Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn.. 3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyếnchung ngoài của đường trũn đường kớnh BH và đư
Trang 1Bài tập Hình tổng hợp
Câu IV(3,5đ): HN
Cho đờng tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với
đờng tròn (B, C là các tiếp điểm)
1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2.3/ Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C) Tiếp tuyếntại K của đờng tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q Chứng minh tam giác APQ cóchu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
4/ Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các
điểm M, N Chứng minh PM + QN ≥ MN
Câu V: (4,0đ) C tho Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50 Đờng phân giác
của góc ABC và đờng trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E
1 Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn Xác định tâm O của
đờng tròn này
2 Tính BE
3 Vẽ đờng kính EF của đờng tròn tâm (O) AE và BF cắt nhau tại P Chứng minh các
đờng thẳng BE, PO, AF đồng quy
4 Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE
Bài 4: (2,75đ) hue
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Vẽ tiếp tuyến d với đờng tròn (O) tại B Gọi C và D
là hai điểm tuỳ ý trên tiếp tuyến d sao cho B nằm giữa C và D Các tia AC và AD cắt (O)lần lợt tại E và F (E, F khác A)
1 Chứng minh: CB2 = CA.CE
2 Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp trong đờng tròn tâm (O’)
3 Chứng minh: các tích AC.AE và AD.AF cùng bằng một số không đổi Tiếp tuyến của(O’) kẻ từ A tiếp xúc với (O’) tại T Khi C hoặc D di động trên d thì điểm T chạy trên đờngthẳng cố định nào?
Câu V: HCM Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) có tâm
O, bán kính R Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC Gọi S
là diện tích tam giác ABC
a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC
đồng dạng với nhau Suy ra AB.AC = 2R.AD và S = . .
4
AB BC CA
R c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đờng tròn.d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S
Baứi 4: (4,00 ủieồm) KH
Cho ủửụứng troứn (O; R) Tửứ moọt ủieồm M naốm ngoaứi (O; R) veừ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB (A, B laứ hai tieỏp ủieồm) Laỏy ủieồm C baỏt kỡ treõn cung nhoỷ AB (Ckhaực vụựi A vaứ B) Goùi
D, E, F laàn lửụùt laứ hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa C treõn AB, AM, BM
a Chửựng minh AECD laứ moọt tửự giaực noọi tieỏp
b Chửựng minh: CDE CBAã = ã
Trang 2c Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ ED, K laứ giao ủieồm cuỷa CB vaứ DF Chửựng minh IK//AB.
d Xaực ủũnh vũ trớ ủieồm C treõn cung nhoỷ AB ủeồ (AC2 + CB2) nhoỷ nhaỏt Tớnh giaự trũ nhoỷ nhaỏt ủoự khi OM = 2R
Bài 4: Cho đường trũn tõm O cú cỏc đường kớnh CD, IK (IK khụng trựng CD)
1 Chứng minh tứ giỏc CIDK là hỡnh chữ nhật
2 Cỏc tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường trũn tõm O thứ tự ở G; H
a Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cựng thuộc một đường trũn
b Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tỡm vị trớ của G và H khi diện tớch tam giỏc DỊJ đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 4: (3 điểm) BèNH ĐỊNH
Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trờnđoạn CI (M khỏc C và I) Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q
a Chứng minh DM AI = MP IB
b Tớnh tỉ số
Baứi 4: (3,0 ủieồm) BèNH ẹềNH ẹeà chớnh thửực
Cho tam giaực vuoõng ABC noọi tieỏp trong ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB Keựodaứi AC (veà phớa C) ủoaùn CD sao cho CD = AC
1 Chửựng minh tam giaực ABD caõn
2 ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AC taùi A caột ủửụứng troứn (O) taùi E Keựo daứi AE
(veà phớa E) ủoaùn EF sao cho EF = AE Chửựng minh raống ba ủieồm D, B, F cuứng naốm treõn moọt ủửụứng thaỳng
3 Chửựng minh raống ủửụứng troứn ủi qua ba ủieồm A, D, F tieỏp xuực vụựi ủửụứng
troứn (O)
Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM
Cho đường trũn tõm (O) ,đường kớnh AC Vẽ dõy BD vuụng gúc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trờn cung nhỏ CD ( E khụng trựng C và D), AE cắt BD tại H
a) Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O)
d) Cho gúc BCD bằng α Trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A , vẽ tam giỏc MBC cõn tại M Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O)
Bài 3 nam định ( 3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) Và điểmA nằm ngoài (O; R) Đờng tròn đờng kính AO cắt đờng tròn (O; R) Tại M và N Đờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B
và C ( d không đi qua O; điểm B nằm giữa A và C) Gọi H nlà trung điểm của BC
Trang 31) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO.
2) Đờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D Chứng minh rằng:
a) Góc AHN = góc BDN
b) Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC
c) HB + HD > CD
Câu IV: (3,0đ) Nghệ An Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một
đ-ờng kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến của đđ-ờng tròn (O;R) tại B cắt các đđ-ờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F
1 Chứng minh rằng BE.BF = 4R2
2 Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn
3 Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định
Bài 5 (3,0 điểm) QUẢNG NINH
Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờngtròn (O;R) ( A; B là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp
b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm
c) Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằmgiữa M và D ) Gọi E là giao điểm của AB và OM Chứng minh rằng EA là tia phângiác của góc CED
Bài 3 : (3 điểm) HẢI PHềNG
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Một đường trũn (O) đi qua B và C cắt cỏc cạnh AB ,
AC của tam giỏc ABC lần lượt tại D và E ( BC khụng là đường kớnh của đường trũn tõm O).Đường cao AH của tam giỏc ABC cắt DE tại K
1.Chứng minh ADE ACBã = ã
2.Chứng minh K là trung điểm của DE
3.Trường hợp K là trung điểm của AH Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyếnchung ngoài của đường trũn đường kớnh BH và đường trũn đường kớnh CH
Bài 4: (3,5 điểm) KIấN GIANG
Cho đường trũn (O) cú đường kớnh AB = 2R Trờn tia đối của AB lấy điểm C sao cho
BC = R, trờn đường trũn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuụng gúc với BCtại C cắt tia AD ở M
a) Chứng minh tứ giỏc BCMD là tứ giỏc nội tiếp
b) Chứng minh tam giỏc ABM là tam giỏc cõn
Trang 4Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA < CB) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở
F Chứng minh rằng :
1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn
2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng
3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài
đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
1)Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
2)Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA
Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳngvuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H
Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)
Trang 5b, Chứng minh CIP PBKã = ã .
c, Giả sử A, B, I cố định Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho diện tớch tứ giỏc ABKI lớn nhất
Bài 4 (3,5 điểm) THANH HểA
Cho nửa đương trũn tõm O đường kớnh AB = 2R Trờn tia đối của tia BA lấy điểm G(khỏc với điểm B) Từ cỏc điểm G; A; B kẻ cỏc tiếp tuyến với đường trũn (O) Tiếptuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D
1 Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường trũn (O) Chứng minh tứgiỏc BDNO nội tiếp được
2 Chứng minh tam giỏc BGD đồng dạng với tam giỏc AGC, từ đú suy ra CN DN
CG = DG
3 Đặt ãBOD = α Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AC và BD theo R và α Chứng tỏ rằngtớch AC.BD chỉ phụ thuộc R, khụng phụ thuộc α
Bài 3 ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường trũn (O), đường kớnh AB cố định, điểm I
nằm giữa A và O sao cho AI = 2
3AO Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I Gọi C là điểmtựy ý thuộc cung lớn MN sao cho C khụng trựng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E.a) Chứng minh tứ giỏc IECB nội tiếp được trong một đường trũn
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2
d) Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho khoảng cỏch từ N đến tõm đường trũn ngoạitiếp tam giỏc CME là nhỏ nhất
Cõu 4 : PHÚ YấN ( 2,5 điểm ) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đỉnh D nằm trờn đường
trũn đường kớnh AB = 2R Hạ BN và DM cựng vuụng gúc với đường chộo AC
a) Chứng minh tứ giỏc : CBMD nội tiếp được
b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
c) Xỏc định vị trớ của điểm D để diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch lớnnhất và tớnh diện tớch trong trường hợp này
Bài 4: (3,0 điểm) hƯng yên
Cho A là một điểm trên đờng tròn tâm O, bán kính R Gọi B là điểm đối xứng với O qua A Kẻ đờng thẳng d đi qua B cắt đờng tròn (O) tại C và D (d không đi qua O, BC < BD) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C và D cắt nhau tại E Gọi M là giao điểm của
OE và CD Kẻ EH vuông góc với OB (H thuộc OB) Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, H,M, E cùng thuộc một đờng tròn
b) OM.OE = R2
c) H là trung điểm của OA
Bài 5 (
Trang 6Cho tam giỏc ABC cú gúc A bằng 600, cỏc gúc B, C nhọn vẽ cỏc đường cao BD và
CE của tam giỏc ABC Gọi H là giao điểm của BD và CE
a/ Chứng minh tứ giỏc ADHE nội tiếp
b/ Chứng minh tam giỏc AED đồng dạng với tam giỏc ACB
c/ Tớnh tỉ số
BC
DE
.d/ Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Chứng minh OA vuụng gúcvới DE
Cõu 5 (3,5 điểm) QUẢNG TRỊ
Cho điểm A nằm ngoài đường trũn tõm O bỏn kớnh R Từ A kẻ đường thẳng (d) khụng
đi qua tõm O, cắt đường trũn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C) Cỏc tiếp tuyến vớiđường trũn (O) tại B và C cắt nhau tại D Từ D kẻ DH vuụng gúc với AO (H nằm trờnAO), DH cắt cung nhỏ BC tại M Gọi I là giao điểm của DO và BC
1 Chứng minh OHDC là tứ giỏc nội tiếp được
2 Chứng minh OH.OA = OI.OD
3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường trũn (O)
4 Cho OA = 2R Tớnh theo R diện tớch của phần tam giỏc OAM nằm ngoài đường trũn(O)
Câu IV : (3,0 điểm) Hải d Ương
Cho đờng tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (Mkhông trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H Kẻ MK vuông góc với
AN (K AN∈ )
1) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn
2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK
3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN
Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất
Cõu 4:(3 điểm) Hải Dơng chính thức
Cho tam giỏc MNP cõn tại M cú cậnh đỏy nhỏ hơn cạnh bờn, nội tiếp đường trũn ( O;R) Tiếp tuyến tại N và P của đường trũn lần lượt cắt tia MP và tia
MN tại E và D
a) Chứng minh: NE2 = EP.EMa) Chứng minh tứ giỏc DEPN kà tứ giỏc nội tiếp
b) Qua P kẻ đường thẳng vuụng gúc với MN cắt đường trũn (O) tại
K ( K khụng trựng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2
Bài 4: Hà Giang (3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau ở H Kéo dài AO cắt đờng tròntại M, AD cắt đờng tròn O ở K ( K khác A, M khác A) Chứng minh rằng :
a, MK song song BC
b, DH = DK
c, HM đi qua trung điểm I của BC
Bài 4: (3 điểm) BèNH THUẬN
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú cỏc cạnh AB = 4,5 cm; AC = 6 cm
Trang 72/ Trờn cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường trũn (O) đường kớnh MC, BM cắt (O) tại D; DA
cắt (O) tại S; (O) cắt BC tại N Chứng minh:
a/ Cỏc tứ giỏc ABCD, ABNM nội tiếp.
Câu 6: (3,0 điểm) Bắc Ninh
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa ờng tròn vẽ tuyếp tuyến thứ hai MC(C là tiếp điểm) Hạ CH vuông góc với AB, đờng thẳng
đ-MB cắt đờng tròn (O) tại Q và cắt CH tại N Gọi giao điểm của MO và AC là I Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác AMQI nội tiếp
b/ ãAQI = ãACO
c/ CN = NH
Câu V:(3,0 điểm) Bắc giang
1/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao BH và CK tam giác ABC cắt nhau tại điểm I Kẻ đờng kính AD của đờng tròn tâm O, các đoạn thẳng DI và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng
a/Tứ giác AHIK nội tiếp đợc trong một đờng tròn
b/OM⊥BC
2/Cho tam giác ABC vuông tại A,các đờng phân giác trong của goác B và góc C cắt các cạnh AC và AB lần lợt tại D và E Gọi H là giao điểm của BD và CE, biết AD=2cm, DC=
4 cm tính độ dài đoạn thẳng HB
Câu V:(3,0 điểm) Bắc giang
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định H thuộc đoạn thẳng OA( H khác A;O và trung điểm của OA) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H MN cắt AK tại E
1 Chứng minh tứ giác HEKB nội tiếp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM
3 Cho điểm H cố định, xác định vị trí của K để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MKE nhỏ nhất
Bài 4: (3,5 điểm) ĐĂK LĂK Cho tam giỏc vuụng cõn ADB ( DA = DB) nội tiếp trong đường trũn tõm O Dựng hỡnh bỡnh hành ABCD ; Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D đến AC ; K là giao điểm của AC với đường trũn (O) Chứng minh rằng:
1/ HBCD là một tứ giỏc nội tiếp
2/ DOK 2.BDHã = ã
3/ CK CA. = 2.BD 2
Bài 4 (3,5điểm) BìNH DƯƠNG
Trang 8Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy
điểm F sao cho BF cắt đờng tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đờng tròn tại D
a) Chứng minh OD // BC
b) Chứng minh hệ thức : BD.BE = BC.BF
c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R
Bài 4 (3,0 điểm): quảng bình Cho tam giác PQR vuông cân tại P Trong góc PQR kẻ tia Qx
bất kỳ cắt PR tại D (D không trùng với P và D không trùng với R) Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx tại E Gọi F là giao điểm của PQ và RE
d) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc trong một đờng tròn
e) Chứng minh tia EP là tia phân giác của góc DEF
f) Tính số đo góc QFD
g) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng QE Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR
Bài 4: (4,0 điểm) éẠI HỌC TÂY NGUYấN
Cho tam giỏc ABC ( AB < AC) cú 3 gúc nhọn Vẽ đường trũn tõm O đường kớnh
BC
cắt cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D
1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB
2/ Gọi H là giao điểm của DB và CE Gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng
tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H và M đối xứng nhau qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Trang 9Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900
CF là đờng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900
Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; Â là góc chung
=> ∆ AEH ∼∆ADC =>
AC
AH AD
AE = => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C là góc chung
=> ∆ BEC ∼ ∆ADC => AD BE =BC AC => AD.BC = BE.AC.
4 Ta có ∠C1 = ∠A1 ( vì cùng phụ với góc ABC)
∠C2 = ∠A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ∠C1 = ∠ C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C
=> CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC
5 Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
=> ∠C1 = ∠E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
∠C1 = ∠E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
∠E1 = ∠E2 => EB là tia phân giác của góc FED
Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại
H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là
tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900
AD là đờng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900
Trang 10Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> D là trung điểm của BC Theo trên ta có ∠BEC = 900
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
2
1BC
Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE
=> tam giác AOE cân tại O => ∠E1 = ∠A1 (1)
Theo trên DE =
2
1BC => tam giác DBE cân tại D => ∠E3 = ∠B1 (2)
Mà ∠B1 = ∠A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3
Mà ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE tại E
Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E
5 Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm áp dụng
định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32
ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua
điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và
D Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trungtrực của BM => BM ⊥ OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD)
Trang 11Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờngkính CD
6 Theo trên AC // BD =>
BD
AC BN
CN = , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM BN
CN =
=> MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB
7 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên
suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn
bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK
1 Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2 Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3 Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC =
24 Cm
Lời giải: (HD)
1 Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng
tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù
∠I1 = ∠ ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)
Từ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
=
AH
CH = 9 (cm)
OC = OH2 +HC2 = 92 +122 = 225 = 15 (cm)
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng
thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻtiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và
BD, I là giao điểm của OM và AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên
một đờng tròn
3 Chứng minh OI.OM =
R2; OI IM = IA2
Trang 124 Chứng minh OAHB là hình thoi.
Và dây cung) => ∠OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900; ∠OBM =
900 nh vậy K, A, B cùng nhìn OM dới một góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R
=> OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại I
Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là
đờng cao
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM =
IA2
4 Ta có OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi
5 Theo trên OAHB là hình thoi => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M
thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đờng thẳng vuông góc với AB)
6 (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy khi M di động trên d thì
H cũng di động nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi
HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E
1 Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI =
Vì AB ⊥CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng
trung tuyến của ∆BEC => BEC là tam giác cân => ∠B1 =
Trang 13Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một
điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M
1 Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một
đ-ờng tròn
2 Chứng minh BM // OP
3 Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N
Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành
4 Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo
dài cắt nhau tại J Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Lời giải:
(HS tự làm)
Ta có ∠ ABM nội tiếp chắn cung AM; ∠ AOM là góc ở
tâm
chắn cung AM => ∠ ABM = ∠AOM2 (1) OP là tia phân giác
∠ AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => ∠ AOP =
Mà ∠ ABM và ∠ AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP (4)
Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : ∠PAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); ∠NOB = 900 (gtNO⊥AB)
=> ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN
=> OP = BN (5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau)
Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ
Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ (6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K
là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6)
AONP là hình chữ nhật => ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác ∠APM => ∠APO =
∠MPO (8)
Từ (7) và (8) => ∆IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK ⊥
PO (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M
khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Axtại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại
H, cắt AM tại K
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB
3) Chứng minh BAF là tam giác cân
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng
tròn
Lời giải:
1 Ta có : ∠AMB = 900( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> ∠KMF = 900 (vì
là hai góc kề bù)
Trang 14∠AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> ∠KEF = 900 (vì là hai góc kề bù)
=> ∠KMF + ∠KEF = 1800 Mà ∠KMF và ∠KEF là hai
góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp
Ta có ∠IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => ∆AIB vuông tại A có AM ⊥ IB ( theo trên)
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI2 = IM IB
Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lí do
……)
=> ∠ABE =∠MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1)
Theo trên ta có ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2)
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân tại B
BAF là tam giác cân tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E
là trung điểm của AF (3)
Từ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác ∠HAK (5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung điểm của HK (6)
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng)
(HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang
Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7)Tam giác ABI vuông tại A có ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 (8)
Từ (7) và (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc
đáy bằng nhau)
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D
thuộc nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E)
1 Chứng minh AC AE không đổi
Trang 15cao ), mà AB là đờng kính nên AB = 2R không đổi do đó AC
AE không đổi
∆ ADB có ∠ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> ∠ABD + ∠BAD = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác
bằng 1800)(1)
∆ ABF có ∠ABF = 900 ( BF là tiếp tuyến )
=> ∠AFB + ∠BAF = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác
bằng 1800) (2)
Từ (1) và (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cùng phụ với ∠BAD)
Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 1800
∠ECD + ∠ACD = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) => ∠ECD = ∠ABD ( cùng bù với ∠ACD).Theo trên ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB Mà ∠EFD + ∠DFB = 1800 ( Vì là hai góc
kề bù) nên suy ra ∠ECD + ∠EFD = 1800, mặt khác ∠ECD và ∠EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp
Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho
AM < MB Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A.Gọi P là chân đơng
1 Ta có SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 900 ; ∠AMB = 900 ( nội
tiếp chắn nửa đờng tròn ) => ∠AMS = 900 Nh vậy P và M
cùng nhìn AS dới một góc bằng 900 nên cùng nằm trên đờng
tròn đờng kính AS
Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng
tròn
2 Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên
M’ cũng nằm trên đờng tròn => hai cung AM và AM’ có số
đo bằng nhau
=> ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ ⊥ AB tại H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB)
=> ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (vì so le trong) (2)
=> Từ (1) và (2) => ∠AS’S = ∠ASS’
Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn => ∠ASP=∠AMP (nội tiếp cùng chắn AP )
=> ∠AS’P = ∠AMP => tam giác PMS’ cân tại P
3 Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M => ∠B1 = ∠S’1 (cùng phụ với
∠S) (3)