Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế Đoàn Hồng Chương

Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế gồm 3 chương. Nội dung bài giảng lần lượt trình bày về đại số tổ hợp, xác suất và công thức tính xác suất, biến ngẫu nhiên và một số nội dung liên quan khác. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.

XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ

Đoàn Hồng Chương1

Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật

Chương 1

NHẮC LẠI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1.1 Qui tắc cộng

Nếu một công việc có thể thực hiện theo k phương án A1, A2 , A k và mỗi

phương án có n i (i = 1, 2, , k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công

việc là

n = n1 + n2 + + n k (1.1)

Ví dụ 1.1 Một người muốn mua một đôi giày cỡ 39 hoặc 40 Cỡ 39 có hai màu đen

và trắng, cỡ 40 có ba màu đen, trắng và nâu Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mua giày? (Đáp số: n = 2 + 3 = 5).

1.2 Qui tắc nhân

Nếu một công việc bao gồm k giai đoạn và mỗi giai đoạn có n i (i = 1, 2, , k)

cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là

Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau Mỗi cách sắp xếp n phần

tử theo một thứ tự gọi là một hoán vị.

Tính chất 1.1 Số hoán vị của n phần tử là

• Qui ước: 0! = 1.

Ví dụ 1.3 Một bàn có 4 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?

Giải Vì mỗi cách xếp học sinh vào một bàn dài là một hoán vị nên số cách

Ví dụ 1.4 Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào một bàn dài biết

rằng 2 bạn Hoa và Lan muốn ngồi cạnh nhau? Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau?

Giải Nếu 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau thì ta có thể giải bài toán theo

2 bước sau đây:

• Bước 1: Xem 2 bạn Hoa và Lan như là 1 người Khi đó số cách xếp là số

hoán vị của 4 phần tử

P4 = 4! = 24.

• Bước 2: Đổi chỗ 2 bạn Hoa và Lan Khi đó số cách xếp là số hoán vị của

n = P5 − 48 = 5! − 48 = 72.

1.4 Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.2 Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau Mỗi cách xếp k phần tử

(1 ≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử của tập hợp theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp

chập k của n.

Tính chất 1.2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

A k n = n!

Ví dụ 1.5 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

3 chữ số đôi một khác nhau?

Giải Ý tưởng giải bài toán này là nguyên lý phần bù Gọi Ω là tập hợp các

số gồm 3 chữ số abc trong đó chữ số đầu tiên có thể nhận giá trị 0 và A là

tập hợp các số thỏa đề bài Khi đó A (phần bù của A trong Ω) là tập hợp các

số gồm 3 chữ số trong đó chữ số đầu tiên bằng 0 Mỗi phần tử của Ω là mộtcách chọn có thứ tự 3 số trong tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 7} Số phần tử của

Ω là n(Ω) = A36 Đối với tập hợp A, vì chữ số đầu tiên bằng 0 nên mỗi phần

tử của A là một cách chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 4, 7} Số phần

tử của A là n(Ω) = A25 Khi đó số phần tử của A là

n(A) = A36 − A25 = 100.

1.5 Tổ hợp

Định nghĩa 1.3 Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau Mỗi cách chọn k phần tử

(1 ≤ k ≤ n) từ n phần tử của tập hợp gọi là một tổ hợp chập k của n.

Ví dụ 1.7 Từ các chữ số 1, 2, 3, 6, 7, 8, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số trong đó chữ số 8 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện tối đa 1 lần?

Giải Với mỗi số tự nhiên thỏa mãn đề bài, ta biễu diễn thành một hàng

gồm 4 ô, trong đó có 2 ô chứa số 8, 2 ô còn lại là số tùy ý trong tập hợp

Ví dụ 1.8 Một cửa hàng có 3 loại sản phẩm a1, a2, a3 Một khách hàng muốn mua

2 sản phẩm của cửa hàng Vì không có điều kiện ràng buộc nên khách hàng đó có

thể mua 2 sản phẩm a1, hoặc 2 sản phẩm a2 hoặc 1 sản phẩm a1 và 1 sản phẩm a3 Mỗi trường hợp được liệt kê ở trên chính là một tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử Sau đây là liệt kê đầy đủ các trường hợp của bài toán:

a1a1, a2a2, a3a3, a1a2, a1a3, a2a3.

Tính chất 1.5 Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là



C n k = C n+k−1 k (1.8)

Ví dụ 1.9 Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, tím, vàng Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua 6

chiếc bút? (giả sử số lượng bút bi mỗi loại lớn hơn 6).

Giải Vì khách hàng chọn 6 chiếc bút trong 4 loại và có thể chọn cùng một

màu nên mỗi cách chọn là một tổ hợp lặp chập 6 của 4 Số cách chọn là



C46 = C 4+6−16 = C96 = 84.

Ví dụ 1.10 Giả sử có 8 viên bi màu hoàn toàn giống nhau Nam muốn xếp các viên

bi này vào 5 ngăn kéo Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (Đáp số: n =  C58 = C138 = 1287)

BẢNG TÓM TẮT ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chương 2

XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

§1 Phép thử và biến cố

1.1 Phép thử và biến cố

Định nghĩa 1.1 Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình thực hiện một nhóm

các điều kiện để quan sát hiện tượng mà kết quả của nó không đoán trước được.

Định nghĩa 1.2 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu, kí hiệu Ω.

Ví dụ 1.1 Xét phép thử tung hai đồng xu, nếu xét kết quả xuất hiện là mặt "sấp"

S hay "ngửa" N thì không gian mẫu sẽ là

Ω = {SS, SN, NS, NN}.

Quy ước: "ngửa" là mặt hiện giá trị của đồng xu và "sấp" là phía ngược lại.

Ví dụ 1.2 Trong ví dụ (1.1), nếu xét kết quả là tổng số mặt sấp S thì không gian mẫu sẽ là

Ω = {0; 1; 2}.

Ví dụ 1.3 Xét phép thử tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt sấp S Không gian mẫu của phép thử này sẽ là

Ω = {1; 2; 3; 4; }.

Định nghĩa 1.3 Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu Các biến cố

thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, C,

Định nghĩa 1.4 Biến cố A gọi là biến cố sơ cấp nếu A chỉ chứa một phần tử của

không gian mẫu Ω.

Định nghĩa 1.5 Biến cố chắc chắn là Ω; Biến cố không thể là ∅.

Ví dụ 1.4 Xét phép thử tung 2 đồng xu của ví dụ (1.1) Khi đó

1.2 Quan hệ giữa các biến cố

1 Biến cố giao

Định nghĩa 1.6 Giao của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∩ B hoặc A.B, là biến

cố "A và B đồng thời xảy ra".

Ví dụ 1.5 Xét phép thử tung hai đồng xu Gọi A là biến cố "xuất hiện mặt sấp

ở đồng xu thứ nhất", B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ hai" Khi đó

A ∩ B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu".

Ví dụ 1.6 Một lớp có 30 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh văn hoặc Pháp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh văn, 15 sinh viên giỏi Pháp văn Hỏi có bao nhiêu sinh viên giỏi cả hai môn (Đáp số: n = 5).

2 Biến cố hợp

Định nghĩa 1.7 Hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∪ B, là biến cố "có ít

nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra".

Trường hợp A ∩ B = ∅ thì ta dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪ B.

Ví dụ 1.7 Xét phép thử tung ba đồng xu Gọi A là biến cố "xuất hiện đúng hai mặt sấp trong ba đồng xu", B là biến cố "cả 3 mặt đều sấp" Khi đó A ∪ B là biến

cố "có ít nhất hai mặt sấp trong ba đồng xu".

3 Biến cố kéo theo

Định nghĩa 1.8 Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, nếu A ⊂ B.

4 Biến cố xung khắc

Định nghĩa 1.9 Biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời

xảy ra trong một phép thử, nghĩa là A ∩ B = ∅.

Ví dụ 1.8 Xét phép thử trong ví dụ (1.7) Biến cố A ∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc

Ví dụ 1.9 Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối đồng chất Các biến cố nào

sau đây là xung khắc với nhau?

Định nghĩa 1.10 Biến cố bù của biến cố A, kí hiệu A hoặc A c , là biến cố "A

không xảy ra".

Ví dụ 1.10 Xét phép thử tung một đồng xu 2 lần và A là biến cố "mặt sấp S xuất hiện ít nhất một lần" Khi đó biến cố bù A là "mặt sấp không xuất hiện".

Ví dụ 1.11 Bắn lần lượt ba viên đạn vào một bia Gọi A i là biến cố "viên đạn thứ

i trúng bia" (i = 1, 2, 3) Khi đó biến cố

1 "có đúng một viên đạn trúng bia" là A = A A A ∪ A A A ∪ A A A

2 "có đúng hai viên đạn trúng bia" là B = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3.

4 A + A = Ω và A.A = ∅.

Ví dụ 1.12 Cho A, B là các biến cố Chứng minh rằng A ∪ B = A + B.A.

Giải Ta có B.A ⊂ B, do đó với mỗi x ∈ A + B.A, suy ra x ∈ A hoặc x ∈ B.

Vậy A + B.A ⊂ A ∪ B Ngược lại, nếu x ∈ A ∪ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B\A.

§2 Xác suất và công thức tính

Xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít

khi) của một biến cố Số gán cho biến cố A, kí hiệu là P (A), gọi là xác suất của biến cố A.

2.1 Định nghĩa xác suất

Định nghĩa 2.1 Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử gồm có n(Ω) biến cố

sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm có n(A) biến cố sơ cấp Khi đó xác suất của biến cố A là

Ví dụ 2.2 Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên

5 sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất để cả 5 sản phẩm đều tốt.

Giải Gọi A là biến cố "5 sản phẩm đều tốt" Không gian mẫu của bài toán

trên là tập hợp các cách chọn tùy ý 5 sản phẩm trong 50 sản phẩm Khi đó

n(Ω) = C505 Mỗi cách chọn được 5 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 5 của 47

sản phẩm tốt Số cách chọn 5 sản phẩm tốt là n(A) = C475 Vậy xác suất chọn

được 5 sản phẩm tốt là P (A) = C

5 47

Giải Nếu xếp 3 bạn nam và 4 bạn nữ một cách tùy ý thì mỗi cách xếp là

một hoán vị của 7 người Vậy n(Ω) = 7! cách xếp.

a) Gọi A là biến cố "3 bạn nam đứng cạnh nhau" Chúng ta thực hiện như

sau:

• Bước 1: Xem 3 bạn nam là một người Khi đó số cách xếp là P5 = 5!

• Bước 2: đổi chỗ của 3 bạn nam Số cách xếp là P3 = 3!

Số cách xếp 3 bạn nam cạnh nhau là n(A) = 3!.5!.

Vậy xác suất để 3 bạn nam đứng cạnh nhau là P (A) = 3! × 5!

1

7.

b) Gọi B là biến cố "3 bạn nam không đứng cạnh nhau" Khi đó B là biến

cố bù của A nên số phần tử của B là hiệu của n(Ω) và n(A) Vậy

c) Với yêu cầu xếp 3 bạn nam không có ai đứng cạnh nhau, chúng ta thực

hiện như sau:

• Bước 1: Hoán vị 4 bạn nữ, số cách xếp là 4! cách.

• Bước 2: Xếp 3 bạn nam vào các chỗ trống giữa hai bạn nữ hoặc hai

đầu dãy (minh họa bằng hình dưới, các ô tròn tượng trưng cho cácbạn nữ)

   

Vì yêu cầu các bạn nam không có ai xếp hàng cạnh nhau nên giữa

hai bạn nữ chỉ xếp được một nam và mỗi đầu dãy chỉ xếp được mộtnam Như vậy có 5 vị trí có thể xếp được các bạn nam vào đó Do chỉ

có 3 bạn nam và các cách xếp phân biệt thứ tự nên số cách xếp 3 nam

vào 5 vị trí là A35 cách

Vậy số cách xếp 3 nam không có ai đứng cạnh nhau là 4!×A35 và xác suất

để 3 bạn nam không có ai đứng cạnh nhau là 4! × A

3 5

2

Lưu ý: Trong ví dụ (2.3) các biến cố "3 bạn nam xếp hàng cạnh nhau" và "3

bạn nam không có ai xếp hàng cạnh nhau" không phải là hai biến cố đối

lập (biến cố bù)

2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Trong thực tiễn nhiều khi chúng ta không thể xác định được số phần tử

n(Ω) của không gian mẫu Ω, số phần tử n(A) của biến cố A hoặc việc xác

định các thông số trên là có thể nhưng khó khăn hoặc gây thiệt hại về kinh

tế (chẳng hạn như: xác định tỉ lệ (xác suất) hộp sữa hỏng trong một kho,xác định xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ, ) Do đó người tađưa một cách tính xác suất theo quan điểm thống kê như sau:

Giả sử một phép thử được tiến hành N lần và biến cố A xuất hiện m lần.

Xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê là số

P (A) = lim

trong đó f A = m

N , số này gọi là tần suất của biến cố A.

Ví dụ 2.4 Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối, đồng chất và A là biến cố

"xuất hiện mặt một chấm" Thực hiện phép thử 30 lần và 600 lần, ta thu được 2 bảng sau:

2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Định nghĩa 2.2 Giả sử một điểm được gieo ngẫu nhiên vào một miền D và A là một miền con của D Khi đó xác suất của biến cố "điểm đó rơi vào miền A" là

P (A) = S(A)

trong đó S(.) là số đo miền (.) (số đo có thể là độ dài, diện tích, thể tích ).

Ví dụ 2.5 Gieo ngẫu nhiên một điểm M vào trong hình vuông có cạnh là a Tìm

xác suất để điểm đó rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông.

Gọi A là biến cố điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông Khi đó

P (A) = Shình tròn

Shình vuông =

π ×

a2

2

π

4.

Ví dụ 2.6 Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm vào khoảng từ 11 giờ đến 12

giờ Họ quy ước: người đến trước sẽ đợi 20 phút, nếu không gặp sẽ bỏ đi Giả sử việc đến điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên Tìm xác suất hai người gặp nhau.

Giải Gọi x, y (đơn vị: phút) là thời điểm đến điểm hẹn của người thứ nhất

và người thứ hai Để đơn giản ta giả sử 0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60 Biểu diễn

x, y lên mặt phẳng tọa độ Oxy Không gian mẫu là tập hợp các điểm

C104 )

Ví dụ 2.8 Một lô hàng có 30 sản phẩm của phân xưởng I và 20 sản phẩm của

phân xưởng II Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm trong lô hàng Hãy tính xác suất để

1 4 sản phẩm được chọn ra không thuộc cùng một phân xưởng.

2 có ít nhất 1 sản phẩm của phân xưởng I.

Giải Gọi Ω là không gian mẫu Khi đó n(Ω) = C504 = 230300.

1 Gọi A là biến cố "4 sản phẩm được chọn ra không cùng thuộc một phân

xưởng" Khi đó biến cố bù A là "4 sản phẩm được chọn ra thuộc cùng một phân xưởng" Vậy số cách chọn sản phẩm là n(A) = C304 + C204 = 32250.Xác suất để 4 sản phẩm cùng thuộc một phân xưởng là

§3 Qui tắc cộng xác suất - Qui tắc nhân xác suất

3.1 Qui tắc cộng xác suất

3.1.1 Trường hợp các biến cố xung khắc

Định lý 3.1 Nếu A, B là các biến cố xung khắc, thì

Định lý 3.2 Nếu A1, , A n là các biến cố xung khắc đôi một thì

P (A1 + + A n ) = P (A1) + + P (A n ). (3.2)

Ví dụ 3.1 Một lớp học có 15 nam và 23 nữ Chọn ngẫu nhiên một đội 5 người từ

lớp nói trên Tính xác suất để đội này có đủ cả nam và nữ.

Giải Gọi A là biến cố "5 người được chọn có đủ cả nam và nữ" Khi đó biến

cố bù A là "5 người được chọn hoặc toàn nam hoặc toàn nữ" Như vậy biến

cố bù A là hợp của 2 biến cố (2 trường hợp):

• A1: "5 người được chọn toàn là nam"

• A : "5 người được chọn toàn là nữ"

Vì A1, A2 xung khắc nên

P (A) = P (A1) + P (A2) = C

5 15

3.1.2 Trường hợp các biến cố không xung khắc

Định lý 3.3 Cho A và B là 2 biến cố bất kì Khi đó

Ví dụ 3.2 Davis tham dự 2 trận đấu Xác suất để anh ấy thắng trận thứ nhất là

0.7; xác suất để anh ấy thắng trận thứ hai là 0.6 và xác suất để anh ấy thắng cả 2

trận là 0.5 Hãy tính xác suất Davis thắng ít nhất 1 trận; thắng đúng 1 trận.

Giải Gọi A là biến cố "Davis thắng trận thứ nhất", B là biến cố "Davis thắng

trận thứ hai" Khi đó A ∪ B là biến cố "thắng ít nhất 1 trận" Ta có

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0.7 + 0.6 − 0.5 = 0.8.

Gọi C là biến cố "Davis thắng đúng 1 trận" Xét trong tập hợp A ∪ B, biến

cố "thắng cả 2 trận" và biến cố "thắng đúng 1 trận" là 2 biến cố bù nhau Dođó

Ví dụ 3.3 Ba xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng của mỗi

người là 0.5; 0.6; 0.7 Hãy tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu (Đáp số: P = 1 − 0.5.0.4.0.3 = 0.94)

§4 Xác suất có điều kiện

4.1 Xác suất có điều kiện

Một hộp có 10 quả bóng khác nhau gồm 4 bóng vàng, 6 bóng đỏ Lấy ngẫunhiên lần lượt hai bóng (mỗi lần lấy xong không trả lại bóng vào hộp) Đặt

• A1 là biến cố "lấy được bóng màu vàng ở lần thứ nhất"

• A2 là biến cố "lấy được bóng màu vàng ở lần thứ hai"

Bảng sau là P (A2) trong trường hợp A1 xảy ra và không xảy ra

Kết quả trên cho thấy P (A2) phụ thuộc vào việc xuất hiện hay không xuất

hiện biến cố A1 Người ta dùng kí hiệu P (A2|A1) (thay vì P (A2)) để chỉ xác

suất xảy ra biến cố A2 khi A1 đã xảy ra và kí hiệu P (A2|A1) để chỉ xác suất

xảy ra biến cố A2 khi A1 không xảy ra Các xác suất này được gọi là xác suất

Định lý 4.1 (Qui tắc nhân tổng quát) Cho các biến cố A, B Khi đó

P (A.B) = P (B).P (A|B) = P (A).P (B|A). (4.3)

Định lý 4.2 (Qui tắc nhân tổng quát) Cho các biến cố A1, A2, , A n Khi đó

Ví dụ 4.2 Một người sẽ thi 2 môn Xác suất để người đó đậu môn thứ nhất là

80% Nếu môn thứ nhất đậu thì khả năng đậu môn thứ hai là 65%, ngược lại khả năng đậu môn thứ hai sẽ là 50% Hãy tính xác suất để người này đậu cả 2 môn.

Giải Gọi A là biến cố "đậu môn thứ nhất", B là biến cố "đậu môn thứ hai".

Khi đó biến cố "đậu cả 2 môn" là A.B Áp dụng qui tắc nhân tổng quát, tacó

P (A.B) = P (A).P (B|A) = 80%.65% = 52%.

Ví dụ 4.3 Trong cuộc khảo sát về một quy định mới, người ta hỏi 500 người bao gồm 240 nam, 260 nữ của một vùng và thu được kết quả "có 136 nam và 224 nữ trả lời tán thành".

a) Giả sử bạn gặp một người nữ trong số những người này Hãy tính xác suất để câu trả lời của người đó là "tán thành".

b) Giả sử bạn gặp một người có câu trả lời là "tán thành" Hãy tính xác suất để người đó là nam.

Giải Kết quả của cuộc khảo sát trên được mô tả trong bảng sau

= 56

65.

b) Với điều kiện gặp được người có câu trả lời là tán thành, xác suất để

người đó là nam là P (A|B) Theo bảng trên ta có

P (A|B) = P (A.B)

P (B) =

136500360500

= 17

45.