Các kiến thức tổng hợp ôn thi vào lớp 10

Dạng toỏn rỳt gọn biểu thức khụng chứa ẩn * Phương phỏp: Sử dụng cỏc cụng thức biến đổi cỏc biểu thức chứa dấu căn và cỏc hằng đẳng thức đó học ở lớp 8.. Rỳt gọn biểu thức chứa biến và

Trang 1

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1

PHẦN I: ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN

M A

B

A B

A

 ( víi A  0 vµ B > 0 ) 6) A2B  A B

(víi B  0 ) 7) A B  A2B ( víi A  0 vµ B  0 )

A B   A2B ( víi A < 0 vµ B  0 ) 9)

B

AB B

A  ( víi AB  0 vµ B  0 )

10)

B

B A B

Trang 2

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toỏn - Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2

II Cỏc dạng toỏn thường gặp

1 Dạng toỏn rỳt gọn biểu thức khụng chứa ẩn

*) Phương phỏp: Sử dụng cỏc cụng thức biến đổi cỏc biểu thức chứa dấu

căn và cỏc hằng đẳng thức đó học ở lớp 8

2 Dạng toỏn tổng hợp

( Rỳt gọn biểu thức chứa biến và cỏc bài toỏn liờn quan )

*) Phương phỏp:

B-ớc 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán ch-a cho)(Phân tích mẫu thành

nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)

B-ớc 2:Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đ-ợc)

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

B-ớc 4: Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

* Cỏc dạng toỏn phụ:

+) Dạng 1: Tỡm giỏ trị của biến để biểu thức đạt giỏ trị cho trước

*) Phương phỏp: Cho biểu thức đạt giỏ trị cho trước rồi giải phương trỡnh để

tỡm giỏ trị của ẩn

+) Dạng 2: Cho giỏ trị của biến Tỡm giỏ trị của biểu thức

*) Phương phỏp: Thay giỏ trị của biến vào biểu thức

+) Dạng 3: Tỡm giỏ trị của biến để biểu thức đạt giỏ trị nguyờn

Trang 3

*) Phương phỏp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là -ớc của phần d- (một số),

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A > 1

3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 Cho biểu thức P 3 1 : 1

Trang 4

Bài 4 Cho biểu thức: P a 2 a 1 : a a 1

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

Trang 5

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

Bài 12 Cho biểu thức: P 1 1 1 1

2) Tính giá trị của biểu thức khi x  3 2 2

Bài 14 Cho biểu thức P =

x x

a) Rút gọn P

b) Tính GT của P khi x= 4

c) Tìm GT của x để P =

3 13

(Đề thi Hà Nội năm 2008-2009)

Bài 15 Cho biểu thức : A = 1 2

2) Với giá trị nào của x thì A < -1

Bài 16 Cho biểu thức : A = (1 )(1 )

b) Tìm x để A = - 1

Trang 6

Bài 17 Cho biểu thức : B =

x

x x

x  2 21 

1 2

2

1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B với x = 3

x x

2 2 1

1 (

: ) 1 1

a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b) Tìm a để Q d-ơng

c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5

Bài 20 Cho biểu thức : M = 

2

1

a a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M = - 4

CHUYấN ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRèNH ĐẠI SỐ

I Heọ phửụng trỡnh baọc nhaỏt hai aồn

Caựch giaỷi ủaừ bieỏt: Pheựp theỏ, pheựp coọng

2 Giaỷi vaứ bieọn luaọn heọ phửụng trỡnh : Quy trỡnh giaỷi vaứ bieọn luaọn

Bửụực 1: Tớnh caực ủũnh thửực :

2 2

1 1

b a b a b a

b a

D   (goùi laứ ủũnh thửực cuỷa heọ)

2 2

1 1

b c b c b c

b c

D x    (goùi laứ ủũnh thửực cuỷa x)

2 2

1 1

c a c a c a

c a

D y    (goùi laứ ủũnh thửực cuỷa y)

Bửụực 2: Bieọn luaọn

Trang 7

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7

+) Nếu D 0 thì hệ có nghiệm duy nhất

D x y x

+) Nếu D = 0 và D x  0 hoặc D y  0 thì hệ vô nghiệm

+) Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

*) Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1

(d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2

Khi đó:

1 Hệ (I) có nghiệm duy nhất  (d1) và (d2) cắt nhau

2 Hệ (I) vô nghiệm  (d1) và (d2) song song với nhau

3 Hệ (I) có vô số nghiệm  (d1) và (d2) trùng nhau

II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:

1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:

Ví dụ : Giải các hệ:

5 2 2 2

xy y

x

y x

Cách giải: Giải bằng phép thế

2 Hệ phương trình đối xứng :

2.1 Hệ phương trình đối xứng loại I:

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho

nhau thì hệ phương trình không thay đổi

b.Cách giải:

Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S2  4Pta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P

Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S2  4P

Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :

X SX P  ( định lý Viét đảo )

Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ

2.2 Hệ phương trình đối xứng loại II:

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho

nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ

Trang 8

III XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

k

với n, k nguyên

 Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

1 2

m my x

m y mx

2

1 2

m y mx

2 2

2 2 4 2

) 1 2 )(

2 ( 2 3 2 )

4

m my

x

m m

m m y

m

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2

– 4 0 hay m   2Vậy với m   2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2

1

2

3 2 2

1 2 4

) 1 2 )(

2

(

2

m m

m

x

m m

m y x m

2

1 2

) 1 (

2 2

) 1 ( 2

m ny x m

n m y m mx

HD:

Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n

b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là

Trang 9

HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(-

(

0 )

0 3 4 8

b a

Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11

d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0

b a

b

a

b a

Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm

4 2 3

y x

5 , 0

Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy

Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy

a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;

my x

y mx

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m  2

- Giải hệ phương trình theo m

Trang 10

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10

y mx

8

9 4

my x

m y m

9 8

2 2

m

m x m

m y

- Thay x =

4

32 9

Vậy m = 1 ; m =

3 23

IV Các hệ phương trình khác:

Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

1 Đặt ẩn phụ:

Ví dụ : Giải các hệ phương trình :

2

xy y x y x

y x xy

12 2

2

y y x x

y x y

2 Sử dụng phép cộng và phép thế:

Ví dụ: Giải hệ phương trình : x22 y22 10x 0

3 Biến đổi về tích số:

Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:

2 2

y x y

x

y y x x

2 2

3 3

y x y x

y y x x

1 1

3

x y

y

y x x

my x

m y

mx

(m là tham số) a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ cĩ nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0

Trang 11

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

1 3 )

1 (

m y x

m my x m

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

y x

2

4 2 3

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng

my x

y mx

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

9

y mx

my x

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

2 y mx

a) Giải hệ phương trình khi m  2

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức

3 m

m 1 y

9 3

y mx

my x

Trang 12

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7

CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2 Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình

Trang 13

2a 0

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0  

( Điều kiện tồn tại hai số trên là S2 4P 0  )

- Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức

Trang 14

x  x q  , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : 2

50 0

x qx  , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

x x

Trang 15

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1x2  11 và theo

3.2.1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Ví dụ : Cho x1 3; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Theo hệ thức VI-ÉT ta có 1 2

1 2

5 6

x  x  có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

Trang 16

x  x m  có các nghiệm x x1; 2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y y1; 2 sao cho :

3.3 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

nếu a = 5 thì b = 4

2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b

Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36

Trang 17

Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 2 1

*) Với a b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

*) Nếu a b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

3.4 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

3.4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1x2) và x x1 2

Trang 18

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:

8x  72x 64  0 Không giải phương trình, hãy tính:

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a  0 và  0)

Trang 19

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ

thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1: Cho phương trình :   2

m x  mx m   có 2 nghiệm x x1 ; 2 Lập hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

1

m

x x

m m

Trang 20

Vậy A = 0 với mọi m 1 và 4

5

m Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình : 2    

x  m x m  có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 sao cho x x1; 2 độc lập đối với m

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

Trang 21

m

x x

m m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

Trang 22

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

Trang 23

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm

điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

2 2

B B

II Bài tập tổng hợp

1 C¸c bµi tËp trong tµi liÖu «n thi vµo líp 10

Bµi 1 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh :

Trang 24

Bài 2 Cho ph-ơng trình x2 + px - 5 = 0 có nghiệm x1; x2

Hãy lập ph-ơng trình có hai nghiệm là hai số đ-ợc cho trong mỗi tr-ờng hợp sau

b/ Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình (1)

Bài 4 Cho ph-ơng trình : 2

(x   k 3) x   2(k 3)x 3k 9     0 (1)a/ Giải ph-ơng trình (1) khi k = 3

b/ Tìm các giá trị của k để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm d-ơng và một nghiệm

b/ Tìm t để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm

Bài 7 Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m : 2

mx  5x (m 5)    0 (1)a/ Giải ph-ơng trình (1) khi m = 5

b/ Chứng tỏ rằng ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c/ Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo m giá trị của biểu thức 2 2

Trang 25

b/ Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình (1) là x x1; 2 Hãy tìm m để

b/ Hãy tìm m để ph-ơng trình (1) có một nghiệm x1 4 2 3  Khi đó hãy tìm nghiệm x2 của ph-ơng trình đó

a/ Giải các ph-ơng trình (1) và (2) trong tr-ờng hợp a = -1

b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai ph-ơng trình trên luôn

có ít nhất một trong hai ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm c/ Tìm m, n để ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình 2

5 0

x   x

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,16 MB