Bài giảng xác suất thống kê chương 3 nguyễn ngọc phụng

Biến ngẫu nhiênĐịnh nghĩa Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một số thực... Phân loại biến ngẫu nhiênDựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một số thực.

X : Ω −→ R

Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω)

Ví dụ:

1 Tung hai con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm của hai con xúc xắc Ta

có X : ω = (ω1; ω2) −→ ω1+ ω2

2 Lấy ý kiến khách hàng về một loại sản phẩm ta được

Ω={"Kém","Bình thường","Tốt"}

Khi đó, ta đặt X : Ω −→ R

X("Kém")=-1, X("Bình thường")=0, X("Tốt")=1

Phân loại biến ngẫu nhiên

Dựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2 loại:

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên rời rạc)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn) được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.

X là bnn rời rạc

⇔ X(Ω) =



{x1,x2, ,x n} , Ω có n phần tử

{x1,x2, ,x n, } , Ω có vô hạn phần tử đếm được

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên liên tục)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập không đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

Phân loại biến ngẫu nhiên

Ví dụï:

1 Tung 3 con xúc xắc cân đối Gọi X là tổng số chấm của 3 con xúc

xắc Ta có X là bnnrr và X(Ω) = {3 18}.

2 Một người ném bóng vào rổ từ vị trí cách rổ 5m đến khi nào vào rổ thì ghi nhận lại số lần ném bóng của mình (X) Ta có X là bnnrr và

X(Ω) = N∗

3 Đo mực nước biển ở đảo Cát Bà cho thấy nó dao động từ 3,3m đến 3,9m Gọi X là mực nước biển ở đảo Cát Bà ở một thời điểm ngẫu

nhiên Ta có X là bnnlt và X(Ω) = [3, 3; 3, 9].

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa

Phân phối xác suất của X còn được gọi là bảng phân phối xác suất của

X, cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong X(Ω) tương ứng.

X x1 x2 · · · x n · · ·

P p1 p2 · · · p n · · ·

với P(X = x i) =p i

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Tính chất (1)

X

i

p i=p1+ · · · +p n+ · · · = 1

Tính chất (2)

P(a ≤ X < b) = X

a≤x i<b

p i, x i ∈ X(Ω).

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ:

1 Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số phế phẩm lấy được a) Tìm phân phối xác suất của X

b) Tính P(X < 3).

2 Một người ném bóng từ vị trí cách rổ 5m cho đến khi ném vào rổ thì dừng Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3 Gọi X là số lần người đó đã ném a) Tìm phân phối xác suất của X

b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần

Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

(Trường hợp liên tục)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được đặc trưng bởi hàm mật độ xác suất f(x) có các tính chất sau:

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

+∞

Z

−∞

f(x)dx = 1.

P(a ≤ X ≤ b) =

b

Z

a

f(x)dx.

Biến ngẫu nhiên liên tục

Phân phối xác suất

Ví dụ:

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: f(x) =

(

0 ,x < 1 c

x2 ,x ≥ 1

a) Xác định c

2).

Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là F X(x), là hàm được xác định bởi:

F X(x) = P(X ≤ x), x ∈ R

Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị từ −∞ đến x

Nếu X là bnnrr thì

F X(x) =X

x i ≤x

P(X = x i) =X

x i ≤x

p i

Nếu X là bnnlt thì F X(x) =

x

R

−∞

f(t)dt.

Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất

Ví dụ:

1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

P 0, 2 0, 5 0, 3 a) Tìm hàm phân phối xác suất của X

b) Vẽ đồ thị của hàm phân phối xác suất vừa tìm được

2 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là:

f(x) =

( 0 ,x < 1

1

x2 ,x ≥ 1 Tìm hàm phân phối xác suất của X.

Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất

Tính chất (1)

X là bnn liên tục ⇔ F(x) liên tục trên R.

Tính chất (2)

F(−∞) = 0, F(+∞) = 1.

Tính chất (3)

P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a).