BÀI GIẢNG học về học PHẦN xác SUẤT THỐNG kê

— 6 —Chương 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU Trong thực tế ta thường gặp rất nhiều hành động mà các kết quả của nó khôngthể dự báo trước được,

BÀI GIẢNG

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

— 1 —

Mục lục

Chương 1 Giải tích tổ hợp 2

1.1 Hoán vị 2

1.2 Chỉnh hợp 2

1.3 Tổ hợp 3

1.4 Công thức nhị thức Newton 3

1.5 Tích đề các 3

Bài tập chương 1 4

Chương 2 Biến cố và xác suất của biến cố 6 2.1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu 6

2.2 Quan hệ giữa các biến cố và các phép toán 7

2.3 Xác suất của các biến cố 8

2.4 Các Công thức tính xác suất 11

2.5 Công thức Bernoulli 14

2.6 Công thức xác suất đầy đủ 14

2.7 Công thức Bayes 15

Bài tập chương 2 15

Chương 3 Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 21 3.1 Định nghĩa và phân loại các đại lượng ngẫu nhiên 21

3.2 Qui luật phân phối xác suất của ĐLNN 21

3.3 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 24

3.4 Một số qui luật phân phối xác suất thông dụng 28

Bài tập chương 3 31

Chương 4 Đại cương về thống kê toán 34 4.1 Tổng thể và mẫu ngẫu nhiên 34

4.2 Các đặc trưng tương ứng của tổng thể và mẫu 35

4.3 Ước lượng điểm 37

4.4 Ước lượng khoảng 38

4.5 Kiểm định giả thiết thống kê 45

Bài tập chương 4 53 Tài liệu tham khảo 58

— 2 —

Chương 1

GIẢI TÍCH TỔ HỢP1.1 HOÁN VỊ

Cho tập M gồm n(n ≥ 1) phần tử và k là một số nguyên dương

+ Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp M theo một tứ tự nhất định đượcgọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử đã cho

+ Ký hiệu số các chỉnh hợp không lặp chập k khác nhau của n phần tử đã cho

Vậy các số khác nhau gồm 3 chữ sỗ được thiết lập từ 1, 2, 3, 4, 5 bằng:

A35 = 5!

(5 − 3)! =

5.4.3.2.12.1 = 601.2.2 Chỉnh hợp lặp

+ Gọi chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập M là một tập hợp có thứ tựgồm k phần tử lấy từ tập M , mà mỗi phần tử của nó có thể có mặt tới k lần

— 3 —

+ Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là nk

Ví dụ 1.2.2 Lập tất cả các chỉnh hợp lặp chập 3 của 2 phần tử {1, 2}

Giải: {1, 1, 1}; {1, 1, 2}; {1, 2, 1}; {1, 2, 2}; {2, 1, 1}; {2, 1, 2}; {2, 2, 1}; {2, 2, 2}.Nghĩa là có 23 = 8 chỉnh hợp lặp chập 3 khác nhau của 2 phần tử

Ví dụ 1.2.3 Có bao nhiêu cách trao 15 phần thưởng cho 5 người dự thi

Giải: Mỗi cách phân 15 sản phẩm cho 5 người là một chỉnh hợp chập 15 của 5.Vậy số cách để phân ngẫu nhiên 15 phần thưởng cho 5 người là: 515

Ví dụ 1.3.1 Có bao nhiêu cách để chọn 3 cuốn sách trong số 10 cuốn

Giải: mỗi cách chọn 3 cuốn sách trong số 10 cuốn là một tổ hợp chập 3 của 10.Vậy số cách chọn là:

C103 = 10!

3!(10 − 3)! =

10.9.83.2.1 = 120

Ví dụ 1.3.2 Có bao nhiêu cách để chọn ra 5 người trong lớp có 45 người để đi laođộng Giải: C455 = 45!

+ Tích đề các của các tập hợp A1, , Ak được định nghĩa và kí hiệu bởi

A1 × A2× × Ak = {(a1, , ak)|ai ∈ Ai}

a) Mỗi người có thê kiêm nhiệm tối đa 5 nhiệm vụ.

b) Mỗi người có thể kiêm nhiệm tối đa 3 nhiệm vụ

c) Mỗi người có thể kiêm nhiệm tối đa 2 nhiệm vụ

d) Mỗi người có thể kiêm nhiệm tối đa 1 nhiệm vụ

1.2 Có 14 cuốn sách sắp đặt trên một giá sách Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:a) Giá chỉ có một ngăn đủ cho 14 cuốn

b) Giá có hai ngăn, mỗi ngăn đủ chổ cho 14 cuốn

c) Giá có hai ngăn, mỗi ngăn đủ chổ cho 7 cuốn

d) Giá chỉ có một ngăn đủ chổ cho 10 cuốn (4 cuốn không được để trên giá).e) Giá chỉ có hai ngăn, mỗi ngăn đủ chỏ cho 5 cuốn sách (có 4 cuốn sẽ khôngđược bỏ lên giá)

1.3 Có k chậu hoa và m cái đôn để đặt chậu hoa Hỏi có bao nhiêu cách để đặtchậu hoa lên đôn (mỗi đôn chỉ đặt được một chậu hoa) nếu:

a) k = 6, m = 3 b) k = 3, m = 6 c) k = m = 9

1.4 Một học sinh phi thi 4 môn trong 10 ngày (mỗi ngày thi một môn) Có baonhiêu cách để lập chương trình thi?

1.5 Trong lô 100 sản phẩm có 80 sản phẩm tốt và 20 sản phẩm xấu Hỏi

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 10 sản phẩm

b) Có bao nhiêu khả năng lấy ra 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3sản phẩm xấu

1.6 Phân ngẫu nhiên 18 hành khách lên 5 toa tàu

a) Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 18 hành khách lên 5 toa tàu

b) Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 18 hành khách lên 5 toa tàu mà toa thứnhất có đúng 5 người

1.9 Có bao nhiêu cách để chia 16 đội bóng đá thành 4 bng, mỗi bng chỉ có 4 đội.1.10 Giải ngoại hạng Anh có tất cả 20 đội tham dự Trong một mùa giả tất cả cácđội đều gặp nhau 2 trận (trận lượt đi và trận lượt về) Hỏi trong một mùa Giải cóbao nhiêu trận đấu diễn ra.

— 6 —

Chương 2

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU

Trong thực tế ta thường gặp rất nhiều hành động mà các kết quả của nó khôngthể dự báo trước được, chẳng hạn như làm một thí nghiệm hay quan sát một hiệntượng nào đó Ta gọi chúng là các phép thử ngẫu nhiên, ký hiệu là T

Các kết quả của T là ngẫu nhiên, không thể xác định trước Tuy nhiên ta cóthể liệt kê ra tấc cả các kết quả có thể của phép thử T

+ Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử T ,

ký hiệu là Ω

Biến cố ngẫu nhiên: Mỗi tập con A ⊂ Ω được gọi là một biến cố

+ Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử ω ∈ Ω được gọi là biến cố sơ cấp

+ Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử được thựchiện, ký hiệu ∅

+ Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi phép thử được thực hiện,

Ví dụ 2.1.3 Kiểm tra 3 sản phẩm Biến cố "không có quá 3 sản phẩm tốt có trong

3 sản phẩm kiểm tra" là biến cố chắc chắn Biến cố "có 4 phế phẩm có trong 3 sảnphẩm kiểm tra" là biến cố không thể Biến cố "có 2 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩmkiểm tra" là biến cố ngẫu nhiên

— 7 —

2.2 Quan hệ giữa các biến cố và các phép toán

Để giải các bài toán xác suất, ta thường diễn tả biến cố phức tạp theo các biến

cố đơn giản hơn

+ Tương đương: Biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương, ký hiệu

A = B nếu biến cố A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại

Ví dụ 2.2.1 Tung một con xúc xắc, biến cố "xúc xắc ra mặt lẻ" và biến cố "xúcxắc ra một trong ba mặt: 1, 3, 5" là hai biến cố tương đương

+ Xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thểcùng xảy ra trong một phép thử

Ví dụ 2.2.2 Khi kiểm tra 5 sản phẩm, biến cố "có 1 phế phẩm" và biến cố "có 2phế phẩm" là hai biến cố xung khắc nhau

Các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu 2 biến cố bất kỳtrong số n biến cố này đều xung khắc với nhau

+ Biến cố đối lập: Biến cố được gọi là biến cố đối của biến cố A nếu nó xảy rakhi và chỉ khi A không xảy ra, ký hiệu là ¯A Ta có ¯A = Ω\A

Ví dụ 2.2.3 Kiểm tra một sản phẩm, biến cố "sản phẩm kiểm tra là sản phẩmtốt" và biến cố "sản phẩm kiểm tra là sản phẩm xấu" là hai biến cố đối lập nhau.Nhận xét:

+ Đặc biệt, trong trường hợp A là biến cố chắc chắn thì biến cố đối lập với A

Nếu gọi A là biến cố "có 1 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do nhà máy sảnxuất" thì A = A1 ¯A2 ¯A3 ∪ ¯A1A2A¯3∪ ¯A1A¯2A3.

Nếu gọi B là biến cố "có 2 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do nhà máy sảnxuất" thì B = ¯A1.A2.A3∪ A1A¯2A3∪ A1A2A¯3

Nếu gọi C là biến cố "có 3 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do nhà máy sảnxuất" thì C = A1.A2.A3

2.3 Xác suất của các biến cố

2.3.1 Khái niệm về xác suất

Giả sử là biến cố của phép thử nào đó Mặc dù khi tiến hành phép thử ta khôngthể nói trước biến cố A xảy ra hay không nhưng ta thừa nhận rằng: có một số đo

a Định nghĩa cổ điển về xác suất

Phần này chúng ta xây dựng mô hình xác suất cho những phép thử "đối xứng"như tung đồng xu hay gieo xúc sắc hoặc chọn ngẫu nhiên k phần tử từ tập hợp cóhữu hạn phần tử

Định nghĩa 2.3.1 Xác suất của biến cố A là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợicho A và số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử, hay

Nếu A là biến cố không thể thì P (∅) = 0:

Như vậy nếu A là biến cố bất kỳ thì 0 6 P (A) 6 1

c phương pháp tính xác suất

+ phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển

+ phương pháp suy luận trực tiếp

+ phương pháp sử dụng sơ đồ

+ phương pháp sử dụng các khái niệm Giải tích tổ hợp

Ví dụ 2.3.2 Gieo đồng thời 3 con xúc sắc được chế tạo cân đối, đồng chất Tínhxác suất để tổng số nốt xuất hiện của 3 con là 9

Giải Mỗi kết quả của phép thử là một bộ ba (a, b, c), trong đó a, b, c là các sốnguyên dương từ 1 đến 6 Vậy số trường hợp đồng khả năng là n = 63 = 216.Các bộ ba có tổng bông 9 là:

(1, 2, 6) và 5 hoán vị của nó; (1, 3, 5) và 5 hoán vị của nó (1, 4, 4) và 2 hoán vịcủa nó; (2, 2, 5) và 2 hoán vị của nó (2, 3, 4) và 5 hoán vị của nó; (3, 3, 3) Suy ra sốtrường hợp thuận lợi là m = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 25 Vậy p(A) = 25

216.

Ví dụ 2.3.3 Trước cổng trường có 3 quán cơm bình dân chất lượng ngang nhau

Ba sinh viên Hồng, Hà, Hoa độc lập với nhau chọn một quán để ăn trưa Tính xácsuất để:

a) 3 sinh viên cùng vào một quán;

b) 2 sinh viên cùng vào một quán, còn người kia thì vào quán khác

— 10 —

Giải: Ta đánh số ba quán cơm là 1, 2, 3 Gọi a, b, c là quán cơm mà Hồng, Hà,Hoa chọn Như vậy số trường hợp đồng khả năng là n = 33 = 27

Gọi A là biến cố 3 sinh viên cùng vào một quán

Số trường hợp thuận lợi của A là (1, 1, 1); (2, 2, 2) và (3, 3, 3)

Vậy p(A) = 3

27 =

1

9.Gọi B là biến cố 2 sinh viên cùng vào một quán, còn sinh viên kia thì vào quánkhác (1, 1, 2) và 2 hoán vị của nó;

a) Tính xác suất để có 2 quả cầu xanh trong 3 quả cầu lấy ra từ túi

b) Tính xác suất để trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu xanh

Giải a) Gọi A là biến cố có 2 quả cầu màu xanh trong 3 quả cầu lấy ra từ túi

Số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra là một nhóm gồm 3 quả cầu (khôngphân biệt thứ tự) được chọn từ 10 quả cầu Vậy n = C3

d Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển

Ưu điểm: Tìm xác suất của biến cố ta không cần thực hiện phép thử (phépthử chỉ thực hiện một cách giả định)

Nhược điểm: Chỉ áp dụng để tính xác suất khi phép thử có tính "đối xứng"

và đòi hỏi phép thử phải xác định số trường hợp thuận lợi và số trường hợp đồngkhả năng và đó là những số hữu hạn nhưng trong thực tế đa số các phép thử khôngthỏa mãn các yêu cầu đó

e Định nghĩa xác suất theo thống kê

— 11 —

Tần số - Tần suất

Xét A là biến cố của một thí nghiệm ngẫu nhiên Ta lặp lại thí nghiệm này nlần Khi đó: số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử được gọi là tần số của A,

ký hiệu là µn(A) và tỉ số f (A) = µn(A)

n được gọi là tần suất của biến cố A trong nphép thử

Ví dụ 2.3.5 Khi kiểm tra ngẫu nhiên 60 sản phẩm ở một lô hàng, người ta pháthiện ra 3 phế phẩm Gọi A là biến cố "sản phẩm kiểm tra là phế phẩm" thì tầnsuất xuất hiện biến cố A là f (A) = 3

60 = 5%.

Ví dụ 2.3.6 Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu, người

ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau:

Người làm thí nghiệm Số lần tung Số lần được mặt sấp Tần suất

Buyffon 4040 2048 0.5069Pearson 1200 6019 0.5016Pearson 24000 12012 0.5005

Từ thí nghiệm trên ta thấy khi phép thử tăng lên, tần suất xuất hiện mặt sấptiến dần đến 0.5 (xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu là 0.5) Vậy tần suấtdần đến xác suất khi số phép thử tăng lên

Định nghĩa Tần suất xuất hiện biến cố sẽ hội tụ về xác suất xuất hiện biến

cố khi số phép thử tăng lên vô hạn

Trong thực tế với số phép thử đủ lớn ta có p (A) ≈ f (A)

2.4 Các Công thức tính xác suất

2.4.1 Công thức cộng xác suất

Định lý 2.4.1 Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B)Tổng quát, nếu A1, A2, , An là n biến cố xung khắc từng đôi thì

— 12 —

Ví dụ 2.4.4 Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế phẩm) Lấy ngẫu nhiên(không hoàn lại) từ hộp ra 6 sản phẩm Tính xác suất để có không quá 1 phế phẩmtrong 6 sản phẩm lấy ra

Giải: Gọi A là biến cố "không có phế phẩm nào trong 6 sản phẩm lấy ra" và gọi

B là biến cố "có 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra" Gọi C là biến cố "có khôngquá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra" Suy ra C = A ∪ B

Do A, B là hai biến cố xung khắc (vì nó không thể đồng thời xảy ra trong phépthử lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm từ hộp) Vậy

p (C) = p (A ∪ B) = p (A) + p (B) = C

6 8

C6 10

+ C

1

2C85

C6 10

= 14 + 56

105 =

2

3 ≈ 0.66.Định lý 2.4.5 Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì:

p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (AB)

Ta có thể mở rộng định lý trên cho trường hợp 3 biến cố:

p (A ∪ B ∪ C) = p (A) + p (B) + p (C) − p (A.B) − p (AC) − p (BC) + p (ABC)

Ví dụ 2.4.6 Theo kho sát của tổ chức y tế WHO, trong một vùng dân cư tỉ lệngười mắc bệnh tim là 9%, bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7% Chọnngẫu nhiên một người trong vùng đó Tính xác suất để người đó không mắc cả bệnhtim và huyết áp

Giải Gọi A là biến cố "người đó mắc bệnh tim" và gọi B là biến cố "người đómắc bệnh huyết áp" Ta có p (A) = 0.09, p (B) = 0.12, (AB) = 0.07

Gọi N là biến cố "người đó không mắc c bệnh tim và bệnh huyết áp" Suy ra

= 1 − 0.14 = 0.86

2.4.2 Công thức nhân xác suất

2.4.2.1 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xãy

ra được gọi là xác suất có điều kiện của A, ký hiệu P (A/B)

Ví dụ 2.4.7 Một túi đựng 5 quả cầu, (trong đó có 2 quả màu trắng) Lấy ngẫunhiên (không hoàn lại) lần lượt từ túi ra 2 quả cầu Tính xác suất để lần thứ haiđược quả cầu trắng biết rông lần thứ nhất lấy được quả cầu trắng

— 13 —

Giải Gọi A là biến cố "lần thứ hai lấy được quả cầu trắng" và gọi B là biến cố

"lần thứ hai nhất lấy được quả cầu trắng" Ta cần tìm (A/B)

Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được quả cầu trắng (B đã xãy ra) nên trong túicòn 4 quả cầu, trong đó có 1 quả trắng Vậy p(A/B) = 1

4 = 0.25

Công thức tính: P (A/B) = P (AB)

P (B)Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có:

p(AB) = p(B).P (A/B) = p(A).p(B/A)Tổng quát ta có:

p(A1A2 An) = p(A1).P (A2/A1)p(A3/A1A2) p(An/A1A2 An−1)

Nếu p(C) = 0 hoặc p(C) = 1 thì C độc lập với mọi biến cố

Định nghĩa Nếu các biến cố A1, A2, , An độc lập với nhau thì

p(A1 An) = p(A1) p(An)

Ví dụ 2.4.8 Một phân xưởng có 3 máy Xác suất các máy bị hỏng trong ngàytương ứng là 0.1; 0.2 và 0.15 Tính các xác suất sau đây:

a) Có một máy bị hỏng trong ngày

b) Có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày

Giải Gọi A1, A2, A3 tương ứng là các biến cố máy thứ nhất, thứ hai, thứ ba bịhỏng trong ngày

a) Gọi A là biến cố có một máy bị hỏng trong ngày Khi đó ta có

p (A2) p ¯A3

+ p ¯A1

— 14 —

b) Gọi B là biến cố "có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày" nên ¯B là biến cố "cả

ba máy đều tốt" hay p( ¯B) = ¯A1A¯2A¯3.

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp cùng một phép thử được lặp đi lặplại nhiều lần Trong mỗi phép thử có thể xảy ra hay không xảy ra biến cố A nào đó

và ta quan tâm đến tổng số lần xảy ra biến cố A trong dãy phép thử đó

Định nghĩa Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy

ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó

có xảy ra ở phép thử khác hay không

Ví dụ 2.5.1 Tung nhiều lần một đồng xu, lấy ngẫu nhiên (có hoàn lại) n sản phẩm

từ một lô hàng là các phép thử độc lập

Bài toán Giả sử tiến hành n phép thử độc lập Trong mỗi phép thử chỉ có thểxảy ra hai trường hợp: hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố A không xảy ra Xácsuất để biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p và xác suất A không xảy

ra là q = 1 − p Ta gọi n phép thử này được gọi là dãy phép thử Bernoulli Khi đóxác suất để trong n phép thử độc lập nói trên biến cố A xảy ra đúng k lần là:

2.6 Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử B là biến cố bất kỳ có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố

A1, A2, , An-hệ biến cố xung khắc từng đôi và đầy đủ Khi đó, xác suất của B là:

Các xác suất p (A1) , p (A2) , , p (An) được gọi là xác suất của giả thiết hay còn gọi

là xác suất tiên nghiệm

Ví dụ 2.6.1 Một cơ sở sản xuất mũ gồm có 3 tổ cùng sản xuất mũ (độc lập nhau)với tỉ lệ sản phẩm trong tổng số sản phẩm lần lượt là 20%, 30% và 50%, trong đó

— 15 —

tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 2% và 1% Tất cả sản phẩm làm ra đều được xếpchung vào một kho Hỏi tỉ lệ phế phẩm của kho là bao nhiêu?

Giải Lấy ngẫu nhiên một mũ từ trong kho ra kiểm tra Gọi B là biến cố gặp

mũ phế phẩm và Ai là biến cố mũ lấy ra do tổ i sản xuất (1 ≤ i ≤ 3), ta có

p(B) = p(A1).p(B/A1) + p(A2).P (B/A2) + p(A3).P (B/A3)

Giả sử B là biến cố bất kỳ có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố

A1, A2, , An -hệ biến cố xung khắc từng đôi và đầy đủ Giả thiết rằng B đã xảy rakhi đó, với i = 1, , n ta có:

p(Ai/B) = np(Ai).p(B/Ai)

Ví dụ 2.7.1 Hai máy tiện cùng sản xuất ra một loại trục xe đạp như nhau Cáctrục xe được đóng chung vào một kiện Năng suất của máy tiện thứ hai gấp đôinăng suất của máy tiện thứ nhất Máy tiện thứ nhất sản xuất trung bình được 64%trục loại tốt, còn máy tiện thứ hai được 80% trục loại tốt Lấy ngẫu nhiên từ kiệnmột trục ra kiểm tra thì được trục loại tốt Tìm xác suất để trục đó do máy tiệnthứ nhất sản xuất

Giải Gọi B là biến cố trục đó là trục loại tốt và A1, A2 tương ứng là các biến cốtrục đó do máy thứ nhất và máy thứ hai sản xuất ra Ta có p(A1) = 1

3; P (A2) =

2

3;

và p(B/A1) = 0, 64; p(B/A2) = 0, 8

Theo công thức xác suất đầy đủ thì

p(B) = p(A1).p(B/A1) + p(A2).p(B/A2)

— 16 —

BÀI TẬP CHƯƠNG 22.1 Ba xạ thủ, mỗi người bắn một phát Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng.Hãy biểu diển qua các biến cố sau:

h H : không có hơn 2 người bắn trúng

i I : người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng bắntrúng

j K : người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng

2.2 Gieo đồng thời hai con xúc xắc được chế tạo cân đối, đồng chất Tìm xác suấtđể:

a Tổng số nốt là 7

b Tổng số nốt là 8

2.3 Một công ty cần tuyển hai nhân viên Có 6 người nộp đơn ( trong đó có 4 nữ

và 2 nam ) Giả sử khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau Tính xác suấtđể:

a cả 2 người trúng tuyển đều là nam

b cả 2 người trúng tuyển đều là nữ

a Có 4 nam trong số 8 sinh viên được chọn?

b Có nhiều nhất 3 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?

c Có ít nhất 1 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?

d Không có sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?

a Lan được ngồi ở hai đầu dãy ghế.

b Lan và Điệp được ngồi gần nhau

2.9 Trường X có số sinh viên học học tốt Toán và Anh văn của lớp A và B (biếtmỗi lớp có 45 sinh viên) được cho như sau:

Học tốt  lớp A BToán 25 25Anh văn 30 30Toán và Anh văn 20 10

Có đoàn kiểm định chất lượng đến thanh tra Theo bạn, giáo viên nên mời đoànvào lớp nào để khả năng gặp được một sinh viên học tốt ít nhất một môn là caonhất?

2.10 Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu Xác suấtbắn trúng của xạ thủ tương ứng là 0,4; 0,5 và 0,6 Tính xác suất để:

a Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng

b ít nhất một xạ thủ bắn trúng

2.11 Có hai túi đựng các quả cầu Túi thứ nhất đựng 3 quả trắng, 7 quả đỏ và 15quả xanh Túi thứ hai đựng 10 quả trắng, 6 quả đỏ và 9 quả xanh Từ mỗi túi chọnngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất để 2 quả cầu được chọn đều có cùng màu.2.12 Một công ty có 60 nhân viên, trong đó có 20 nam và 40 nữ Tỷ lệ nhân viên

nữ có thể nói tiếng Anh lưu loát là 15% và tỷ lệ này đối với nam là 20%

a Gặp ngẫu nhiên một nhân viên của công ty Tìm xác suất để gặp được nhânviên nói tiếng Anh lưu loát?

b Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên của công ty Tìm xác suất để có ít nhất mộtngười nói tiếng Anh lưu loát trong số 2 người gặp?

— 18 —

2.13 Ba sinh viên An, Hùng, Oanh cùng làm bài thi môn Giải tích Xác suất làmđược bài của từng người lần lượt là 0, 7; 0, 6 và 0, 5 Tìm xác suất để:

a Có hai sinh viên làm được bài thi?

b Nếu có hai sinh viên làm được bài thi, tìm xác suất để An không làm đượcbài?

2.14 Trong hồ có 10 con cá carnh (trong đó có 3 cá có đuôi màu đỏ và 7 cá có đuôimàu xanh) Bắt ngẫu nhiên từ hồ ra một con cá Nếu bắt ra cá có đuôi màu đỏ thì

bỏ vào hồ một con cá có đuôi màu xanh Nếu bắt ra cá có đuôi màu xanh thì bỏvào một cá có đuôi màu đỏ Sau đó từ hồ bắt tiếp ra một con cá

a Tính xác suất để cá được bắt lần sau có đuôi màu đỏ?

b Nếu hai con cá được bắt ra (lần 1 và lần 2) có đuôi cùng màu Tính xác suất

để hai con cá này có đuôi cùng màu xanh?

2.15 Trong một kỳ thi tốt nghiệp, mỗi sinh viên phi thi hai môn cơ sở và chuyênnghành Giả sử xác suất bạn thi đạt môn c sở là 80% Nếu thi đạt yêu cầu môn c

sở thì xác suất thi đạt môn chuyên nghành là 60% Nếu không đạt yêu cầu môn c

sở thì hy vọng thi đạt môn chuyên nghành là 30% Tìm xác suất để:

a Thi đạt cả hai môn cơ sở và chuyên ngành?

b Thi đạt môn chuyên nghành?

c Thi đạt ít nhất một môn?

2.16 Chị Lan có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài rất giống nhau nhưngtrong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa tủ Chị Lan thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nàokhông đúng thì bỏ ra) Tìm xác suất để chị Lan mở được cửa ở lần thử thứ 3.2.17 Hai anh em Hùng và An chi trò chi như sau: Mỗi người lần lượt rút một viên

bi từ một hộp đựng 2 bi đỏ và 4 bi xanh Bi được rút ra không trả lại vào hộp.Người nào lấy được bi đỏ trước thì thắng cuộc Tính xác suất thắng cuộc của ngườirút trước

2.18 Có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé đi xem phim Họ làm 3 lá thăm, trong đó

có 2 thăm có đánh dấu Mỗi người lần lượt rút một thăm Nếu ai rút được thăm

có đánh dấu thì được vé đi xem phim Hãy chứng minh sự công bông của cách làmnày

2.19 Trong một nhà máy có ba phân xưởng I, II, III tương ứng làm ra 25%, 35%

và 40% tổng sản phẩm của nhà máy Giả sử xác suất làm ra phế phẩm của phânxưởng I là 0,01, của phân xưởng II là 0,02 và phân xưng III là 0,025 Chọn ngẫunhiên một sản phẩm của nhà máy Tính xác suất để đó là phế phẩm?

2.20 Một phân xưởng có 3 máy Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản phẩm đạttiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9 ; 0,8 và 0,7 Trong một giờ mỗi máy sản suất

Kiện thứ nhất: có 5 sản phẩm loại A, 1 sản phẩm loại B.

Kiện thứ hai : có 2 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B

Từ mỗi kiện hàng chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm đem giao cho khách hàng.Sau đó các sản phẩm còn lại được dồn vào kiện thứ ba (trống)

a Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kiện hàng thứ ba Tính xác suất để lấyđược là sản phẩm loại B?

b Nếu ta chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện ba Tính xác suất để có ít nhấtmột sản phẩm loại B từ 2 sản phẩm đã chọn

2.24 Một hộp có 10 sản phẩm (hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩmtrong hộp này) Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp được xem là đồngkhả năng Lấy ngẫu nhiên(không hoàn lại) từ hộp ra 3 sản phẩm để kiểm tra thìthấy có cả 3 sản phẩm tốt Theo bạn, có bao nhiêu sản phẩm tốt có trong 7 sảnphẩm còn lại trong hộp? vì sao?

2.25 Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm Phân xưởng

1 sản xuất 25%; phân xưởng 2 sản xuất 25% và phân xưởng 3 sản xuất 50% sảnphẩm của toàn nhà máy Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng 1, 2 và 3 lần lượt là:1%, 5% và 10% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng do nhà máy sản xuất

a Tìm xác suất để lấy được phế phẩm? nêu ý nghĩa thực tế của xác suất này?

b Nếu lấy được một chính phẩm, theo bạn sản phẩm đó do phân xưởng nàosản xuất? tại sao?

— 20 —

2.26 Có 3 lô hàng, mỗi lô gồm 10.000 sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm loại I của từng lôtương ứng là: 70%, 80% và 90% Lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra (khônghoàn lại) Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lênthì mua lô hàng đó

a Tìm xác suất để lô hàng có tỷ lệ sản phẩm loại I là 70% được mua?

b Tìm xác suất để có ít nhất một lô hàng được mua?

c Nếu chỉ có một lô hàng được mua Tìm xác suất để đó là lô hàng có tỷ lệ sảnphẩm loại I là 70%?

Một đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được gọi

là một đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN), ký hiệu là X, Y, Z

Khi thực hiện một phép thử, bằng một quy tắc (hay một hàm) ta có thể gáncác giá trị bông số cho những kết quả của một phép thử Các giá trị này được coi

là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên, ký hiệu là x1, x2, , xn,

Ví dụ 3.1.1 Kiểm tra 3 sản phẩm Gọi X là số phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểmtra X là ĐLNN vì khi kiểm tra 3 sản phẩm X sẽ nhận một và chỉ một trong số cácgiá trị: 0, 1, 2, 3

3.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Một ĐLNN được gọi là rời rạc nếu tập giá trị mà nó có thể nhận là tập hữu hạnhoặc vô hạn đếm được Đối với ĐLNN rời rạc ta có thể liệt kê được các giá trị củanó

Ví dụ 3.1.2 Gieo một con xúc sắc Gọi X là số nốt xuất hiện trên con xúc sắc, X

là ĐLNN rời rạc Ta có tập các giá trị có thể có của X là X (Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Một ĐLNN được gọi là liên tục nếu tập giá trị mà nó có thể nhận được có thểlấp kín cả một khoảng trên trục số Đối với ĐLNN liên tục, không thể liệt kê đượccác giá trị của nó

Ví dụ 3.1.3 Chiều cao của học sinh trong một lớp học, khối lượng của một loạihoa quả là những ĐLNN liên tục

3.2 Qui luật phân phối xác suất của ĐLNN

Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên ấy cóthể nhận giá trị nào và nó nhận giá trị ấy với xác suất tương ứng bao nhiêu Một

hệ thức cho phép biểu diển mối quan hệ giữa các giá trị có thể nhận của ĐLNN vớicác xác suất tương ứng gọi là qui luật phân phối xác suất của ĐLNN

— 22 —

Để thiết lập quy luật phân phối xác suất của ĐLNN, ta có thể dùng: bảng phânphối xác suất hay hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất

3.2.1 Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất củaĐLNN rời rạc X Giả sử ĐLNN X có thể nhận một trong các giá trị: x1, x2, , xnvới xác suất tương ứng là: p1, p2, pn Hay là pi = p (X = xi) , i = 1 n

Khi đó bảng phân phối xác suất của X có dạng:

X là số viên đạn bắn ra Lập bảng phân phối xác suất của X

Giải Tập giá trị có thể của X là X = 1, 2, 3

Khi đó, các biến cố (X = 1), (X = 2), (X = 3) lập thành một nhóm biến cố đầy

đủ Gọi Ai là biến cố bắn trúng mục tiêu ở lượt đạn thứ i (16 i 6 3) Ta có

Giải Gọi X là số chính phẩm được lấy ra từ hộp thì X là ĐLNN rời rạc có tậpgiá trị có thể có là X (Ω) = {0, 1, 2}

X 0 1 2

p 2/15 8/15 5/15

— 23 —

3.2.2 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất của cảĐLNN rời rạc và liên tục

Hệ quả 1 p(a 6 X < b) = F (b) − F (a)

Hệ quả 2 Nếu X là ĐLNN liên tục thì: p(a 6 X 6 b) = p(a 6 X < b) =p(a < X 6 b) = p(a < X < b)

Tính chất 3 F (−∞) = lim

x→−∞ F (x) = 0; F (+∞) = lim

x→+∞F (x) = 1

3.2.2.3 ý nghĩa của hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất F (x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về phía bêntrái của điểm x Giá trị của F (x) cho biết cho biết có bao nhiêu phần của đơn vịxác suất phân phối trong khoảng (−∞, x)

Ví dụ 3.2.3 Tìm hàm phân phối xác suất cho trong ví dụ 3.2.2 Ta có hàm phânphối xác suất là

1 khi x > bvới 0 < a < b Tính P (a+b2 < X < a + b)

2.

lệ với giá trị của hàm mật độ f (x) tại điểm x Vậy, với cùng độ dài ∆x, tại điểm xnào mà giá trị của hàm f (x) lớn hơn thì lân cận của điểm ấy sẽ tập trung một xácsuất lớn hơn nên f (x) có tên là hàm mật độ xác suất.

3.3 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Khi ta xác định được qui luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên thì

ta nắm được toàn bộ thông tin về đại lượng ngẫu nhiên đó Tuy nhiên trong thực

tế cũng rất khó và không cần thiết để nắm toàn bộ thông tin này mà chúng ta cầnquan tâm đến những thông tin quan trọng nhất phn ánh đầy đủ các đặc trưng cơbản của đại lượng ngẫu nhiên mà ta đang nghiên cứu

3.3.1 Kỳ vọng toán

3.3.1.1 Định nghĩa.

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị x1, x2, , xn vớicác xác suất tương ứng là p1, p2, , pn Khi đó kỳ vọng toán của ĐLNN X được địnhnghĩa là: E(X) =

n

P

i=1

xipi

3 E(X1+ X2+ · · · + Xn) = E(X1) + E(X2) + · · · + E(Xn)

4 Nếu X1, X2, , Xnlà ĐLNN độc lập thì E(X1.X2 Xn) = E(X1).E(X2) E(Xn)

Chú ý Hai ĐLNN được gọi là độc lập với nhau nếu quy luật phân phối xác suấtcủa ĐLNN này không phụ thuộc vào ĐLNN kia nhận giá trị bông bao nhiêu

3.3.1.3 ý nghĩa của kỳ vọng.

Để tìm hiểu bản chất của kỳ vọng, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 3.3.1 Nghiên cứu về thu nhập của 500 công nhân nghành may, ta có số liệunhư sau:

Thu nhập(tr.đ/năm) 7 8 9 10 11 12 14

Số công nhân 50 70 150 120 55 30 25Gọi X là thu nhập của công nhân ngành may, từ số liệu trên ta có bảng phân phốixác suất:

X 7 8 9 10 11 12 14

p 0.1 0.14 0.3 0.24 0.11 0.26 0.05Vậy ta có

X −2000 48000

p 0,9998 0,0002Suy ra E(X) = (−2000) × 0, 9998 + 48000 × 0, 0002 = −1990

Vậy số tiền trung bình người mất đi 1990 đồng trong mỗi đợt sổ xố

3.3.2 phương sai

Trong thực tế, nhiều khi nếu chỉ xác định kỳ vọng toán của ĐLNN thì chưa đủ

Để xác định một ĐLNN ta còn phi xác định mức độ phân tán các giá trị của ĐLNNxung quanh giá trị trung bình của nó

3.3.2.1 Định nghĩa.

phương sai của ĐLNN ngẫu nhiên X, ký hiệu D(X) (hay V ar(X) ), được xácđịnh bởi:

D(X) = En[X − EX]2oTrong thực tế, người ta thường tính bông công thức:

D(X) = E(X2) − [E(X)]2Nếu X là ĐLNN rời rạc thì: D(X) =

iii Nếu X, Y là các ĐLNN độc lập thì D(X + Y ) = D(X) + D(Y )

iv Nếu X, Y là các ĐLNN độc lập thì D(X − Y ) = D(X) + D(Y )

v D(C + X) = D(X), C là hằng số

— 27 — 3.3.2.3 ý nghĩa của phương sai.

Từ định nghĩa ta thấy phương sai là kỳ vọng toán của bình phương các sai lệchhay phương sai là sai lệch bình phương trung bình Nó phản ánh mức độ phân táncác giá trị của ĐLNN xung quanh giá trị trung bình Đại lượng nào có nhiều giá trịsai lệch lớn so với giá trị trung bình thì phương sai sẽ lớn và ngược lại

Nhận xét: Ta thấy phương sai không cùng đơn vị đo với kỳ vọng cũng như X

Do đó, người ta đưa ra một đại lượng khác là σ(X) = pD(X), được gọi là độ lệchchuẩn của biến số ngẫu nhiên X Ta thấy cả σ(X) và D(X) đều đánh giá được mức

độ phân tán hay mức độ tập trung của các giá trị của X xung quanh giá trị trungbình của nó

Định nghĩa Mômen cấp k được định nghĩa là: αk = Eh(X)ki

Định nghĩa Mô men trung cấp k được định nghĩa là: ηk = En[X − E (X)]ko.Nhận xét: α1 = E [(X)]; η2 = En[X − E (X)]2o = D (X) và

η2=E X2

− [E (X)]2 = α2− (α1)2

η3=α3− 3α1.α2+ 2 (α1)3

η4=α4− 4α1.α3+ 6 (α1)2α2 − 3 (α1)4

— 28 — 3.3.4.2 Hệ số bất đối xứng:

3.4 Một số qui luật phân phối xác suất thông dụng

3.4.1 Qui luật nhị thức

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập, gọi A là biến cố nào đó mà ta cần quantâm Khi đó A có thể xảy ra hoặc không xảy ra Giả sử P (A) = p, gọi X là số lầnbiến cố A xảy ra trong n phép thử Khi đó X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị là

X (Ω) = {0, 1, 2, · · · , n} Theo công thức Bernoulli ta có:

Pk = P {X = k} = Cnkpk(1 − p)n−k (3.4.1)Định nghĩa ĐLNN X có phân bố nhị thức với tham số n, p, ký hiệu X ∼ B(n, p)nếu X là ĐLNN rời rạc nhận một trong các giá trị: 0, 1, , n và các xác suất tươngứng được tính theo công thức (3.4.1)

Nhận xét Trong nhiều trưng hợp ta cần tính xác suất để ĐLNN X phân phốitheo qui luật chuẩn nhận giá trị trong khoảng (k, k + h), ta có công thức sau:

P (k 6 X 6 k + h) := Pk+ Pk+1 + · · · + Pk+h

Định lý 3.4.1 Nếu X ∼ B(n, p) thì

i E (X) = np

ii D (X) = npq