Phương pháp thế là một trong những phương pháp có ứng dụng nhiều trong việc tính giá trị biểu thức, chứng minh, giải phương trình, hệ phương trình, … Đặc biệt đối với giải hệ phương trình không mẫu mực thì phương pháp thế là phương pháp được sử dụng linh hoạt, có hiệu quả. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp thế cần lưu ý rằng phương trình thu được phải các phương trình giải được. Phương pháp thế gồm: Phép thế đơn; Phép thế nhóm; Phép thế hằng số.
Trang 1GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
Giáo viên: Nguyễn Duy Hoàng
Đơn vị: Trường THCS Tam Dương, Tam Dương
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh giỏi lớp 9
Phương pháp thế là một trong những phương pháp có ứng dụng nhiều trong việc tính giá trị biểu thức, chứng minh, giải phương trình, hệ phương trình, …
Đặc biệt đối với giải hệ phương trình không mẫu mực thì phương pháp thế là phương pháp được sử dụng linh hoạt, có hiệu quả Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp thế cần lưu ý rằng phương trình thu được phải các phương trình giải được
Phương pháp thế gồm: Phép thế đơn; Phép thế nhóm; Phép thế hằng số
1 Phép thế đơn:
a) Cơ sở phương pháp Ta rút một ẩn từ một phương trình trong hệ và thế vào
phương trình còn lại
b) Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương
trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó
* Nếu một phương trình trong hệ có bậc nhất đối với tất cả các ẩn thì rút tùy ý một
ẩn để thay vào phương trình còn lại
Bài 1 Giải hệ phương trình 2 2 3 2 5 (1)
Lời giải
Từ (1) ta có 5 3
2
y
x thế vào (2) ta được
2 2
5 3
2
y
23
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1;1 ; 31 59;
23 23
Trang 2* Nếu một phương trình trong hệ có bậc nhất đối với một ẩn thì rút ẩn đó để thay vào phương trình còn lại Trong trường hợp này phức tạp hơn bởi biểu thức thay vào không phải bậc nhất
Bài 2 Giải hệ phương trình
2
3 (2)
Lời giải
Phương trình (2) là bậc nhất với y nên từ (2) suy ra 2
3
3x (6x x 3)x 2 (x x x 3)0
2
x x x mọi x nên phương trình (*) có nghiệm x0; 2
Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình là (0; 3); ( 2;9)
Bài 3 Giải hệ phương trình
2
Phân tích Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế
Lời giải
TH 1: Với x = 0 không thỏa mãn (2)
TH 2: Với
2
0, (2)
2
x
2
2 2
4 4
x
x
Do x 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 4;17
4
Trang 3Lời giải
Tõ (2) x 0,
2
4 3x y
x
, thay vµo (1) ta cã:
2
7x4 23x2 16 Gi¶i ra ta ®îc 0 x2 1 hoÆc x =2 16
7
Tõ x2 1 x 1 y ; 1
VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);
;
7 7 ;
4 7 5 7
;
Bài tập vận dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1)
1
1
2
x y
2) 2 21 0
0
x y
x y x
x y
4) 22 5 2
7
x y
x xy y
5) 2 2 4 2
x y
12
x y
8)
1
x y
x y
6
x y
11) 22 21 0
x y
12)
2
4
13)
3
Trang 42 Phép thế nhóm:
a) Cơ sở phương pháp: Ta rút một biểu thức từ một phương trình trong hệ và thế
vào phương trình còn lại
b) Nhận dạng: Phép thế nhóm được dùng khi hệ phương trình có một nhóm thế
giống nhau
Bài 1 Giải hệ phương trình
Lời giải
x yy xy Thế vào (2) ta có y x( y)2 2(4yy2xy) 7 y
2
2
0 2(
2(
y
Với y = 0 thì x2 + 1 = 0 (loại)
2(
3
x y
Nếu x + y = -5, thế vào (1) ta có
Nếu x + y = 3, thế vào (1) ta có
2
2
x
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 2); ( 2;5)
Bài 2 Giải hệ phương trình 2
2
5
x x y
x y
x
Lời giải
ĐK: x0
Từ (1) suy ra x y 3 1
x
và thay vào phương trình (2), ta có
Trang 5Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1); (2; 3)
2
Bài 3 Giải hệ phương trình
2
Lời giải
Hệ
2 2
2 2
2
2
2
2
2
Khi đó
2 2
4 2
x
x
Vì x 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 4;17
4
Bài 4 Giải hệ phương trình
3
3 (1) 3
0 (2)
x
y
Lời giải.
ĐK: 2 2
0
Từ (2) ta có 2 2
( ) ( 3 ) 0
Nếu y = 0 thì x = 0 (loại)
Nếu y0 thì 2 2 3
y Thế vào (1), ta có ( 3 ) 3
3
x
1
y y
Với y = 3x thì x = y = 0 (loại)
Với y = -1 thì x = 0 hoặc x = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 1); (3; 1)
Trang 6Bài tập vận dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1)
2
4 0
x
x y
y
x xy y
2)
2
x
x y
y
x xy y
2
x y xy
x y
5) 22 32 4 6
xy x y
6)
2
2
2
y
x y
x
7)
8) (2 1)( 2 1) 12
xy x y
11)
4
13)
14)
2 2
15)
16)
17) 62 24
4
xy x y
x y x y xy
18) ( 2 1) 3 2
y y xy x x
19)
1
2
xy x y
20)
21)
22)
3 Phép thế hằng số:
a) Cơ sở phương pháp: Từ một phương trình ta rút một số bằng một biểu thức để
thay vào phương trình còn lại
Trang 7Bài 1 Giải hệ phương trình
3 3
1 2
Lời giải
Thế số 1 từ (2) và (1) ta được:
x y
x xy y
Phương trình (3)
2
2
Với
3
x y x y x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
3 3
x y
Bài 2 Giải hệ phương trình
2 4 (1)
6 19 15 1 (2)
x xy y với x, y là số hữu tỉ
Lời giải
Thế số 1 từ (2) và (1) ta được
Đưa (*) về phương trình 5x35x y2 61xy2 62y3 0 là phương trình đẳng cấp bậc 3
Xét y = 0 thì x = 0 (loại)
Xét y khác 0, đặt t x
y
với t là số hữu tỉ, ta được 5t35t2 61t620 Giải phương trình với t hữu tỉ, ta có được t = 2
Kết quả (x,y) là (2; 1), (-2; -1)
Bài 3 Giải hệ phương trình
5
Lời giải
x y x y x y x y xy
Trang 8Với x+ y = 0 ta được 10; 10 ; 10; 10
5(x y ) 5 xyx y 11 0 t 5t 14 0 với t = xy
Giải phương trình được t = 2 hoặc t = -7
3
x y
Nếu t = -7 thì 2 2 2
Kết quả (x, y) là (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1)
Bài tập vận dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1)
9
x y
xy x y
2)
3) 3( 3) 6
x x y
4)
1
5) 3 31 2 2
x y
6)
1
7)
1
1 8
8)
3 31 7
x y xy
x y
x y
9)
xy x y
10)
5
11)
12)
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG toán THCS
2 Nâng cao và phát triển toán 9