Một bài toán hay về mô hình trực tâm trong hình học phẳng

Bài toán là sự kết nối rất hay với các bổ đề quen thuộc.. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:.[r]

Một bài toán hay về mô hình trực tâm

Bài toán về mô hình trực tâm sau rất hay Xin được chia sẻ với các bạn Bài toán là sự kết nối rất hay với các bổ đề quen thuộc

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề(Nguyễn Duy Khương) Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tạiH.N là trung điểmEF AN cắt(O)tại điểm thứ hai làZ ZE, ZF cắt(O)tại điểm thứ là

làU, V.UV cắtBC tạiQ AH cắtEF tạiP EF giaoBC tạiS Chứng minhS A chia đôiPQ

Chứng minh(X-Bow Master) Ta có(Z A, BC) = −1 ⇒ U(AZ, BC) = −1.BU cắt AC tạiU0⇒ (AE,U0C) = −1 ⇒ B(AE,U0C) = B(AH, PC) ⇒ U0thuộcBP ⇒ BP đi quaU Tương tựCP đi qua

V Do đó,(PQ)trực giao với (O) Mà(PQ)đi qua D là hình chiếu của A trênBC, để ý rằng (AH, DP) = −1 ⇒ (PQ) trực giao (AH) ⇒ trung điểm PQ thuộc trục đẳng phương (AH), (O) hay là ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Ngoài lời giải đẹp trên của bạn Quang Độ-THPT chuyên HN Ams, còn bạn

Đức Minh-THPT chuyên Bắc Ninh giải bài này Quay trở lại bài toán.

Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H N

là trung điểm EF AN ∩ (O) = A, Z Gọi ZE, ZF cắt (O) tại các điểm thứ hai là U, V Gọi

UV ∩ BC = Q Chứng minh rằng PQ tiếp xúc(AN P)

Lời giải Để tiện theo dõi mình chia bài toán theo ba ý nhỏ.

a) GọiEF ∩BC = Svà Jđối xứngHquaBCvàS J ∩(O) = Z06= J Ta có:A, N, Z0thẳng hàng

vì J(S A, BC) = −1 = J(Z0A, BC) nên AZ0 là đường đối trung Vậy Z ≡ Z0 Gọi AH ∩ EF = P, ta cũng có: SP.SN = SJ.SZ = SE.SFdẫn đến: F, E, Z, J đồng viên

b) Theo định lí P ascal thìEF, BU, CV đồng quy tạiP0 Để ý rằng(PBF) cắt (P EC)trên (O)tại J0 và ∠F J0E =UVd

2 =∠F ZEsuy ra: J ≡ J0 dẫn đến:P ≡ P0 c) Gọi tia MH cắt (O) tại I Ta có kết quả cơ bản rằng S, I, A thẳng hàng đồng thời

S I.S A = SF.SE = SP.SN do đó: A, I, P, N đồng viên Vậy ta cần chỉ ra Q, I, P, M đồng viên Lấy L đối xứng A qua BC Ta có kết quả quen thuộc rằng H là trực tâm tam giác AMS dẫn đến: ∠M AL =∠MS J Gọi M Z ∩ AD = L0 ta có: ∠DL0M =∠MSZ do đó: L ≡ L0 Lại có:

∠MLD = 90◦−∠AMB = 90◦−∠A I P =∠P I H suy ra: P, I, L, M đồng viên Từ chứng minh bổ

đề ta có: A J chia đôi PQ và S I.S A = SP2= SQ2 Vậy tức là ∠I P S =∠I AP =∠I MQ do đó:

Q, I, M, P, Lđồng viên

Nhận xét Ta có bài toán sau từ trên: Cho tam giác ABC nội tiếp (O)có các đường cao

AD, BE, CF cắt nhau tại H M là trung điểm BC AH ∩ EF = P Gọi BP, CP cắt(O)tạiU, V khácB, C.UV ∩ BC = K Chứng minh rằng P là trực tâm tam giác AQ M Bạn đọc thử sức