Quy hoạch tuyến tính

là một phương án.. là một phương án cực biên... Các dạng đăâc biêât của bài toán QHTT:a.

BỐ CỤC BÀI GIẢNG

1.Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính:

1.1 Lââp kế hoạch sản xuất:

1.2 Phân bổ vốn đầu tư:

2 Định nghĩa:

1 Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT):

1.1 Lââp kế hoạch sản xuất:

sản phẩm

Chi phí L 1 L 2 L 3 Số lượng nguyên

liêâu hiêân có (kg) Nguyên liêâu 1 (N1)

Nguyên liêâu 2 (N2)

Nguyên liêâu 3 (N3)

Lao đôâng (phút)

4 2 3 10

5 4 6 7

3 3 4 6

15.000 12.000 10.000 500.000

Giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được hết với lợi nhuâân khi bán môât đơn vị sản phẩm L 1 , L 2 , L 3

tương ứng là 5000:10000:7000 (đồng) Yêu cầu lâ âp kế hoạch sản xuất tối ưu

Gọi x j là số sản phẩm của L j (j = 1,2, 3) cần sản xuất (x j

Số phút cần sử dụng: 10 x1 + 7 x2 + 6 x3 ≤ 500.000

Tổng lợi nhuâân theo kế hoạch sản xuất là:

5000 x + 10000 x + 7000 x

Yêu cầu tối ưu là: 5000 x 1 + 10000 x 2 + 7000 x 3 → max

Theo kế hoạch sản xuất phải tìm lượng nguyên liêâu tiêu hao là:

N 1 :

Mô hình bài toán:

Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho:

Tổng quát: ta có bài toán lââp kế hoạch sản xuất

dưới dạng bảng số liêâu sau đây:

Mô hình:

Tìm x = (x1, x2,…, xn) sao cho:

max 1

2.2 Phân bổ vốn đầu tư:

Môât nhà đầu tư có 4 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực

Lĩnh vực đầu tư Lãi suất/năm Cổ phiếu

Công trái Gửi tiết kiêâm Bất đôâng sản

20%

12%

15%

18%

Ngoài ra, để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho rằng

không nên đầu tư vào cổ phiếu vượt quá 30% tổng

số vốn đầu tư; đầu tư vào công trái và gửi tiết kiêâm

ít nhất 25% tổng vốn đầu tư; gửi tiết kiêâm ít nhất

300 triêâu đồng Hãy xác định kế hoạch phân bổ vốn

đầu tư sao cho tổng lợi nhuận hàng năm là lớn

nhất.

• Do tổng số tiền đầu tư không được vượt quá số tiền

hiêân có nên: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 4000 (triêâu đồng)

•Điều kiêân về số tiền đầu tư vào chứng khoán:

x ≤ x + x + x + x ⇔ − x + x + x + x ≥

Gọi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tương ứng là số tiền (triêâu đồng) đầu

tư vào chứng khoán, công trái, gửi tiết kiêâm, bất đôâng sản ( )xj ≥ 0, j = 1, , 4

•Lãi suất của năm là: 0, 2 x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4

•Yêu cầu tối ưu:

Vâây để lââp mô hình toán học của môât bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau:

Bước 1: Đăât ẩn và điều kiêân cho ẩn.

Bước 2: Lââp hêâ ràng buôâc chính

Bước 3: Lââp hàm mục tiêu

2 Định nghĩa:

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng:

Tìm x = (x 1 , x 2 , …,x n ) sao cho:

hàm mục tiêu

ràng buôâc biến

(ràng buôâc chính)

ràng buôâc dấu

 Vectơ x=( x 1 , x 2 ,…, x n ) được gọi là phương án (PA) của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hêâ ràng buôâc của bài toán

 Phương án x*=( x 1 *, x 2 *, …, x n *) được gọi là phương án tối ưu (PATƯ) của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục

tiêu tại đó là tốt nhất.

 Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có).

 Môât số khái niêâm:

Bài toán giải được là bài toán có PATƯ.

Bài toán không giải được là bài toán không có PATƯ

Khi đó hoăâc là bài toán không có phương án hoăâc có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chăân

( đối với bài toán max (min)).f x ( ) → +∞ −∞ ( )

 Nếu phương án x thỏa mãn ràng buôâc nào đó với

dấu “=” thì ta nói x thỏa mãn chă ăt ràng buôâc đó Ngược lại nếu thỏa dấu “>” hoăâc “<” thì ta nói thỏa mãn lỏng

ràng buôâc đó.

 Môât số khái niêâm:

- Ứng với ràng buôâc thứ i ta có vectơ A i * = (a i1 , a i2 , …,a i3 ).

mj

a a A

- Hêâ vectơ A i * tương ứng với các ràng buôâc chính tạo

thành ma trâ ăn ràng buô ăc chính, ký hiêâu là A.

- Các ràng buôâc gọi là ràng buô ăc đô ăc lâ ăp tuyến tính nếu

hêâ véctơ A i * tương ứng đôâc lââp tuyến tính.

 Môât số khái niêâm:

- Phương án cực biên (phương án cơ bản): là phương

án thỏa mãn chăât n ràng buôâc đôâc lââp tuyến tính.

+ Phương án cực biên (PACB) thỏa mãn chăât đúng n

ràng buôâc gọi là PACB không suy biến, PACB thỏa mãn chăât hơn n ràng buôâc gọi là PACB suy biến.

 Môât số khái niêâm:

là một phương án.

là một phương án cực biên

Mô hình bài toán:

Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho:

Hêâ ràng buôâc chính

Hêâ ràng buôâc dấu

3 Các dạng đăâc biêât của bài toán QHTT:

a Bài toán QHTT dạng chính tắc:

max min 1, ,

n

j j j

n

j i j

Ví dụ 2: Cho bài toán QHTT có hệ ràng buộc:

* Cách biến đổi bài toán QHTT dạng tổng quát về dạng chính tắc:

- Nếu có ràng buôâc dấu dạng thì đă ât x’ j = -x j ,

Ví dụ 4: Đưa bài toán QHTT sau về dạng chính tắc.

b Bài toán dạng chuẩn:

* Môât ma trâân chứa các vectơ A j lââp được thành môât ma trâân đơn vị được gọi là ma trâân chứa ma trâân đơn vị.

* Bài toán QHTT dạng chuẩn là:

+ Bài toán QHTT dạng chính tắc.

 Bằng cách sắp xếp lại bài toán QHTT dạng chuẩn

+ + + + =

≥ = ≥ =

 Các biến có vecto cột hệ số tạo thành ma trâân đơn vị

gọi là biến cơ sở Biến còn lại gọi là biến phi cơ sở.

 Cách đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn:

- Nếu thì nhân hai vế ràng buôâc với -1.

- Nếu ma trâân A chưa có ma trâân đơn vị thì thêm vào ẩn giả.

 Mục tiêu của ẩn giả là để tạo vectơ đơn vị khi chưa

có ma trâân đơn vị Nếu trong ma trâân A đã có sẵn môât số vectơ đơn vị thì chỉ cần thêm ẩn giả vào những

phương trình cần thiết để tạo thành bài toán mở rôâng có dạng chuẩn.

 Hêâ số của ẩn giả trong hàm mục tiêu là M (-M) nếu f

min (max), với M là số dương khá lớn.

Ví dụ: Đưa các bài toán QHTT đã được đưa về dạng chính tắc ở các ví dụ 3, 4 về dạng chuẩn.