Phương trình bloch trong quang học lượng tử

Mộtcách tơng tự hình thức khi bớc vào nghiên cứu các hiện tợng xảy ra khi tơng tácgiữa laser với hệ nguyên tử, phơng trình quang học Bloch ra đời, kiến giải đợcnhiều vấn đề đặt ra trong

Trờng đại học vinh Khoa vật lý

Giáo viên hớng dẫn: TS Vũ Ngọc Sáu

Sinh viên thực hiện: Nguyễn thị Kim Thu

Vinh, tháng 05 năm2003

Mở đầu

Nghiên cứu các quá trình hồi phục xảy ra trong cộng hởng từ hạt nhân.Năm 1946 Bloch đã đa ra hệ phơng trình mô tả chuyển động của các thành phầnvectơ mô men từ hoá gọi là phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ Mộtcách tơng tự hình thức khi bớc vào nghiên cứu các hiện tợng xảy ra khi tơng tácgiữa laser với hệ nguyên tử, phơng trình quang học Bloch ra đời, kiến giải đợcnhiều vấn đề đặt ra trong bài toán tơng tác giữa trờng và hệ nguyên tử

Phơng trình quang học Bloch là một trong những phơng pháp tiếp cậnhiện đại các nghiên cứu về laser trong vài thập kỷ nay và hiện đang đóng gópmột cách thuyết phục trong việc hoàn thiện lý thuyết về các hệ laser

Tuy nhiên trong chơng trình đa vào giảng dạy cho sinh viên năm thứ bakhoa vật lý các trờng Đại học S phạm, trờng Đại học Tổng hợp, khối lợng kiếnthức về vấn đề này không nhiều Vì điều kiện thời gian và chơng trình, sinh viênchỉ đợc giới thiệu những nét cơ bản mà không có kiến thức cơ sở để đi sâu tìmhiểu Từ những lý do trên cùng với sự yêu thích môn quang học lợng tử, tôichọn đề tài:

“ Phơng trình Bloch trong quang học lợng tử ”

Về phơng diện lý thuyết, khi nghiên cứu tác động cộng hởng của laservới hệ nguyên tử, đòi hỏi phải thành lập đợc các phơng trình mô tả sự tiến triểncủa các biến số động lực đặc trng cho hệ, từ đó giải quyết các bài toán, các vấn

đề đặt ra theo yêu cầu thực tế Mặt khác để giải quyết đợc các phơng trình đómột cách toán học thì cần phải giới hạn lại trong phạm vi hẹp và đơn giản hơn,vì vậy việc xây dựng Phơng trình quang học Bloch đã sử dụng nhiều phép gần

đúng khác nhau Một trong những phép gần đúng đó là: giả thiết nguyên tửkhảo sát chỉ có hai mức năng lợng tham gia vào qúa trình tơng tác Về mặt hìnhthức luận, hoàn toàn có thể áp dụng mô hình cộng hởng spin cho cộng hởngquang bằng cách xem hệ nguyên tử hai mức nh là vectơ giả spin có các thànhphần là các biến số nguyên tử, từ đó khảo sát sự biến đổi các thành phần nàygiống nh các thành phần của mô men từ trong cộng hởng thuận từ

Để làm sáng tỏ vấn đề, việc xây dựng phơng trình quang học Bloch theotiến trình phát triển lịch sử của vật lý học là yêu cầu cần thiết, đó cũng chính là

bố cục của luận văn Hy vọng rằng, đề tài này giúp sinh viên khoa vật lý hiểusâu vấn đề, tiếp cận dễ dàng hơn với các nghiên cứu đang đợc quan tâm hiệnnay liên quan tới thăng giáng và ảnh hởng của thăng giáng trong trờng tơng táccủa laser với hệ nguyên tử hai mức, các ứng dụng của phơng trình quang họcBloch khi có mặt các thăng giáng ngẫu nhiên

Bằng những kiến thức thu nhận từ bài giảng, dới sự hớng dẫn trực tiếpcủa thầy giáo TS Vũ Ngọc Sáu, bằng cách thu thập tài liệu tiếng Việt, tiếng

Nga có liên quan, sau một thời gian làm việc nghiêm túc, tôi đã hoàn thànhluận văn tốt nghiệp Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn có nội dung nhsau:

- Chơng 1: Trình bày phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từlàm cơ sở tiếp cận phơng trình Bloch trong quang học lợng tử.Giới thiệu lý thuyết Lorenzt về tơng tác giữa ánh sáng với vật chấttheo quan điểm cổ điển

- Chơng 2: Trình bày đầy đủ và chặt chẽ trên cả hai phơng diệntoán học và vật lý về phơng trình quang học Bloch làm cơ sở chonhững nghiên cứu tiếp theo ở cấp độ cao hơn

- Chơng 3: Nghiên cứu bài toán trong trờng hợp trờng dừng

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, yêucầu về thời gian và năng lực là cần thiết Bớc đầu làm quen với công tác nghiêncứu khoa học, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi kính mong nhận

đợc ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn sinh viên đểluận văn đợc đầy đủ, trọn vẹn hơn Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến thầy giáo TS Vũ Ngọc Sáu, TS Hồ Quang Quý và các thầy cô giáotrong khoa Vật lý trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi rất nhiều về phơng phápnghiên cứu, hớng dẫn, giới thiệu và cung cấp những tài liệu quý giá

Vinh, tháng 5 năm 2003.

Ngời thực hiện

Nguyễn Thị Kim Thu

Mục lục Trang

5513

Nguyên tử thực và nguyên tử hai mức

Lý thuyết bán cổ điển về tơng tác bức xạ với nguyên tử hai mức

Phép gần đúng sóng quay Phơng trình Bloch trong quang học lợng tử

So sánh tơng tác lỡng cực cổ điển và bán cổ điển

181819

22

2631

33333336

38

Chơng 1

Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ

1.1 Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ

1.1.1 Cơ sở lý thuyết về vật liệu từ

Chúng ta đã biết: Mọi chất đặt trong từ trờng sẽ bị từ hóa, chúng trở nên

có từ tính và sinh ra một từ trờng phụ hay còn gọi là từ trờng riêng H' Từ ờng tổng hợp trong chất bị từ hóa là: H  H0 H'

tr-Trong đó:H0 là cờng độ của từ trờng ban đầu

Theo tính chất và mức độ từ hóa, ngời ta phân chia thành ba loại vật liệu

từ chính sau đây:

- Nghịch từ: Là những chất khi bị từ hóa sẽ sinh ra từ trờng phụ H'

ng-ợc chiều so với từ trờng ban đầu, do đó H  H0

- Thuận từ: Là những chất khi bị từ hóa sẽ sinh ra từ trờng phụ H'

cùng chiều so với từ trờng ban đầu, do đó H  H0

- Sắt từ: Từ trờng phụ H' do sắt từ sinh ra cùng hớng với từ trờng ban

đầu

Tuy nhiên cần chú ý: Do mức độ từ hóa yếu hơn nên từ trờng phụ củachất thuận từ và nghịch từ rất nhỏ so với từ trờng ban đầu Ngợc lại, với chất sắt

từ, từ trờng phụ có thể lớn hơn từ trờng ban đầu hàng chục ngàn lần

Để đặc trng cho mức độ từ hóa của vật liệu từ, ngời ta đa ra đại lợng vật

lý là vectơ từ hóa, tức là tổng số mô men từ trong một đơn vị thể tích của mẫu.Các mô men từ này tơng tác với nhau và với môi trờng xung quanh nó Vì vậytồn tại hai loại tơng tác:

- Tơng tác spin – spin: Tơng tác giữa các mô men từ với nhau

- Tơng tác spin – mạng: Tơng tác giữa mô men từ với mạng tinh thể.Vì mọi chất khi đặt trong từ trờng đều bị từ hóa nên hiện tợng này phảiliên quan đến tính chất từ của nguyên tử cấu tạo nên chất đó

1.1.2 Nguyên tử đặt trong từ trờng ngoài

Các chất đều đợc cấu tạo nên từ các nguyên tử hay phân tử, mỗi nguyên

tử gồm: hạt nhân mang điện tích dơng, các electron chuyển động xung quanh.Theo vật lý cổ điển thì các electron này chuyển động trên những qũy đạo khépkín xác định, tơng đơng một dòng điện kín Dòng điện này cũng sinh ra từ trờng

và chịu tác dụng lực từ của từ trờng ngoài

Xét một nguyên tử cô lập khi cha đặt trong từ trờng ngoài:

Theo quan điểm cổ điển electron trong nguyên tử chuyển động trên qũy

đạo tròn bán kính r, tâm qũy đạo trùng với hạt nhân nguyên tử,  và v theo

thứ tự là vận tốc và tần số quay của electron trên qũy đạo Ta có:

r 2







Dòng điện này tạo ra từ trờng giống nh trờng hợp một nam châm nhỏ, do

đó có thể gán cho mỗi electron quay tròn một mô men lỡng cực từ  , còn gọi

là mô men từ obital của electron:

S c

I 





trong đó:  có phơng vuông góc với mặt

phẳng qũy đạo, chiều tuân theo quy tắc

cái đinh ốc 2 S là vectơ diện tích của

trong đó: l có phơng vuông góc với mặt phẳng qũy đạo, chiều xác định saocho r, ,l theo thứ tự đó lập thành một tam diện thuận (Hình 1.1) Về độlớn:

Tỷ số:

mc 2

Chuyển động của electron trên qũy đạo tơng tự

con quay có trục đối xứng trùng với phơng của mô men

động lợng orbital Dới tác dụng của mô men lực M ,

electron sẽ tham gia thêm chuyển động phụ gọi là

chuyển động tuế sai xung quanh trục oz đi qua tâm qũy

đạo và song song với phơng của từ trờng ngoài,  và l

vẽ nên mặt nón tròn xoay có trục trùng với H0vẽ qua

tâm qũy đạo, chiều quay ngợc với chiều chuyển động

của electron

Sau thời gian dt mô men động lợng biến thiên

một lợng dl :

) H l ( mc 2

e dt

l d ' N ' O N d



Vậy vận tốc góc của chuyển động tuế sai

mc 2

eH dt

đạo Vì vậy có thể áp dụng (1.10) đợc cho mọi electron trong nguyên tử

Viết phơng trình đối với chuyển động của vectơ mô men từ  Giả sử hệgồm các điện tích giống nhau có mô men từ  xác định Nếu khi không có tr-ờng ngoài vectơ mô men l không đổi đối với các trục đứng yên thì theo định lýLarmor: trong từ trờng vectơ đó sẽ không đổi đối với trục quay theo chiều ngợc

lại với vận tốc góc bằng

mc 2

eH0

Ta có định luật bảo toàn đợc viết lại:

 l 0 dt

l d

e dt

 H 0  H 0

mc 2

e dt

1.1.3 Chất thuận từ trong từ trờng ngoài.

Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ.

Cộng hởng thuận từ là tập hợp những hiện tợng liên quan đến phép chuyểnlợng tử xảy ra đối với hệ vĩ mô thuận từ dới ảnh hởng của từ trờng biến thiên cótần số cộng hởng

Nh chúng ta đã biết, chất thuận từ khi bị từ hóa sẽ sinh ra từ trờng phụ ớng ngợc chiều với từ trờng ngoài Tính chất này thể hiện ở một số chất ví dụ:

h-K, Na, Nitơ Oxit, Pt,…

Khi cha có từ trờng ngoài, mô men từ nguyên tử của chất thuận từ kháckhông Do dao động nhiệt, các mô men từ nguyên tử sắp xếp hoàn toàn hỗnloạn Hình chiếu của một mô men từ nguyên tử lên phơng của từ trờng:

trong đó:  , H0 Do tính chất hoàn toàn hỗn loạn về hớng của  nên giá trị

trung bình của cos bằng không Vì vậy tổng mô men từ của cả mẫu thuận từ

bằng không

Khi đặt khối thuận từ trong từ trờng ngoài có vectơ cờng độ từ trờng H0.Theo trên, vectơ mô men từ nguyên tử sẽ thực hiện chuyển động tuế sai xungquanh phơng của trờng ngoài với góc nghiêng  không thay đổi Nhng điều nàychỉ đúng với một nguyên tử cô lập Trong mẫu thuận từ do tơng tác giữa nguyên

tử hay phân tử, góc nghiêng  giảm dần, do đó các mô men từ nguyên tử cókhuynh hớng sắp xếp theo hớng của từ trờng ngoài Thêm vào đó, chuyển độngnhiệt lại có khuynh hớng làm chúng sắp xếp hỗn loạn Dới hai tác động đó, cácmô men từ nguyên tử sắp xếp có trật tự hơn Vì vậy cos  khác không Vậytổng số mô men từ nguyên tử của khối thuận từ khác không Khối thuận từ đã bị

từ hoá

Nếu từ trờng ngoài càng mạnh, số mô men từ sắp xếp theo phơng trờngngoài càng nhiều, độ lớn của  càng lớn Sự sắp xếp này dẫn đến sự thiết lậpcân bằng mới, tuy nhiên nó không xảy ra tức thời mà phải sau một thời gian nào

đó phụ thuộc bản chất của mẫu thuận từ Quá trình này gọi là quá trình hồi phục

và tơng ứng thời gian xảy ra quá trình đó gọi là thời gian hồi phục Thời gianhồi phục của các thành phần mô men từ nằm song song và vuông góc với phơngcủa trờng ngoài theo thứ tự đó gọi là thời gian hồi phục dọc T1 và thời gian hồi

phục ngang T2 T1 liên quan đến tơng tác spin – mạng, T2 liên quan đến tơngtác spin – spin Việc thiết lập cân bằng của các thành phần vectơ từ hoá dọctheo phơng oz kéo theo sự trao đổi năng lợng giữa các mô men từ và mạng, còn

các thành phần vectơ từ hóa theo phơng x, y chỉ dẫn đến sự thay đổi về pha Vì

sự thay đổi năng lợng luôn kéo theo sự thay đổi về pha nên T1T2

Năm 1946 Bloch đã đa ra phơng trình mô tả chuyển động của vectơ từhóa dọc theo phơng từ trờng trong các mẫu thuận từ Theo Bloch:

1

z 0 z

T dt

z z

T T dt

1

z

T

t exp A dt

T

1 dt d

Nghiệm riêng của (1.14) là: 

* z

T

1 exp 1

Vậy nghiệm tổng quát của (1.14) là:

0

* z z TQ

T

t exp A T

1 exp 1

Với điều kiện ban đầuz z t0 thay vào ta có: A  z

1 0

ZTQ

T

t exp T

1 exp

2

x x

T dt

d

T dt

2

0 x x

T

t exp T

t exp

(1.17)

Nếu bỏ qua tơng tác spin – spin và tơng tác spin – mạng, chỉ tính đếntơng tác của mô men từ của mẫu thuận từ với từ trờng ngoài, ta có phơng trình

đối với mô men từ của nguyên tử:

y z z y x

H H

dt d

H H

dt d

H H

dt d

2

y z x x z y

2

x y z z y x

T H

H dt

d

T H H

dt d

T H H

dt d

Nếu từ trờng ngoài gồm từ trờng không đổi H0dọc theo phơng z và trờng

cao tần HC nằm trong mặt phẳng xOy thì:

0 z

C y

C x

H H

t sin H H

t cos H H

y C

x z

2

y 0 x C

z y

2

x C

z 0 y x

T t

cos H t sin H dt

d

T H t cos H dt

d

T t sin H H

dt d

Hệ (1.22) đợc gọi là phơng trình Bloch đối với vectơ từ hóa

Giải (1.22) ta đa vào các biến số mới u, v

t t

v

t t

u

y x

y x

sin cos

t v t u

t v t u

sin cos

cos dt

d t cos t

sin dt

d dt dv

t cos t

sin dt

d t sin t

cos dt

d dt du

y y

x x

y z

x x

z C 0

2

0 2

T v H dt d

H u H

T

v dt dv

v H T

u dt du

0 dt

d dt

dv dt

v H

0 H

u H

T v

0 v H T

u

1

0 z C

z C 0

2

0 2

2 2 2 0

z

2 1 2 C 2 2 2 2

2 C 0

2 1 2 C 2 2 2 2

2 2 C 0

T T H T

1

T 1

T T H T

1

T H v

T T H T

1

T H u

T 1

t cos A

T H t

sin A

T H

t sin A

T H t

cos A

T H

2 2 2 0 z

2 C 0 2

2 C 0 y

2 C 0 2

2 C 0 x

T T H T

Thực tế lý thuyết Lorentz và ảnh hởng của nó yêu cầu sử dụng trong cáctrờng hợp cực kỳ đặc biệt Ví dụ nh công thức Rayleigh và Thomson cho sự tánxạ thay thế cho công thức cơ lợng tử Compton khi và chỉ khi bớc sóng của ánhsáng tán xạ nằm trong vùng Rơnghen Các công thức của Lorentz mô tả sự tánsắc hấp thụ đứng dới góc độ cơ lợng tử trớc tiên hợp chúng phù hợp trong khuônkhổ cơ lợng tử của Kramer và Heisenberg vì họ đã sử dụng nguyên lý tơng ứng.Chỉ khi trong trờng có cờng độ mạnh, khi đó xuất hiện các hiện tợng phi tuyếndẫn đến sự sai khác so với lý thuyết tán sắc

Trên cơ sở bạn đọc đã hiểu gần nh hoàn toàn dao động của điện tử nênchúng tôi giới thiệu lý thuyết Lorentz với hai lý do: Thứ nhất cần có biểu diễn

cổ điển để so sánh với biểu diễn lợng tử Thứ hai, đa ra các biểu diễn cơ bản,các phép gần đúng cộng hởng và các hiện tợng vật lý để nghiên cứu tiếp trongcơ lợng tử

2.2.2 Lý thuyết Lorentz

Theo Lorentz, tất cả các hiện tợng quang học đều gây ra do sự tơng tácgiữa điện tích với trờng điện từ Trong nguyên tử trung hòa, các điện tíchchuyển động xung quanh vị trí cân bằng với biên độ nhỏ Nói cách khác cặp

điện tử – Iôn tạo thành dao động tử điều hoà Khi tơng tác với trờng điện từ sẽthay đổi mô men lỡng cực của nó, chuyển động của nhiều cặp nh vậy trong chấtkhí hoặc trong điện môi xác định bởi hàm Hamilton:

2 a 2 2 a 2

p m 2

1

trong đó: pa, ra là xung lợng và vectơ bán kính của lỡng cực có tần số riêng

a

 , E ( , ra) là cờng độ điện trờng ở thời điểm t và tại tọa độ ra của nguyên tử

Phơng trình chuyển động của dao động lỡng cực nguyên tử rất đơn giản.Dạng của nó đợc mô tả nhờ tích phân Poisson với giả thiết rằng thành phầnvectơ ra chỉ liên quan đến thành phần trờng E tơng ứng, có nghĩa là chúng taquan tâm đến bài toán vô hớng (đặt xavà Elà cặp thành phần liên kết)

.

q

H p

.

p

H q

e x

Thành phần bên phải của (1.34) là thành phần lực Lorentz điện từ phi

t-ơng đối tính Trong giới hạn tt-ơng đối tính thì ( V H )

c

e ) r , ( E e

Fcb   a    nghĩa là

từ lực không nhỏ và phải tham gia vào (1.34)

Một trong những tính chất quan trọng của lỡng cực điện là bức xạ trờng

điện từ Ngay cả khi không có mặt của điện tích và dòng gây ra trờng E tại vị trí

ra thì vẫn tồn tại bức xạ riêng của lỡng cực Theo điện động lực học cổ điển, lúc

đó ta có dao động tắt dần Sự giảm dần biên độ và năng lợng của lỡng cực bứcxạ gây ra do tơng tác với trờng điện từ đợc tạo ra bởi chính nó qua mô men lỡngcực và đợc dẫn ra không trực tiếp trong phơng trình chuyển động của dao độngtử

0 x

Việc thêm vào số hạng tỷ lệ với

x hoặc x không đem lại kết quả gì mới

vì ta có thể gộp chúng vào hai số hạng sẵn có trong (1.35) Nếu ta thêm vào sốhạng ma sát bức xạ tỷ lệ với

x ta thu đợc phơng trình vi phân bậc ba, điều kiệnban đầu cũng trở nên phức tạp hơn Vì vậy để thuận tiện ta thêm vào số hạng tỷ

lệ với .

x

0 x x 2

2 a a

0 a

cho nghiệm: 2

2 0 0 2 , 1

1 1

, 1

Bây giờ ta xét tơng tác của dao động tử tắt dần nh vậy với trờng tới Để

đơn giản ta xét trờng hợp trờng điện từ là đơn sắc lan truyền theo một chiều

e i t k c

 : là biên độ trờng không phụ thuộc thời gian, kc là ký hiệu phần tử liên hợp

phức Ta tìm x ở dạng tổng của hai thành phần, một thành phần đồng pha và

trong đó: x0 gọi là biên độ không đổi theo thời gian của một mô men nào đó

Đại lợng ua, va thay đổi, tần số a của xa lệch với tần số trờng  Nhng ua và va

thay đổi rất chậm theo thời gian khi hiệu a –  nhỏ

Một vấn đề quan tâm là trờng ngoài có tần số gần bằng tần số riêng củamột trong các lỡng cực, đây là bài toán Rabi cổ điển

Khi   a, u, v thay đổi rất chậm so với cos  , sin  t Thực tế các bất

đẳng thức sau thỏa mãn

; v

; v

; u

;

2 a

a a

a 2 a

a a

t cos u

t sin u t cos u t sin u ( x x

) t cos v t sin v t sin u t cos u ( x x

) t sin v t cos u ( x x

2 a a

a

a

2 a a

a

a 0 a

a a

a

a 0 a

a a

0 a

Thay vµo: E

m

e x x

2

.

0 a

e )

t cos v

2 t sin v 2

t sin u

2 t cos u

2 t sin v t cos u

t sin v t cos v t sin v t cos v

t cos u

t sin u t sin u t cos u ( x

a 0 a

.

0

a 0 a

2

a a 2

a a

2 a a

a

a

2 a a

a

a

e v

v

2 v

2 v v u 2 t sin

u v 2 u

2 v v

2 u u t cos x

a

2 a a 0

a 0 a

2 a

a

a

2 0 a

a

0 a a

0 a

2 a

e u v 2 u

2 v v

2 u u

0 a

2 0 a

a

0 a a

0 a

2 a

e u v 2 u

2 v

2 u

0 a

2 0 a

a

0

a 0 a 2

e v

2 u

2 ) (

u v 2

0

a 0 a

0

2 2 a a a

e v

1 u

1 u ) (

2

1 v

0

a 0 a

0 a 2 2 a a

2 v

2 v v u

a a 0

a 0 a

2 a

0

a 0 a 2 2 a a

.

a

0

a 0 a 2 2 a a

.

v

1 u

1 v ) (

2

1 u

v

2 u

2 v ) (

u 2

0 a 0 a 2 2 a a

.

a 0 a 0 a 2 2 a a

.

x m 2 e v

1 u 1 u ) (

2 1 v

v 1 u 1 v ) (

2 1 u

(1.44)

0 a a a a

.

v u v

u v u

(1.45)

Với

0

x m

e

a



 

Ta có thể bỏ qua chỉ số a, vì thờng xem xét một môi trờng có nhiều

nguyên tử, mỗi nguyên tử đợc mô tả bằng một dao động tử nh trên

Chơng II

phơng trình bloch trong quang học lợng tử

2.1.Cơ sở lý thuyết

Mô tả một cách chính xác tơng tác ánh sáng với tập hợp các nguyên tử dĩnhiên là không thể, hơn nữa cũng không thể mô tả chính xác tơng tác của ánhsáng với thậm chí một nguyên tử (ví dụ nh nguyên tử Hiđrô) Khi xét mối tơngtác này đòi hỏi chúng ta phải sử dụng các phép gần đúng khác nhau ở đây phépgần đúng đợc sử dụng cho cả nguyên tử và trờng

Giả thiết:

- Trờng bức xạ là đơn sắc, mặc dù trong thực tế không có bức xạ

nh vậy, ngay cả laser với độ đơn sắc cao cũng có thăng giáng về pha, biên

độ, độ điều biên gây nên sự mở rộng vạch phổ

- Nguyên tử đợc xem nh chỉ có hai mức năng lợng tham gia vàoquá trình tơng tác Khái niệm hệ nguyên tử hai mức giống nh hạt có spin

2

1



S đặt trong trờng ngoài Trong thực tế hệ có vô số mức năng lợng

nh-ng thấy rằnh-ng tronh-ng nhiều trờnh-ng hợp khi xét tơnh-ng tác của ánh

sáng với nguyên tử ta chỉ cần xét hai mức năng lợng mà thôi

Với những giả thiết trên, những phơng trình động học suy ra từ phơngtrình Schrodinger xác định quá trình tiến triển theo thời gian của hệ nguyên tửhai mức là hoàn toàn giống nh phơng trình đối với spin Từ đó thấy rằng khuônkhổ của Bloch đối với vectơ spin phát triển trực tiếp trong cộng hởng thuận từ

có thể chuyển thành bài toán cộng hởng quang học Để dễ dàng giải thích vấn

đề này, ta xem nh có vectơ phụ của spin hay vectơ giả spin mà thành phần của

nó gắn với mô men lỡng cực và nghịch đảo nguyên tử Sự phát triển theo thờigian của vectơ đó đợc xác định bằng phơng trình Schrodinger Phơng trình baogồm các thành phần vectơ giả spin đợc gọi là phơng trình Bloch quang học

Tiếp cỡn hệ nguyên tử hai mức, có nhiều phép gần đúng khác nhau,cũng đợc sử dụng trong lý thuyết cộng hởng từ, sử dụng nhiều nhất là phép gần

đúng sóng quay Có thể hiểu là bỏ qua nhiều ảnh hởng động học của vectơ giảspin liên quan đến dao động có tần số quang học 2, 3,… Những dao động rấtnhanh này dẫn đến những ảnh hởng pha mà chúng ta không thể nhận biết đợc

Đặc trng quan trọng của hệ nguyên tử hai mức là chỉ có một tần số cộnghởng duy nhất Vì vậy có thể áp dụng mô hình cộng hởng spin cho cộng hởngquang nh đã lập luận bằng cách xem hệ nguyên tử hai mức nh vectơ giả spin cócác thành phần là biến số nguyên tử, từ đó khảo sát sự biến đổi của các thànhphần này nh là sự biến đổi của các thành phần mô men từ trong cộng hởng từ

2.2 Nguyên tử thực và nguyên tử hai mức

Các mức năng lợng của nguyên tử phụ thuộc vào tơng tác giữa cácelectron khác nhau Số electron trong nguyên tử xác định vạch quang phổ tuântheo quy tắc lọc lựa, quy định giữa những mức nào có thể có dịch chuyển bứcxạ Trong thực tế rất khó tính giá trị tuyệt đối năng lợng của các mức này Tuyvậy trong nhiều nguyên tử thực, sự phân bố tơng đối của các mức năng lợngtrong giới hạn xác định phù hợp với tiên đoán của lý thuyết

Chúng ta không có khả năng trình bày ở đây chi tiết lý thuyết cấu trúcnguyên tử vì vấn đề này đã có nhiều công trình nghiên cứu Tuy nhiên việc tínhtoán cấu trúc năng lợng thực có ý nghĩa rất quan trọng Khi phân tích các tơngtác quang học kết hợp, với nhiều mục đích chúng ta đi đến lý tởng hóa nguyên

tử, xem nguyên tử chỉ có hai mức năng lợng, mặc dù nguyên tử đó trong thực tếkhông tồn tại, song ở đây ta chỉ quan tâm đến hai mức trong nhiều mức cho t-

ơng tác cộng hởng kết hợp Do đó, sự lý tởng hóa hệ nguyên tử hai mức là phépgần đúng đầu tiên Trong sự liên kết, để thuận lợi hơn, ta nhắc lại đặc trng cấutrúc chính của nguyên tử đơn giản nhằm xây dựng cơ sở và xác định những hạnchế có thể của phép gần đúng hai mức ở đây ta quan tâm nguyên tử tuân theoliên kết Racen – Xsacnders

Mỗi electron trong nguyên tử đợc đặc trng bởi bốn lợng tử số n, l, m e, m S Một số các electron nào đó tuân theo nguyên lý Pauli tạo nên các phân lớp, ứngvới số hạng 1 S 0 là L = 0, S = 0 và J = 0 Các electron ở ngoài cùng lớp ấy gọi làcác điện tử hóa trị tạo nên sự tơng tác với các vạch khác ứng với các giá trị kháccủa L và S bằng cách lấy tổng vectơ các đại lợng riêng l i và si đối với mỗi điện

điện cho phép là 3p2 P 4/2 - 3s2 P 1/2 và 3p2 P 1/2 - 3s2 S 1/2 ứng với vạch D của Na với

rộng vạch tăng Nh vậy ứng với mỗi dịch chuyển có tơng ứng thời gian sống '

2

T

, có độ rộng vạch đồng nhất là '

2 0

Những va chạm có ý nghĩa quan trọng Khi bức xạ tuần hoàn, khí có mật

độ 1010- 1013 nguyên tử / cm3, thời gian va chạm cỡ 10-7s và vạch phổ có độ rộng

đồng nhất 0 cỡ 103Hz Độ rộng bớc sóng tơng ứng bằng :

o 3 0

nguyên tử dọc theo vectơ sóng của trờng kZ c (Z=1), thông thờng

k 0 (đây là hiệu ứng Doppler).

Khi chú ý đến phân bố Maxwell theo vận tốc thì độ rộng ở 1/2 độ cao củaphân bố các tần số trung tâm bằng:

2 / 1 2 2 / 1 0

mc

KT )

2 ln 2 (

~ GHz

Tuy nhiên sự mở rộng đồng nhất theo tất cả bớc sóng vẫn còn nhỏ so với6A0 Do đó vạch D của Na có thể có cộng hởng hoặc không cộng hởng với trờngkhi phổ của trờng không trùng với hai vạch đó Nếu trờng tơng tác kết hợp vớixung cỡ picôgiây thì độ rộng vạch phổ càng lớn.

Nghiên cứu trên chỉ là gần đúng Thực tế cấu trúc vạch D rất phức tạp, dohạt nhân của Na có spin bằng 3/2 Spin của iôn kết hợp với spin của điện tử tạo

ra siêu cấu trúc Các mức này đợc ký hiệu là F trong đó F là tổng vectơ của đại

lợng J và I, mỗi mức F suy biến thành 2F+1 mức nhỏ Cấu trúc này xuất hiện khi

có từ trờng Ngay cả khi không có từ trờng thì mức siêu tinh tế cũng suy biến,gần đúng hai mức không thể áp dụng cho xung tơng tác nào

Ví dụ: Dịch chuyển giữa các mức 3p2p3/2 (F=2) và 3s2 S 1/2 (F=1) thì cần

đảm bảo xung quanh không trùng với mức 3s2S1/2 (F=2) hoặc (F=1) Do đó vạchphổ phải cỡ 35,5 MHz nghĩa là thời gian xung phải lớn hơn 3.10-8s Mặt khác đểtránh kích thích không kết hợp, nó cần phải nhỏ hơn thời gian sống trung bìnhcủa quá trình chuyển động nguyên tử cỡ 10-7s

Khi xung nh vậy đạt đợc và tần số trung tâm cộng hởng cùng với dịchchuyển 3p 2p3/2 (F=2), 3s2S1/2 (F=1) thì tơng tác với Na khi đó mới gọi là hai mức

2.3 Lý thuyết bán cổ điển về tơng tác giữa bức xạ

với hệ nguyên tử hai mức

Lý thuyết cổ điển về tơng tác đối với môi trờng vật chất đợc trình bàytheo quan điểm động lực học lợng tử Trong quang học lợng tử cộng hởng ta sửdụng lý thuyết bán cổ điển ở đây chúng ta tìm hiểu lý thuyết bán cổ điển sửdụng cho tơng tác bức xạ với nguyên tử hai mức

Chúng ta quan tâm đến dịch chuyển lỡng cực điện của nguyên tử tơng tácvới trờng Hamilton có thể viết:

) r E d

trọng tâm của nguyên tử Bỏ qua các hiệu ứng không cỡng bức Hamilton HˆA

có phổ gián đoạn,

Giả sử điện trờng gần đơn sắc tơng tác

với hệ nguyên tử hai mức với tần số  gần bằng

tần số dịch chuyển giữa các mức năng lợng cho