Chuỗi fourier

Mục đích nghiên cứu Do thời gian cũng như tài liệu nghiên cứu còn ít nên em chỉ trình bày về chuỗi Fourier, một số điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ hội tụ đều hoặc hội tụ điểm.. đó lấ

3.2 Thác triển một hàm không tuần hoàn trên đoạn [- ; ]  36 3.3 Thác triển chẵn và thác triển lẻ của một hàm tuần hoàn trên đoạn [- ; ]  37 3.4 Thác triển một hàm tuần hoàn trên đoạn [l l; ] bất kì 43 3.5 Thác triển một hàm xác định trên đoạn [a;b] 46

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng Các kết quả được

nghiên cứu trong giải tích có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của Toán

học và trong nhiều ngành khoa học khác như Vật lí, Thiên văn, Địa lí …

Trong giải tích, các kết quả về chuỗi Fourier có nhiều ý nghĩa về mặt lí thuyết đồng thời có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt là trong việc giải quyết các bài toán về Vật lí Chính vì vậy em đã chọn đề tài “chuỗi Fourier” để làm khóa luận tốt nghiệp ngành SP Toán của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Do thời gian cũng như tài liệu nghiên cứu còn ít nên em chỉ trình bày về chuỗi Fourier, một số điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ (hội tụ đều hoặc hội tụ điểm) Ngoài ra khóa luận còn đề cập tới cách khai triển một số hàm liên tục thành chuỗi Fourier

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đạt được mục đích đã đề ra

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi Fourier

Phạm vi nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp gồm

ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Chuỗi Fourier và sự hội tụ của chuỗi Fourier

Chương 3: Thác triển thành chuỗi Fourier

Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự tận tình giúp đỡ của các thầy cô trong tổ giải tích khoa Toán của trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2,

đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới

Chương 1 Kiến Thức Chuẩn Bị

a



 Khi đó An được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1) Dãy { An} được gọi

là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1)

Nếu dãy { An} hội tụ và lim n

n A A

  thì ta nói chuỗi số

1

k k

a





 =A

Nếu dãy { An} không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi

1

k k

a



 Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (I.3) hội tụ thì điều kiện cần và đủ là: 0



  cho trước  n0 n0( ) , n0N* sao cho ( n n0) ( p 1,2, )

thì A n p A n  Điều này có nghĩa là a n1a n2   a n p 

Định lý 1.2

Điều kiện cần và đủ để chuỗi

1

k k

a





 hội tụ là:

  0 cho trước  n0 n0( ) , n0N* sao cho ( n n0) ( p 1, 2, ) ta đều có a n1a n2  a n p 

Từ định lý trên ta suy ra chuỗi

1

n u

u x





 hội tụ thì ta nói x0là điểm hội tụ của

chuỗi (1.4) Nếu tại x0 chuỗi 0

1

( )

n n

1.2.3.1 Sự hội tụ đều của dãy hàm, chuỗi hàm

1.2.3.1.1 Sự hội tụ đều của dãy hàm

Giả sử u x là một dãy hàm xác định trên U n( ) R

Dãy hàm hàm số u x , n=1,2,… được gọi là hội tụ đều tới hàm n( ) u x  

trên tập U nếu   0 đều n  sao cho:

1.2.3.2 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm

Định lí 1.3 (dấu hiệu cần và đủ Cauchy)

Chuỗi hàm

1

( )

k k

u x





 hội tụ đều trên tập U khi và chỉ khi với mọi   0

cho trước đều n >0 sao cho  n n và với mọi số m nguyên dương ta đều có

Định lí 1.4 (dấu hiệu Weierstrass)

Cho chuỗi hàm

1

( )

n n

C





 hội tụ Khi đó chuỗi hàm

1

( )

n n

u x





 hội tụ đều trên U đến tổng S x( )

Khi đó S x( ) là một hàm liên tục trên đoạn [a;b]

u x





 hội tụ trên đoạn [a;b] đến tổng S x( )

b, u x (n=1,2,…) là các hàm liên tục trên đoạn [a;b] và n( ) u x n( )0

(hoặc u x n( )0) với mọi x[ ; ]a b  n 1,2,

c, S x( ) là hàm liên tục trên đoạn [a;b]

Khi đó chuỗi hàm

1

( )

n n

Trong không gian L2[ ; ] ta trang bị một tích vô hướng giữa hai phần

1.4.1 Vectơ trực giao, hệ trực giao

Trong không gian Hilbert H, hai vectơ x y được gọi là trực giao với nhau ,nếu  x y, 0 Kí hiệu là: x y

Hệ các vectơ  x được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ n x đôi một n

trực giao với nhau

khi i j S

Một hệ  e các phần tử trong không gian Hilbert H được gọi là một hệ n

trực chuẩn đầy đủ nếu mọi vectơ trực giao với hệ  e đều là vectơ 0, tức là nếu n n

f t dtF x F a



Chương 2 Chuỗi Fourier

và sự hội tụ của chuỗi Fourier

2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao

Ta đã biết rằng một dãy các hàm khả tích {n}n=1 trên đoạn [a;b] được gọi

là một hệ trực giao trên đoạn [a;b] nếu thỏa mãn điều kiện:

( ) ( )

b

n m a

 =0 n m, N n, m

Xét hệ hàm lượng giác trên đoạn [- ; ]  :

1,cosx sinx cos x sin x, , 2 , 2 , ,cosnx,sinnx (2.1)

Ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng:

0coskxcosnxdx khi k n

Như vậy hệ hàm lượng giác (2.1) là hệ hàm trực giao trên đoạn [ ; ]

Hơn nữa nó là một hệ hàm lượng giác đầy đủ

2.2 Chuỗi lượng giác

Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng:

Trong đó a0, a b n n, n( 1,2 ) là những số thực Ta thấy số hạng tổng quát

của chuỗi này là: ( )u x n a ncosnx b nsinnx Đây là một hàm số tuần hoàn với

chu kì 2

n



, liên tục và khả vi mọi cấp Nếu chuỗi (2.3) hội tụ và có tổng là S x( )

thì S x( ) là một hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì 2 Vì vậy ta chỉ xét chuỗi hàm lượng giác trên đoạn có độ dài bằng 2 Chẳng hạn trên đoạn [- ; ] 

Giả sử chuỗi hàm lượng giác (2.3) hội tụ đều trên đoạn [- ; ]  và:

Trước tiên ta lấy tích phân từ - tới  của chuỗi hàm ở vế phải của biểu thức (2.4) Ta tính được:

đó lấy tích phân hai vế của đẳng thức nhận được trên đoạn [- ; ]  , và do tính trực giao của hệ hàm lượng giác ta có:

được gọi là hệ số Fourier của hàm f x( )

Chuỗi hàm lượng giác:

Nếu xét hàm số f L1[- ; ]  thì các tích phân: 1 f x dx( )





  , 1

hệ số Fourier và chuỗi Fourier của nó xác định như các công thức (2.5) và (2.6)

2.3.2 Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng Dirichlet)

Cho hàm f L2[- ; ]  có khai triển thành chuỗi Fourier là:

n k

Do f [- ; ]   hàm f x( ) xác định trên [- ; ]  vì vậy ta có thể khuếch tuần hoàn cho hàm f x( ) với chu kì 2 trên toàn bộ trục số Khi đó dưới dấu tích phân của biểu thức (2.8) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2 nên tích phân trên đoạn bất kì có độ dài 2 đều có giá trị như nhau Vì vậy ta có thể giữ nguyên cận như cũ là - tới  Ta được:

(2 1)sin

2sin2

n

n z

Khi đó S x được gọi là tổng Dirichlet của hàm n( ) f x( ), còn D zn( )được

gọi là nhân Dirichlet của hàm f x( ) (nếu zk2 thì ( ) 2 1

Để tìm hiểu vấn đề này ta sẽ xét hiệu S x n( ) f x( )

n k

n z

Các vấn đề hội tụ của chuỗi này ta sẽ nghiên cứu trong phần tiếp sau đây

2.4 Sự hội tụ của chuỗi Fourier

Ta xét điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ điểm

2.4.1 Điều kiện Dini

Điều kiện Dini:

Hàm số f x( ) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dini tại điểm x nếu tồn tại số

- Nếu ( )x là hàm khả tổng tùy ý trên đoạn [a;b], vì hàm ( )x khả vi liên

tục, trù mật khắp nơi trong L1[a;b] nên với mỗi  0 bất kì tồn tại hàm khả vi liên tục  sao cho:

z dz z

z

z z

sinz z

Đặt M = max{m;1+ } thì  z [- ; ]  ta có:

2sin2

n z

z

z dz z

Định lí 2.3 (điều kiện Dirichlet)

Giả sử f x( ) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 , thỏa mãn một trong hai điều kiện sau trên đoạn [- ; ]  :

- Hoặc f x( ) liên tục từng khúc và có đạo hàm f x'( ) liên tục từng khúc

- Hoặc f x( ) đơn điệu từng khúc và bị chặn

Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm Chuỗi này có tổng

bằng f x( ) tại những điểm liên tục của nó Và bằng ( 0) ( 0)

2

f c  f c

tại các điểm gián đoạn c của nó

2.4.2 Điều kiện Lipschitz

2.4.2.1 Điều kiện Lipschitz

Cho hàm số f x( ) tuần hoàn với chu kì 2 , và f x( )L1[- ; ]  Hàm f x( )

được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc  0 tại điểm x nếu tồn tại một 0hằng số C và số dương r thỏa mãn:

f x( ) f x( )0 C x x0 (x x:  x0 r)

Nếu điều kiện này đúng với tất cả các giá trị x0 với cùng một hằng số C thì hàm f x( ) được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều

2.4.3 Nguyên lí địa phương

Định lí 2.4

Giả sử hàm số f x( ) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 , liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn bất kì Khi đó với bất kì , (0  ) và với bất kì 0

x R tính hội tụ của chuỗi Fourier của hàm f x( ) tại x0chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của hàm f x( ) trong khoảng (x0 ;x0 )

Chứng minh:

Theo công thức tổng Dirichlet ta có:

0 0

1sin( )

2sin2

1sin( )

2sin2

2.5 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier

Ta đã xác định một số điều kiện để chuỗi Fourier của môt hàm f x( ) nào đó hội tụ điểm Trong phần này chúng ta tiếp tục nghiên cứu một vài điều kiện để chuỗi Fourier của hàm f x( ) là hội tụ đều

Định lí 2.5

Nếu hàm f x( ) tuần hoàn với chu kì 2 , và liên tục tuyệt đối, có đạo hàm thuộc không gian L2[ ; ] thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều tới f x( ) trên toàn trục số

Chứng minh:

Gọi hệ số Fourier của hàm f x'( ) là a n, (n1,2, ) và b n' (n1,2, )

Do f x( ) liên tục tuyệt đối nên   0,   0 sao cho với mọi họ hữu hạn những khoảng đôi một rời nhau ( ; ),a b k k k 1,2, ,n0 mà tổng độ dài nhỏ

Vậy với mỗi n cố định thì hàm f x( )sinnx liên tục tuyệt đối Áp dụng định

lí Lebesgue trong đoạn [ ; ] ta có:

b a

a b

hay chuỗi Fourier của hàm f x( ) hội tụ đều

Người ta có thể chứng minh được rằng tổng của chuỗi đó bằng f x( )

Chương 3 Thác Triển Thành Chuỗi Fourier

3.1.Thác triển một hàm tuần hoàn trên đoạn [ ; ]

Giả sử f x( )là một hàm xác định và khả vi từng khúc trên đoạn [ ; ] Đặt a0 1 f x dx( )

mà trong đoạn [ ; ] thì f*( )x trùng với f x( ) tức là:

f*( )x  f x( )   x [  ; ]

Vì thế chuỗi (3.1) sẽ hội tụ Đặc biệt trong đoạn [ ; ] chuỗi (3.1) sẽ hội

tụ về f x( ) tại những điểm liên tục của hàm f x( ) Còn tại những điểm gián đoạn loại 1 thì chuỗi có tổng là:

Hàm f x( )x liên tục tại mọi điểm x k2 , kZ

3.2 Thác triển một hàm không tuần hoàn trên đoạn [ ; ]

Xét hàm f x( ) không tuần hoàn và giả thiết rằng trên đoạn [ ; ] hàm

này khả vi từng khúc.Ta thành lập chuỗi:

Do f*( )x là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên:

f x lên toàn đoạn [ ; ]

Khai triển Fourier hàm f*( )x trong đoạn [ ; ], vì f*( )x là hàm chẵn

Hàm f**( )x được xây dựng ở trên được gọi là thác triển lẻ của hàm f x( )

lên toàn đoạn [ ; ]

Khai triển Fourier hàm f**( )x trong đoạn [ ; ], vì f**( )x là hàm lẻ nên

Vì trong đoạn [0; ] thì f**( )x  f x( ) nên (3.6) cũng là khai triển của hàm f x( ) trong đoạn [0; ]

Vậy trong đoạn [0; ] ta có:

0

2( )sin ( 1, 2, )

a, Thác triển chẵn của hàm f x( ) trên đoạn [0; ]

b, Thác triển lẻ của hàm f x( ) trên đoạn [0; ]

Lời giải

a, Thác triển chẵn của hàm f x( ) trên đoạn [0; ]

Ta xây dựng hàm f*( )x là hàm tuần hoàn với chu kì 2π, xác định trên đoạn

[ ; ] như sau:

*

0

2( )

2

2( )cos

n sin

b, Thác triển lẻ của hàm f x( ) trong đoạn [0; ]

Ta xây dựng hàm f**( )x là hàm tuần hoàn với chu kì 2π, xác định trên

đoạn [ ; ] như sau:

2 2

Tại các điểm gián đoạn x(2k 1) , kZ tổng của chuỗi bằng 0

Đồ thị của hàm f**( )x được cho bởi hình 5

3.4 Thác triển tuần hoàn trong đoạn  l l; bất kỳ

Cho hàm số f x( ) xác định, và khả vi từng khúc trong đoạn  l l; (với l là

 thì khi x biến thiên từ -l tới l

th× y biến thiên từ  tới  do đó hàm g y( ) f(ly)



 là một hàm số xác định và

0 1 ( )

l l

t x

2 2

Vậy chuỗi Fourier của hàm đã cho là:

( ) 162 sin 12sin3 12sin5

Đồ thị hàm số được cho bởi hình 6

3.5 Thác triển một hàm tuần hoàn trên đoạn [a;b]

Giả sử f x( ) là một hàm số xác định trên đoạn [a;b], khả vi từng khúc trên

đó Để thác triển f x( ) thành chuỗi Fourier ta xây dựng một hàm số g x( ) có chu

kì lớn hơn hay bằng (b-a) sao cho: g x( ) f x( ),  x [ ; ]a b

0

y

x

2 4 -8 -6 -4 -2

-10 -12

2

-2

Nếu hàm số g x( ) có thể khai triển được thành chuỗi Fourier thì tổng của

chuỗi đó bằng f x( )  x [ ; ]a b trừ tại những điểm gián đoạn của f x( ) Rõ ràng

có nhiều cách xác định hàm số g x( ) như vậy Với mỗi hàm số g x( ) cho ta một

chuỗi Fourier tương ứng, do đó có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f x( ) Nếu hàm số g x( ) chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ toàn những hàm số

cosin, nếu hàm số g x( ) lẻ thì chuỗi Fourier của nó toàn những hàm số sin

a, Thác triển lẻ của hàm f x( ) trên đoạn [0;1]

b, Thác triển chẵn của hàm f x( ) trên đoạn [0;1]

c, Chuỗi Fourier của hàm f x( ) trên đoạn [0;1]

Lời giải:

a, Thác triển lẻ của hàm f x( ) trên đoạn [0;1]

Ta xây dựng hàm f*( )x tuần hoàn với chu kì bằng 2, xác định trên đoạn

21

Hàm f*( )x thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên có thể khai triển được thành

Vì trong đoạn [0;1] thì f*( )x  f x( ) nên (3.11) cũng là khai triển của hàm f x( )trong đoạn [0;1]

Do đó thác triển lẻ của hàm đã cho trên đoạn [0;1] là:

Đồ thị của hàm f*( )x được cho bởi hình 7

b, Thác triển chẵn của hàm f x( ) trong đoạn [0;1]

Ta xây dựng hàm f**( )x tuần hoàn với chu kì bằng 2, xác trên đoạn [-1;1]

0 0

c, Tìm chuỗi Fourier của hàm f x( ) trong đoạn [0;1]

3 2

1

0 0

1 1

2 2

1 1

2 2

f x  với 0 x 2 thành chuỗi Fourier theo các hàm

số sin và chuỗi Fourier theo các hàm số cosin

Hàm g x( ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên có thể khai triển được thành

0

12

-4

x

bằng 4 và ( ) ( )

2

x

h x  f x  với x[0;2]

Hàm h x( ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên có thể khai triển được thành

chuỗi Fourier Vì h x( ) lẻ ( Hình 11 ) trên đoạn [0;2] nên:

1

2

n n

n x



Trong đó:

2 0 sin 2 2 n x n x b   dx  = 2 2 0 0 1 os os 2 2 x n x n x c c dx n n        = 2c nos ( 1)n 1 2 ,n 1, 2,

n  n        Vậy ( ) 2 sin 1sin2 1sin3

2 2 2 3 2 x x x f x               Tại những điểm gián đoạn x(2k 1)2, kZ tổng của chuỗi bằng 0

(Hình 11)

1

0

-1

2

-4 -6

x

y

KẾT LUẬN

Như vậy ta thấy rằng lớp các hàm số có chuỗi Fourier hội tụ tại một điểm

là rất lớn Trong lớp các hàm số này tính liên tục có thể không cần thiết Thông qua đề tài này chúng ta thấy một số lớp hàm mà chuỗi Fourier của nó hội tụ tại một điểm (các hàm thỏa mãn điều kiện Dini và điều kiện Lipschitz) và chúng ta cũng biết một số điều kiện để chuỗi Fourier của hàm số hội tụ đều Chú ý rằng

để chuỗi Fourier của hàm số hội tụ đều thì hàm số đó phải liên tục

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hùng cùng toàn

thể các thầy cô trong khoa toán Đặc biệt là các thầy cô trong tổ giải tích đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này