Các phương pháp giải phương trình vô tỷ

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phơng pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy học góp phần hình thành và và p

Phòng giáo dục đào tạo Đan Phợng

Trờng THCS Phơng Đình

sáng kiến kinh nghiệm

một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ

trong trờng thcs

Họ và tên: Đinh Công Hải Trờng trung học cơ sở Phơng Đình

Năm học 2008 -2009

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

độc lập- tự do- hạnh phúc

sáng kiến kinh nghệm giáo dục tiên tiến

tên sáng kiến một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ

trong trờng thcs

sơ yếu lý lịch

Họ và tên :Đinh công Hải.

Ngày sinh :02/04/1974.

Chức vụ :giáo viên.

Năm vào ngành:10/1996.

Đơn vị công tác:Trờng THCS Phơng Đình-Huyên Đan Phợng.

Trình độ chuyên môn: Đại học toán.

Hệ đào tạo :chính quy.

a mở đầu

I/ Lí do chọn đề tài :

Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành khoa học tự nhiên cũng nh trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội

Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học )những kiến thức cơ bản,những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ năng t duy logic,một phơng pháp luận khoa học

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phơng pháp dạy học và giải bài tập toán

đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy học góp phần hình thành và và phát triển t duy của học sinh Đồng thời thông qua việc học toán học sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải bài tập toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ

Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q thành tập số thực R Trong khi đó giáo viên khi dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai thác phân tích đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bài toán về giải ph

-ơng trình vô tỉ là lúng túng hoặc cha biết cách giải hoặc giải đợc nhng cha chặt chẽ mà

còn mắc nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức ra ngoài dấu giá trị tuyệt đối

Vì vậy phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải phơng trình vô

tỉ là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày một phần nhỏ để khắc phục tình trạng trên

về giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn toán của học sinh ở tr-ờng THCS

ii/ Mục đích nghiên cứu của đề tài

Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao năng lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ

Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải đợc một số bài tập

Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải phơng trình vô tỉ trong quá trình dạy học

Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và áp dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập

Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về phơng trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lợng giáo dục

iii Phạm vi nghiên cứu- Đối tợng nghiên cứu :

Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua các bài toán giải phơng trình vô

tỉ đối với học sinh THCS

Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 9 trong các giờ luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm và cho các kì thi ở trờng ,thi vào cấp 3

iv Các phơng pháp nghiên cứu và tiến hành :

1 Phơng pháp nghiên cứu :

Tham khảo thu thập tài liệu

Phân tích,tổng kết kinh nghiệm

Kiểm tra kết quả chất lợng học sinh

2.Phơng pháp tiến hành :

Thông qua các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản đa ra phơng pháp giải và khắc phục những sai lầm hay gặp , các dạng bài tập tự giải

b- nội dung đề tài

i/ Cơ sở lý luận:

Trong đề tài đợc đa ra một số phơng trình vô tỉ cơ bản phù hợp với trình độ của học sinh THCS

Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản áp dụng để làm bài tập

Rút ra một số chú ý khi làm từng phơng pháp

Chọn lọc một số bài tập hay gặp phù hợp cho từng phơng pháp giải , cách biến đổi Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ

Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trờng THCS trong việc học và giải phơng trình vô tỉ Qua đó các em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng

định hớng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra

ii/ Tình hình thực tế

1.Kết quả tình trạng khi cha thực hiện :

Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 40 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phơng trình vô tỉ nh sau:

2 Nguyên nhân của thực tế trên:

Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bị các phơng pháp giải , nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không có lối thoát dẫn

đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em càng khó giải quyết

iii/ Nội dung và phơng pháp tiến hành

1/ Khái niệm phơng trình vô tỉ

Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn

2/ Các ví dụ :

a) x 1  1 c) x  x 3 x2  x 1=3

b) 3x 7  x 1  2 d) 1 4

1 1

1

3

3 2

3 2

3













x

x x

x x

3/.Phơng pháp chung :

Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn

Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình

- Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học

- Giải phơng trình vừa tìm đợc

- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm

4/ Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản:

a/ Ph ơng pháp1 : nâng lên luỹ thừa (Bình phơng hoặc lập phơng hai vế phơng trình ):

 Giải phơng trình dạng : f(x) g(x)

+ / các ví dụ :

Ví dụ 1: Giải phơng trình : x 1 x 1 (1)

ĐKXĐ : x+10 x-1

Với x  -1 thì vế trái của phơng trình không âm Để phơng trình có nghiệm thì

x-10  x1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :

x+1 = (x-1)2  x2 -3x= 0  x(x-3) = 0  



 3 0

x x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x1

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x x 1  13

 x113 x ( 1) ĐKXĐ : 









0 13

0 1

x x

 



 13 1

x x

 1 x 13 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :

x 1  ( 13  x) 2  x2  27x1700

Phơng trình này có nghiệm x1  10vàx2  17.Chỉ có x1  10thoã mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình là x 10

* Giải phơng trình dạng : f(x)  h(x) g(x)

Ví dụ 3: Giải phơng trình: 1  x 2 x  1

 1  x  1  2 x (1)

ĐKXĐ:

0 2

0 1









x

x



2

1







x

x

  2 x 1

Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :

1  x 1  2 2 x  2 x  x2 x 1  0

Phơng trình này có nghiệm

2

5

1 





x thoã mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình là

2

5

1 





x

Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 x 1  3 7  x  2 (1)

Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:

x 1  7  x 3 3 (x 1 )( 7  x) 2  8

 (x-1) (7- x) = 0

 x =-1 (đều thoả mãn (1 )

x =7 (đều thoả mãn (1 )

Vậy x   1 ;x 7là nghiệm của phơng trình

* Giải phơng trình dạng : f(x)  h(x)  g (x)

Ví dụ5: Giải phơng trình x 1- x 7= 12  x

 x 1= 12  x + x 7 (1)

ĐKXĐ: 1 12

7 12 1 0

7 0 12 0 1



































x x

x x

x x

Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 ( 12  x)(x 7 ) (3)

Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc :

(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) 5x2 - 84x + 352 = 0

Phơng trình này có 2 nghiệm x1 =

5

44

và x2 = 8 đều thoả mãn (2)

Vậy x1 =

5

44

và x2 = 8 là nghiệm của phơng trình

* Giải phơng trình dạng : f(x)  h(x)  g (x)+ q (x)

Ví dụ 6: Giải phơng trình : x 1+ x 10 = x 2 + x 5 (1)

ĐKXĐ : 



















0 5

0 2

0

1 0

0 1

x x























5

1 0 1

x

x

 x ≥ -1 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :

x+1 + x+ 10 + 2 (x 1 )(x 10 )= x+2 + x+ 5 + 2 (x 2 )(x 5 )

 2+ (x 1 )(x 10 ) = (x 2 )(x 5 ) (3)

Với x  -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc

(x 1 )(x 10 ) = 1- x Điều kiện ở đây là x  -1 (4)

Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)









 1 1

x x

 x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1)

+ / Nhận xét :

Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn

Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngợc lại (n= 1,2,3 )

Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này

Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng pháp khác lại với nhau

+ / Bài tập áp dụng:

1 2 4



x = x- 2 4 3 x 45- 3 x 16 =1

2 1 2 4



x x = x+ 1 5 1  x = 6  x -  ( 2x 5 )

3 1  x + 4 x =3 6 3 x 1+ 3 x 2 = 3 2 x 3

b / Ph ơng pháp 2 : đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :

+/ Các ví dụ :

Ví dụ1: Giải phơng trình: 9 2 24 16 4









ĐKXĐ: 











 0 4

0 16 24

9 2

x

x x

 







 4

0 ) 4 3

x

x x

 x

≤ 4

Phơng trình (1)  3x 4 = -x + 4

 















4 4

3

4 4

3

x x

x x

 





 0 2

x x

Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x  4 )

Ví dụ 2 : Giải phơng trình : 2 4 4



 x



 x

x = 5 ĐKXĐ: x R Phơng trình tơng đơng : x 2 + x  4 = 5

Lập bảng xét dấu : x 2 4

x- 2 - 0 + +

x- 4 - - 0 +

Ta xét các khoảng :

+ Khi x < 2 ta có (2)  6-2x =5  x = 0,5(thoả mãn x  2)

+ Khi 2  x  4 ta có (2)  0x + 2 =5 vô nghiệm

+ Khi x > 4 ta có (2)  2x – 6 =5  x =5,5 (thoả mãn x > 4 )

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5

Ví dụ 3 : Giải phơng trình: x 4 x 1  3 + x 6 x 1  8 = 1 ; ĐKXĐ: x  1 Phơng trình đợc viết lại là :

(x 1 )  4 x 1  4 + (x 1 )  6 x 1  9 = 1

 ( x 1  2 ) 2 + ( x 1  3 ) 2 = 1

 x 1  2 + x 1  3 =1 (1)

- Nếu 1  x < 5 ta có (1)  2- x 1 + 3 - x 1= 1

 x 1 =2  x= 5 không thuộc khoảng đang xét

- Nếu 5  x  10 thì (1)  0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm

- Nếu x> 10 thì (1)  -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm

Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5  x  10

+ Nhận xét :

Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần lu ý cho học sinh :

-áp dụng hằng đẳng thức A2 = A

- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm

+ / Bài tập áp dụng

1 2 6 9



 x

x + 2 10 25



 x

2 2 2 1



 x



 x



 x x

3 x 3  4 x 1 + x 8  6 x 1 = 5

4 x 3  3 2x 5 + x 2  2x 5 = 2 2

c.Ph ơng pháp 3 : đặt ẩn phụ:

+ / Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x2 + 3x + 2 2 3 9



 x

ĐKXĐ : x R Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x2 + 3x +9 + 2 2 3 9



 x

x - 42= 0 (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)

Ta đợc phơng trình mới : y2 + y – 42 = 0

 y1 = 6 , y2 = -7 Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0

Từ đó ta có 2 2 3 9



 x

x =6  2x2 + 3x -27 = 0 Phơng trình có nghiệm x1 = 3, x2 =

-2 9

Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho

Ví dụ 2 : Giải phơng trình: x+ 4 x = 12 (ĐKXĐ : x  o) Đặt 4 x = y  0  x = y2 ta có phơng trình mới

y2 + y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

4 x = 3  x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho

Ví dụ 3: Giải phơng trình: x 1 + 3  x - (x 1 )( 3  x) = 2 (1)

ĐKXĐ : 











0 3

0 1

x x

 







 3 1

x x

 -1 ≤ x ≤ 3 Đặt x 1 + 3  x = t  0  t2 = 4 + 2 (x 1 )( 3  x)

 (x 1 )( 3  x) =

2

4

2



t (2) thay vào (2) ta đợc

t2 – 2t = 0  t(t-2) = 0  







 2

0

t t

+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm

+Với t = 2 thay vào (2) ta có : (x 1 )( 3  x) = 0  x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3

Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5 3 1



x = 2( x2 + 2)

Ta có 3 1



x = x 1 2 1



 x x

Đặt x 1 = a  0 ; 2 1



 x

x = b  0 và a2 + b2 = x2 + 2

Phơng trình đã cho đợc viết là

5ab = 2(a2 + b2)

 (2a- b)( a -2b) = 0

 











 0 2

0 2

b a

b a

+ Trờng hợp: 2a = b

 2 x 1 = 2 1



 x x

 4x + 4 = x2 – x +1

 x2 – 5x -3 = 0

Phơng trình có nghiệm x1 =

2

37

5  ; x2 =

2

37

5 

+ Trờng hợp: a = 2b

 x 1 = 2 2 1



 x x

 x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0

 4x2 -5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x=

2

37

5  và x=

2

37

5 

Ví dụ 5: Giải phơng trình: x 1 + 2 (x+1) = x- 1 + 1  x + 3 1  x2 (1) Đặt x 1 = u  0 và 1  x = t  0

ĐKXĐ: -1  x  1 thì phơng trình (1) trở thành

u + 2u2 = -t2 + t +3ut

 (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0

 (u-t)(2u – t +1 ) = 0

 









t u t u

1

2  

















x x

x x

1 1 1 2

1 1

 







 25 0

x x

thoả mãn điều kiện -1  x  1 là nghiệm của phơng trình đã cho

Ví dụ 6: Giải phơng trình: x 2 x 1 + x 2 x 1 =

2

3



x

ĐKXĐ : x 1

Đặt x 1 = t  0  x = t2 + 1 phơng trình đã cho trở thành

2

) 1

( t + 2

) 1 ( t =

2

4

2



t

 t  1 + t  1 =

2

4

2 

t

 









 0

0 4 4

2 2

t

t

t (t  1)  



 0 2

t

t  



 1 5

x

x 

ĐkXĐ: x≥ 1

Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5

+ / Nhận xét :

Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ Song

để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :

Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)

Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)

+ / Bài tập áp dụng:

1/ x2 – 5 + 2 6



x = 7 3/ 3 x2 - 3 3 x =20

2/ x

x

1

- 2x 3 x = 20 4/ 3 8



x = 2x2 – 6x +4

5/ x 6 x 9 + x 6 x 9 =

6

23



x

d Ph ơng pháp 4 : đa về phơng trình tích :

+ / Các ví dụ :

Ví dụ 1: Giải phơng trình: x  10 x 21 = 3 x 3 + 2 x 7 - 6 (1)

ĐKXĐ : x  -3

Phơng trình (1) có dạng :

) 7 )(

3 (x x - 3 x 3 + 2 x 7 +6 = 0  x 3( x 7  3 )-2( x 7  3 )) =3  ( x 7  3 )( x 3  2) =0

 















0 2 3

0 3 7

x x

 









4 3 9 7

x x

 



 1 2

x x



ĐKXĐ

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3 1 x + x 2 =1

ĐKXĐ : x  -2

Đặt x 2 = t  0 Khi dó 3 1 x = 3 3 t 2

Phơng trình (1)  3 3 t 2 + t = 1

 3 3 t 2 = 1- t

 3- t3 = (1-t) 3

 t3 - 4t2 + 3t + 2 =0

 (t-2) ( t2 -2t -1) = 0

Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 2là nghiệm của phơng trình (1)

Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1) x2  1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)

Đặt x2  1 =y ; y  0 (1)  (4x-1) y = 2y2 + 2x -1