HỆ TRỰC tâm TRONG QUANG học

Một hệ quang học gồm các mặt cầu được gọi là đồng trục, nếu tâm của tất cả các mặt cầu này cùng nằm trên một đường thẳng.. Điểm F nằm trên quang trục chính là giao điểm của những tia ra

HỆ TRỰC TÂM TRONG QUANG HỌC

Lê Văn Tuyền THPT Chuyên Thái Bình

Phần 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC LÍ TƯỞNG

I Hệ trực tâm

1.1 Những định nghĩa cơ bản

Các hệ quang học thường gồm những mặt phản xạ và khúc xạ ánh sáng ngăn cách nhau bởi những môi trường trong suốt, đồng chất

Một hệ quang học gồm các mặt cầu được gọi là đồng trục, nếu tâm của tất cả các mặt cầu này cùng nằm trên một đường thẳng Đường thẳng này được gọi là quang trục chính của quang hệ

Một hệ quang học đồng trục được coi là lí tưởng, nếu một chùm tia sáng đồng qui đi qua nó vẫn còn là chùm đồng qui

Một hệ quang học đồng trục bất kì, nếu

chỉ xét với các chùm tia gần trục cũng

được coi là lí tưởng

Trên hình 1.1 biểu diễn một hệ

quang học đồng trục lí tưởng có quang

trục chính O1O4 Gọi MM′ và NN′ là các

mặt khúc xạ ngoài cùng của quang hệ

Cho một chùm tia sáng tới quang hệ

song song với quang trục chính Những

tia này được coi như xuất phát từ một

điểm sáng nằm trên quang trục chính và ở

xa vô cực Sau khi đi ra khỏi hệ quang

học lí tưởng chùm tia này vẫn còn là

chùm đồng qui Tùy thuộc vào hệ quang

học cụ thể nó có thể là chùm hội tụ, chùm

phân kì hay chùm song song (hình 1.1a)

Điểm F nằm trên quang trục chính là

giao điểm của những tia ra khỏi quang hệ,

được gọi là tiêu điểm chính thứ hai của

hệ Như vậy tiêu điểm chính F′có thể nằm ở phía sau hay phía trước hệ quang học,

nó cũng có thể nằm ở bên trong hệ, F′ là điểm liên hợp với điểm nằm trên quang trục chính và ở xa vô cực trong không gian vật

Hình 1.1

Hình 1.2

trở thành chùm tia song song với quang trục chính Điểm F được gọi là tiêu điểm chính thứ nhất của hệ (hình 1.1b) Các mặt phẳng đi qua tiêu điểm chính F và F′, vuông góc với các quang trục chính là các tiêu diện thứ nhất và thứ hai tương ứng của quang hệ Tiêu diện thứ nhất là mặt phẳng liên hợp của mặt phẳng ở xa vô cực trong không gian ảnh; còn tiêu diện thứ hai là mặt phẳng liên hợp với mặt phẳng ở

xa vô cực trong không gian vật

Một chùm tia sáng xuất phát từ một điểm bất kì nằm trên tiêu diện thứ nhất sau khi ra khỏi hệ quang học sẽ trở thành chùm tia song song, làm với quang trục chính một góc nào đó (hình 1.3)

Bây giờ ta hãy xét hai mặt phẳng liên hợp nhau, vuông góc với quang trục chính Giả sử vật là một đoạn thẳng AB có

độ cao là y nằm trên mặt phẳng thứ nhất,

thì ảnh của nó là A B′ ′ có độ cao y ′ sẽ nằm

trên mặt phẳng thứ hai, hơn nữa ảnh A B′ ′

có thể cùng chiều hoặc ngược chiều với

AB, có thể lớn hơn, nỏ hơn hoặc bằng vật

AB tùy theo vị trí của hai mặt phẳng liên

hợp ta xét

Tỉ số giữa độ cao của ảnh và của vật

xác định độ phóng đại dài:

β y

y

′

=

Trong đó y và y′ là những độ dài đại số, tuân theo quy ước về dấu đã nói ở

trên

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh rằng, có thể tìm được hai mặt phẳng liên hợp, sao cho nếu vật nằm trên mặt phẳng này sẽ cho ảnh nằm trên mặt phẳng kia

và có độ phóng đại dài β= +1.

Thật vậy, ta vẽ tia đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F đến mặt khúc xạ đầu tiên tại I (hình 1.4) Tia này ra khỏi mặt khúc xạ sau cùn tại điểm I′ và song song với quang trục chính

Khoảng cách O I′ ′ có thể lớn hơn hay nhỏ

hơn OI tùy thuộc vào tính chất của hệ, trong

trường hợp hình vẽ thì O I′ ′ >OI Đường

truyền thực của tia sáng bên trong quang hệ ta

không cần biết đến

Ta lại vẽ tia 2 song song với quang trục

chính và cách nó một khoảng cách O I′ ′ đến

gặp mặt khúc xạ đầu tiên tại K Ra khỏi mặt

khúc xạ cuối cùng của hệ tại điểm K′, tia này

qua tiêu điểm chính F′ (tia 2′) Bởi vì hệ quang học lí tưởng, nên chùm đồng qui

Hình 1.3

Hình 1.4

(1-2) tới quang hệ mà điểm đồng qui là P, sau khi ra khỏi hệ vẫn còn là chùm đồng qui (1 -2 ) ′ ′ mà điểm đồng qui là P′ Bất kì một tia sáng nào đi qua P cũng có tia tương ứng đi qua P′ Như vậy các điểm P và P′ là hai điểm liên hợp với nhau và

P′ là ảnh của điểm P Vẽ các mặt phẳng H và H′ đi qua các điểm P và P′ tương ứng, vuông góc với quang trục chính Đoạn thẳng HP nằm trong mặt phẳng H cho ảnh tương ứng là H P′ ′ nằm trong mặt phẳng H′ Hơn nữa ảnh H P′ ′ cùng chiều với vật HP và có cùng độ cao với vật ( HP H P= ′ ′) Như vậy, một vật bất kì nằm trong mặt phẳng H, qua quang hệ sẽ cho ảnh tương ứng nằm trong mặt phẳng H′ với độ phóng đại dài β = + 1.

Mặt phẳng H được gọi là mặt phẳng chính thứ nhất, còn mặt phẳng H′ được gọi là mặt phẳng chính thứ hai của hệ quang học đồng trục Các giao điểm H và H′ của các mặt phẳng này với quang trục chính được gọi là các điểm chính thứ nhất

và thứ hai tương ứng của hệ Các mặt phẳng chính (các tiêu điểm chính) có thể cả hai nằm ở trong hệ hoặc bên ngoài hệ, cả hai cùng ở một phía của hệ hoặc một trong hai nằm ở trong hệ, điều đó phụ thuộc vào tính chất của từng hệ cụ thể Khoảng cách từ tiêu điểm chính thứ nhất F đến điểm chính thứ nhất H của hệ là tiêu cự thứ nhất f của hệ (HF f= ) Tương tự như vậy ta có tiêu cự thứ hai H F′ ′=f′

; f và f′ là những độ dài đại số Chúng là dương nếu tiêu điểm đang xét nằm bên phải hệ, ngược lại là âm

Nếu biết vị trí các mặt phẳng chính H , H′ và các tiêu điểm chính F, F′của một quang hệ đồng trục nào đó, ta có thể dễ dàng dựng ảnh của một vật cho bởi quang hệ đó

Chẳng hạn ta dựng ảnh của đoạn thẳng AB vuông góc với quang trục chính

Vẽ từ B tí 1 song song với quang trục chính, nó cắt mặt phẳng chính H tại điểm P Theo tính chất của các mặt phẳng chính, tia 1′, liên hợp với tia 1 phải đi qua điểm P′ của mặt phẳng chính H′ ( HP H P= ′ ′) là điểm liên hợp với P Vì tia 1 song song với quang trục chính nên tia liên hợp 1′ đi qua tiêu điểm chính F′

Bây giờ cũng từ điểm B ta vẽ tia 2 đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F, nó cắt mặt phăng chính H tại điểm I Tia 2′ liên hợp với tia 2 sẽ đi qua điểm I′ của mặt phẳng chính H′, là điểm liên hợp của điểm I (HI H I= ′ ′) Vì tia 2 đi qua tiêu điểm chính F, nên tia liên hợp 2′ đi song song với quang trục chính B′ là giao điểm của hai tia 1′ và 2′ nên là ảnh của điểm B và A B′ ′ là ảnh của AB cho bởi quang hệ cũng vuông góc với quang trục chính

1.2 Tiêu cự Độ tụ

Bây giờ ta hãy tìm mối liên hệ giữa các tiêu cự f và f′của hệ quang học đồng trục gồm các mặt cầu khúc xạ có chiết suất n của môi trường phía trước và chiết suất n′ của môi trường phía sau quang hệ Trên hình 1.6 ghi các giá trị dương của đoạn thẳng

Từ các tam giác đồng dạng FHI và BPI ta có:

f s

Tương tự, từ các tam giác đồng dạng P H F′ ′ ′ và P B I′ ′ ′, ta có:

′ = ′

′

Từ hai hệ thức trên rút ra:

f y s

′

= −

Vì s u

′

=

′ do đó:

f y u

′ ′

= −

Theo định lí Lagrage – Helmholtz, ta có:

y u n

yu n

′ ′

=

′

f = n

′ ′ (1.5) Trong trường hợp phía trước và phía sau

quang hệ có chiết suất như nhau, thì tiêu cự f

và f′ bằng nhau và ngược dấu:

′

Φ = = −

′

′

Φ = = −

Là độ tụ của quang hệ Độ tụ càng lớn thì tiêu cự f càng bé, do đó tia sáng càng bị khúc xạ mạnh bởi quang hệ Độ tụ của quang hệ có thể dương âm hoặc bằng không

Khi Φ >0, thì f′ >0, tiêu điểm F′ là ảnh thật của vật ở xa vô cực Hệ quang học lúc này là một hệ hội tụ

Khi Φ <0, thì f′ <0, tiêu điểm F′ là ảnh ảo của vật ở xa vô cực Hệ quang học lúc này là một hệ phân kì

Khi Φ =0, thì f′ = ∞, tiêu điểm F′ ở xa vô cực Hệ quang học lúc này là một

hệ vô tiêu

1.3 Các công thức cơ bản

Vị trí của vật AB có thể được đặc trưng bằng khoảng cách x tính từ F đến điểm A (FA x= ), hoặc khoảng cách s từ điểm chính H (HA s = ) Vị trí của ảnh

Hình 1.5

A B′ ′ cho bởi quang hệ được đặc trưng bởi khoảng cách x′ tính từ F′(F A′ ′ =x′), hoặc bằng khoảng cách s′ tính từ F′ tới A′ (H A ′ ′ = s ′) Cần chú ý rằng các đại lượng x, x , s, s , f, f ′ ′ ′ là những độ dài đại số

Chúng ta tìm mối liên hệ giữa đại lượng x′ xác định vị trí ảnh với đại lượng

x, xác định vị trí của vật và các tiêu cự f và f′ của hệ

Từ các tam giác đồng dạng có đỉnh tại F (hình 1.5) ta có hệ thức:

HI = y

′

Tương tự, từ các tam giác đồng dạng có đỉnh chung tại F′, ta có:

H P y f

′ ′

Từ hai hệ thức trên, ta có: xx′=ff′ (1.10)

Biểu thức (1.10) là công thức Newton

Trong trường hợp f′ = −f, công thức Newton sẽ có dạng:

2

Từ công thức này, ta dễ dàng chuyển sang tìm mối liên hệ giữa các khoảng cách s và s′, tính từ các điểm chính H và H′ tương ứng

Từ hình 1.5, ta thấy (-x) = (-s) – (-f)

Tức là: x = s – f

Tương tự: x s - f= ′ ′

Thay các biểu thức của x và x′ và công thứ (1.11), làm vài phép biến đổi, cuối cùng ta được:

f f

1

s s

′ + =

Biểu thức (1.12) là công thức Gauss

Trong trường hợp f′ = −f, công thức (1.12) trở thành:

1 1 1

s − =s f

Các công thức (1.10 – 1.13) là những công thức cơ bản của hệ quang học đồng trục

1.4 Độ phóng đại dài

Từ các công thức (1.8) và (1.9), ta có các công thức của độ phóng đại dài β cho bởi quang hệ đồng trục:

β

= = − = −

Nếu biểu diễn β theo s và s′, thì từ định lí Lagrange – Helmholtz ta có:

y nu

y n u

′

=

′ ′ Nhưng u s

,

′

=

′ nên:

y ns β

y n s

Trong đó n và n′ là chiết suất của môi trường trước và sau hệ tương ứng,

β 0 > , tức là y và y ′cùng dấu, nên ảnh cùng chiều với vật; β 0 < , tức là y ngược

dấu với y ′, nên ảnh ngược chiều với vật

Để dựng ảnh của một điểm nằm ngoài quang trục chính, ta chỉ cần dựng hai trong ba tia sau đây:

a) Tia song song với quang trục chính, ra khỏi quang hệ liên hợp và nó đi qua tiêu điểm chính thứ hai F′

b) Tia tới đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F,

sau khi đi ra khỏi quang hệ tia liên hợp với nó

song song với quang trục chính

c) Nếu môi trường trước và sau quang hệ có

chiết suất như nhau thì tia tới đi qua điểm chính

thứ nhất H, sau khi ra khỏi quang hệ tia liên hợp

với nó sẽ đi qua điểm chính thứ hai H′ và song

song với tia tới

II GHÉP HAI QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC

1 1 Phương pháp giải

Nếu hai hệ đồng trục được đặt hệ này sau hệ kia trên cùng một trục, chúng sẽ tạo thành một hệ quang học đồng trục duy nhất Nếu biết vị trí của các tiêu điểm chính, các điểm chính của từng hệ và khoảng cách giữa các hệ, ta có thể xác định được các vị trí các tiêu điểm chính của hệ lớn

Giả sử ghép hai thấu kính mỏng có các tiêu cự f , f , f , f 1 1 ′ 2 2 ′ và vị trí các điểm

chính H , H , H , H 1 1 ′ 2 ′ 2 thành một hệ có khoảng cách giữa các thấu kính là d Trong

trường hợp này các điểm chính của mỗi thấu kính trùng nhau; H 1 trùng với H 1 ′, H2

trùng với H ′ 2, khoảng cách d là khoảng cách giữa các mặt phẳng chính, nghĩa là:

d f = + ∆ − ′ f

Hình 1.6

Đối với thấu kính trong không khí: n1=n2 =n3 =1; f1 = −f ; f1′ 2 = −f ,2′ do đó :

1 2

d f = + + ∆ ′ f ′

Bây giờ ta tìm tiêu cự và vị trí các điểm chính của hệ ghép Có thể có những cách tính khác nhau Một trong những cách tính đó là áp dụng công thức thấu kính mỏng lần lượt cho từng thấu kính khi vật ở xa vô cực Ở đây muốn giới thiệu một phương pháp tính khác

Trước hết bằng cách dựng ảnh thông thường ta sẽ xác định được các tiêu điểm chính F và F′ và các điểm chính H và H′ của hệ (hình 1.7)

Tia thứ nhất đi song song

với trục chính, sau khi đi qua hệ

1 gặp hệ 2 tại K Dựng trục phụ

và ta vẽ được tia ló ra khỏi hệ 2

Kéo dài phương tia tới thứ nhất

gặp tia ló này tại P′ Từ P′ vẽ tia

song song với trục chính đi

ngược trở lại, tia này gặp hệ 1 tại

M, sau khi ló ra tại hệ 1 sẽ cắt tia

thứ nhất tại điểm P

Rõ ràng P và P′là vật và

ảnh tương ứng có độ phóng đại + 1 Từ đó ta tìm được vị trí các mặt phẳng chính

và các tiêu điểm chính của hệ ghép

Gọi F H′ ′=f , HF f, FF′ = 1 2′ = ∆

Để tính f′, ta xét các tam giác đồng dạng: F HP′ và F H I2′ ′2 ; F F C1 2′ và F H Q1′ 1 ,

ta có:

1 2

f

d f f

′

Cũng vẽ hình và tính toán tương tự, ta có:

1 2 1 2

1 2

f f f f f

d f f

′ ′

Vậy, độ tụ của hai thấu kính trong không khí bằng:

1 2 d 1 2

Hình 2.11

Đối với hệ gồm hai thấu kính dương (Φ > 1 0, Φ > 2 0), độ tụ của hệ có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của d Khi d = 0, nghĩa là hai thấu kính ghép sát nhau, độ tụ của hệ bằng tổng độ tụ của hai thấu kính tạo thành hệ

1 2

Φ = Φ + Φ

Vị trí các điểm chính H (sH =HH1) và H′ (s H′ = H H ′ 2 1) được xác định từ hình 1.7:

H F 1

− = − − và sH′ = − +f′ xF′ +f2′

F

x ′ được tính từ công thức Newton áp dụng cho thấu kính thứ hai:

( )−∆ .x F′ =f f 2 2 ′

1 1

f f

F F′ ′ = = −x ′ ′

∆ Tính toán tương tự, ta có: 1 1

f f

= =

∆ . Thay các giá trị của xF , xF′, f, f ′ và chú ý rằng d = ∆ − +f2 f1′ ta được:

1 H

f

s = −d ′

2 H

f

s ′ =d ′

Từ (1.16) ta có: f f1 2

f

′ ′

∆ = −

Thay (1.21) vào (1.19), ta có:

2 H

2

f

f

Φ

1 H

1

f

f

′

Φ

Phần 2: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1: Cho hệ thấu kính đồng trục O1,O2 đặt cách nhau d = 25cm; O1 là thấu kính phân kì có tiêu cự f1 = - 10cm, O2 là thấu kính hội tụ có tiêu cự f2 = 10cm Một vật sáng AB đặt vuông góc với quang trục chính và cách O1 một đoạn 15cm

a Xác định vị trí và tính chất của ảnh AB qua hệ thấu kính

b Xác định các mặt phẳng chính, các tiêu cự và tiêu điểm chính của hệ hai thấu kính Dựng ảnh AB của hệ ghép hai thấu kính

Bài giải:

Ta có sơ đồ tạo ảnh như sau: Ảnh của vật AB qua thấu kính O1 là A B ′ ′, ảnh

A B ′ ′ lại chính là vật khi xét thấu kính O2 cho ảnh cuối cùng là A B ′′ ′′

Ta có:

1 1 1

d f 15( 10)

−

Suy ra ảnh qua thấu kính O1 là ảnh ảo

2 1

d = − =d d′ 25 6 31cm.+ = Ảnh của AB qua thấu kính O1 là A B ′ ′ lại chính là vật thật đối với thấu kính O2

2 2

2

Hình 2.13

1 1

d d



 ′



2 2

d d



 ′



1 2

1 2

1 2

310

 ′ ′   − 

= = − ÷− ÷== − ÷− ÷= − < ⇒

ảnh và vật ngược chiều

AB

a Ta ghép hai hệ thấu kính trên thành một hệ ghép duy nhất với hai mặt phẳng chính và tiêu cự được xác định như sau:

Áp dụng các công thức đã biết ta có:

1 2 1 2

1 2

f′=H F′ ′= − ′ ′; f =HF= ; ∆ =FF =25cm

Thay số ta được:

′ ′

Ta có:

s O H d ; s′ ′ O H′ d ′

Thay số ta được:

1

H 1

10 f

25

−

′

∆

2

H 2

10 f

25

′

−

′

′

∆

Ta có s HA= = -25cm; f′ =4cm Sử dụng công thức (1.13) ta có thể tìm

s′=H A′ ′ một cách dễ dàng:

,

s − = ⇔ = + =s f s s f 25 4 100+ =

Hay: s 100cm

21

′ = ; Theo cách giải lần lượt qua từng thấu kính:

′= ′ ′= − = Qua các kết quả đã tính toán ở trên ta được hình vẽ sau:

Hình 2.14

Khi dựng ảnh AB của hệ ghép ta cũng được ảnh A B′′ ′′ tương tự với độ phóng đại như đã tính toán ở Bài a Hệ ghép tương đương với hệ thấu đã cho

Bài 2: Hai thấu kính mỏng phẳng – lồi giống nhau, chiết suất n = 1,5 và có

bán kính mặt lồi là R = 1,5a được đặt đồng trục với nhau, khoảng cách giữa chúng bằng 2

3 tiêu cự của thấu kính Đặt một vật sáng nhỏ AB vuông góc với trục chính

và thấu kính thứ nhất một khoảng 4a

a Tìm vị trí, độ lớn, tính chất của ảnh qua thấu kính

b Xác định vị trí của các mặt phẳng chính, các tiêu cự và các mặt phẳng chính của hai thấu kính

Bài giải:

a Ta dựng ảnh của vật AB qua từng thấu kính với sơ đồ sau:

Áp dụng công thức:

n 1

  với n = 1,5 và R1= ∞, R2 = 1,5a.

2

1 2

n 1 0,5

a a

−

Qua thấu kính cho ảnh thật:

1 1 1

d f 4a.3a

2 1 1

2

3

= − = − = − = − < đi qua thấu kính O2 là vật ảo

2 2

2 2

d f 10a.3a 30a

−

− − − ảnh của vật ảo qua thấu kính O2 là ảnh thật.

Ta có độ phóng đại ảnh:

1 2

1 2

30a

= − ÷− ÷ = − ÷ − ÷÷= − <

ảnh qua hệ thấu kính ngược chiều với vật

Ta có: β A B 9

13 AB

′′ ′′

= = − vậy vật cao gấp 13

9 và ngược chiều với ảnh.

a Áp dụng các công thức đã biết, ta có:

1 2

f f

HF f

Δ

′ ′

′= = −′ và f f1 2

f HF

Δ

d f f 3a 3a 3a 4a

3

′

Với f và f′ lần lượt là tiêu cự vật và ảnh của hệ ghép hai thấu kính

Ta còn có:

Dựa trên các tìm các mặt phẳng chính và các tiêu điểm chính ở trên, và cách dựng ảnh của AB qua hệ quang học đồng trục được ghép bởi hai hệ trên, ta được hình vẽ như sau: