ( + 2) − 4 = 2x2 + 4 + 2√ + 4

=> O2(x,y) ≥ 8 với ∀ ℝ; => O(x,y) ≥ 2√2 với ∀ ℝ; dấu đẳng thức <=> x = 0;

- Vậy min O(x,y) = 2√2

* Nhận xét:

Thí dụ 15

Cho biết , ℝ/ x2 + y2 = 1 Tìm GTNN và GTLN của M(x,y) = x4 + y4 + mxy

Trang 9

9

- Có M(x,y) = -2t2 + mt + 1 với t = xy; do x2 + y2 = 1 và x2 + y2 ≥ 2|xy| suy ra

|t| ≤ ;

- So sánh giá trị với - và với => xét 3 trưởng hợp: ≤ - ; - < < ; ≥

Từ đó tìm được min M(x,y) và maxM(x,y)

- Nếu m≤-2 hoặc m≥2, có min M(x,y) = ; maxM(x,y) = ;

- Nếu -2<m<2, có min M(x,y) = min ; ; maxM(x,y) = M( ) = ;

* Nhận xét:

Thí dụ 16

Cho , ℝ / x+y=2; g(x) = x5 + y5 Tìm min g(x)

- Đặt x=1+a => y=1-a; g = (1-a)5+(1+a)5 ;

- Có g = (a5+5a4+10a3+10a2+5a+1)+(-a5+5a4-10a3+10a2-5a+1) = 10a4+20a2+1; Suy ra: g ≥ 1 với ∀a; g = 1 <=> a=0 <=> x=1, y=1

- Vậy min g(x) = 1, đạt khi x=y=1

Thí dụ 17

Với , ℝ / x, y≠0, đặt p(x, y) = + - 3( + ) + 5 Tìm min p(x, y)?

- Đặt ( + ) = t => |t| ≥2; p = t2 – 3t + 3

- Với t ≥2, có p = (t-2)(t-1) + 1 => p ≥1; p = 1 <=> t = 2 <=> x = y ≠ 0;

- Với t ≤ -2, có p = (t+2)(t-5) +13 => p ≥13 > 1;

- Vậy min p(x, y) = 1, đạt khi x = y ≠ 0

Trang 10

10

IV Bài tập tham khảo

Bài 1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = với x [1; 2]

Với x [1; 2] thì f(x) = x2+2x thỏa mãn 3≤f(x)≤8, suy ra 1≤ ≤

Đáp số : min Q = 1, đạt khi x = 1 ; max Q = , đạt khi x = 2

* Nhận xét : có bài toán hay và khó hơn: Tìm m để phương trình mx2+2mx -3 = 0

có nghiệm x [1; 2]; hoặc Tìm m để phương trình = m có nghiệm x [1; 2]

Bài 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 16x3 – x6 với ℝ

Đáp số: max P = 64; đạt khi x = 2

Bài 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 28 + 3 x- x + 5 + 4 x- x 2 2

Gợi ý giải: làm như với thí dụ 4; đáp số: min P 3 2, đạt khi x  5.

với , ℝ

Bài 4

Biết , , , ℝ; x, y, z, t ≥ 0 thỏa mãn hệ ràng buộc sau: x+7y=50; x+z=60; y+1=15 Tìm giá trị lớn nhất của F(x, y, z ) = 2x+y+z+t

Đáp: max F = 125; đạt khi x=50, y=0, z=0, t=15

Bài 5

Với ℝ, tìm min G(x) biết G(x) = x(1-x)(x-3)(4-x)

Bài 6

Cho , ℝ/ 5(x2 + y2) = 2015 – 8xy Tìm GTLN của N(x,y) = x2 + y2

Đáp số: maxN(x,y) = 2015, đạt khi x=± ; y= -x

Bài 7

Trang 11

11

Với ℝ, cho f(x) = 2x + |x − 2| + |2x + 1| Tìm min f(x)

Đáp số: min f(x) = , đạt khi x = -

Bài 8

Cho , , ℝ / x+y+z=3; h(x) = x2 + y2+z2+xy+yz+zx Tìm min h(x,y,z) ?

Đặt x=1+a; y=1+b => z=1-a-b;

h =(1+a)2+(1+b)2+(1-a-b)2+(1+a)(1+b)+(1+b)(1-a-b)+(1+a)(1-a-b) = a2+b2+ab+6; h=(a+ )2+ b2+6; g≥6 với ∀a, b; g=6<=>a=b=0<=>x=y=z=1 Vậy min h(x,y,z)=6

Bài 9

Cho , ℝ / x≤1; x+y≥3; đặt k(x, y) = 3x2 + y2 + 3xy Tìm min k(x, y) ?

Đặt x=1-a; x+y=3+b => a, b ≥0; k = (1-a)2 + (2+a+b)2 + 3(1-a)(2+a+b);

k = a2 + b2 – 5a – ab + 7b + 13 = (a – )2 + b2 + b + ; k ≥ với ∀a, b ≥0;

k = <=> a = ; b = 0 Vậy min k(x, y) = , đạt khi a = ; b = 0

-

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	186,28 KB