PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trung học cơ sở về phần phương trình vô tỷ, đây là nội dung quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở tuy nhiên học sinh thường mắc nhiều sai sót trong khi trình bày. Trong chuyên đề nêu phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỷ.

Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 16

Với mỗi phương trình vô tỉ, tùy đặc điểm cụ thể có thể có nhiều cách giải khácnhau Có một số phương trình vô tỉ nếu giải bằng phương pháp nâng lên lũy thừa để làmmất căn thức thường dẫn đến một phường trình bậc cao, mà phương trình bậc cao đóviệc tìm nghiệm nhiều khi không đơn giản chút nào

Với mong muốn tháo gỡ một số khó khăn trong quá trình dạy và hoc về phươngtrình vô tỉ, từ đó nâng cao chất lượng, hiệu quả giáo dục Sau đây tôi xin mạnh dạn trìnhbày những suy nghĩ cũng như những gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo, đã từng áp dụng về

phương trình vô tỉ qua đề tài ''Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ ở cấp

THCS '' kính mong quý thầy cô cùng các bạn đóng góp ý kiến cho tôi để đề tài được áp

dụng rộng rãi hơn

II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI:

- Nhằm trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phương trình vô tỉ từ đóphát triển năng lực tư duy, nâng cao chất lượng môn toán, giúp các em tiếp thu bài mộtcách chủ động, sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phươngtrình vô tỉ

- Tạo ra được hứng thú học tập cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sáchtham khảo giúp học sinh giải được một số bài tập

- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm thường gặp khigiải phương trình vô tỉ trong quá trình dạy và học

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và ápdụng thành thạo các phương pháp đó vào giải bài tập

- Thông qua việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việchọc toán và học tốt hơn các bài tập về phương trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng caochất lượng và hiệu quả giáo dục

III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Phát triển năng lực tư duy toán học của học sinh thông qua các bài toán giảiphương trình vô tỉ đối với học sinh THCS.

Đề tài này áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là Đội tuyển HSG khối 9 luyệnthi HSG cấp tỉnh và thi vào THPT chuyên

IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN HÀNH:

1 Phương pháp nghiên cứu:

+ Tham khảo thu thập tài liệu

+ Phân tích, tổng kết kinh nghiệm

+ Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh

+ Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện

+ Phương pháp điều tra, trắc nghiệm

+ Ngoài ra tôi còn sử dụng một số phương pháp khác

Các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi

bộ môn Toán, tuy nhiên để đạt được điều đó thật chẳng dễ dàng gì Hiện nay, trong cácnhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho HS thìviệc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất được chútrọng

Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ mônToán, bản thân mỗi người giáo viên phải tự mình tìm ra những phương pháp giải saocho phù hợp với từng đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán củacác em, từ đó tìm ra được những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể bồidưỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội

Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổthông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học

sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình,đặc biệt là phương trình vôi tỉ.

Phương trình vô tỉ là một dạng phương trình không mẫu mực, để giải được

phương trình vô tỉ đòi hỏi người học phải có một nền tảng kiến thức vững vàng, tư duysáng tạo, biết phân tích, tổng hợp nhiều loại kiến thức đã học từ đó tìm ra hướng giảiquyết cho từng dạng bài cụ thể, đặc biệt là cần nắm chắc các dạng phương trình vô tỉ vàphương pháp giải từng dạng đó

Phương trình vô tỉ là một dạng phương trình hay và khó, việc giải phương trình

vô tỉ đánh giá được năng lực giải toán và năng lực tư duy toán học của người học nênphương trình vô tỉ luôn được xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cũng như trên cáctạp chí toán học

Vì vậy, việc trang bị cho học sinh, đặc biệt là đội tuyển HSG những kiến thứcliên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giải chúng là rất quan trọng nên

tôi xin trình bày đề tài: ''Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ ở cấp

II- CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về phương trình vô tỉ được đề cậpđến không nhiều, nhưng nó lại có rất nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng trong tất

cả các kì thi Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thậtnhuần nhuyễn, có hệ thống một số kiến thức khác như: phương trình bậc nhất một ẩn,phương trình tích, ĐK của một số loại biểu thức Nó nâng cao khả năng vận dụng, pháttriển khả năng tư duy cho HS, ngoài ra nó còn là một trong những kiến thức được sửdụng thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên dưới dạng bài tập khó

Trên thực tế, với kinh nghiệm bản thân trong nhiều năm giảng dạy Toán 9 và ôn thivào lớp 10 THPT tôi thấy HS thường không giải được hoặc mắc một số khuyết điểmsau khi giải phương trình vô tỉ như:

- Thiếu hoặc sai ĐK của phương trình (chủ yếu là ĐK của căn thức).

- Chỉ giải được dạng phương trình đơn giản trong SGK

- Khi bình phương hai vế của phương trình để làm mất CBH thường các em khôngtìm ĐK để cả hai vế đều dương

- Ở dạng phức tạp hơn thì các em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng giải rấthạn chế, các em thường không có cơ sở kiến thức để phát triển phương pháp giải

- Có rất ít tài liệu đề cập sâu về dạng phương trình này

- Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức vềphương trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó

Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phương trình vô tỉ như sau:

Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10

Một trong những nguyên nhân dẫn tới những khó khăn trên của HS đó là các emchưa phân biệt được các dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải nó, việc tìm tòi,khám phá về phương trình vô tỉ cũng gặp rất nhiều khó khăn vì các tài liệu về phươngtrình vô tỉ cũng chưa nhiều

Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từngdạng từ đó phát triển năng lực tư duy nhằm đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho

học sinh, tôi mạnh dạn viết chuyên đề ''Phương pháp giải một số dạng phương trình

vô tỉ cơ bản ở cấp THCS '' áp dụng cho đội tuyển HSG khối 9 với hy vọng phần nào

tháo gỡ những khó khăn cho các em HS khi gặp dạng phương trình này và cũng là mộttài liệu nhỏ để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp

III- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI:

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN:

1 Phương pháp nâng lên luỹ thừa:

a) Dạng 1: f x( ) =c (1) (c là hằng số Đây là dạng đơn giản nhất của PT vô tỉ

Sơ đồ cách giải:

- Nếu c < 0 phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu c = 0 thì (1) ⇔f(x) = 0 Giải phương trình này ta tìm được nghiệm của (1)

- Nếu c > 0 thì (1) ⇔ f(x) = c2 Giải PT này ta tìm được nghiệm của (1)

3 105 2

1 x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =6

0 1

1

x

x

⇔1 ≤ x≤ 13 Bình phương hai vế của (2) ta được : (2) ⇔ x− 1 = ( 13 −x) 2 ⇔x2 − 27x+ 170 = 0

⇔( x−10 )( x−17 )=0 ⇔ x x−−17 10==0 0 ⇔ x x==1710Chỉ có x = 10 thỏa mãn đk Vậy nghiệm của phương trình là x= 10

c) Dạng 3: f x( ) = g( )x

Sơ đồ cách giải:

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

 ≥ −

 + ≥

2

2

3 2

5 6 0

x x

1 1

5 1

5

x x

x x

x x

2 2

2 1 0

2

x x

150 725 0

145

x x

x x

x x

x x

- Đặt điều kiện:

(x) 0 g(x) 0 h(x) 0

g) Dạng 6: f x( ) + g x( ) = h x( )

Đến đây bài toán trở lại dạng 2

Chú ý: Giải tương tự với dạng: f x( ) − g x( ) = h x( )

Ta có: f x( ) − g x( ) = h x( ) ⇔ h(x) + g(x ) = f(x) ⇒Bài toán trở lại dạng 6

12 x

1 x

0 7 x

0 x 12

0 1 x

Phương trình này có 2 nghiệm x1 =445 và x2 = 8 đều thoả mãn (2)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 44;8

≥ +

≥ +

≥ +

0 5

0 2

0 10

0 1

x x x

x x x

2 x ( ) 10 x )(

1 x ( ) 10 x )(

1 x ( 4

4 34 16 4 16 16

x x

⇔ + + = − + ⇔  = ⇔ =Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0

* Nhận xét :

Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình

vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn thì phải có điều kiện để cả hai vế của phương trình đều dương.

Với hai số dương a, b nếu a = b thì a 2n = b 2n và ngược lại (n= 1,2,3 )

Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn thức, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đều dương đây là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan, còn thiếu sót khi

Sơ đồ cách giải: 2

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )

−

≥ +

− 0 4

0 16 24

9 2

x

x x

0 ) 4 3

x

x x

4 x 4 x 3

2 x (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 = 2; x2 = 0

Nhận xét :

Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối được sử dụng để giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên, song trong thực tế cần lưu ý cho học sinh một số vấn đề sau:

Các bước giải:

+ Tìm tập xác định của phương trình.

+ Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….h(x)= 0 (gọi là phương trình tích) Từ đó ta suy ra f(x) = 0; g( x) = 0;… ; h(x)= 0 là những phương trình quen thuộc

+ Nghiệm của PT là hợp nghiệm của các phương trình f(x) = 0; g(x) = 0;

….;h(x)=0 thuộc tập xác định

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 + + =x 3 3x x+ 3 (1)

(Đề thi HSG thành phố HCM – Năm học 2014 - 2015) Gợi ý: ĐK x≥ − 3

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x2 −x = 2x−x2 (1)

(Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ - Năm học 2014 - 2015)

Gợi ý: ĐK:

0(2 x 1) 0

1

2

x x

+ Đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn, đặt ĐK cho ẩn phụ.

+ Đưa phương trình về dạng tích (với ẩn phụ).

+ Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho

+ Căn cứ vào ĐKXĐ kết luận nghiệm của phương trình

Với: y + z = 0 ⇔ x+ +1 2 0= - vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : 1 5

Đặt a = 2x+ 1 , b = 3x với a≥0, b≥0.

Suy ra: b2 – a2 = x – 1 Thay vào (1), ta có:

a – b = b2 – a2 ⇔ (a – b)(a+b+1)= 0⇔ a – b = 0 (do a≥0, b≥0 nên a+b+1>0 )Với a = b, ta có: 2x+ 1= 3x ⇔x = 1 (t/m).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

2(a2 + b2) = 5ab ⇔(2a-b)(a-2b)=0 ⇔2a=b hoặc a=2b

* Nhận xét :

Khi giải phương trình bằng Phương pháp đưa về phương trình tích, cần phải biết vận dụng, phối hợp linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số hạng, tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình dạng tích quen thuộc đã biết cách giải.

4 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Việc giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ có thể xem như là đáng lẽ taphải đi đường thẳng thì ta lại đi theo đường vòng nhưng dễ đi hơn để tới đích

Mặt khác do trước hết ta tìm ẩn phụ rồi mới trở về tìm ẩn ban đầu; cho nên cũng

có thể xem việc giải phương trình bằng cách dùng ẩn phụ như là một công việc đượctách thành hai công đoạn dễ làm hơn

Quy trình giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn các ẩn phụ thích hợp rồi chuyển bàitoán đã cho thành bài toán đối với ẩn phụ

Bước 2: Tìm ẩn phụ rồi trở về tìm ẩn ban đầu

Sơ đồ cách giải:

a) Dạng 1: Chuyển bài toán từ ẩn đã cho sang ẩn phụ nhưng giữ nguyên số ẩn và

số phương trình:

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x+ + 3 x+ = 1 3x+ 2x2 + 5x+ − 3 16 (1)

(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc – Năm học 2010- 2011) Gợi ý: ĐK: x ≥-1

t t

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2; 3 − }

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x2 + 3x + 2x2 + 3x+ 9 = 33 (1)

Gợi ý: ĐK: ∀x ∈R

Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x + 9 + 2x2 +3x+9 - 42= 0 (1)

Đặt 2x2 +3x+9 = t (t ≥0) (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ t)

Ta có: (1) ⇔ t2 + t - 42 = 0

Phương trình này có hai nghiệm: t1 = 6 , t2 = -7 < 0 (loại)

Từ đó ta có: 2x2 + 3x+ 9 = 6 ⇔ 2x2 + 3x -27 = 0

Phương trình này có hai nghiệm x1 = 3, x2 = -92

Cả hai nghiệm này đều là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho

b) Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến:

t 1 u

t u

−

= +

x 1 1 1 x 2

x 1 1 x

0 x

Thay u,v vào ta tìm được:x= ± 4 6

Chú ý: Các phương trình dạng αu+βv= mu2 +nv2có thể giải như VD3 và VD 4

c) Dạng 3: Chuyển bài toán một phương trình một ẩn x thành bài toán một

phương trình một ẩn y mà hệ số còn chứa ẩn ban đầu

5 Phương pháp đưa về hệ phương trình:

a Chuyển các bài toán từ một phương trình một ẩn thành hệ 2 phương trình hai

ẩn phụ:

Các bước tiến hành:

- Tìm điều kiện tồn tại của phương trình

- Đặt 2 ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phươngtrình quen thuộc

3

a b

3 3

2 2

3 ) 3 ( 5

) 5 (

− +

−

−

− +

−

−

x x

x x

x x

) 0 ( 5

t t x

u u x

−

= +

2

2

2 2

2 2

t ut u

t u

0 u

2

3

t t x

u x

= +

) 2 ( 1 t u

) 1 ( 1 t u

2 3

Từ phương trình (1) ⇒ u = 1 - t Thay vào phương trình (2) ta có:

(2) ⇔(1 - t)3 + t2 = 1 ⇔ t( t2 - 4t + 3) = 0 ⇔ 





= +

−

=

0 3 t 4 t

0 t

1 t

0 t

+ Với t = 0 ⇒ x−1=0⇒x = 1 (thỏa mãn)

+ Với t = 1⇒ x−1=1⇒x = 2 (thỏa mãn)

+ Với t = 3⇒ x−1=3⇒x = 10 (thỏa mãn)

Vậy: x= 1; x =2 ; x = 10 là nghiệm của phương trình đã cho

b Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn thành một hệ 2 phương trình gồm một ẩn phụ và một ẩn ban đầu.

1 8061 x

2

1 8057 x

x a

Từ hệ phương trình, ta suy ra: a - b = 2 ⇒ b = a - 2

Thay vào phương trình (1) ta được: 3.(a -1)2 = 0 ⇒ a =1

Với a = 1, ta có: 3 x+ 1 = 1 ⇒ x = 0 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0

Chú ý: Đối với phương trình có dạng: n a f− (x) +n b f+ (x) =c

Nhận xét:

Qua các ví dụ trên cho ta thấy phương pháp đưa về hệ phương trình có những điểm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải tư duy hơn Do đó phương pháp này thường được áp dụng cho học sinh khá, giỏi.

Ta cần chú ý một số điểm sau:

+ Tìm điều kiện tồn tại của phương trình

+ Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung.

+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc.

Ngoài ra người học còn biết kết hợp phương pháp này với các phương pháp khác như phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

6 Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức:

Các bước:

* Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) và f(x) ≥a; g(x) ≤a (a là hằng số).

Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a

* Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) ≥m; hoặc h(x) ≤m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

* Áp dụng các bất đẳng thức: Cauchy; Bunhia côpxki,

a) Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô

0 1 5

0 1

x x

x x

Suy ra: Vế trái của (1) là số âm, còn vế phải là số không âm

Vậy phương trình vô nghiệm

0 3 x

3 x (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

 ⇒Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

7 Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất:

Các bước: Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta chưa biết cách giải, thường ta sử

dụng phương pháp nhẩm nghiệm, thử trực tiếp để tìm nghiệm của chúng Rồi tìm cáchchứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác

Ví dụ 1: Giải phương trình : 6 10 4

2 x + 3 x =

(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc – Năm học 2007 - 2008) Gợi ý: ĐK: x<2