PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tháng 12/2005 và tháng 1/2006 TS Kin – Yin Li – Trường Đại học khoa học và công nghệ Hồng Kông đã đề cập đến việc sử dụng phương trình t
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
Tháng 12/2005 và tháng 1/2006 TS Kin – Yin Li – Trường Đại học khoa học
và công nghệ Hồng Kông đã đề cập đến việc sử dụng phương trình tiếp tuyến
để chứng minh một số bất đẳng thức trên tạp chí toán học quốc tế
Mathematical Excalibur Từ đó đến nay, một số tài liệu bất đẳng thức trong nước cũng có đề cập đến vấn đề này thông qua một số bài toán rời rạc Bài viết này nhằm giúp cho các bạn học sinh yêu thích môn toán có một bức tranh tương đối đầy đủ và rèn luyện kĩ năng giải quyết một lớp các bài toán có liên quan
Ý tưởng chính của phương pháp, ta sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số để tìm một biểu thức trung gian trong các đánh giá bất đẳng thức
Đối với một số hàm số, tiếp tuyến tại một điểm nào đó của đồ thị hàm số luôn nằm trên hay nằm dưới đồ thị hàm số Dựa vào tính chất này, ta thiết lập được một phương pháp thú vị để chứng minh bất đẳng thức, đó là phương pháp tiếp tuyến
Cho hàm số f x xác định, liên tục và có đạo hàm trên K Khi đó tiếp tuyến tại một điểm x0K có phương trình y f ' x0 xx0 f x 0 luôn nằm trên (hoặc luôn nằm dưới) đồ thị hàm số f , nên ta có :
' 0 0 0
f x f x xx f x (hoặc f x f' x0 xx0 f x 0 ) với mọi
xK Từ tính chất này, ta thấy với mọi x x1, 2, ,x nK ta có :
1 2 n ' 0 1 2 n 0 0
f x f x f x f x x x x nx nf x
Như vậy, nếu một bất đẳng thức có dạng ‘‘tổng hàm’’ như ở vế trái của bất đẳng thức trên, và có giả thiết x1x2 x n nx0 với đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến x i đều bằng nhau và bằng x0, thì ta có thể hy vọng
chứng minh nó bằng phương pháp tiếp tuyến
Ví dụ 1 (FRANCE – 2007)
Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a b c d 1
Chứng minh rằng : 3 3 3 3 2 2 2 2 1
6
8
Lời giải
Từ giả thiết suy ra a b c d , , , 0;1 Đặt 3 2
6
f x x x , với x 0;1 Khi đó bất đẳng thức trở thành : 1
8
f a f b f c f d
Ta dự đoán được bất đẳng thức đã cho trở thành đẳng thức khi
1 4
abcd Vì vậy ta tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f x tại điểm 1 1;
4 32
Trang 2Phương trình tiếp tuyến đó là : ' 1 1 1 5 1
x
y f x
Bằng cách phác thảo đồ thị hàm số ta nhận thấy tiếp tuyến tại M ở dưới
đồ thị hàm số y f x
f x x x x x x
Điều này hiển nhiên vì : 48x3 8x2 5x 1 0 4x 1 2 3x 1 0, x 0;1 Cuối cùng ta có : 5 5 5 5 4 1
f a f b f c f d
Đẳng thức xảy ra khi 1
4
abcd
Ví dụ 2 Cho bốn số thực không âm a b c d, , , thỏa mãn điều kiện a b c d 4
Lời giải
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi ab c d 1
Ta tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
5 3
x
f x
x
tại x 1
Ta có
2 2 2
32
5 3
x
x
và 1 1
8
f Do đó ta có phương trình
tiếp tuyến 1 3
32
Từ đó ta phỏng đoán rằng : 2 1 3 , 0; 4
x
x
Biến đổi tương đương bất đẳng thức này về dạng : 2
x x
Ví dụ 3 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
4
Lời giải
Bất đẳng thức trên là thuần nhất, nên không mất tính tổng quát, giả sử
1
a b c Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên , , 0;1
2
a b c
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
Với 4 1 5 12, 0;1
x
Ta dự đoán được bất đẳng thức đã cho trở thành đẳng thức khi
1 3
abc Vì vậy ta tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trang 3
f x tại điểm 1;3
3
M
là y 18x 3
Ta đánh giá 5 12 18 3, 0;1 3 1 2 2 1 0, 0;1
x
x x
Bất đẳng thức này đúng với 0;1
2
Do đó f a f b f c 18a b c 9 9 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi 1
3
abc , do đó dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức ban đầu là abc
Ví dụ 4 (USA – 2003) Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng :
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
b a c
b a c a
c b
a c b c
b a
c b
a
Lời giải
Vế trái của BĐT là các biểu thức cùng bậc Không mất tổng quát, ta có thể giả sử rằng a b c 1 Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành :
8
Từ giả thiết suy ra a b c , , 0;1
2
f x
, với x 0;1 Khi đó bất đẳng thức trở thành : f a f b f c 8
Ta dự đoán được bất đẳng thức đã cho trở thành đẳng thức khi
1 3
abc Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại điểm
1 16
;
3 3
x
y f x
Bằng trực quan hình học ta thấy đồ thị hàm số y f x ở dưới tiếp tuyến Vậy 12 4, 0;1
3
x
f x x
Ta có thể kiểm chứng bất đẳng thức này như sau :
2
2
3x 1 2 4x 1 0 x 0;1 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên là đúng
Vậy 12 4, 12 4, 12 4
Suy ra 12 12 8
3
a b c
f a f b f c (đpcm)
Ví dụ 5 (NHẬT BẢN – 1997)
Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức :
5
3 )
(
) (
) (
) (
)
(
) (
2 2 2 2
2 2 2
2
2
c b a
c b a b a c
b a c a c
b
a c
b
Trang 4Lời giải
BĐT
5
12 1 )
(
) (
1 )
(
) (
1 )
(
) (
2 2 2 2
2 2 2
2
2
c b a
c b a b
a c
b a c a
c b
a c b
5
6 )
( )
( )
c b a
c b a b
a c
b a c a
c b
a c b
Các phân thức ở vế trái có tử số và mẫu số đồng bậc, không mất tổng quát, giả sử a b c 3 Bất đẳng thức viết lại :
1 5
2
1
3
a a
2
2a 6a 92a 6a 92a 6a 95
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x 1 của đồ thị hàm số
2 1
y f x
là : ' 1 1 1 2 1 1 2 3
x
y f x f x
Do vậy, ta thử đi chứng minh : 2 1 2 3, 0;3 3
x x
2 x x 1 3x 0, x 0;3
Theo BĐT AM – GM thì bất đẳng thức trên đúng
Áp dụng BĐT (3) : 2 3 2 3 2 3 3
Đẳng thức xảy ra khi abc
Ví dụ 6 (TRUNG QUỐC – 2006)
Cho a b c , , 0 và a b c 3 Chứng minh rằng :
5
Lời giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với :
5
Ta sẽ chứng minh :
2 2 2
3
x
Thật vậy, ta có :
2
Vậy (1) đúng Sử dụng kết quả (1), ta có :
5
Đẳng thức xảy ra khi abc 1
Trang 5MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1 (BULGARIAN – 2004)
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh : 9 1
Bài tập 2 (OLYMPIC RUSSIA – 2002)
Cho a b c , , 0 thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng :
a b cab bc ca
Bài tập 3 Cho a b c , , 0 và a b c 3 Chứng minh: 1 1 1 3
9 ab9 bc9 ca8
Bài tập 4 (ALBANIA – 2002)
Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng :
3
3
3
1
c b a c b a c b a c b
Bài tập 5 Cho , , 3
4
a b c và a b c 1 Chứng minh : 2 2 2 9
a b c
Bài tập 6 Cho a b c d , , , 0 và a b c d 4 Chứng minh rằng :
4
Bài tập 7
Cho ba số thực tùy ý , , 0;23
22
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
T
Bài tập 8
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng :
1
Bài tập 9 Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a b c 0 Chứng minh :
1 3
Bài tập 10 Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a b c 0 Chứng minh :
