Bài giảng Xác suất Thống kê Đặng Phước Huy, Trường Đại học Đà Lạt

Phần I: Xác suất Chương 1. Các khái niệm về xác suất Chương 2. Biến ngẫu nhiên Chương 3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên các luật giới hạn Phần II: Thống kê Chương 4: Giới thiệu về Thống kê Chương 5: Điều tra và tổng hợp thống kê Chương 6: Phân tích thống kê Phụ lục: Bảng phân phối xác suất Tài liệu tham khảo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC

Y Z

ĐẶNG PHƯỚC HUY

XÁC SUẤT - THỐNG KÊ

(Bài Giảng Tóm Tắt)

Lưu hành nội bộ

Y Đà Lạt 2008 Z

Môc lôc

PhÇn I: X¸c suÊt

PhÇn II: Thèng kª

Phần I

X¸c suÊt

Các khái niệm về xác suất

Bên cạnh các hiện t-ợng gọi là tất định có các hiện t-ợng gọi là “ngẫu nhiên” Để minhhọa cho các hiện t-ợng có tính ngẫu nhiên chúng ta xem một số ví dụ:

a Gieo con xúc xắc, kết quả là một trong các mặt có số nút từ 1 đến 6.

b Quan sát l-ợng khách tại một khách sạn trong một tháng cố định nào đó.

c Đo thời gian sống của bóng đèn do một nhà máy sản xuất.

Rõ ràng ở ví dụ (a), không thể biết chắc đ-ợc mặt số nút nào sẽ xảy ra tr-ớc mỗi lần gieo.Trong ví dụ (b) lại càng không thể đoán tr-ớc đ-ợc l-ợng khách ở tháng này trong năm là

bao nhiêu (chừng nào ngày cuối của tháng này ch-a qua) Trong ví dụ (c), ta không thể biết

giá trị về thời gian sống của bóng đèn tr-ớc mỗi lần đo

Các hiện t-ợng trên có một đặc điểm chung là chỉ khi kết thúc hành động (gieo con xúc

xắc xong, thống kê l-ợng khách đến hết ngày cuối cùng của tháng đ-ợc quan sát, kết thúc việc đo thời gian sống của bóng đèn) mới biết đ-ợc kết quả Ta nói các hiện t-ợng đó là

ngẫu nhiên và hành động gieo con xúc xắc, quan sát l-ợng khách đ-ợc gọi là phép thử

ngẫu nhiên (hay là thí nghiệm ngẫu nhiên) Tóm lại, ta quan niệm:

Phép thử ngẫu nhiên: là một phép thử mà kết cục xảy ra của nó chỉ có thể biết chắc chắn

khi phép thử kết thúc Ta sẽ th-ờng dùng chữ E để chỉ cho một phép thử ngẫu nhiên (đôi khigọi ngắn gọn là phép thử)

Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của các hiện t-ợng ngẫu nhiên mang tính

ổn định (tính chất đám đông) Tính chất này thể hiện, chẳng hạn, qua ví dụ sau:

Khi gieo một đồng xu, nếu quan sát sự xuất hiện của biến cố {mặt sấp} trong từng lần gieo thì chúng ta không thể dự đoán đ-ợc khả năng xuất hiện của biến cố này Tuy nhiên,

3

nếu tiến hành số lần gieo khá lớn trong những điều kiện đồng đều nhau, thì có thể xác định tính ổn định của số lần {mặt sấp} xảy ra T-ơng tự nh- vậy, nếu giả thiết mọi bóng đèn do một nhà máy sản xuất là cùng một quy trình công nghệ và điều kiện môi tr-ờng (tính đồng

đều) Khi đó nếu lấy yếu tố “thời gian sống của bóng đèn” làm chỉ tiêu đánh giá chất l-ợng sản phẩm sản xuất ra, chẳng hạn ta tuyên bố một bóng đèn là đạt yêu cầu khi {thời gian sống của nó > 20000 giờ}, gọi biến cố này là A Chúng ta không thể biết đ-ợc A có xảy

ra hay không tr-ớc mỗi lần đo từng bóng đèn, nh-ng nếu tiến hành đo một số l-ợng lớn các bóng đèn do nhà máy sản xuất thì khả năng xảy ra của biến cố A sẽ ổn định.

Nói tóm lại, lý thuyết xác suất đã mô hình hóa toán học các hiện t-ợng ngẫu nhiên mang tính ổn định theo nghĩa đám đông nh- trên (một lời bàn khá lý thú về vấn đề này có thể xem trong [1]).

Biến cố ngẫu nhiên: Khi thực hiện một phép thử E, có thể xảy ra các kết cục khác nhau.

Ta gọi mỗi kết cục của một phép thử ngẫu nhiên là một biến cố ngẫu nhiên (hoặc ngắn gọn

là biến cố).

Biến cố cơ bản: Một biến cố trong phép thử E gọi là cơ bản nếu nh- nó không thể phân chia

đ-ợc thành các biến cố khác (nó xảy ra không phụ thuộc vào sự xuất hiện hoặc không xuất

hiện của các biến cố khác) của phép thử.

Ví dụ 1.1.1 Phép thử E: gieo con xúc xắc Xét các biến cố của phép thử này:

E k = {mặt số nút k}; k = 1, 2, 6,

A = {Mặt có số nút chẵn}.

Các biến cố cơ bản của phép thử là E1, E2, E3, E4, E5, E6 Biến cố A không là biến cố cơ bản vì nó xảy ra phụ thuộc vào sự xuất hiện của một trong các biến cố hoặc E2, hoặc E4, hoặc E6.

Không gian biến cố cơ bản: là tập hợp tất cả các biến cố cơ bản của một phép thử Ký hiệu

là Ω

Ví dụ 1.1.3 Gieo đồng thời 2 con xúc xắc, không gian biến cố cơ bản là:

Ω = {Eij | i, j = 1, 2, , 6} = {(Ei , E j) | i, j = 1, 2, , 6}

với ký hiệu E k nh- trong Ví dụ (1.1.1) Trong tr-ờng hợp này tập Ω có 36 biến cố.

Ví dụ 1.1.4 Trong ví dụ (b) Mục 1.1.1, không gian biến cố cơ bản là:

Ω = {0, 1, 2, , N0}

với N là số nguyên d-ơng khá lớn nào đó.

Ví dụ 1.1.5 Trong ví dụ (c) Mục 1.1.1, không gian biến cố cơ bản là:

Ω = [0, ∞).

Ví dụ 1.1.6 Để kiểm tra chất l-ợng một lô hàng gồm N sản phẩm, ng-ời ta dùng ph-ơng

pháp lấy mẫu ngẫu nhiên Tiến hành lấy ngẫu nhiên k sản phẩm trong lô (k 6 N ), số phế phẩm ghi nhận đ-ợc trong mẫu lấy ra sẽ làm cơ sở cho việc đánh giá chất l-ợng của lô hàng Nh- vậy, trong tr-ờng hợp này phép thử E chính là một lần lấy ngẫu nhiên ra từ lô hàng k sản phẩm Một biến cố cơ bản của phép thử chính là một bộ gồm k sản phẩm sau một lần lấy ra Số l-ợng biến cố cơ bản của phép thử này bằng chính số lần lấy ra k sản phẩm không kể thứ tự trong N sản phẩm, tức là bằng

C N k = N !

k!(N − k)!

Ghi chú Dựa vào không gian biến cố cơ bản có thể định nghĩa biến cố của một phép thử E

nh- sau: Một biến cố ngẫu nhiên của phép thửE là một tập con củaΩ.

Với định nghĩa này có thể mô tả tốt hơn các biến cố của một phép thử ngẫu nhiên Thật vậy, nhằm minh họa ta xét phép thử gieo con xúc xắc trong Ví dụ (1.1.1):

- Không gian biến cố cơ bản là: Ω = {E1, E2, E3, E4, E5, E6} Vì bản thân Ω cũng là tập con của chính nó nên Ω là một biến cố ngẫu nhiên của phép thử (mệnh đề t-ơng ứng cho biến cố ngẫu nhiên này là: “một trong các mặt có số nút từ 1 đến 6 xảy ra” Đây là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử).

- Mệnh đề “Mọi mặt có số nút từ 1 đến 6 là không xảy ra”, sự kiện này luôn luôn không xuất hiện khi thực hiện phép thử Nó thể hiện cho một biến cố không thể xảy ra và nếu xem tập trống (ký hiệu ∅) cũng là tập con của một tập hợp, thì mệnh đề trên t-ơng ứng với một biến

cố chính là tập ∅ Biến cố này gọi là biến cố trống.

- Mệnh đề “Mặt có số nút chẵn xảy ra” t-ơng ứng với tập con {E2, E4, E6} của Ω nên nó cũng là một biến cố của phép thử trên.

Xét phép thử E với không gian biến cố cơ bản Ω Ta có các khái niệm sau:

Biến cố hợp: Với E và F là hai biến cố bất kỳ của Ω (tức là hai tập con của Ω), thì tập E ∪ F

cũng là một biến cố của phép thử và gọi là biến cố hợp của hai biến cố trên Nh- vậy, E ∪ F

xảy ra khi và chỉ khi hoặc E hoặc F xảy ra

Biến cố giao: Cũng với hai biến cố nh- trên, thì tập E ∩ F đ-ợc gọi là biến cố giao của hai

biến cố E và F Nó xảy ra khi và chỉ khi đồng thời cả E và F cùng xảy ra

Biến cố trống: Là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu là ∅ (xem ghi

chú mục tr-ớc)

Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử Ta dùng cùng ký hiệu

không gian các biến cố cơ bản Ω để chỉ cho biến cố này

Hai biến cố xung khắc: Với E và F là hai biến cố bất kỳ của Ω, hai biến cố này gọi là xung

khắc nhau nếu nh- E ∩ F = ∅ Nghĩa là, E và F không đồng thời xảy ra khi thực hiện phép

thử

Chú ý:

+ Nếu hai biến cố E và F xung khắc ta dùng ký hiệu E + F thay cho E ∪ F (gọi là tổng của hai biến cố xung khắc) Đôi khi, để cho tiện ta viết EF thay cho E ∩ F (và gọi là tích của hai biến cố).

+ Các định nghĩa hợp và giao hai biến cố đ-ợc mở rộng tự nhiên cho tr-ờng hợp có nhiều biến cố.

Hai biến cố đối lập: Với E là biến cố bất kỳ của Ω, ta gọi E là biến cố đối lập của E nếu

1.2 Xác suất

Hệ biến cố đầy đủ: Xét phép thử E và không gian biến cố cơ bản Ω của nó Với một hệ các

tập con của Ω là {H1, H2, , H n}(Hk ⊂ Ω, k = 1, 2, , n), ta nói hệ này là đầy đủ nếu

nh- các biến cố trong hệ thỏa mãn các điều kiện:

H i H j = ∅; ∀i 6= j (Tính xung khắc)

và H1 + H2+ ã ã ã + Hn = Ω (Tính đầy đủ).

Hệ đầy đủ này gọi là đồng khả năng nếu nh-: khi tiến hành phép thử E, mỗi biến cố Hi cókhả năng xảy ra nh- nhau

đồng khả năng của một phép thử E Với A biến cố bất kỳ của phép thử (tức là A ⊆ Ω) có tính chất: A là biến cố hợp của m biến cố nào đó trong hệ trên (ta nói có m tr-ờng hợp

thuận lợi để A xảy ra) (m 6 n) Khi đó, khả năng để A xảy ra đ-ợc xác định bằng một giá

trị gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A) và cho bởi:

P (A) = m

n =

số tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra

Ví dụ 1.2.1 Gieo một con xúc xắc cân đối trong Ví dụ (1.1.1) Mục 1.1.2.

Ví dụ 1.2.2 Trong Ví dụ (1.1.3) Mục 1.1.2, khi gieo đồng thời 2 con xúc xắc (cân đối) ta

biết không gian biến cố cơ bản của phép thử là một hệ gồm 36 biến cố nh- sau:

Ω = {Eij | i, j = 1, 2, , 6} = {(Ei , E j ) | i, j = 1, 2, , 6}.

Để ý rằng Ω cũng là một hệ các biến cố đầy đủ và đồng khả năng của phép thử Xét biến cố

A = {Tổng số nút mặt xuất hiện của hai con xúc xắc là 7}.

B i B j = ∅ (i 6= j)

12X

vì các biến cố trong hệ trên không đồng khả năng xảy ra (chẳng hạn, xét B2 và B3 Để B2

xảy ra chỉ khi nào E11 xảy ra, nh-ng để B3 xảy ra thì hoặc E12 hoặc E21 xảy ra, tức là khả năng xảy ra của B3 không đồng đều nh- B2 Điều này đ-ợc thể hiện từ xác suất t-ơng ứng của chúng, vì ta có

P (B2) = 361 6= P (B3) = 362 = 181 ).

Bạn đọc thử tìm một hệ đầy đủ khác cho ví dụ này mà có tính đồng khả năng để có thể tính P (A) thông qua đó?

Ví dụ 1.2.3 Một lô hàng có N sản phẩm, trong đó có r phế phẩm (r < N ) Lấy ngẫu nhiên

trong lô hàng n sản phẩm (n < N ) Hãy tính xác suất của biến cố

Biến cố A xảy ra chỉ khi trong n sản phẩm lấy ra có k phế phẩm phải đ-ợc lấy từ số

r phế phẩm (và có C k

r khả năng lấy đ-ợc nh- vậy), đồng thời (n − k) sản phẩm còn lại là tốt và chúng phải đ-ợc lấy từ (N − r) sản phẩm tốt của lô hàng (có C N −r n−k khả năng lấy nh- vậy) Do đó số tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra sẽ bằng tích của hai số khả năng trên, tức

là xác suất của A cho bởi:

P (A) = C

k

r C N −r n−k

C n

Ví dụ 1.2.4 Một đoàn tàu gồm 25 toa, trong đó có 6 toa chở hàng Tại một ga nào đó ng-ời

ta muốn cắt lại một toa một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để toa đó là toa hàng?

Gọi A = {Toa cắt ra là toa hàng} Dễ dàng thấy có 6 tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy

ra (t-ơng ứng với số toa chở hàng) Số l-ợng toa của đoàn tàu chính là số biến cố trong hệ

đầy đủ và đồng khả năng của phép thử, vậy:

P (A) = 6

25.

Trong nhiều bài toán thực tế, các kết cục xảy ra của phép thử ngẫu nhiên không thể làtập hữu hạn các biến cố Chẳng hạn, phép thử gieo cây kim rơi trên một mặt bàn, vị trí điểmgãy khi kiểm tra sức chịu lực của một thanh dằn Đối với các tr-ờng hợp nh- vậy, công thứcxác suất (1.2.1) không thể áp dụng đ-ợc Tuy nhiên một mở rộng của định nghĩa xác suấttrên đ-ợc xây dựng nh- sau:

Định nghĩa xác suất hình học: Giả sử phép thử E đ-ợc tiến hành và kết quả của nó là một

điểm nào đó nằm trong miền hình học S (mọi điểm trong S đều có thể là kết quả của phép

thử với khả năng xảy ra nh- nhau, không gian biến cố cơ bản của phép thử trong tr-ờng hợp

này là miền S) Gọi A là một tập con của S (nên A là một biến cố) Khi đó xác suất của A

ở đây, M es = độ dài, diện tích, thể tích nếu nh- miền S là miền trên đ-ờng thẳng, trong

không gian 2 chiều, trong không gian 3 chiều t-ơng ứng

Ví dụ 1.2.5 Gieo ngẫu nhiên một cây kim trên một mặt bàn S Trên mặt bàn có đánh dấu

một chấm cố định Tính xác suất biến cố A = {đầu mũi kim chạm trúng chấm cố định}?

Rõ ràng trong tr-ờng hợp này phải dùng công thức (1.2.2):

là tần suất của một biến cố theo nghĩa sau

Tần suất: Tiến hành n lần độc lập một thí nghiệm để quan sát sự xuất hiện của một biến cố

A (trong mỗi lần thí nghiệm, A chỉ có thể xảy ra không quá một lần) Gọi f là số lần A xảy

ra trong n lần thí nghiệm đó Tần suất của biến cố A là tỉ số:

f

n .

Chính tần suất này là giá trị mà trong thực nghiệm ng-ời ta có thể nhận đ-ợc và khiquan sát với các loạt phép thử khác nhau, mỗi loạt phép thử với số lần tiến hành thí nghiệmkhá lớn, ng-ời ta nhận thấy tỉ lệ trên là ổn định (tức là nó giao động quanh một số cố định

nào đó) Số cố định này biểu thị cho khả năng xuất hiện của biến cố A và đ-ợc gọi là xác suất của A Nh- vậy có thể quan niệm xác suất của biến cố A nh- sau:

Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê: Xác suất của biến cố A là giá trị ổn định của

tần suất của nó khi số phép thử đ-ợc tiến hành đủ lớn

Theo quan niệm này một biến cố trống (tức là biến cố không thể xảy ra khi tiến hành phép

thử) sẽ có xác suất 0 vì tần suất của nó luôn bằng 0 Chẳng hạn biến cố A = {Mặt có số nút 7} trong phép thử gieo con xúc xắc thì A là biến cố trống, tần suất của A luôn bằng 0 nên xác suất A bằng 0 Tuy nhiên một biến cố có xác suất 0 ch-a hẳn là không xảy ra khi tiến hành

phép thử Điều này dễ hiểu vì tần suất của nó có thể chỉ là xấp xỉ 0 (khi tiến hành phép thửvới số lần khá lớn), do vậy vẫn có thể trong một lần nào đó của loạt thử này biến cố xảy ra

Chẳng hạn, phép thử gieo cây kim trong Ví dụ (1.2.5) biến cố A có xác suất 0, nh-ng vẫn

có khả năng A xảy ra trong một lần gieo nào đó (tuy điều này khá hãn hữu).

Để đ-a ra các tính chất tổng quát của xác suất, ta trở lại Ví dụ (1.1.1) Mục 1.1.2 khi

gieo con xúc xắc cân đối Không gian biến cố cơ bản là Ω = {Ek | k = 1, 2, , 6} Có các

nhận định sau đây:

+ Với A là một biến cố bất kỳ của phép thử này: A là tập con của Ω nên A là hợp của một

số nào đó các biến cố trong Ω Số tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra chính bằng số các biến

cố cơ bản hợp thành A Nếu gọi k là số này thì k không thể quá 6 và không ít hơn 0, suy ra:

t-ơng tự P (∅) = 06 = 0 (vì không có tr-ờng hợp nào để ∅ xảy ra)

+ Xét hai biến cố xung khắc

Từ trên ta thấy xác suất của một biến cố có tính chất nh- sau

Tính chất của xác suất: Với Ω là không gian các biến cố cơ bản của một phép thử, E là

một biến cố bất kỳ của nó (E là tập con của Ω) Ta có:

(a) 0 6 P (E) 6 1

(b) P (Ω) = 1, P (∅) = 0

(c) Với E, F là hai biến cố xung khắc:

P (E + F ) = P (E) + P (F ).

Chú ý: tính chất (c) có thể đ-ợc mở rộng cho một dãy các biến cố xung khắc Cụ thể, nếu

dãy các biến cố E1, E2, là xung khắc từng đôi (nghĩa là: E n E m = ∅; n 6= m ) thì

Ví dụ 1.2.7 Với E và F là hai biến cố bất kỳ của phép thử, ta tìm công thức cho P (E ∪ F ).

Gọi Ω là không gian các biến cố cơ bản của phép thử thì E và F là hai tập con của Ω Nếu quan niệm theo tập hợp ta có thể biểu diễn:

Ta xét phép thử gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối Không gian các biến cố cơ

bản của phép thử này là tập gồm 36 phần tử dạng Eij (xem Ví dụ (1.1.3) Mục 1.1.2) Gọi

E = {Con xúc xắc 1 có số nút 6 2}, F = {Tổng số nút trên hai con xúc xắc là 7} Khi đó

ký hiệu là P (F | E) và xác suất này bằng 122 Từ (*) ta có công thức

P (EF ) = P (E)P (F | E).

Từ đó ta có thể định nghĩa về xác suất có điều kiện nh- sau

Định nghĩa xác suất có điều kiện: Cho E và F là hai biến cố bất kỳ trong một phép thử.

Xác suất có điều kiện của biến cố F biết rằng E đã xảy ra (đọc là xác suất của F khi biết

E) ký hiệu P (F | E) đ-ợc cho bởi

P (F | E) = P (EF )

để (1.2.5) có nghĩa phải có P (E) > 0.

Ví dụ 1.2.9 Một túi có chứa 10 tấm thẻ đ-ợc đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên từ túi ra

một tấm Hãy tính xác suất để lấy ra đ-ợc tấm số 10, biết rằng tấm lấy ra có số không bé hơn 5.

Gọi E = { tấm lấy ra có số >5 } và F = { lấy ra tấm số 10 } Xác suất cần tính là P(F/E).

Vì EF xảy ra khi và chỉ khi tấm lấy ra đồng thời > 5 và có số là 10, tức là EF = F Từ

đó theo công thức (1.2.5) ta có

P (F/E) =

1 10 6 10

Tổng quát ta có công thức nhân xác suất trên n biến cố nh- sau:

Giả sử A1, A2, , A n là n biến cố trong một phép thử E Khi đó

P (A1A2ã ã ã An) = P (A1)P (A2 | A1)P (A3 | A1A2) ã ã ã P (An | A1A2ã ã ã An−1). (1.2.6)

Ví dụ 1.2.10 Một hộp có 7 bi đen và 5 bi trắng Lấy hú họa liên tiếp từ hộp ra 2 bi (không

hoàn lại) Tính xác suất để 2 bi lấy ra đều đen?

Gọi E và F theo thứ tự là biến cố bi lấy ra lần thứ nhất và thứ hai là đen Vì lần thứ nhất lấy ra bi đen nên trong hộp còn 6 bi đen và 5 bi trắng, do đó P (F | E) = 116 , còn xác suất P (E) = 127 Vậy xác suất cần tìm là P(EF)

P (EF ) =P (E).P (F/E)

Ví dụ 1.2.11 Có 3 lọ giống nhau đựng các thuốc loại a, b, c nh-ng không có nhãn Một

ng-ời ghi hú họa nhãn thuốc cho mỗi lọ bằng các chữ a, b, c (nhãn trên mỗi lọ đ-ợc ghi khác nhau) Tính xác suất sao cho không có nhãn nào đúng với loại thuốc có trong lọ của nó?

Gọi A, B, C t-ơng ứng là các biến cố lọ ghi nhãn a, b, c đúng với loại thuốc có trong

nó Tr-ớc tiên ta tính xác suất của biến cố có ít nhất một lọ đ-ợc ghi đúng, xác suất này là

P (A ∪ B ∪ C) Ta có

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC)

(công thức trên xem nh- bài tập).

Tính các xác suất trong tổng trên nh- sau:

• Dễ thấy: P (A) = P (B) = P (C) = 13

• P (AB) = P (A)P (B | A) , xác suất B biết rằng A đã xảy ra, nghĩa là sau khi có một lọ ghi đúng thì chỉ còn 2 lọ nên khả năng ghi đúng lọ tiếp theo chỉ còn 1, vậy

P (B | A) = 12, tức là P (AB) = (1/3)(1/2) = 1/6 T-ơng tự cho các xác suất của giao hai biến cố khác cũng bằng 1/6

h-ởng gì đến biến cố F có xảy ra hay không Tr-ờng hợp hai biến cố E và F không độc lập

ta nói chúng là phụ thuộc

Ví dụ 1.2.12 Trong ví dụ (1.1.3) mục (1.1.2), khi gieo đồng thời hai con xúc xắc, nếu gọi

E2 = {tổng số nút trên mặt xảy ra của hai con là 7} Ta có

vậy E2 và F độc lập (Có thể lý giải tại sao hai biến cố trên là độc lập dựa vào bản chất phép thử?)

Chú ý: Định nghĩa về tính độc lập có thể mở rộng cho số biến cố lớn hơn hai Cụ thể: bộ các

biến cố E1, E2, , E n trong một phép thử đ-ợc gọi là độc lập nhau (độc lập trong toàn bộ)

nếu nh- mọi bộ gồm k biến cố bất kỳ E1 0, E2 0, , E k0 lấy từ n biến cố trên (k 6 n), thỏa

P (E1 0E2 0ã ã ã Ek0) = P (E1 0)P (E2 0) ã ã ã P (Ek0).

Ví dụ 1.2.13 Một hộp có 4 viên bi đ-ợc đánh số từ 1 đến 4 Lấy hú họa từ hộp ra một bi.

Đặt E = {1, 2}, F = {1, 3}, G = {1, 4} Khi đó dễ thấy

1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Công thức xác suất đầy đủ

Tính xác suất qua hệ đầy đủ: Cho hai biến cố E và F của một phép thử nào đó Chúng

ta có thể biểu diễn E nh- sau:

E = EF ∪ EF

Chú ý rằng hai biến cố hợp thành biến cố E ở trên là xung khắc nên ta có

P (E) =P (EF ) + P (EF )

số của mỗi xác suất có điều kiện này chính là xác suất để điều kiện t-ơng ứng của nó xảy

ra Công thức này còn gọi là công thức xác suất đầy đủ

Ví dụ 1.2.14 Có hai hộp, hộp I gồm 2 bi trắng và 7 bi đen, hộp II gồm 5 bi trắng và 6 bi

đen Ng-ời ta gieo một đồng xu cân đối, sau đó lấy hú họa một bi từ hộp I hoặc II phụ thuộc vào việc mặt S hay N xảy ra Biết rằng bi lấy ra là trắng Tính xác suất để tr-ớc đó mặt S xảy ra?

Gọi W là biến cố bi lấy ra màu trắng, H là biến cố mặt S xảy ra Xác suất cần tính là

Ví dụ 1.2.15 Để trả lời một câu hỏi dạng trắc nghiệm nhiều ph-ơng án lựa chọn

(MCQ-Multiple choice query) một sinh viên hoặc biết câu trả lời hoặc đoán hú họa Gọi p là xác suất mà anh ta biết câu trả lời và (1-p) là xác suất anh ta đoán hú họa Giả sử rằng xác suất sinh viên đoán hú họa đúng câu trả lời là 1/m, với m là số khả năng lựa chọn của câu hỏi Một sinh viên trả lời một câu hỏi, biết rằng anh ta trả lời đúng Tính xác suất sinh viên

đó biết câu trả lời đối với câu hỏi này?

Đặt C và K t-ơng ứng là biến cố sinh viên trả lời câu hỏi đúng và biến cố anh ta thật

sự biết câu trả lời Xác suất cần tính là P (K | C).

Ví dụ 1.2.16 Một ph-ơng pháp xét nghiệm máu, hiệu lực phát hiện đúng ng-ời mắc bệnh

nh- sau: xác suất kết luận có “d-ơng tính” đối với ng-ời có bệnh là 95 phần trăm, xác suất kết luận có “d-ơng tính” đối với ng-ời khỏe mạnh là 1 phần trăm (tức là, nếu một ng-ời khỏe mạnh đ-ợc xét nghiệm thì với xác suất 0,01 kết quả xét nghiệm theo ph-ơng pháp này

sẽ suy rằng anh ta là có bệnh) Biết rằng tỉ lệ ng-ời mắc bệnh là 0,5 phần trăm Một ng-ời

đ-ợc kiểm tra, kết quả xét nghiệm ng-ời đó là “d-ơng tính” Tính xác suất ng-ời đó thật sự

Chú ý: Công thức (1.2.7) có thể phát triển tổng quát hơn Giả sử F1, F2, , F n là một hệ

đầy đủ các biến cố (xem Mục 1.2), với E là biến cố bất kỳ (trong cùng phép thử với hệ cácbiến cố trên) ta có:

(Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh công thức trên khi phân tích biến cố E nh- sau)

E = (EF1) ∪ (EF2) ∪ ∪ (EFn)

là hợp của n biến cố xung khắc, phần còn lại đ-ợc suy ra t-ơng tự cách làm trong chứngminh công thức (1.2.7) Về ý nghĩa công thức này hoàn toàn giống công thức (1.2.7), P(E)

là trung bình có trọng số của tập n điểm {P (E | Fi)} t-ơng ứng tập trọng số {P (Fi)}(cũng

cần để ý rằng tổng các trọng số này bằng 1)

Công thức Bayes

Cũng từ chú ý trên, nếu biết biến cố E đã xảy ra, ng-ời ta quan tâm khả năng để mộttrong số các biến cố trong hệ đầy đủ là có thể xảy ra Từ công thức (1.2.8) và định nghĩaxác suất có điều kiện ta có

Bài tập ch-ơng 1

1 Một hộp có 3 banh: 1 đỏ, 1 xanh, 1 trắng Lấy hú họa một banh từ hộp sau đó trảtrở lại hộp và lấy tiếp ngẫu nhiên từ hộp ra một banh lần thứ hai Không gian biến cốcơ bản của phép thử này là gì? Biết rằng mọi banh trong hộp đều có khả năng rút nh-nhau Hãy tính xác suất của các biến cố cơ bản của phép thử

2 Nh- Bài tập 1 nh-ng sau mỗi lần lấy banh thứ nhất ta không trả trở lại hộp

3 Gieo một đồng xu tới khi thấy mặt S xảy ra hai lần thì ngừng Không gian biến cố cơbản của phép thử này là gì? Giả sử đồng xu cân đối, tính xác suất để phép thử ngừng

ở lần thứ t-

4 Cho E, F, G là các biến cố của một phép thử Hãy tìm biểu thức cho các biến cố sau

(a) Chỉ có F xảy ra trong ba biến cố trên.

(b) Cả E và F xảy ra nh-ng G không xảy ra.

(c) Có ít nhất một biến cố xảy ra.

(d) Có ít nhất hai biến cố xảy ra.

(e) Cả ba biến cố điều xảy ra.

(f) Không có biến cố nào xảy ra.

(g) Có nhiều nhất một biến cố xảy ra.

(h) Có nhiều nhất hai biến cố xảy ra.

5 Nếu P (E) = 0, 9 và P (F ) = 0, 8, chứng tỏ rằng P (EF ) > 0, 7 Tổng quát chứng

minh rằng

P (EF ) > P (E) + P (F ) − 1.

6 Ta nói biến cố E là kéo theo biến cố F nếu nh- E xảy ra thì F cũng xảy ra và ký hiệu

E ⊂ F (nếu quan niệm nh- tập hợp thì một điểm thuộc E thì thuộc F ) Chứng tỏ rằng

nếu E ⊂ F thì

P (F ) > P (E).

7 Gieo hai con xúc xắc cân đối Tính xác suất tổng số nút hai mặt xuất hiện là k (k =

2, 3, , 12)?

8 Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối Tìm xác suất sao cho:

(a) Tổng số nút ở mặt trên hai con xúc xắc bằng 8.

(b) Hiệu số nút ở mặt trên hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2.

(c) Số nút ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau.

9 Một lô hàng gồm N sản phẩm Để quyết định có nhận lô hàng hay không ng-ời ta lấy ngẫu nhiên từ lô ra n sản phẩm (n 6 N ) và kiểm tra: nếu số sản phẩm xấu trong mẫu lấy ra kiểm tra bé hơn m thì ng-ời ta nhận lô hàng Tính xác xuất lô hàng đ-ợc nhận biết rằng số sản phẩm xấu trong lô hàng là k.

10 Dùng phép chứng minh quy nạp để chứng minh công thức xác suất sau

P (E1E2ã ã ã En) = P (E1)P (E2 | E1)P (E3 | E1E2) ã ã ã P (En | E1E2ã ã ã En−1).

11 Một lô hàng gồm 150 sản phẩm, trong đó có 6 phần trăm phế phẩm Ng-ời ta dùngph-ơng pháp chọn mẫu để kiểm tra lô hàng và quy -ớc: kiểm tra lần l-ợt 6 sản phẩm,nếu có ít nhất một trong 6 sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô hàng Tìm xác suấtchấp nhận lô hàng

12 Các nhân viên của một phòng thí nghiệm đều có mỗi ng-ời một số thẻ khác nhau đểtrong một hộp Phòng thí nghiệm có 15 nhân viên nam và 6 nữ Lấy lần l-ợt từ hộp ra

3 thẻ Tìm xác suất để các số thẻ lấy ra đều là số thẻ ứng với nhân viên nam

13 Cho ba hộp mỗi hộp đều có 5 bi trắng và 3 bi đỏ Lấy hú họa một bi từ hộp một và bỏvào hộp thứ hai, sau đó lấy hú họa một bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp ba, cuối cùng lấy

từ hộp ba ra một bi Tính xác suất đó là bi trắng

14 Một nhà máy sản xuất bút máy có 90 phần trăm sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.Trong quá trình kiểm nghiệm, xác suất để chấp nhận một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹthuật là 0,95 và xác suất để chấp nhận một sản phẩm không đạt tiêu chuẩn là 0,08 Tìmxác suất để một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua kiểm nghiệm đ-ợc chấp nhận

15 Tìm xác suất sao cho khi rút hú họa 13 con bài từ một cổ bài tú lơ khơ 52 con thì đ-ợc

2 con bài màu đỏ Hãy so sánh xác suất đó với xác suất t-ơng ứng của biến cố có đúnghai lần mặt S xuất hiện trong 13 lần gieo độc lập một đồng xu cân đối

16 Có hai hộp, hộp I gồm 10 bi trong đó có 8 bi trắng và hộp II gồm 20 bi trong đó có

4 bi trắng Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một bi, sau đó trong hai bi thu đ-ợc lại rút húhọa một bi Tính xác suất để bi đó là trắng

17 Có 5 hộp kim trong đó có 3 hộp loại I, mỗi hộp chứa 9 kim tốt và 1 kim xấu Hai hộploại II, mỗi hộp có 4 kim tốt và 2 kim xấu Lấy hú họa một hộp và từ đó rút ra mộtkim Tìm xác suất kim rút ra là kim xấu Thấy kim rút ra là kim xấu, khả năng kimnày thuộc hộp loại nào nhiều nhất?

18 Bắn ba viên đạn vào cùng một bia Xác suất trúng đích của viên thứ nhất, thứ hai vàthứ ba t-ơng ứng là 0,4; 0,5; 0,7

(a) Tìm xác suất sao cho trong 3 viên đạn có đúng một viên trúng đích.

(b) Tìm xác suất để có ít nhất một viên trúng đích.

19 Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng tiền liên tiếp Ai gieo đ-ợc mặt sấp đầu tiên sẽ thắngcuộc Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé Biết rằng đồng tiền là cân đối

20 Tiến hành ba phép thử độc lập Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử là

p = 0, 1 Xác suất xuất hiện biến cố B tùy thuộc vào số lần xuất hiện của A Nếu A

xuất hiện k lần (k = 0, 1, 2, 3), thì xác suất xuất hiện biến cố B t-ơng ứng là 0, k Tìm

số (chỉ số lần xuất hiện biến cố A) có khả năng nhất, nếu giả sử biến cố B đã xuất hiện

Biến ngẫu nhiên

Trong các vấn đề thực tiễn khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên nào đó, điều chúng

ta th-ờng quan tâm không phải chính các kết quả trực tiếp xảy ra từ phép thử mà là sự tác

động trên các kết quả của phép thử thông qua một quy luật xác định nào đó Chẳng hạn khigieo hai con xúc xắc, ta qua tâm sự kiện “tổng số nút trên hai mặt xuất hiện của chúng”, đó

là quy luật xác định sự t-ơng ứng của mỗi biến cố thật sự (biến cố cơ bản) của phép thử vớiduy nhất một số thực, ví dụ “tổng số nút trên hai mặt xuất hiện bằng 4”, nghĩa là các biến

cố E13, E22, E31(xem ký hiệu Mục 1.1.2 Ch-ơng 1) của phép thử t-ơng ứng với số thực là 4.Nói cách khác, với sự kiện tổng số nút trên hai mặt xuất hiện của hai con xúc xắc, tức là ta

quan tâm đến khả năng xảy ra của các số 2, 3, , 12.

Do đó, có thể quan niệm một hàm có giá trị thực xác định trên không gian biến cố cơbản của phép thử đ-ợc gọi là một biến ngẫu nhiên, và vì thế có thể xét xác suất để biến ngẫunhiên này nhận giá trị nào đó Các ví dụ:

Ví dụ 2.1.1 Gọi X là biến ngẫu nhiên xác định tổng số nút trên hai mặt xuất hiện của hai

con xúc xắc trong phép thử trên Khi đó X nhận giá trị nguyên d-ơng từ 2 đến 12 Ta có thể tính các xác suất:

Từ ph-ơng trình (2.1.1) có thể thấy các biến cố {X = k}(k = 2, 3, , 12) là xung khắc,

biến ngẫu nhiên X có tính chất: X nhận giá trị k (k=2,3, , 12) mỗi giá trị với xác suấtt-ơng ứng xác định bởi (2.1.1) và tổng các xác suất này bằng

1 = P

12[

k=2

P

X = k

.

Ví dụ 2.1.2 Gieo hai đồng xu (cân đối) Gọi Y là số lần mặt S xảy ra Khi đó Y là biến

ngẫu nhiên nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất t-ơng ứng

dễ thấy tổng các xác suất trên bằng 1.

Ví dụ 2.1.3 Giả sử rằng xác suất xảy ra mặt S của một đồng xu không cân đối là p Tiến

hành gieo đồng xu cho tới khi mặt S xuất hiện Gọi N là số lần gieo này, giả thiết các lần gieo là độc lập (với cùng điều kiện nh- nhau trong các lần gieo và kết quả lần gieo này không

ảnh h-ởng bởi lần gieo tr-ớc đó) Khi đó N là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên d-ơng 1, 2, 3, , với các xác suất t-ơng ứng

Để ý rằng

Pn[∞

n=1 {N = n}o

=

∞X

n=1

P {N = n}

=p

∞X

n=1 (1 − p) n−1

1 − (1 − p) = 1.

Trong những ví dụ trên, các biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên một tập đếm đ-ợc (hữu hạnhoặc vô hạn) các số thực Những biến ngẫu nhiên nh- thế gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.Ngoài ra còn có những biến ngẫu nhiên gọi là liên tục, đó là những biến ngẫu nhiên lấy giátrị trên một tập con (không đếm đ-ợc) của tập số thực Chẳng hạn, nếu gọi X là thời gian

sống của bóng đèn thì X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên khoảng (a, b) ⊂ R.

Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X là hàm xác định với x ∈ R bởi ph-ơng trình

F (x) = P {X < x}; ∀x ∈ R. (2.1.2)

Để ý rằng với X là một biến ngẫu nhiên, vì X nhận giá trị thực nên tập {X < x} chính

là tập các biến cố cơ bản nào đó của phép thử mà qua X nhận giá trị < x, với mọi số thực

x Nói khác đi {X < x} là một tập con của không gian biến cố cơ bản và do đó nó là một

biến cố ngẫu nhiên của phép thử

Tính chất (1) suy ra từ: a < b thì biến cố {X < a} chứa trong biến cố {X < b} nên xác suất

phải nhỏ hơn (2) và (3) suy ra từ nhận xét biến ngẫu nhiên X chỉ lấy giá trị hữu hạn

Từ hàm phân phối ta có thể tính xác suất để X nhận giá trị trên một khoảng bất kỳ nào

đó, chẳng hạn

P {a 6 X < b} = F (b) − F (a) (với mọi a < b). (2.1.3)

2.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Theo mục tr-ớc, chúng ta biết một biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên lấy giá trịtrên tập đếm đ-ợc các số thực nào đó Với biến ngẫu nhiên rời rạc X, ta định nghĩahàm khối l-ợng xác suất p(x) của X nh- sau

p(x) = P {X = x}.

Chúng ta luôn giả thiết, nếu biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2, , thì

p(x i) >0, i = 1, 2, p(x) =0, với mọi giá trị x khác xi

và các xác suất p(xi) thỏa điều kiện

∞X

l-ợng xác suất) ta dùng ký hiệu X ∼ (xi , p i), i = 1, 2, Hoặc cũng có thể biểu diễn X

theo dạng bảng nh- sau

X x1 x2 x3 ã ã ã

p i p1 p2 p3 ã ã ã

Dãy phép thử độc lập- Dãy phép thử Bernoulli

Trong Ch-ơng 1 Mục 1.2.4 chúng ta đã biết về tính độc lập của các biến cố, khái niệm

này có thể dùng để mô tả các phép thử độc lập Cụ thể: giả sử có một dãy gồm n phép thử

mà mỗi phép thử kết quả xảy ra chỉ gồm hai sự kiện là “thành công” hay “thất bại” Gọi

E i (i > 1) là biến cố mà phép thử thứ i là “thành công” Ta nói dãy n phép thử này là độc

lập nếu

nh-P (E1E2ã ã ã En) = P (E1)P (E2) ã ã ã P (En).

Tổng quát hơn, với mỗi bộ hoán vị (k1, k2, , k n) của (1, 2, , n) ta có

P (E k1E k2ã ã ã Ekn ) = P (Ek1)P (Ek2) ã ã ã P (Ekn ).

Giả sử E là một phép thử mà kết cục chỉ gồm một trong hai khả năng xảy ra là “thành

công” hay “thất bại” Nếu thực hiện dãy n phép thử E độc lập (tức là tiến hành n lần phép thử E một cách độc lập nhau), và mỗi phép thử xác suất thành công là p thì ta gọi dãy phép thử đó là dãy n phép thử Bernoulli.

Biến ngẫu nhiên Bernoulli

Giả sử một phép thử E đ-ợc thực hiện, kết quả của nó chỉ gồm một trong hai khả năng

xảy ra là “thành công” hay “thất bại” Đặt X bằng 0 nếu thấy “thất bại” và bằng 1 nếu thấy

“thành công” Khi đó X là biến ngẫu nhiên có hàm khối l-ợng xác suất cho bởi

Biến ngẫu nhiên nhị thức

Thực hiện dãy n phép thử Bernoulli, mỗi phép thử thành công với xác suất p (hiển nhiên xác suất thất bại là 1 − p) Gọi X là số lần thành công trong n phép thử Khi đó X đ-ợc gọi

là biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số (n, p).

Dễ dàng thấy X nhận các giá trị 0, 1, 2, , n Hàm khối l-ợng xác suất của X xác

Ví dụ 2.1.4 Gieo một đồng xu cân đối bốn lần một cách độc lập Tính xác suất mặt S xảy

2)

4−2

8.

Ví dụ 2.1.5 Giả sử rằng một động cơ máy bay sẽ hỏng trong khi bay với xác suất 1-p, việc

các động cơ của máy bay xảy ra hỏng hóc là độc lập nhau Giả thiết rằng máy bay hoàn thành một chuyến bay nếu nh- có ít nhất 50 phần trăm động cơ của nó là còn hoạt động tốt khi bay Với giá trị nào của p thì máy bay có 4 động cơ là an toàn hơn 2 động cơ?

Gọi X là số động cơ còn hoạt động của máy bay trong một chuyến bay Theo giả thiết máy bay sẽ hoàn thành chuyến bay nếu nh- X > 2 (đối với máy bay 4 động cơ) và X > 1 (đối với máy bay 2 động cơ) Vì sự cố hỏng hóc của các động cơ là độc lập nhau và có xác suất hỏng là 1-p nên biến ngẫu nhiên X ∼ b(n, p) Máy bay có bốn động cơ an toàn hơn 2

động cơ nếu nh- xác suất hoàn thành chuyến bay của nó cao hơn, các xác suất này t-ơng ứng là

Máy bay bốn động cơ sẽ an toàn hơn máy bay hai động cơ nếu nh- xác suất p > 23.

Biến ngẫu nhiên hình học

Tiến hành dãy các phép thử Bernoulli độc lập (với xác suất thành công của mỗi phép

thử là p) đến khi có một phép thử thành công thì ngừng Gọi X là số các phép thử đ-ợc tiến hành, khi đó X đ-ợc gọi là biến ngẫu nhiên hình học với tham số p Hàm khối l-ợng xác

suất của nó cho bởi

Một biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 0, 1, 2, , đ-ợc gọi là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số λ(λ > 0) nếu hàm khối l-ợng xác suất của nó xác định bởi

Ghi chú Một tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên Poisson là nó đ-ợc dùng để xấp xỉ

biến ngẫu nhiên nhị thức Giả sử X là biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số (n, p), trong đó

Ví dụ 2.1.6 Giả sử số lỗi in trên một trang riêng lẻ của giáo trình này là có phân phối

Poisson với tham số λ = 1 (tức là số lỗi in trên một trang là biến ngẫu nhiên Poisson) Tính xác suất có ít nhất một lỗi trên trang này?

Gọi X là số lỗi in trên một trang Xác suất cần tính là P {X > 1}

P {X > 1} = 1 − P {X = 0} = 1 − e−1 ≈ 0, 633.

Ví dụ 2.1.7 Nếu số tai nạn giao thông trên một đoạn đ-ờng nào đó mỗi ngày là một biến

ngẫu nhiên Poisson với tham số λ = 3 Tính xác suất không có tai nạn nào xảy ra ngày hôm nay?

Gọi X là số tai nạn giao thông xảy ra trên đoạn đ-ờng đó trong mỗi ngày, ta có

P {X = 0} = e−3 ≈ 0, 05.

2.1.4 Biến ngẫu nhiên liên tục

Để có thể định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục một cách cụ thể hơn, ta xét X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên một tập con không đếm đ-ợc của tập số thực X đ-ợc gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu nh- tồn tại một hàm không âm f (x) xác định với mọi x ∈ (−∞, ∞),

với mọi tập B ⊂ R Hàm f (x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Theo (2.1.8), xác suất của biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trên tập B bằng tích phân

hàm mật độ xác suất trên tập đó Hàm mật độ xác suất có tính chất

f (x)dx. (2.1.9)

Nếu lấy a = b, từ (2.1.9) suy ra

P {X = a} = 0,

nh- vậy đối với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất để nó chỉ nhận một giá trị luôn bằng 0

(đây là tính chất khác biệt hẳn so với biến ngẫu nhiên rời rạc).

Trở lại hàm phân phối trong mục (2.1.1) ch-ơng này, hệ thức sau cho mối liên hệ vớihàm mật độ của nó

khi  khá nhỏ ( > 0) Nghĩa là xác suất X nhận giá trị trên một khoảng có độ dài  quanh

điểm a là xấp xỉ f (a) Nh- vậy f (a) xem nh- số đo khả năng để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong lân cận điểm a (f (a) càng lớn thì mật độ X nhận giá trị quanh a càng cao).

2.1.5 Các biến ngẫu nhiên liên tục thông dụng

Biến ngẫu nhiên đều

Một biến ngẫu nhiên gọi là đều (biến ngẫu nhiên có phân phối đều) trên khoảng (a, b),

ký hiệu X ∼ U (a,b) , trong đó −∞ < a < b < ∞, nếu nh- hàm mật độ của nó có dạng

Biến ngẫu nhiên mũ

Biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ cho bởi

Biến ngẫu nhiên chuẩn

Chúng ta nói X là biến ngẫu nhiên chuẩn (có phân phối chuẩn) với tham số à và

σ2(à ∈ R; σ > 0), ký hiệu X ∼ N (à, σ2), nếu hàm mật độ của nó có dạng

f (x) = √1

2πσ e

−(x−à)2 2σ2 , −∞ < x < ∞. (2.1.12)

Một tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên chuẩn là nếu X ∼ N (à, σ2) thì biến ngẫu

nhiên Y = aX + b ∼ N (aà + b, a2σ2) với a 6= 0 Tính chất này có thể phát biểu: hàm tuyến

tính của một biến ngẫu nhiên chuẩn cũng là biến ngẫu nhiên chuẩn

Tính chất trên có thể chứng minh đơn giản nh- sau, gọi F X (.), FY (.) thứ tự là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên X, Y Khi đó

−∞f Y (u)du , do đó hàm d-ới dấu tích phân (i) chính

là hàm mật độ f Y (u) và chứng tỏ Y ∼ N (aà + b, a2σ2) (chứng minh t-ơng tự cho a < 0) Tr-ờng hợp đặc biệt là a = 1/σ và b = −à/σ tức là Y = X −à σ thì theo trên Y có phân phối chuẩn với tham số (0, 1) Biến ngẫu nhiên Y ∼ N (0, 1) đ-ợc gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

Phần tr-ớc chúng ta đã xét các biến ngẫu nhiên thông dụng Thực tế các bài toán khảo sátth-ờng có sự tác động của nhiền hơn một biến ngẫu nhiên, chẳng hạn có hai biến ngẫu nhiêntác động trong hiện t-ơng đ-ợc khảo sát Vấn đề về phân phối của từng biến ngẫu nhiên vàphân phối chung của cả hai biến ngẫu nhiên có mối liên hệ gì, có sự phụ thuộc nào đó giữa

hai biến ngẫu nhiên này hay không? là các câu hỏi cần phải tìm hiểu bản chất.

Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, ta gọi cặp (X, Y ) là một điểm ngẫu nhiên hoặc một véc tơ ngẫu nhiên (hai chiều) Hàm phân phối điểm (hàm phân phối đồng thời) của X

Điểm ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc Khi đó (X, Y ) gọi là điểm ngẫu nhiên rời

rạc (véc tơ ngẫu nhiên rời rạc (hai chiều)) Định nghĩa hàm khối l-ợng xác suất đồng thời

của X và Y là:

p(x, y) = P {X = x, Y = y},

chú ý rằng nếu x (hoặc y) không phải là giá trị của X (hoặc Y ) có thể nhận thì biến cố {X = x} là biến cố trống (hoặc {Y = y} là trống) nên p(x, y) = 0 Do đó các hàm khối l-ợng xác suất của X và Y có thể tính qua hàm khối l-ợng xác suất đồng thời của nó nh-

J ⊆ N Hàm khối l-ợng xác suất đồng thời của điểm ngẫu nhiên (X, Y ) đ-ợc tính

Ví dụ 2.2.2 Gieo hai đồng xu cân đối Đặt X là biến ngẫu nhiên lấy giá trị 1 nếu mặt S của

đồng xu thứ nhất xảy ra và giá trị 0 nếu ng-ợc lại T-ơng tự cho Y nhận giá trị 1 nếu mặt

S của đồng xu thứ hai xảy ra và 0 nếu ng-ợc lại Khi đó X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc (hơn thế nữa chúng đều có phân phối Bernoulli với p = xác suất mặt S xảy ra = 1/2).

Điểm ngẫu nhiên (X, Y ) trong tr-ờng hợp này có các khối l-ợng xác suất đồng thời nh- sau

đồng xu là hoàn toàn độc lập nhau).

Điểm ngẫu nhiên liên tục (véc tơ ngẫu nhiên liên tục (hai chiều))

Với X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục, nếu có tồn tại một hàm hai biến f (x, y) không âm xác định với mọi số thực x và y, có tính chất

Từ định nghĩa trên có thể tính các hàm mật độ xác suất của X và Y qua hàm mật độ

đồng thời đã cho của nó nh- sau

Hai biến ngẫu nhiên X và Y đ-ợc gọi là độc lập nếu nh-: với mọi số thực x và y ta có

hàm phân phối đồng thời của chúng bằng tích các hàm phân phối của từng thành phần Tứclà

Ví dụ 2.2.3 Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson t-ơng ứng

là P o(λ1)và P o(λ2) Hãy tìm phân phối của X + Y ?

Dễ dàng thấy X + Y cũng là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, Hơn nữa, biến cố {X + Y = n} có thể viết thành hợp của n+1 biến cố dạng {X = k, Y =

n − k}(0 6 k 6 n), nên chúng ta có

P {X + Y = n} =P[n

k=0 (X = k, Y = n − k)

Chú thích: các kết quả trong Mục 2.2 đều có thể mở rộng cho tr-ờng hợp điểm ngẫu nhiên với

số chiều n > 2 Chẳng hạn, định nghĩa tính độc lập của n biến ngẫu nhiên X1, X2, , X n là

P {X1 < x1, X2 < x2, , X n < x n} = P {X1 < x1}P {X2 < x2} ã ã ã P {Xn < x n}.

Hàm phân phối đồng thời của điểm ngẫu nhiên n chiều hiển nhiên phải là

F (x1, x2, , x n) = P {X1 < x1, X2 < x2, , X n < x n}.

Bài tập ch-ơng 2

1 Một hộp chứa 5 bi đỏ, 3 bi vàng và 2 bi xanh Lấy ngẫu nhiên hai bi Không gian biến

cố cơ bản của phép thử là gì? Gọi X là số bi vàng có trong hai bi lấy ra Tính hàm khối l-ợng xác suất của X.

2 GọiX là hiệu số giữa số lần xảy ra mặt S và mặt N nhận đ-ợc khi gieo một đồng xu cân đối 4 lần độc lập Tính hàm khối l-ợng xác suất của X Tổng quát bài toán cho n

lần gieo độc lập

3 Gieo đồng thời 5 đồng xu cân đối Đặt E là biến cố mà mọi đồng xu đều xảy ra mặt

S Xác định biến ngẫu nhiên X nh- sau

X =0 nếu E không xảy ra.

Tính hàm khối l-ợng xác suất của X.

4 Giả sử hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X cho bởi

Tìm hàm khối l-ợng xác suất p(x) của X.

5 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nh- sau

p(x) 0,5 0,1 0,2 0,1 0,1

Hãy tìm hàm phân phối của X Vẽ đồ thị hàm phân phối Tính xác suất P {1 6 X 6 4}.

6 Gieo 3 con xúc xắc cân đối Tính xác suất có nhiều nhất một mặt có số nút 6 xuấthiện

7 Tìm xác suất mặt S xuất hiện lần thứ nhất trong 15 lần gieo độc lập một đồng xu cân

đối

8 Trong một th- viện chỉ gồm hai loại sách: sách kỹ thuật và sách văn học Xác suất đểmột độc giả lấy ngẫu nhiên một cuốn sách kỹ thuật là 0,7; một cuốn sách văn học là0,3 Tìm xác suất sao cho 5 độc giả liên tiếp vào m-ợn mỗi ng-ời một cuốn, thì đ-ợctoàn sách kỹ thuật hoặc toàn sách văn học

9 Cho X là một biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất

f (x) =

(

c(1 − x2), nếu − 1 < x < 1

(a) Xác định giá trị của c.

x2, nếu x > 10

Tìm hàm phân phối của X Tính P {X > 20}.

12 Cho X1, X2, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có chung phân phối F (x).

(a) Tìm hàm phân phối của max{X1, X2, , X n}.

(b) Tìm hàm phân phối của min{X1, X2, , X n}.

13 Cho X1, X2, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có chung phân phối U (0,1) Đặt

X = max{X1, X2, , X n} Chứng tỏ rằng hàm phân phối của X cho bởi

17 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập và có phân phối xác suất t-ơng ứng là:

P {X = x i} 0,2 0,3 0,3 0,2 P {Y = y i} 0,3 0,4 0,3

Tìm phân phối xác suất của X2, X + Y

18 Cho hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là