Bài giảng xác suất thống kê

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình, với độ tin cậy 1 ư α Nếu kích thước mẫu đủ lớn n≥ 30, mặc dù phân bố mẫu có thể không là phân bố chuẩn, tuy nhiên áp dụng luật giới hạn trung tâm t

Thống kê toán

Xét một mẫu ngẫu nhiên

(X1, X2, , Xn)tương ứng với đại lượng ngẫu nhiên X

E(X) = m, D(X) = σ2.Gọi ξ là đại lượng ngẫu nhiên:

P (ξ = xi) = 1

n với mọi i = 1, 2, , n

Khi đó E(ξ), D(ξ) được gọi là các đặc trưng mẫu Người ta kí hiệu X = E(ξ) là kì vọng mẫu và S2= D(ξ)

là phương sai mẫu Hiển nhiên

X = X1+ X2+ + Xn

1n

S∗2 được gọi là là phương sai mẫu điều chỉnh

E(X) = m = E(X), E(S∗2) = σ2= D(X),Nhận xét 4

1 X không những hội tụ theo xác suất mà hội tụ hầu chắc chắn tới m = E(X)

2 S2, S∗2hội tụ hầu chắc chắn (suy ra cũng hội tụ theo xác suất) tới σ2 khi n → ∞

2 Các hàm phân bố thường gặp trong thống kê

Hàm Gamma, Beta và tính chất hàm Gamma, Beta

A Tích phân sau hội tụ với mọi x > 0, y > 0

eưttxư1dt +

 +∞

1

eưttxư1dt = I1+ I2

Tích phân I1 hội tụ vì với 0 < x < 1, 0 < t
1, ta có eưttxư1< t1ưx1

Tích phân I2 hội tụ vì limt→+∞eưttx+1= 0, suy ra với t đủ lớn eưttxư1< t12

B Tích phân sau hội tụ với mọi x > 0, y > 0

B(x, y) =

 1 0

txư1(1ư t)yư1dt

Tách Γ(x) thành hai tích phân

B(x, y) =

 1 0

txư1(1ư t)yư1dt =

 c 0

txư1(1ư t)yư1dt +

 1 c

6 Ta công nhận kết quả sau đúng với mọi số thực x > 0, y > 0

B(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x + y).Phân bố Gamma, Beta

1 Nếu Xi ∈ N(mi, σ2

i), i = 1, 2, , n độc lập, khi đó trung bình mẫu

X = X1+ X2+ã ã ã + Xn

n ∈ N(m, σ2)trong đó

2 Phân bố của Y = X với X ∈ N(m, σ ) Hàm mật độ của Y

√yσ2 Nếu m = 0

g(y) = 12σ√2πe

ưy 2σ2yư12 Phân bố của Y = X2 là trường hợp đặc biệt của phân bố Gamma: G(y, α, p) = const ã eưαyypư1

Đặc biệt B(x, 1, 1) = x là hàm mật độ của phân bố đều trên đoạn [0, 1]

Bài tập 1 H1y tính các mô men cấp k của phân bố Beta (B(α+k,β)B(α,β) )

Từ đó suy ra kì vọng và phương sai của nó (m = α

Bài tập 3 Giả sử X ∈ G(α1, 1) và Y ∈ G(α2, 1) độc lập có phân bố Gamma Khi đó u = X+YX có phân bốBeta với các tham số (α1, α2)

p1ư1

(1 + f )p 1 +p 2.Chứng minh Hàm mật độ của (X, Y ) bằng

cã eưαxưαyxp1 ư1yp2 ư1

Đổi biến x = r sin2ϕ, y = r cos2ϕ, 0 < r < +∞, 0 < ϕ < π

2, khi đó Jacobien của (x, y) bằng J(r, ϕ) =

r sin 2ϕ Mật độ của (r, ϕ) bằng

c′ã eưαrrp 1 +p 2 ư1(sin ϕ)2p 1 ư1(cos ϕ)2p 2 ư1, (2)

điều đó chứng tỏ r và ϕ độc lập Suy ra r = X + Y và f = X

Y = tg2ϕ cũng độc lập Từ biểu thức (2) hiểnnhiên r ∈ G(α, p1+ p2)

Để xác định hàm mật độ của f, ta sử dụng phép đổi biến ϕ = arctg√

f , ta thu được kết quả

Γ(p1+ p2)Γ(p1)Γ(p2)ã f

p 1 ư1

(1 + f )p1+p2.Chú ý rằng với phép biến đổi u = 1 , khi đó1

up2ư1(1ư u)p1ư1du =∞ fp1ư1

df

1 Phân bố χ

Nếu Xi∈ N(0, 1), i = 1, 2, , n độc lập, khi đó phân bố của X2+ X2+ã ã ã + X2

n được gọi là phân

bố χ2 với n bậc tự do Người ta thường kí hiệu χ2(n) là lớp các đại lượng ngẫu nhiên có phân bố χ2 với

n bậc tự do Đây là trường hợp đặc biệt của phân bố Gamma (α = 1

2, p = n

2) với hàm mật độG(x,1

 mn

m 2

ã Γ(

m+n

2 )Γ(m2)Γ(n2)ã x

m

2 ư1

(1 +mxn )m+n2

3 Phân bố Student (hay còn gọi là phân bố t)

Nếu X ∈ χ2(n) và Y ∈ N(0, 1) độc lập, khi đó phân bố của

T =√YX

√n

được gọi là phân bố T (hay phân bố Student) với n bậc tự do Phân bố đồng thời của (Y, X) bằng

cã eưy22 eưx2xn2 ư1

Đổi biến y = r sin ϕ, x = r2cos2ϕ, 0 < r < +∞, ưπ

2 < ϕ < π2, khi đó Jacobien của (x, y) bằngJ(r, ϕ) = 2r2cos ϕ Mật độ của (r, ϕ) bằng

√

x =

√ntgϕ hay ϕ = arctg√t

có phân bố Student với n bậc tự do

Kí hiệu S(n) là lớp các đại lượng ngẫu nhiên có phân bố Student với n bậc tự do

4 Phân bố của trung bình mẫu và phương sai mẫu.

n = X2+ã ã ã + X2

n=(Xiư X)2+ nX2⇔ Y2+ã ã ã + Y2

n = (nư 1)S∗2

(c) Với véc tơ m = (m, m, , m), ta có A(X ư m) = Y ư (m√n, 0, , 0) = (Y1ư m√n, Y2, , Yn).Suy ra

(Y1ư m√n)2+ Y2+ã ã ã + Yn2= (X1ư m)2+ (X2ư m)2+ã ã ã + (Xnư m)2.Biết hàm mật độ của X bằng

cã eư

(xiưm)22σ2 Vậy mật độ của Y bằng

cã eư(y1ưm

√n)2+y2+ããã+y n2

Điều đó chứng tỏ Y1= X√

n∈ N(m√n, σ2), Yi∈ N(0, σ2), i = 2, , n độc lập và(nư 1)S∗2

σ

√

n∈ N(0, 1) và nS 2

σ 2 =(nư1)Sσ2 ∗2 ∈ χ2(nư 1)

3 Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình

(a) Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai σ2 đ1 cho Khoảng tin cậy cho giá

trị trung bình, với độ tin cậy 1 ư α

(b) Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai chưa biết Khoảng tin cậy cho giá trị

trung bình, với độ tin cậy 1 ư α

Nếu kích thước mẫu đủ lớn (n≥ 30), mặc dù phân bố mẫu có thể không

là phân bố chuẩn, tuy nhiên áp dụng luật giới hạn trung tâm ta có thể

sử dụng công thức sau để tính khoảng tin cậy cho giá trị trung bình, độ

4 Khoảng tin cậy cho xác suất

Cho biến cố ngẫu nhiên với xác suất p cấn phải ước lượng Giả thiết %p = k

n

là tần suất xuất hiện của biến cố đó (Kích thước mẫu đủ lớn - thông thường

n≥ 40) Khi đó với độ tin cậy 1 ư α, khoảng tin cậy cho xác suất

%

pư√uαn



%p(1ư %p) < p <p +% √uα

n



%p(1ư %p),trong đó uα được xác định từ hệ thức P (|u| ≥ uα) = α, u∈ N(0, 1)

5 Khoảng tin cậy cho phương sai của phân bố chuẩn

Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai σ2 cấn phải ước lượng Với độ tin cậy

1ư α, khoảng tin cậy cho σ2

nS2

χ2

α 2

< σ2< nS

2

χ2 1ư α 2trong đó χ2

α được xác định từ hệ thức P (χ2> χ2α) = α,(χ2là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố χ2

với (n ư 1) bậc tự do)

6 Khoảng tin cậy cho hiệu các giá trị trung bình của phân bố chuẩn

6.1 Trường hợp phương sai đã biết

Gọi (X1, X2, , Xm) là mẫu ngẫu nhiên tương ứng với đại lượng ngẫu nhiên X ∈ N(m1, σ2), (Y1, Y2, , Yn)

là mẫu ngẫu nhiên tương ứng với đại lượng ngẫu nhiên Y ∈ N(m2, σ2) Các tham số m1, m2 chưa biết và

σ2, σ2là các tham số đ1 biết Giả thiết tiếp các đại lượng ngẫu nhiên

m +

σ2 2

nSuy ra

Nếu n1, n2 đủ lớn (≥ 30), ta xấp xỉ công thức trên cho hiệu các giá trị

trung bìnhm1ưm2cả trong trường hợp các mẫu đM cho không tuân theo

phân bố chuẩn, sử dụng S∗

1 vàS∗

2 thay cho σ1, σ2 tương ứng trong công thức trên.

6.2 Trường hợp các phương sai chưa biết và bằng nhau

Gọi (X1, X2, , Xm) là mẫu ngẫu nhiên tương ứng với đại lượng ngẫu nhiên X ∈ N(m1, σ2), (Y1, Y2, , Yn)

là mẫu ngẫu nhiên tương ứng với đại lượng ngẫu nhiên Y ∈ N(m2, σ2) (Chúng có phương sai bằng nhau).Các tham số m1, m2, σ2 chưa biết và giả thiết rằng các đại lượng ngẫu nhiên



m + nmn

có phân bố chuẩn, thuộc lớp N(0,1) Dễ dàng chứng minh được

mSX2 + nSY2

m + nư 2

là ước lượng không chệch của σ Người ta chứng minh được rằng (thay σ trong thống kê trên bằng ước lượngcủa nó)

t = (Xư Y ) ư (m1ư m2)

&

mS 2

X +nS 2 Y

m+nư2

&

m+n mn



=

mn(m + nư 2)

m + n ã(Xư Y ) ư (m 1ư m2)

mS2

X+ nS2 Y



có phân bố Student với m + n ư 2 bậc tự do

Đặc biệt khi hai giá trị trung bình bằng nhau m1= m2

t =

mn(m + nư 2)

m + n ã Xư Y

mS2

X+ nS2 Y

cũng có phân bố Student với m + n ư 2 bậc tự do

Khoảng tin cậy cho hiệu các giá trị trung bình m1ư m2 với độ tin cậy 1 ư α bằng

m + nư 2 và tα được xác định từ hệ thức

P (|t| ≥ tα) = α (t có phân bố Student với m + nư 2 bậc tự do.)

7 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình (trường hợp σ2 đã biết)

Bài toán 1 và quy tắc kiểm định

Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai σ2 đ1 cho Kiểm định giả thiết về kì

vọng mẫu, mức ý nghĩa α

(H) : m = m0,với đối thiết

(K) : m= m0.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu



Xư m0

σ

√n





 = |uqs| > uα,trong đó uα được xác định từ hệ thức P (|u| ≥ uα) = α, u∈ N(0, 1)

Bài toán 2 và quy tắc kiểm định

Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai σ2 đ1 cho Kiểm định giả thiết về kì

vọng mẫu, mức ý nghĩa α

(H) : m = m0,với đối thiết

(K) : m > m0.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu Xư m0

σ

√

n = uqs > uα,trong đó uα được xác định từ hệ thức P ((u ≥ uα) = α, u∈ N(0, 1)

Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai σ đ1 cho Kiểm định giả thiết về kì

vọng mẫu, mức ý nghĩa α

(H) : m
m0,với đối thiết

(K) : m > m0.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu Xư m0

σ

√

n = uqs > uα,trong đó uα được xác định từ hệ thức P ((u ≥ uα) = α, u∈ N(0, 1)

Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai σ2 đ1 cho Kiểm định giả thiết về kì

vọng mẫu, mức ý nghĩa α

(H) : m = m0 hoặc (H) : m
m0

với đối thiết

(K) : m > m0.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu Xư m0

σ

√

n = uqs > uα,trong đó uα được xác định từ hệ thức P ((u ≥ uα) = α, u∈ N(0, 1)

Hoàn toàn tương tự, chúng ta sẽ xét bài toán kiểm định 1 phía nữa

σ

√

n = uqs<ưuα,trong đó uα được xác định từ hệ thức P ((u ≥ uα) = α, u∈ N(0, 1)

8 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình (trường hợp σ2 chưa biết)

Mẫu có phân bố chuẩn với phương sai σ2 chưa biết Kiểm định giả thiết về kì



Xư m0

S∗

√n





 > tα,trong đó tα được xác định từ hệ thức P (|t| ≥ tα) = α(t có phân bố Student với nư 1 bậc tự do.)

(b) Bài toán 2

(H) : m = m0 hoặc (H) : m
m0

với đối thiết

(K) : m > m0.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu tqs= Xư m0

S∗

√

n > tα,trong đó tα được xác định từ hệ thức P (t ≥ tα) = α(t có phân bố Student với nư 1 bậc tự do.)

(c) Bài toán 3

(H) : m = m0 hoặc (H) : m ≥ m0

với đối thiết

(K) : m < m0.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu tqs= Xư m0

S∗

√

n <ưtα,trong đó tα được xác định từ hệ thức P (t ≥ tα) = α(t có phân bố Student với nư 1 bậc tự do.)

9 Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của các giá trị trung bình

9.1 Trường hợp phương sai đã biết

(b) Bài toán 2

(H) : m1= m2 hoặc (H) : m1
m2

với đối thiết

(K) : m1> m2.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu &Xư Y

Nếu mẫu có kích thước đủ lớn (m, n > 30), một cách xấp xỉ khá tốt là

áp dụng quy tắc nêu trên để kiểm định giả thiết không, kể cả trường hợp

phân bố mẫu không có phân bố chuẩn, thay các phương sai σ2, σ2 trong

thống kê ubằng các phương sai mẫu điều chỉnhS∗2

X và S∗2

Y .

9.2 Trường hợp các phương sai chưa biết và bằng nhau







mn(m + nư 2)

m + n ã  Xư Y

mS2

X+ nS2 Y





> tα,trong đó tα được xác định từ hệ thức P (|t| ≥ tα) = α

(t có phân bố Student với m + nư 2 bậc tự do.)(b) Bài toán 2

(H) : m1= m2 hoặc (H) : m1
m2

với đối thiết

(K) : m1> m2.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu

mn(m + nư 2)

m + n ã Xư Y

mS2

X+ nS2 Y

> tα,trong đó tα được xác định từ hệ thức P (t ≥ tα) = α

(t có phân bố Student với m + nư 2 bậc tự do.)(c) Bài toán 3

(H) : m1= m2 hoặc (H) : m1≥ m2

với đối thiết

(K) : m1< m2.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu

mn(m + nư 2)

m + n ã  Xư Y

mS2

X+ nS2 Y

<ưtα,trong đó tα được xác định từ hệ thức P (t ≥ tα) = α

(t có phân bố Student với m + nư 2 bậc tự do.)

10 Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của các phương sai

Giả sử {Xi}m

i=1 ∈ N(m1, σ2

X) {Yi}n

i=1 ∈ N(m2, σ2

Y) là các mẫu hoàn toàn

độc lập, có phân bố chuẩn Kiểm định giả thiết về các phương sai, với mức ý

nghĩa α Ta sắp xếp sao cho S∗

X

2> S∗ Y 2

(a) Bài toán 1

(H) : σX2 = σY2với đối thiết

(K) : σX2 = σ2

Y.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu SX∗

2

S∗ Y

2 > Fα/2,trong đó Fα/2 được xác định từ hệ thức P (F ≥ Fα/2) = α

2(F là đại lượng ngẫu nhiên phân bố F với m ư 1, n ư 1 bậc tự do.)(b) Bài toán 2

(H) : σX2 = σY2 hoặc (H) : σ2

X
σY2với đối thiết

(K) : σX2 > σY2.Quy tắc: Bác bỏ (H) nếu SX∗

2

S∗ Y

2 > Fα,trong đó Fα được xác định từ hệ thức P (F ≥ Fα) = α(F là đại lượng ngẫu nhiên phân bố F với m ư 1, n ư 1 bậc tự do.)

11 Kiểm định giả thiết về xác suất của biến cố ngẫu nhiên

Giả sửA là biến cố ngẫu nhiên có xác suất P (A) = p chưa biết Ta sử dụng ước lượng

%

p = X = X1+ X2+ã ã ã + Xn

ntrong đó Xibằng 1 hoặc 0 tùy theo biến cố A xảy ra hoặc không xảy ra ở phép thử ngẫu nhiên thứ i, i = 1, 2, , n.(%p thực chất là tần suất xuất hiện của biến cố A) Khi đó n%p có phân bố nhị thức với

E(np) = np,% D(np) = npq, q = 1% ư pvới mức ý nghĩa α cho trước

Ta đ1 biết, theo định lí giới hạn trung tâm

Kiểm định giả thiết về xác suất của biến cố ngẫu nhiên.

Giả thiết kích thước mẫu n đủ lớn (n ≥ 40) Kiểm định giả thiết về xác suất,

n %pư p0



p0(1ư p0) > uα,trong đó uα được xác định từ hệ thức P (u ≥ uα) = α

n p%ư p0



p0(1ư p0) <ưuα,trong đó uα được xác định từ hệ thức P (u ≥ uα) = α

12 Kiểm định giả thiết về tính phù hợp của hàm phân bố

Giả thiết mẫu ngẫu nhiên gồm n phần tử mẫu Các phần tử mẫu được phân loại

thành r nhóm: mỗi nhóm chứa ni phần tử mẫu, mỗi phần tử mẫu chỉ thuộc một

(H) : Xác suất để mỗi phần tử mẫu thuộc nhóm thứ i bằng pi

α được xác định từ hệ thức P (χ2> χ2α) = α,(χ2là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố χ2

với r ư 1 bậc tự do)

Người ta cũng sử dụng phân bố χ2 để kiểm định các bài toán về tính phù hợp của hàm phân bố Xét bàitoán kiểm định giả thiết:

(H): Một đại lượng ngẫu nhiên X nào đó có phân bố dạng F (x, Θ) với đối thiết ngược lại

Giả sử tham số Θ = (Θ1, Θ2, , Θk) là véc tơ, gồm k tham số tạo thành (chẳng hạn như dạng phân bốchuẩn F (x, Θ) = F (x, m, σ2)∈ N(m, σ2) gồm 2 tham số thành phần)

Để giải bài toán đó, người ta chọn một mẫu ngẫu nhiên

(X1, X2, , Xn)tương ứng với đại lượng ngẫu nhiên X và chia các phần tử mẫu vào r nhóm: mỗi nhóm chứa niphần tử mẫu,mỗi phần tử mẫu chỉ thuộc một nhóm duy nhất

(Giả sử phân bố F (x, Θ) là phân bố chuẩn N (m, σ2), Θ được coi như véc tơ (m, σ2) và số tham số củaphân bố bằng k = 2, trường hợp F (x, λ) là phân bố mũ chẳng hạn số tham số của phân bố là k = 1, )Miền bác bỏ của kiểm định do vậy là

trong đó χαđ−ợc xác định từ hệ thức P (χ > χα) = α, (χ là đại l−ợng ngẫu nhiên có phân bố χ với r −k −1bậc tự do) Ta tóm tắt quy tắc trên trong bảng sau

Kiểm định sự phù hợp với hàm phân bố chứa tham số ch−a biết

Giả thiết mẫu ngẫu nhiên gồm n phần tử mẫu Các phần tử mẫu đ−ợc phân loại

thành r nhóm: mỗi nhóm chứa ni phần tử mẫu, mỗi phần tử mẫu chỉ thuộc một

(H) : Mẫu ngẫu nhiên có phân bố dạng F (x, Θ)

xác suất đó đ−ợc tính thông qua hàm phân bố F (x, %Θ) mà %Θ = ( 'Θ1, 'Θ2, , 'Θk)

là các −ớc l−ợng hợp lí cực đại của các tham số Θ1, Θ2, , Θk

Phân vị χ2

α đ−ợc xác định từ hệ thức P (χ2> χ2α) = α,(χ2là đại l−ợng ngẫu nhiên có phân bố χ2

(H): P (AiBj) = P (Ai)P (Bj) với mọi i = 1, 2, , r; j = 1, 2, , s

Xét một mẫu ngẫu nhiên cỡ n (mẫu gồm n phần tử mẫu) Ta đ−a vào các kí hiệu sau:

nij là số lần xảy ra biến cố tích AiBj trong tập hợp các phần tử mẫu

Các số nij được xếp vào bảng sau đây:

α được xác định từ hệ thức P (χ2> χ2

α) = α,(χ2là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố χ2 với (r ư 1)(s ư 1) bậc tự do)

Chú ý rằng xấp xỉ tương đối tốt nếu n i n j

n 2 ≥ 5 với mọi i, j.

14 Hệ số tương quan mẫu

Trong lí thuyết xác suất, chúng ta biết rằng để đo mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều đại lượng ngẫu nhiên, người

ta thường tính các hệ số tương quan giữa chúng

̺(X, Y ) =cov(X, Y )

σxσy

=E[(Xư E(X))(Y ư E(Y ))]

D(X)

Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập khi đó hệ số tương quan ̺(X, Y ) = 0 Trường hợp

|̺(X, Y )| = 1, giữa X và Y có mối quan hệ phụ thuộc tuyến tính Y = aX + b Trong thống kê, thay vì hai

đại lượng ngẫu nhiên X, Y ta xét mẫu ngẫu nhiên

(X1, Y1), (X2, Y2), , (Xn, Yn)

Có thể coi chúng như các điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng toạ độ Hệ số tương quan mẫu được định nghĩa

r =

1 n

n i=1(xiư x)(Yiư Y )

SxSY

=

1 n

n i=1xiYiư x ã Y

n i=1(xiư x)(Yiư Y )

S∗

xS∗ Y

=

n i=1xiYiư nx ã Y

n i=1X2

1 n

n i=1xi 1nn

i=1yi n1n

i=1(xiư x)2 1

n

n i=1(yiư y)2

658,95833 1272,16667 85, 024252 163, 50712

Hệ số tương quan mẫu do vậy bằng

r =

1 n

n i=1(xiư x)(yiư y)

là mẫu ngẫu nhiên tương ứng với hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y Chẳng hạn khi xét bài toán dự báo đỉnh

lũ hàng năm trên sông Hồng tại Hà nội đ1 nói trong mục trước Chúng ta cảm nhận được mối liên hệ giữalượng mưa (X) hàng năm và đỉnh lũ tại Hà nội (Y ), tuy nhiên không có thông tin nào hơn về mối liên hệ thựcgiữa X và Y , khi đó ta giả thiết giữa chúng có mối quan hệ tuyến tính (bậc nhất) Mặt khác do chúng taxem lượng mưa và đỉnh lũ là các đại lượng ngẫu nhiên, vì vậy khi dự báo lượng mưa Y với điều kiện lượngmưa X bằng một giá trị x nào đó, ta chỉ có thể khảo sát hàm phân bố có điều kiện của Y (X còn gọi làbiến độc lập và Y được gọi là biến phụ thuộc) Đặc trưng quan trọng của phân bố có điều kiện làkì vọng có

điều kiệnE(Y /X = x) Vì vậy trong chương này chúng ta hạn chế chỉ xét trường hợpkì vọng có điều kiện

E(Y /X = x) là hàm tuyến tính đối vớiX

E(Yi/X = xi) = αxi+ β i = 1, 2, , n

Như vậy sai số giữa Yi và kì vọng có điều kiện E(Yi/X = xi), kí hiệu

εi = Yiư E(Yi/X = xi) = Yiư (αxi+ β)

là đại lượng ngẫu nhiên có kì vọng bằng 0

E(εi) = E(Yi)ư E(E(Yi/X = xi)) = E(Yi)ư E(Yi) = 0

Vậymẫu hồi quy tuyến tínhcủa Y đối với X được tóm tắt như sau:

Đại lượng ngẫu nhiên độc lập X nhận các giá trị xi, khi đó

Yi= αxi+ β + εi i = 1, 2, , n (3)trong đó α, β là các hệ số cần ước lượng, y = αx + β được gọi là đường thẳng hồi quy, εi là đại lượngngẫu nhiên có kì vọng E(εi) = 0

Ta gọi a, b là các ước lượng bất kì của các hệ số α, β tương ứng Khi đó đường thẳng hồi quy được ướclượng là đường thẳng

y = ax + b

Độ lệch (hay tạm gọi là sai số) giữa yi với đường thẳng trên tại điểm xi, kí hiệu ei bằng

e = y ư (ax + b)