ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNHI.. Hệ phương trình đối xứng loại 1: 1.. + Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.. Hệ phương trình đối xứng loại 2: 1.. + Trường hợp
Trang 1ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I Hệ phương trình đối xứng loại 1:
1 Định nghĩa : Hệ Pt đối xứng loại 1 có dạng:
( , ) 0 ( , ) 0
f x y
g x y
=
, trong đó g x y f x y( , )( , )=g y x f y x( , )( , )
(Trong mỗi pt nếu thay x cho y và y cho x thì pt đó không thay đổi )
2.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ≥ 4P.
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
II Hệ phương trình đối xứng loại 2:
1 Định ghĩa:
( ) ( )
( , ) 0 1 ( , ) 0 2
f x y
f y x
=
2 Cách giải: Lấy (1) − (2) hoặc (2) − (1) ta được: (x−y)g(x,y)=0 Khi đó x−y=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới
thông thường vô nghiệm).
III Hệ đẳng cấp bậc hai
1 Lý thuyết:
* Hệ đẳng cấp bậc 2 có dạng:
= +
+
= + +
) 2 ( '
' ' '
) 1 (
2 2
2 2
d y c xy b x a
d cy bxy ax
2 Phương pháp giải:
+ Kiểm tra x = 0 có thỏa hệ hay không?
+ Xét x≠0 Đặt
= +
+
= + +
⇒
=
' ) ' ' ' (
) (
2 2
2 2
d t c t b a x
d ct bt a x tx y
+ Kiểm tra a'+b't+c't =0có thỏa hệ hay không?
+ Xét x≠0 và a'+b't+c't≠0 Ta lấy
) 2 (
) 1 (
ta được:
' '
'
2
d
d t c
t
b
a
ct
bt
+
+
+
+ ⇔(cd'−dc')t2 +(bd'−db')t+ad'−da'=0; giải PT này để tìm t và thay t vào hệ trên ta tìm được x sau đó tìm được y=tx.
Bài Tập: Giải các hệ pt sau:
Trang 2a)
=
+
=
+
13 y
1
x
1
5
y
1
x
1
2
2
b)
= +
= + 5 y x
6
13 x
y y
x
c)
= +
= + +
4
3 y
1 x 1
3
10 y x
y
x2 2
d)
= +
= + 2
3 y
3 2 x
3 3
y x
2
e)
−
+
−
x 2y
x 2y
Bài 3:
a)
1 1
4
4
x y
x y
+ + + =
b)
2 2
1
1
x y
xy
x y
c)
5
2
+ + + =
+ + + =
d)
7 1
78
y x
x xy y xy
Bài 4:
a)
5
13
1 1
1
=
= + 3 xy
82 y
x4 4
e) x59 y95 14 4
ĐS:(0;1),(1;0)
Bài 5
a)
( 1)( 1) 72
xy x y
xy(x 1)(y 1) 12
(3 2 )( 1) 12
e)
( 4)( 4) 1
xy x y
= + + + + + + +
= + + +
6 1 y 1 x 1 x y 1 y x
3 1 y 1 x
Bài 6:
a)
6
1 (1; 2),( ;1)
2 b)
6
; 2),( ;3)
−
1 13
+ + =
1 1; ,(3;1) 3
d)
2
2
* + =
Bài 7: Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
a) 2 2
x y m
+ =
+ = +
ĐS: 2− 2 ≤ ≤ +m 2 2; b) 2 2 3 9
x y xy m
21
4
1 3
1
4
£ £ d)
( 4)( 4)
Bài 8:
a)
2
2
= +
ĐS: (0,0), (5;5), (-1;2), (2;-1).b)
3
3
1 2
1 2
+ =
+ =
c)
+
=
+
=
x
y
y
y
x
x
3
3
(0;0),( 3; 3), (− 3;− 3), (1; 1),( 1;1).− − d) 2
2
3 2
3 2
x y
x
y x
y
+ =
ĐS:(1;1), e)
+
=
+
= x
1 x y
y
1 y x
2 2
ĐS:(1;1)
Trang 3a/
−
=
−
−
=
−
2 x y y
2 y x x
2 2
2 2
c)
−
=
−
= 1 x y
1 y x
2
2
d)
+
=
−
+
=
−
x y x y
y x y x
2 2
2 2
e)
1 3 2
1 3 2
x
y x y
x y
+ =
Bài 10:
ĐS: (0;0),(2;2) b)
c) 9 7 4
ĐS: (7;7) d) 2 2 2 2
2 4
5
; 6 2
Bài 11:
a)
x xy y
= + +
= + + +
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
e)
−
= +
=
− +
2
0 3
2
y y x x
y xy x
Bài 12:
a)
2 2 2
+ + = −
2 2 2
xy x+ + =y x − y ⇔ (x + y)(x −2y − 1) = 0. ĐS: x = 5; y = 2.
b)
2x −5xy+2y = ⇔0 (2x y x− )( −2 ) 0y =
Bài 13:
3
1
y x
− = −
HD: (1) ⇒ (x y) 1 1 0
xy
ĐS: ( )1;1 , 1 5; 1 5 , 1 5; 1 5
b)
5 4 5
1 2
4
x y x y xy xy
.HD: Biến đổi hệ phương trình thành: ( )
2 2
5 4 5
4
−
.
Đặt:
2
v xy
=
3
3
5
1 4
3 25
2 16
y y
.
c)
1
2
x y
x y
HD: Đặt 2
2
= −
Trang 43
2
HD: 3 y x− = y x− ⇒ 3 y x− (1 − 6 x y− ) = 0 ĐS: ( )1;1 , 3 1;
2 2
b)
3
(2; 2), ;
2 2
−
− ÷ c)
3
7 3 7 11 3 7
;
Bài 15:
a)
( )
2
2
12
+ =
÷ ÷
ĐS: (2;1), (-2;-1) b)
3 3
x y xy
− + =
ĐS: ( 1; 2),( ;3),(2;1), ( 2;3 3)
2
xy
=
Bài 16:
2
( , )
x y
x xy x .HD: rút x.y từ pt thứ hai thế vào pt thứ nhất đưa về pt bậc 4 chọn đc nghiệm.
ĐS: x = −4; y = 17
4 .
Bài 17:
1 3
x +y = +x y ⇔x +y = +x y x +y +xy ĐS: (1;0),(-1;0).
Các em cố gắng làm hết nhé! Chúc các em học tốt