Phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS

“Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả.

Phương pháp giải phương trình vô tỉ trong

chương trình toán THCS

MỤC LỤC

Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

5.1 Kiến thức cơ bản liên quan đến sáng kiến 4

5.3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 6

5.3.3 Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị

6.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 31

7 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến 31

8 Danh sách những tổ chức,cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1.Lời giới thiệu:

+ Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệpđào tạo con người Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ xung và đổi

mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội Vì vậy mỗi ngườigiáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học

để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra

+Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉkhông nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tụchọc lên ở THPT

+ Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơbản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số Họcsinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phứctạp

“Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ” giúp học sinh phát triển tư duy, pháthuy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng, ýthức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh

+ Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toánTHCS” Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổnghợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phươngpháp giảng dạy phần này có hiệu quả

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phầnphương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng caochất lượng dạy và học môn toán

+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thànhcông về phương trình vô tỉ

+ Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến

kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích họcdạng toán này hơn

+ Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học

sinh không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào? có những phương pháp nào? Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các

đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn

đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiềukhó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng củagiáo viên

+ Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay còn ítgiáo viên nghiên cứu

+Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực,giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phầnnày đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượnghọc sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS.Do đó tôi chọn đề tài:“phươngpháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS”

2 Tên sáng kiến:

“Phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS”

3 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

+ Có thể áp dụng để giảng dạy môn Toán lớp 8 và lớp 9 ở trường THCS

4 Ngày áp dụng sáng kiến lần đầu (hoặc ngày dùng thử): Tháng 9 năm 2017

5 Mô tả bản chất của sáng kiến:

5.1 Kiến thức cơ bản liên quan đến sáng kiến:

5.1.1 Định nghĩa:

Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn thức

5.1.2 Các bước giải phương trình vô tỉ ( Dạng thông thường):

- Tìm điều kiện xác đinh của phương trình

- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học

- Giải phương tìm được

- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm

*Chú ý: Với những phương trình có tập xác định là R và trong quá trình biến đổi

phương trình không cần thêm điều kiện thì phải thử lại với nghiệm tìm được

5.1.3 Các kiến thức cơ bản về căn thức:

- Một số âm không có căn bậc chẵn

-Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để được phương trình tương đương thì phải đặt điều kiện cho hai vế không âm

A

A2 =

2 2

2

A A B

f =

(1)

Sơ đồ cách giải:

) ( ) (x g x

<=> g (x) > 0 (2)

f(x) = [g(x)]2 (3)

5.2.2 Dạng 2:

) ( ) ( ) (x g x h x

(1)Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình:

f(x) > 0g(x) > 0 (2)

h (x) > 0Với điều kiện (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình phương hai

vế của phương trình (1) và rút gọn ta được:

2

) ( ) ( )]

( [ ) ( ).

(

2 f x g x x

h x g x

(3)Phương trình (3) có dạng (1) nên tiếp tục giải theo phương pháp của dạng (1)

Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện xác định rồi kết luậnnghiệm

5.2.3 Dạng 3:

)()

()

()

()

(x g x h x p x

(1)Điều kiện xác đinh của phương trình:

()

Tuỳ theo từng trường hợp, ta đưa về giải phương trình vô tỉ (căn bậc n)

5.2.5 Dạng 5:

) ( ) ( ).

( )

( ) (x g x n f x g x h x

(1)Điều kiện : f(x) > 0

g(x) > 0

Đặt ẩn phụ a =

)()

()

(

2 f x g x a

x g x

Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải để giải

5.3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:

Trên đây là 5 dạng phương trình vô tỉ và các cách giải tương ứng nhưngkhông phải bao giờ ta cũng gặp một trong 5 dạng trên hoặc bất cứ phương trình vô

tỉ nào cũng có thể đưa về một trong 5 dạng trên Sau đây là một số phương phápgiải phương trình vô tỉ thường gặp

Dạng 2: α(x – a)(x – b) + β(x – a) x a

b x

−

−+ γ = 0

Đặt t = (x – a) x a

b x

−

−thì t2 = (x – a)(x –b)Phương trình đã cho trở thành αt2 + βt + γ = 0

Ví dụ 2: Giải phương trình

(x + 5)(x – 2) – 4(x + 5) 5

2 +

−

x

x

+ 3 = 0Lời giải:

Điều kiện: x < -5 hoặc x > 2

Đặt t = (x + 5) 5

2 +

−

x

x

⇒ t2 = (x + 5)(x – 2)Phương trình (2) trở thành t2 – 4t + 3 = 0 ⇔

1

t t

Với t = 1 thì (x + 5) 5

2 +

>

+

1 ) 2 )(

5 (

0 5

x x

−

>

0 11 3

5

2 x x x

Với t = 3 thì (x + 5) 5

2 +

>

+

9 ) 2 )(

5 (

0 5

x x

−

>

0 19 3

5

2 x x x

x x

x 7 7 6 2 49 7 42 181 14

7 + + − + 2 + − = −

(3)Lời giải:

) ( 14

t

loai t

1 2

1

= + + +

2 )(

4

( −x +x =x2 − x−

7)

4 2

1 2 2

5

5 + = + +

x

x x x

8)

2 5 3 2 9 4 1 2

3x− + x− = x− + x2 − x+

9)

0 1

0 3 5

0 3 5 4

2

2

x x

x x

Kết hợp điều kiện x ≥ -1 phương trình có 2 nghiệm x = 2

1 7 1 8

1 8 8

8 1

7

x x

x

x x x

x

x x x

0 9 8

2

2

x x x

x x

9

; 1

x x x

x x

Vậy phương trình (8) có tập nghiệm S = { -1; 0; 1; 9}

Phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: 



+

= +

= +

c b v u

d v u

2 2

+

= +

b ax t

b at x

n

n

β α

β α

*Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình 24 12 6

3 +x+ −x =Lời giải: ĐK: x ≤ 12

= +

36

6

2

3 v u

v u

= +

36 ) 6 (

= +

0 12

=

+

0 ) 12 (

3

; 4

; 0

6

u u

u

v u

= +

x t

t x

2 1

2 1

3 3

) ( 2

2 1

3 3

3

x t t x

t x

−

=

+

0 ) 2 )(

(

2

1

2 2

3

tx t x

t

x

t x

⇔ 





= +

−

=

0 1 2

3 t x

t x

) 1 ( 2 2

2

2

x y y

y x x

−

) 1 ( 2 2

0

x

y x y x

⇔ 





= +

−

=

0 2 4

2

x

y x

Giải phương trình x2 – 4x + 2 = 0 được x = 2 - 2 (loại vì x ≥2

1); x = 2 + 2 (TM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 + 2

phương trình (*) là phương trình đẳng cấp với x và y nên đặt y = tx thì

(*) ⇔ 2x2 – t2x2 = tx2

⇔ x2(2- t2 – t) = 0

⇔ t2 + t – 2 = 0 (vì x ≥ 3

2) ⇔ t = 1 và t = -2Với t = 1 thì y = x ⇔ 3x – 2 = x2⇔ x = 1 hoặc x = 2 (tmđk)

Với t = -2 thì y = -2x; mà x ≥ 3

2 nên y < 0 ⇒ loạiVậy phương trình (8) có tập nghiệm S = { 1; 2}

3)

x x x

ĐK: x ≥ 3

2

; Đặt t = 3x−2

(t ≥0)Phương trình (4) trở thành 2016x2 – 2015tx – t2 = 0

1

x x

(t/m đk)Phương trình (4) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

3 1

x x

1 ) 2 3

2 )

Đặt t =

c x b b

ax + + +

2

2 1 2

Phương trình đã cho trở thành (t – nx)(t + nx) = mx2 với n = 2

nx c

x b ax

+ +

+ +

1 2

2)

0

2 2 1 2

2 2 1

2

= + +

+ + + + +

+ +

c x d ax

c x d ax c x b ax

c x b ax

3)

0

2 2

2 1

2

= + +

+ + +

+ +

c dx ax

px c

x b ax

c x b ax

x x

x

đk: t ≠ -3x, t ≠ 5x

⇔ t2 - 4tx – 21x2 = 0

⇔ (t – 7x)(t + 3x) = 0

Vậy 2x2 + 3 = 7x hoặc 2x2 + 3 = -3x (loại)

Phương trình có nghiệm x = 3 hoặc x = 2

1

*Bài tập tương tự:

a)

6 2 3

13 2

5 3

2

2

+ +

+ +

x x

x

x

b) (x2 – 5x + 3)(2x2 + 5x - 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 - 5x - 1)

x x

x x

x

6 1 2 3

13 1

4 3

2

2

+ +

+ +

−

5.3.2 Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Thường dùng khi hai vế của phương trình

có cùng bậc Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế của phương trình lên luỹ thừa bậc n Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả hai vế không âm.

ĐKXĐ: ∀x∈R

Lập phương hai vế của phương trình ta được:

(1) <=> 25 + x + 3 - x + 3

64)325

.(

)3)(

25(

3 +x −x =

<=> 12

36)3).(

25(

3 +x −x =

<=>

3)3).(

25(

(2) <=> 1 - x + 4 + x + 2

9 ) 4 )(

1 ( −x +x =

<=>

2 ) 4 )(

1 ( −x +x =

(2*)Bình phương hai vế của phương trình (2*) ta có:

(2*) <=> (1 - x)(4 + x) = 4 <=> - x2 - 3x + 4 = 4 <=> x(x + 3) = 0

<=> x = 0 hoặc x = -3

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là : x1 = 0; x2 = -3.

Ví dụ 3: Giải phương trình: x−1− 5x−1= 3x−2

(3)

Ở phương trình (3) cả hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm

để nguyên hai vế như vậy mà bình phương để làm mất dấu căn Vì vậy, giáo viêncần phân tich kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải Muốn vậy, hãy khắc sâu cho

học sinh tính chất của lũy thừa bậc hai: a = b ⇔

a2 = b2 ( khi a, b cùng dấu ) Cónhư vậy, khi bình phương hai vế thì mới được phương trình mới tương đương vớiphương trình ban đầu

Nếu bình phương hai vế ta được :

⇔ 4−14x+49x2 =4(15x2 −13x+2)

0424

11 2 − + =

0)2)(

211

x

x

Như vậy, phương trình sẽ có hai nghiệm là:

2

;11

22

1 = x =

x

.Thực tế có phải vậy không ?

Ta xét: Để bình phương được hai vế của phương trình cần có điều kiện

7

20

22

nên bị loại Phương trình vô nghiệm

*Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

1) 4x+1− 3x+4 = x−2

2) x−2− x+1= 2x−1− x+3

3)

3 3

3 −x+ 1 + x− 1 = 5x

4) 2 1 3 2 4

3

3 x+ + − x =

5.3.3 Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng

bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức

A

A2 =

để làm mất dấu căn và đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1



2 2

2

152

3

++

1

>

)

5 +

x

++

3 =− x+ −

nếu x < 2

3

5 +

x

= x - 2 nếu x > 2

3

5 +

( x− + x− +

+

164.322)32

( x− − x− +

= 5



2)132

( x − +

+

2)432

( x− −

= 5



13

2x− +

+

43

3

16 3 2 0 4 3

- Nếu 2

192

343

(1) ⇔ ( x 1 + − 1 x 2 x 1 − )( + − 1 x 1 − + =) 0

⇔ x1 = 0; x2 =

24 25

−

Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 0; x2 =

24 25

−

3(1

*Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện;

447502

6750

2562

46

16

=

−+

−+

−+

Điều kiện xác định: x > 6, y > 2 , z > 750 Ta có:

(1) 

0750

25632

7502

4426

168

−+

−

−+

−+

−

−+

−+

−

−

z

z y

y x

x



0750

)16750(

2

)22(

6

)46

−

−

−+

y x

0 2

2

0 4

z y x

( Thỏa mãn điều kiện)Vây, nghiệm duy nhất của phương trình là ( x; y; z) = ( 22; 6; 2006)

27 1 9

3 3 4

13 1 13 13

13x− + x− + + x+ + x+ + =



04

913

134

111

13x− − x− + + x+ − x+ +  =



0)2

31(

3)2

11

31

02

11

x

x

 x = 4

5 ( Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4

5

Ví dụ 3 Tìm ba số x, y, z biết:

)(

2

1

z y x c

z b y

a

( 3) trong đó a + b + c =3

12

)1(

)1

01

01

c z

b y

a x

c z

b y

a x

Vậy, ba số cần tìm là: ( x; y; z) = ( a + 1 ; b + 1; c + 1) với a+ b + c = 3

Ví dụ 4 Giải phương trình:

x + y + z + 4 = 2

56

34

x

(1)Điều kiện xác định: x > 2 ; y > 3 ; z > 5

Khi đó ta có:

(1) <=> (x - 2 - 2

0)956

5()434

3()1

)23(

)1

x

*Bài tập tương tự: 1 Giải phương trình:

34

2

=+

x

b)

24915

1991

255

1619

9

=

−+

−+

−+

Cách 2 Với x ≥ 1, ta có:

m VT

( với m là hằng số) => VT = VP = m rồi nhận định kết quả để trả lời.

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Ví dụ 2 Giải phương trình:

3 18 28 4 24 45 6 5

2 2

2 − x+ + x − x+ = −x + x−

x

Nhận xét:

−18 28

3x2 x 3(x2 −6x+9)+1

=

11)3(

3 x− 2 + ≥

39)3(49)96(

44524

4x2 − x+ = x2 − x+ + = x− 2 + ≥

VT≥1+3=4

VP = -x2 + 6x -5 = -( x2 -6x + 9) + 4 = -(x – 3)2 +4 ≤

4

Do đó hai vế bằng 4 khi và chỉ khi x – 3 = 0  x = 3

Vậy, nghiệm của phương trình là x = 3

Ví dụ 3 Giải phương trình: 2x−3+ 5−2x =3x2 −12x+14

Điều kiện xác định: 2

5 2

)(

b a b

a

+

≤+

ta có:

VT =

2 2 5 3 2 2

) 2 5 ( ) 3 2

=

− +

−

≤

− +

x

VP = 3x2 -12x + 14 = 3( x2 – 4x + 4) +2 = 3( x-2)2 + 2 ≥

2 Hai vế cùng bằng 2 khi và chỉ khi x – 2 = 0  x = 2( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy, nghiệm của phương trình là x = 2

c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó

Điều kiện x ≥

12

Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Ta xét:

mà VP > 8+ 3

nên khôngthỏa mãn phương trình

– Nếu x > 2 ta có : VP = 2x2 + 2x 1−

> 2.22 + 3 = 8+ 3

mà VT < 8+ 3nên không thỏa mãn phương trình

Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

là nghiệm của phương trình Ta cần chứng minh

đó là nghiệm duy nhất Thật vậy:

- Với x <

3 2

:

6 2

3 x <

−

và

8 4

− thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau Vậy

Chứng minh tương tự, ta cũng có kết luận (1) không có nghiệm khi

x 4x 1

2x

ab ≤ +

đối với các biểu thức trong căn:

111

2

2 + − ≤ x + x− +

x x

2

111

Thay x = 1 vào phương trình để thử ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

1) x2 +1+ x2 +4 = 2

2)3 2x−1+3 x−1 =1

HD: Đoán nghiệm x= 1, xét các trường hợp x > 1 và x < 1.

3) x + x−5+ x+7 =9

HD: Suy luận vế phải là số nguyên 9, vế trái là tổng của ba căn thức nên giá trị của

mỗi căn thức phải là số nguyên Nhẩm nghiệm được x = 9 thỏa mãn phương trình,xét tiếp các trường hợp x > 9 và x < 9

4)

12

4281

42

9 13

y y

x

x

HD: VT =

39)2

(x+ 2 + ≥

; VP =

33)1(

5.3.7 Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai:

Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình chính tắc: ax 2 + bx +c = 0 (a ≠0)

++

−

−

18

23

=> x+3 = −2− 7

< 0 (loại)7

2

3 =− ++

<=> x+3 =1− 3 < 0

(loại)

031

+

x

( *) (Thỏa mãn điều kiện)

Giải ( *) ta có : x + 3 = 1 + 3 + 2 3 <=> x = 1 + 2 3 (Thỏa mãn điều kiện

x ≥

3)

Vậy : Nghiệm của phương trình đã cho là x = 1 + 2 3

*Bài tập tương tự: Giải phương trình:

34

x

(1)Điều kiện xác định: x > 2 ; y > 3 ; z > 5 Với điều kiện này ta có:

(1) <=> (x - 2 - 2

0)956

5()434

3()1

x

<=> (

0)35(

)23(

)1

5.3.9 Phương pháp vận dụng lượng liên hợp:

*Ví dụ 1 Giải phương trình:

2 2

−

043

0153

02

0373

2 2 2 2

x x

x x

x

x x

Dấu “=” ở điều kiện thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ tư không đồng thời xảy ra

2 2

) 1 5 3 ( ) 3 7 3 (

2 2

2 2

2 2

2 2

+

− +

−

x x x

x x x

x x x

x

x x x

x

( 2 – x)(

0

) 4 3 2

3 1

5 3 3 7 3

2

2 2

2

+

− +

−

+

−

− +

365

)103()65(

=

−+++

x x

 (x -2)(

110365

2

+++

x

) = 0  x – 2 = 0  x = 2

Vậy, nghiệm của phương trình (2) là x = 2

*Bài tập tương tự: Giải phương trình:

1) x2 + x+1− x2 −x+1= −2x

2)

3 2 3

7 2 1 1

5

2x2 − x+ − x2 − = x2 − x− − x2 + x+

6.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

* Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau:

+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức

+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức

* Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững

+ Các phép biến đổi căn thức

+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số

+ Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình.+ Các kiến thức về bất đẳng thức

*Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vô

tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình vô tỷ,các dạngphương trình vô tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phương trình vô tỷ với các dạng