Chuỗi fourier và phép biến đổi fourier (LV00345)

Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng củachuỗi Fourier và biến đổi Fourier.. Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier.. Giúpngười đọc

Luận văn được hoàn thành dưới sự dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chuđáo của TS Trần Văn Vuông Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc củamình đến TS Trần văn Vuông Trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn tác giả nhận được sự quan tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán,phòng SĐH, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 Tác giả xin trân trọngcảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó.

Bên cạnh đó, tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn phòng GD-ĐT GiaBình, Trường THCS Thị Trấn huyện Gia Bình, phòng GD-ĐT thànhphố Bắc Ninh, trường THCS Nguyễn Đăng Đạo tỉnh Bắc Ninh, bạn bèđồng nghiệp và người thân đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt quá trình nghiên cứu và học tập để hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS Trần Văn Vuông

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng vàbiết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Mở đầu 5

1.1 Không gian Lp 71.1.1 Các định lí quan trọng của lý thuyết tích phân 71.1.2 Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ 81.1.3 Tích chập 101.2 Vài định lý về không gian Banach và không gian Hilbert 111.2.1 Định lý ánh xạ mở và định lý Lax - Milgram 111.2.2 Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert 131.2.3 Tính đầy đủ của một hệ trực giao, trực chuẩn 141.3 Một số định lý giải tích 151.4 Tích phân Dirichlet 15

2.1 Chuỗi Fourier 182.2 Sự hội tụ 192.3 Chuỗi cosin, chuỗi sin 21

2.4 Sự hội tụ đều 22

2.5 Định lý Fejér 26

2.6 Sự hội tụ trong L2 30

2.7 Chuỗi Fourier dạng phức, đẳng thức Parseval 35

2.8 Chuỗi Fourier của hàm trong Lp(−π, π) 37

2.9 Chuỗi Fourier kép 41

Chương 3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 46 3.1 Tích phân Fourier 46

3.2 Phép biến đổi Fourier 49

3.3 Các tính chất của phép biến đổi Fourier 56

3.4 Phép biến đổi Fourier trong LP(R), 1 < p ≤ 2 61

3.5 Hàm Cardinal 65

3.6 Ví dụ áp dụng phương trình truyền nhiệt 67

3.7 Chuỗi Fourier rời rạc, phép biến đổi Fourier rời rạc 68

3.8 Tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc 71

3.9 Thuật toán FFT (Fast Fourier Transform) 72

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói trong số những biến đổi tích phân phổ biến nhất thì biếnđổi Fourier ra đời trước tiên Mặc dù trước Fourier, Euler đã đưa ra kháiniệm khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác, song lí thuyếtnày chưa được hoàn chỉnh Fourier đã viết xong công trình về biến đổiFourier vào năm 1807 nhưng do sự hoài nghi của các nhà toán học thờibấy giờ nên đến năm 1815 công trình của Fourier mới được công bố Sau

đó công trình tiếp tục được Drichlet và Riemann bổ sung và hoàn chỉnh

Lý thuyết về chuỗi Fourier còn nhận được nhiều sự đóng góp của nhiềunhà toán học như: Heine, Lipschitz,

Ngày nay, những chuyên gia về xử lí tín hiệu số là những người hiểuhơn ai hết vai trò quan trọng của chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier

Có thể nói rằng hầu hết các thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh

và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay đều chứa các “con chíp” làmnhiệm vụ chuyển đổi các hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu số) và đôikhi kiêm luôn chức năng “khử nhiễu” hay “hiệu chỉnh tín hiệu” dựa trêncác phép biến đổi Fourier Ngoài ra phép biến đổi Fourier còn có nhiềuứng dụng quan trọng các lĩnh vực số học, xác suất, quang học, hình học

và nhiều lĩnh vực khác Do tầm quan trọng như vậy của chuỗi Fourier

và phép biến đổi Fourier, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn nữa về chuỗiFourier và phép biến đổi Fourier, tôi đã chọn đề tài

“Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier”

để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng củachuỗi Fourier và biến đổi Fourier

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu chuỗi Fourier, sự hội tụ Chuỗi Fourier dưới dạng phức.Nghiên cứu chuỗi Fourier kép, một số ứng dụng

Nghiên cứu phép biến đổi Fourier và các tính chất

Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp mới

Đây là bài tổng quan về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier Giúpngười đọc không chỉ hiểu rõ hơn về các tính chất của nó mà còn thấychuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier có thể áp dụng cho các bài toándao động, phương trình truyền nhiệt của vật lý, lý thuyết thông tin,

NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Lp

1.1.1 Các định lí quan trọng của lý thuyết tích phân

Định lý 1.1 Cho (fn) là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên tập

Ω ⊂ RN sao cho supnR fnh∞ Khi đó, fn hội tụ hầu khắp nơi trên Ω vềmột hàm f khả tích trên Ω và kfn − f k1 ≡ R

Ω|fn(x) − f (x)|dx → 0 khi

n → ∞

Định lý 1.2 Cho (fn) là dãy các hàm thực (phức) khả tích trên Ω Giảsử

a fn(x) → f (x) hầu khắp nơi trên Ω,

b tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f (x)| ≤ g(x) hầu khắp nơitrên Ω

Bổ đề 1.1 Giả sử (fn) là một dãy các hàm khả tích sao cho

a fn ≥ 0 hầu khắp nơi trên Ω, ∀n

2|F (x, y)| dy < ∞ Khi đó, F khả tích trên Ω1 × Ω2

Định lý 1.4 Cho F khả tích trên Ω1 × Ω2 Khi đó với hầu hết x thuộc

Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ R với 1 ≤ p < ∞; ta định nghĩa

Lp(Ω) = { f : Ω → R (hoặc C); f đo được và |f |p khả tích),

L∞(Ω) = { f : Ω → R (hoặc C); f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C hầu

|f (x)| ≤ ||f ||∞hầu khắp nơi với x ∈ Ω.

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Holder) Cho f ∈ Lp và g ∈ Lp0 với1≤ p ≤ ∞ và p0 là liên hợp của p, nghĩa là 1

p +

1

p0 = 1 Khi đó f.g ∈ L1và

Z

|f.g| ≤ kf kp kgk

p 0

Dựa vào bất đẳng thức Holder ta chứng minh được

Định lý 1.6 Lp là một không gian vectơ và k.kp là một chuẩn với

1 ≤ p ≤ ∞

Định lý 1.7 (Fischer-Riez)

a Lp là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞

b Giả sử (fn) là dãy hội tụ về f trong không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) nghĩa

là kfn− f kp → 0.Thế thì dãy con (fnk)k=1,2, sao cho

fnk(x) → f (x) hầu khắp nơi

∀k, |fnk(x)| ≤ h(x) hầu khắp nơi, với h là một hàm trong Lp

Với Ω là tập mở trong R, ta ký hiệu Ck(Ω) là không gian các hàm sốkhả vi liên tục đến cấp k và C∞(Ω) = ∩∞k=1Ck(Ω) Còn Cc(Ω) là không

gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f , tức là tậphợp supp f = {x ∈ Ω; f (x) 6= 0} là compact chứa trong Ω.

Định nghĩa 1.2 Cho hai hàm số f và g xác định trên RN thì hàm số

f ∗ g xác định bởi (f ∗ g) (x) = R

RN f (x − y)g(y)dy, với giả thiết tíchphân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g

Định lý 1.10 Giả sử f ∈ L1(RN) và g ∈ Lp(RN) với 1 ≤ p ≤ ∞.Khi đó, với mỗi x ∈ RN, hàm số y 7→ f (x − y)g(y) khả tích trên RNvà

f ∗ g ∈ Lp(RN)

Hơn nữa kf ∗ gk ≤ kf k1kgkp

1.2 Vài định lý về không gian Banach và không

gian Hilbert

1.2.1 Định lý ánh xạ mở và định lý Lax - Milgram

Định nghĩa 1.3 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và A là ánh

xạ tuyến tính từ X vào Y Ta định nghĩa kAk = sup {kAxk : x ∈ X, kxk ≤ 1} Ánh xạ A được gọi là bị chặn nếu kAk < ∞

Tính chất 1.1 Với một ánh xạ tuyến tính A từ không gian định chuẩn

X vào không gian định chuẩn Y , các điều kiện sau là tương đương

a A bị chặn

b A liên tục

c A liên tục tại một điểm nào đó

Định lý 1.11 Cho A là một toàn ánh từ X lên Y và giả sử A tuyếntính, bị chặn Khi đó A(U ) là mở trong Y , Với U là tập mở bất kỳ trongX

Định nghĩa 1.4 Không gian vectơ (thực hoặc phức) H được gọi làkhông gian có tích trong nếu mỗi cặp thứ tự (x, y) trong H × H đượcliên kết với một số (thực hoặc phức), cũng được ký hiệu là (x, y), saocho

(a) (y, x) = (x, y), dấu gạch ký hiệu cho liên hợp phức

(b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với mọi x, y, z trong H

(c) (αx, y) = α(x, y)∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R (hoặc C nếu H là không gianvectơ phức)

(d) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H

(e) (x, x) = 0 nếu chỉ nếu x = 0.

Khi đó, (., ) được gọi là tích trong (tích vô hướng) hay dạng Hermite.Tính chất 1.2 Cho H là không gian vectơ với tích trong (.,.) Thì vớimọi x, y trong H Ta có

a Bất đẳng thức Schwartz

|(x, y)|2 ≤ (x, x).(y, y)

b Bất đẳng thức Minkovski

(x + y, x + y)1/2 ≤ (x, x)1/2 + (y, y)1/2.Định nghĩa 1.5 Cho H là không gian vectơ với tích trong (.,.) Từtính chất trên ta có (H, k.k ) là một không gian định chuẩn, trong đókxk = (x, x)1/2 Ta nói H là không gian Hilbert nếu H đầy đủ với chuẩnk.k

Định lý 1.12 (Lax - Milgram) Cho H là không gian Hilbert và a:H ×

H → Φ (Φ = R hoặc C) là dạng song tuyến tính liên tục trên H, nghĩa

là cố định một biến thì a tuyến tính theo biến còn lại và

|a(u, v)| ≤ M kuk kvk , ∀u, v ∈ H

Giả sử a cưỡng bức trên H nghĩa là có số αi0 sao cho

α(u, u) ≥ αkuk2, ∀u ∈ H

Khi đó, với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục l : H → Φ, tồn tại duynhất một ul ∈ H, phụ thuộc liên tục vào l, thỏa mãn

a(ul, v) = hl, vi ∀v ∈ H

1.2.2 Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian HilbertHai vectơ x và y trong không gian Hilbert H được gọi là trực giaonếu (x, y) = 0, và ta viết x⊥y Ký hiệu x⊥ là tập hợp các vectơ trong

H trực giao với x Tương tự, cho tập A ⊂ H, A⊥ chỉ tập hợp các vectơtrong H vuông góc với mọi vectơ trong A

Họ vectơ (vα)α∈A trong không gian Hilbert H, với A là tập “chỉ số” bất

kỳ, được gọi là hệ (họ) trực giao nếu họ này không chứa vectơ 0 ∈ H và

Cho (αi)i∈I là một họ các số thực dương, với I là tập “chỉ số” bất kỳ ĐặtFinite(I) là họ các tập con của I có hữu hạn phần tử Ta định nghĩa

(b) Cho (vi)i=1,n là họ trực chuẩn gồm n vectơ, (ti)i=1,n là n số thực (hayphức) Ta có

X

α∈A

|ˆx(α)|2 ≤ kxk ,trong đó ˆx(α), α ∈ A, là các hệ số Fourier của x đối với hệ trực chuẩn

đã cho

1.2.3 Tính đầy đủ của một hệ trực giao, trực chuẩn

Định nghĩa 1.6 Một hệ trực chuẩn (vα)α∈A được gọi là đầy đủ (hay cơ

sở đầy đủ) nghĩa là với mọi x trong H ta có đẳng thức Parseval sau đây

(a) (vα)α∈A là hệ đầy đủ

(b) (vα)α∈A là hệ trực chuẩn tối đại trong H, nghĩa là không có hệ trựcchuẩn nào trong H rộng hơn chứa (vα)α∈A ngoại trừ chính nó

(c) Không gian vectơ sinh bởi hệ (vα)α∈A, tức là không gian gồm tất cảcác tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn vectơ trong hệ (vα)α∈A, là trùmật trong H

Định lý 1.17 Cho f là hàm thực đơn điệu trên [a, b] và g là hàm thựcliên tục trên [a, b] Khi đó, tồn tại điểm x ∈ [a, b] sao cho

Z b a

f (t)g(t)dt = f (a)

Z x a

g(t)dt + f (b)

Z b x

Tính chất 1.3 Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b].Khi đó

(a) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re [f ] và Im [f ], tức phần thực

và phần ảo của f , có biến phân bị chặn

(b) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể,

|f (x)| ≤ |f (a)| + V (f ; a, b), ∀x ∈ [a, b] (c) Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p, qđơn điệu tăng trên [a, b] sao cho f (x) = p(x) − q(x) ∀x ∈ [a, b]

Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục

Bổ đề 1.2 (tích phân Dirichlet) Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xácđịnh trên (a, b) thỏa mãn một trong hai điều kiên Dirichlet sau đây(i) tồn tại f (a+), f (b−) và f có biến phân bị chặn trên [a, b], (ta xemnhư f xác định trên [a, b] với giá trị tại biên là f (a+)và f (b−))

(ii) Có hữu hạn điểm thuộc đoạn [a, b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bétùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần cònlại của đoạn [a, b]; hơn nữa f ∈ L1(a, b) Khi đó, ta có

Nếu 0 < a < b thì lim

µ→∞

Z b a

f (x)sin µx

x dx = 0Nếu 0 = a < b, ∃ f (0+) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận [0, δ]của 0 (δ > 0) thì lim

µ→∞

Z b 0

khúc trên các đoạn còn lại, thêm vào đó f ∈ L1(a, b) thì f thỏa mãnđiều kiện Dirichlet (ii).

Chương 2 CHUỖI FOURIER

Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta định nghĩa chuỗi Fourier của

f tương tự như trên, trong các hệ số an, bn được tính trên một đoạn tùy

ý [a, a + 2π]

Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t = πx/l, ta đưa

về trường hợp tuần hoàn chu kỳ 2π

Ta thấy rằng vì f ∈ L1[−π, π] nên các tích phân trong (2.2) tồn tại

f (x0) [1 + 2(cos x0cos x + sin x0sin x)+

· · · + 2(cos nx0cos nx + sin nx0sin nx)]dx0

0

+ 12π

Z π x

f (x0)sin

1

2(2n + 1)(x0 − x)sin 12(x0 − x) dx

0.Đổi biến α = x − x

Z (π−x)/2 0

f (x + 2α)sin(2n + 1)α

sin α dx. (2.3)Với x ∈ (−π, π) cố định, ta có các hàm theo biến α là f (x ± 2α) thỏamãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng (0,π−x2 ) và (0, π+x2 )

Do đó, nếu f (x+) và f (x−) tồn tại, theo bổ đề 1.2, ta có

Z π π−ξ

Z ξ 0

CHÚ THÍCH Có những hàm f liên tục trên [−π, π] mà tại nhữngđiểm nào đó thuộc đoạn [−π, π], chuỗi fourier của f không hội tụ Vấn

đề khôi phục hàm f trong trường hợp đó sẽ được xét ở mục 2.5

2.3 Chuỗi cosin, chuỗi sin

Cho f ∈ L1[0, π] và thoả mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π) Ta địnhnghĩa f trên (−π, 0) bằng công thức f (x) = f (−x)

Khi đó, f ∈ L1[−π, π], và thoả mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π), vìvậy có thể áp dụng kết quả phần trên Ngoài ra, do f là hàm chẵn

f (x0) cos nx0dx0 (2.4)

hội tụ về 1

2f x−
+ f x+
 tại những điểm x ∈ (0, π) mà f (x−) và

f (x+) tồn tại, hội tụ về f (0+) tại x = 0 nếu f (0+) tồn tại; hội tụ về

f (π−) tại x = π nếu f (π−) tồn tại

Định lý 2.3 Cho f ∈ L1[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên(0, π) Khi đó, ta có chuỗi sin

2π

2.4 Sự hội tụ đều

Định lý 2.4 Cho f ∈ L1[−π, π] Giả sử rằng f bị chặn, thoả mãnđiều kiện Dirichlet trên (−π, π) Giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂(−π, π) Khi đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất

kỳ [a, b] ⊂ (u, v)

Chứng minh Trước hết, ta thác triển f thành một hàm xác định trên

R, tuần hoàn chu kỳ 2π bằng công thức f (x + 2π) = f (x) Khi đó,trong bất kỳ đoạn nào, ví dụ đoạn [−2π, 2π] , f được biểu diễn dướidạng f = F − G, với F và G là các hàm bị chặn, không âm, đơn điệutăng Ngoài ra, F và G liên tục tại các điểm mà f liên tục

Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số ε > 0 bất kỳ, ta sẽ tìm được

số n0 ∈ N sao cho với mỗi n > n0, bất đẳng thức | Sn(x) − f (x)| < εđúng cho ∀x ∈ [a, b]

Thật vậy, với mỗi x ∈ [a, b], ta có

f = F − G, tách cận tích phân và đổi biến ta được

Z π/2 0

F (x − 2α)sin (2n + 1) α

sin α dα

−1π

Z π/2 0

G (x + 2α)sin (2n + 1) α

sin α dα

−1π

Z π/2 0

Vì các hàm F, G bị chặn, hàm y 7→

Z y 0

sin α

α dα là liên tục vàlim

Z y 0

sin α

α dα

≤ Cvới mọi x ∈ [−2π, 2π] và mọi y ≥ 0

Tiếp theo, ta chọn hai số c, d cố định thoả mãn u < c < a < b < d < v

Do F và G liên tục đều trên [c, d] nên ta có số µ ∈ (0, π/2) sao cho

|F (x0 ± 2µ) − F (x0) | < ε

8C, |G (x

0 ± 2µ) − G (x0)| < ε

8C (2.7)đúng với mọi x0 ∈ [a, b]

Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên vế phải của (2.6) Ta có

Z π/2

0

sin(2n + 1)αsin α dα =

Z π/2 0

Ta lại có hàm α 7→ F (x + 2α) − F (x) là hàm bị chặn, dương và đơn điệutăng trên một đoạn tuỳ ý, và hàm α 7→ α/ sin α cũng bị chặn, dương,đơn điệu tăng trên 0,π2 Do đó, theo định lý thứ hai về giá trị trungbình của tích phân, tồn tại ξ ∈ [0, µ], sao cho

= 1

π [F (x + 2µ) − F (x)]

µsin µ.

Z µ ξ

sin(2n + 1)α

≥ |t|

2 , ∀t ∈ (−π, π)nên

F (t) =

f (x + t) − 2f (x) + f (x − t)

tan 2t

≤ 4C|t|α−1suy ra, với mọi x, hàm F thuộc L1(−π, π) Dùng bổ đề Riemann –Lesbesgue, ta có

εN(f, x) = R−ππ F (t) sin(N t)dt → 0 khi N → ∞, kết thúc chứng minh

Định lý 2.11 Cho fe, f0 lần lượt là hàm chẵn và hàm lẻ thoả mãn điềukiện của định lý trên Ta đặt

an = √4

2π

Z π 0

fe(t) cos ntdt, n = 0, 1, 2,

bn = √4

2π

Z π 0

f0(t) sin ntdt, n = 1, 2,