a Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đờng tròn b Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD c Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC.. Chứng minh tứ giác A
Trang 1Hình học ôn thi vào 10 - 2011 Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đờng tròn đờng kính MC cắt
tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia Bn tại điểm thứ hai D
a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đờng tròn
b) Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD
c) Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp
d) Xác định vị trí của điểm M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đờng kính nhỏ nhất có thể
đợc
Bài 2 : Cho (O;R) đờng kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB Từ M kẻ đờng thẳng vuông
góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N Trên tia đối của tia MN lấy điểm C Nối C với B cắt đ-ờng tròn tại điểm thứ hai I Giao điểm của AI với MN là K
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp
b) Chứng minh : CI CB = CK CH
c) Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN
d) Cho MN = R 3 và AN // BC Tính MC
Bài 3 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, điểm M bất nằm trên cung AB Gọi H là điểm chính
giữa cung AM Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) tại K Các tia AH, BM cắt nhau S
a) Chứng minh tam giác BAS cân Từ đó suy ra S nằm trên đờng tròn cố định
b) Chứng minh KS là tiếp tuyến của đờng tròn tâm B, bán kính BA
c) Tia AI cắt đờng tròn tâm B, bán kính BA tại N Chứng minh tứ giác BINS nội tiếp
d) Xác định vị trí của M sao cho góc KMD = 900
Bài 4 : Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm C trên nửa đờng tròn đó (AC < BC), D là
một điểm trên dây BC nhng không trùng với B và C AD cắt nửa đờng tròn tại điểm thứ hai là E, BE cắt
đờng thẳng AC tại F
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
b) Chứng minh góc CDF = góc BAC
c) Gọi giao điểm thứ hai của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BED với đờng tròn đờng kính AB là G Chứng minh FD đi qua G
d) Biết dây AC = a, dây CB = b, tính tổng BE BF + AC AF theo a và b
Bài 5 : Cho (O) và một điểm A cố định ở ngoài đờng tròn Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đờng tròn tại
điểm B và C (B nằm giữa A và C) Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đờng tròn tại M và M, gọi I là trung
điểm của BC
a) Chứng minh : AM2 = AB AC
b) Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp đợc
c) Đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E Chứng minh IE // MC
d) Khi d quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đờng nào ?
Bài 6 : Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với đờng tròn, gọi I là trung
điểm của MC tai BI cắt đờn tròn tại A, tia MA cắt đờng tròn tại D
a) So sánh tam giác AIC và tam giác IBC
b) Chứng minh : IM2 = IA IB
c) Chứng minh BD // MC
d) Chứng minh IM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MAB
e) Khi góc BMC = 600thì tứ giác IBDC là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó theo R
Bài 7 : Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm
trên cung CB, kẻ đờng cao CH của tam giác ACM
a) CMR: tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của góc COM
b) Gọi giao điểm của tia OH với Cb là I và giao điểm thứ hai của đờng thẳng MI với nửa đờng tròn (O) là D Chứng minh MC // BD
c) Xác định vị trí của M sao cho D, B, H thẳng hàng
d) Gọi giao điểm của OH và BM là N Tìm tập hợp điểm N
Bài 8 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho cung AB < cung AC.
Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M, cắt BC tại I
a) Chứng minh: AB IC = AI MB
b) Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia AM tại E Tứ giác ADEC là hình gì ? Chứng minh
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội tiếp
d) Chứng minh rằng B; M; G thẳng hàng
Bài 9 : Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đờng
tròn sao cho góc BAC < 900 Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt đờng tròn tại điểm thứ hai E Các tiếp tuyến của (O) tại C và E cắt nhau tại N Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp
đờng thẳng AB và CE; AE và CN
a) Chứng minh SA = SD
b) Chứng minhEN // SD
Trang 2c) So sánh tam giác QCB và tam giác PCE
d) Chứng minh : 1 1 1
Bài 10 : Cho tam giác ADC ( àA=90o) Điểm B nằm giữa A và C (B ≠ A, B ≠ C) Đờng tròn (O) đờng
kính BC giao CD tại M Tia MA giao với (O) tại N kẻ NP vuông góc với AC (P ∈ (O))
a) Chứng minh CM CD = CB CA
b) Chứng minh D, B, P thẳng hàng
c) Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp
d) Khi B di động trên doạn AC và tia MA giao đờng tròn đờng kính BC tại N Chứng minh rằng trực tâm của tam giác BCD luôn nằm trên đờng thẳng cố định
Bài 11 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) sao cho AB < AC Tiếp tuyến của đờng tròn tại A cắt
đờng thẳng BC tại S Gọi M là trung điểm của BC và I là giao điểm của OM với đờng tròn ( I thuộc cung BC)
a) Chứng minh SA2 = SB SC
b) Chứng minh ãBIC=ãABC ACB+ã
c) Hạ IN vuông góc với AC Chứng minh: Tứ giác MNCI nội tiếp
d) Hạ IP vuông góc với AB Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A( AB > AC) ; đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ
nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E; nửa đờng tròn đờng kính CH cắt AC tại F
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
d*) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn
Bài 13 :Cho đờng tròn (O) , AB là dây cung của (O) ; đờng kính PQ của đờng tròn vuông góc với AB tại
I ( P thuộc cung nhỏ AB) Trên tia đối của tia BA lấy điểm M (góc AQM ≠ 90o), MQ cắt (O) tại E, PE cắt AB tại D
a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp đợc đờng tròn b) Chứng minh PE PD = PI PQ
c) Qua A kẻ đờng thẳng song song với PE cắt (O) tại F Chứng minh BE vuông góc với QF
d) Từ D kẻ DH vuông góc với PM Chứng minh: IP, ME, DH đồng qui
e*) Xác định vị trí của M để D là trung điểm của BI
Bài 14: Cho tam giác ABC ( góc A nhọn) nội tiếp đờng tròn (O) Hai đờng cao BE, CF thứ tự cắt đờng
tròn (O) tại E’ và F’ ; BE cắt CF tại H
a) Chứng minh : Tứ giác AEHF ; tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn
b) Chứng minh : EF // E’F’ c) Chứng minh : OA ⊥ E’F’
d) Tia AO cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai D Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
e) Gọi I là trung điểm của đoạn BC Chứng minhrằng : H, I, D thẳng hàng và AH = 2 IO
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Giao điểm của ba đờng cao AH, BK, CI là S.
a) Chứng minh:Tứ giác CKSH, tứ giác AKHB nội tiếp đợc trong đờng tròn
b) Chứng minh: CK CA = CH CB
c) Chứng minh: S là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác HIK
d) Biết góc ACB = 60o So sánh độ dài đoạn KH và đoạn AB
Bài 16: Cho đờng tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đờng tròn kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn ( B và C
là tiếp điểm) M thuộc cung BC ( phần trong tam giác) , từ M kẻ MI, MK, MH thứ tự vuông góc với BC,
AB, AC MB cắt IK tại E , MC cắt HI tại F
a) Chứng minh: Tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đờng tròn
b) Chứng minh MI2 = MH MK
c) Chứng minh : EF vuông góc với MI
d) Gọi giao thứ hai của đờng tròn (MEK) và (MFH) là N Chứng minh : MN luôn đi qua điểm cố định
Bài 17:Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB , M là một điểm bất kì trên cung AB ( M khác A và
B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt tia Ax tại I Tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E, cắt tia BM tại F Tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K
a) Chứng minh : IA2 = IM IB b) Chứng minh : FK // AI
c) Chứng minh : góc HAF = góc EBA.Tam giác BAF là tam giác gì ?Vì sao?
d) Chứng minh : Tứ giác AHFK là hình thoi
e) Chứng minh : BK BE + AK AM không đổi khi M chạy trên nửa đờng tròn đờng kính AB
Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB, AC.
Gọi giao điểm của DE với AB, AC theo thứ tự là H và K
a) Chứng minh : Tam giác AHK cân
b) BE cắt CD tại I Chứng minh AI vuông góc với DE
c) Chứng minh tứ giác CEKI nội tiếp
d) Tam giác ABC cần điều kiện gì thì AI // EC
Trang 3Bài 19 :Cho đờng tròn (O ; R) và một điểm P nằm ngoài đờng tròn Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA và PM với
đờng tròn(A, M là hai tiếp điểm) Nối OA kéo dài cắt đờng tròn tại B
a) Chứng minh : BM // OP
b) Đờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt BM tại N Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành c) Đờng thẳng AN cắt PO tại K, PM cắt ON tại I, PN cắt OM tại J Chứng minh I, J, K thẳng hàng d) Hãy tính diện tam giác PJO, biết rằng tam giác này đều
Bài 20: Cho tam giác ABC (AC > AB, góc BAC tù) Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC.
Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai
E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F
a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
c) Chứng minh AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh độ dài các
đoạn thẳng DH, DE
Bài 21: Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R, cú hai đường kớnh AB, CD vuụng gúc với nhau M là một
điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC Nối MB, cắt CD ở N
a Chứng minh: tia MD là phõn giỏc của gúc AMB
b Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA Chứng minh: BM.BN khụng đổi
c Chứng minh: tứ giỏc ONMA nội tiếp Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ONMA, I di động như thế nào?
Bài 22: Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB=2R Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E (E≠A) Từ
E, A, B kẻ cỏc tiếp tuyến với nửa đường trũn Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D
a Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường trũn Chứng minh tứ giỏc ACMO nội tiếp được trong một đường trũn
b Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đú suy ra DM CM
DE = CE
c Gọi N là giao điểm của AD và BC Chứng minh MN // BD
d Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO
Bài 23 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M,
BN cắt (O) tại C Gọi E là giao điểm của AC và BM
1 Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp
2 Chứng minh NE ⊥ AB
3 Gọi F là điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O)
4 Chứng minh FN là tiếp tuyến của đờng tròn (B; BA)
Bài 24 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng
của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC
1 Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành
2 E, F nằm trên đờng tròn (O)
3 Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân
4 Gọi G là giao điểm của AI và OH Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 25 Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R) Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B
và C chúng cắt nhau tại A Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI, MH,
MK xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH
là Q
1 Chứng minh tam giác ABC cân 2 Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp
3 Chứng minh MI2 = MH.MK 4 Chứng minh PQ ⊥ MI
Bài 26 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B)
; trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đ-ờng tròn (O) tại C và D Gọi I là giao điểm của AD và BC
1 Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I
3 Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp