Căn nguyên của giải tích fourier

2.Mục đích nghiên cứu Qua đề tài nghiên cứu này ta có thể làm rõ được: Cơ sở vật lý của giải tích Fourier Bản chất vật lý của phương pháp tách biến Bản chất vật lý của phương pháp D’

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khoá luận tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều

sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên Em xin chân thành cám ơn các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSPHà Nội 2, các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin bày tở lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS Bùi Kiên Cường người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Do còn hạn chế về thời gian nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của quý thầy cô và các bạn để đề tài của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp là công trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này

em có tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong phần tài liệu tham khảo)

Hà nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Vũ Thị Cúc

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 4

2.Mục đích nghiên cứu 4

Chương 1: Phương Trình Truyền Sóng 6

1.1 Một vài khái niệm mở đầu 6

1.1.1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản 6

1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyển 9

1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm 10

1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng 11

1.2.1 Bài toán 11

1.2.2 Giải bài toán 11

1.3 Nghiệm phương trình truyền sóng 14

1.3.1 Nghiệm của phương trình truyền sóng 14

1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng 18

1.4 Ví dụ 22

Chương 2: Phương trình truyền nhiệt 24

2.1 Nguồn gốc của phương trình truyền nhiệt 24

2.2 Trạng thái ổn định của phương trình truyền nhiệt trong đĩa 26

2.3 Ví dụ 30

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

LỜI MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài

Trong giải tích cổ điển và phương trình đạo hàm riêng, sinh viên đã được tiếp cận giải tích Fourier và những ứng dụng của nó Qua tìm hiểu ta thấy rằng, bản chất của giải tích Fourier được bắt nguồn từ các hiện tượng vật lý bên ngoài thực tiễn Để làm sáng tỏ bản chất này và cũng làm tài liệu cho khóa sau, em đã chọn đề tài “ Căn nguyên của giải tích Fourier” để làm tài liệu cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Qua đề tài nghiên cứu này ta có thể làm rõ được:

Cơ sở vật lý của giải tích Fourier

Bản chất vật lý của phương pháp tách biến

Bản chất vật lý của phương pháp D’Alembert

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đạt được mục đích đã đề ra

4.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: giải tích Fourier

Phạm vi nghiên cứu: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt

5.Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá

6.Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Phương trình truyền sóng

Chương 2: Phương trình truyền nhiệt

Trong suốt quá trình nghiên cứu ẹm đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong tổ giải tích khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là thầy giáo Bùi Kiên Cường Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn!

Chương 1 Phương Trình Truyền Sóng

1.1 Một vài khái niệm mở đầu

1.1.1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản

Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản được mô tả có trạng thái là hệ thống dao động đơn giản nhất (gọi là dao động của hàm điều hòa đơn giản),

và đó chính là một cơ sở tự nhiên để bắt đầu nghiên cứu về dao động Xét vật khối lượng  m được gắn vào một lò xo nằm ngang Một đầu được gắn vào

bức tường, và giả thiết rằng hệ nằm trong một bề mặt không có ma sát

Chọn trục tọa độ có gốc trùng với trọng tâm của vật khi vật ở trạng thái nghỉ (khi đó lò xo không bị kéo hay nén), như trong hình 1 Kéo vật rời khỏi

vị trí cân bằng ban đầu

Hình 1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản

và thả ra, nó sẽ chuyển động như một hàm điều hòa đơn giản Chuyển động này có thể mô tả bằng toán học khi ta sử dụng phương trình vi phân để thể hiện sự thay đổi chuyển động của vật

Gọi y t là vị trí của vật ở thời điểm   t Ta giả sử rằng, lò xo ở trạng thái lý tưởng để định luật Hooke’s được thỏa mãn: Lực phản hồi Ftác dụng bởi lò xo lên vật cho bởi F  ky t Ở đây   k 0là đại lượng vật lý được gọi

là hằng số của lò xo Áp dụng định luật Newton’s (lực = khối lượng x gia tốc), ta có:

  cos sin ,

y t a ctb ct

với a, b là hằng số Tất cả các hàm số có công thức trên đều thỏa mãn phương

trình (1), và cũng rõ ràng, chỉ các hàm này là nghiệm của phương trình đã cho

Trong biểu y t ở trên, với đại lượng   cđã cho, avà bcó thể đồng thời

là số thực Để xác định nghiệm riêng của phương trình, ta phải đặt điều kiện ban đầu cho hai hằng số chưa biết a và b Chẳng hạn, nếu đã cho y 0 và

 0

y là vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu của vật thì nghiệm của bài toán vật

lý được cho bởi công thức:

Đơn giản ta có thể kiểm tra được rằng: tồn tại hằng số A0và  Rsao cho:

A a b là biên độ của dao động,

clà tần số tự nhiên, là pha (xác định duy nhất từ bội số nguyên của 2 ) và

2 clà chu kỳ của chuyển động

Đồ thị tiêu biểu của hàm số Acosctđược minh họa trong hình

2, hình đại diện là một đường lượn sóng, nó thu được khi tịnh tiến và dãn ra (hoặc co lại) của đồ thị hàm số cos t

Ta quan sát hai chú ý trong phần ví dụ chuyển động của hàm điều hòa đơn giản Chú ý một là sự diễn tả toán học của phần lớn các hệ dao động cơ bản, gọi là dao động điều hòa đơn giản, bao gồm các hàm lượng giác cơ sở của sin t,cos t

vận tốc (ví dụ, tại thời điểm t0) Nhiều hệ dao động tổng quát hơn cũng có chung tính chất này, như chúng ta sẽ thấy ở bên dưới

1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyển

Như ta thấy, dao động của sợi dây có thể xem là chuyển động của sóng một chiều Bây giờ, ta sẽ mô tả hai loại chuyển động có biểu diễn là đồ thị đơn giản

Loại thứ nhất, ta khảo sát sóng đứng Đó là những chuyển động được

mô tả bằng đồ thị yu x t theo biến thời gian  ,  t, sao cho yu x t như  , 

hình 3

Nói cách khác, tồn tại hình dạng ban đầu y x biểu diễn sóng tại thời điểm t0, và một phần tử khuyêch đại  t , phụ thuộc vào thời gian t, sao cho yu x t , với:  , 

tồn tại hình dạng ban đầu F x sao cho   u x t bằng  ,  F x khi   t0 Khi

ttăng, biên dịch chuyển sang phải một đoạn ct, với clà một hằng số dương, hay:

 ,   

u x t F xct

Về đồ thị, các vị trí này được mô tả trong hình 4

Hình 4 Sóng dịch chuyển tại hai thời điểm khác nhau t 0 và tt0

Vì sóng dịch chuyển theo thời gian tvới tốc độ c, nên vận tốc của sóng

là hằng số Hàm F x ctlà sóng dịch chuyển một chiều chuyển động sang bên phải Tương tự, u x t , F x ct là sóng dịch chuyển một chiều chuyển 

động sang bên trái

1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm

Hiện tượng vật lý cuối cùng mà ta muốn đề cập đến (không đi vào chi tiết) là hiện tượng mà các nhạc công đã phát hiện ra từ rất lâu Đó là hòa âm

Âm nghe được là hợp âm bằng cách kết hợp các âm bội được sinh ra tương ứng từ âm sắc của nhạc cụ Ý tưởng kết hợp hay chồng chất của các âm được thực hiện ngay trong toán học dựa trên khái niệm cơ bản về sự tuyến tính, như ta sẽ thấy ở bên dưới

Bây giờ chúng ta quay trở lại vấn đề chính, đó là mô tả chuyển động của một sợi dây dao động Đầu tiên, chúng ta rút ra phương trình sóng, đó là phương trình đạo hàm riêng mô tả chuyển động của dây

1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng

1.2.1 Bài toán

Tưởng tượng một sợi dây đồng nhất được đặt trên mặt phẳng Oxy, và

bị kéo theo hướng trục Oxtừ x0 đến xL Bằng cách nào đó làm cho sợi dây dao động trong mặt phẳng đứng, để đơn giản ta coi mỗi điểm của sợi dây dịch chuyển thẳng góc với trục Oxvà trong cùng mặt phẳng Khi đó,độ dịch chuyển của nó yu x t , là hàm số theo biến x và t, và mục tiêu là rút ra được phương trình đạo hàm riêng biểu diễn hàm này

1.2.2 Giải bài toán

Ta xem sợi dây bị chia thành hữu hạn N chất điểm (và xem mỗi chất điểm là những hạt độc lập) phân phối đồng đều dọc theo trục Ox, hạt thứ ncó hoành độ x n n L N Do đó, chúng ta có thể hình dung sợi dây dao động như một hệ gồm N hạt, mỗi hạt chỉ dao động theo phương thẳng đứng; tuy nhiên, khác với dao động điều hòa đơn giản mà chúng ta đã xét ở trên, mỗi hạt sẽ dao động như những mắt xích liên kết với các phần tử liền kề bởi độ căng của sợi dây

Hình 5 Dao động của sợi dây như một hệ các khối lượng

Ta đặt y t n u x t , và kí hiệu  ,  y n1 y n h, với h L N Nếu ta giả

sử sợi dây có hằng mật độ là  thì ta có thể coi khối lượng của mỗi hạt là 0

độ căng) tác động từ bên phải của hạt thứ n tỉ lệ với y n1y n h, trong đó h

là khoảng cách giữa x n1 và x ; do đó ta có thể viết độ căng dây như sau: n

trong đó  0là hằng số bằng hệ số căng của dây

Tương tự cũng có một lực như thế tác động từ bên trái, và nó là



 khi h 0

Do đó sau khi chia (2) cho h và cho h tiến dần về 0 (N tiến ra vô cùng), ta

xaXtrong đó a là một số dương thích hợp Bây giờ nhờ hệ tọa độ X mới, đoạn 0 x L trở thành 0xL a Tương tự, ta có thể thay thế tọa độ thời

gian t bởi tbT, với b là một số dương khác Nếu ta đặt

điều này có tác dụng làm vận tốc c 1 Hơn nữa, ta có thể tùy ý thay đổi đoạn

0 x L thành 0 x  Những điều này được thực hiện bằng cách cách đặt

aL  , và bL c Sau khi giải được phương trình mới, ta quay lại giải

phương trình ban đầu bằng cách đổi ngược lại biến Vì vậy, ta không làm giảm tính tổng quát nếu xem phương trình sóng được cho trên đoạn 0, với vận tốc c 1

1.3 Nghiệm phương trình truyền sóng

Sau khi tìm được phương trình sóng của dây dao động, bây giờ chúng

ta trình bày hai cách để giải nó:

 sử dụng sóng dịch chuyển,

 sử dụng sự chồng chất của sóng đứng

1.3.1 Nghiệm của phương trình truyền sóng

Để đơn giản hóa bài toán, ta giả sử c 1và L , khi đó phương trình cần giải có dạng:

  trên đoạn 0 x , với t 0

Ta có các nhận xét quan trọng: nếu F là hàm khả vi cấp hai thì

Chú ý, đồ thị của u x t , F x t tại thời điểm t 0 đơn giản chỉ là

đồ thị của F, tại thời điểm t 1 nó là đồ thị của F dịch sang phải một khoảng bằng 1 Do đó, ta thấy rằng F x tlà sóng dịch chuyển sang phải

với tốc độ bằng 1 Tương tự, u x t , F x t là một sóng dịch chuyển sang trái với tốc độ là 1 Các chuyển động này được miêu tả trong Hình 6

Hình 6 Sóng dịch chuyển theo cả hai hướng

Sự thảo luận của ta về âm và cách kết hợp của chúng giúp ta đưa đến nhận xét rằng phương trình sóng là tuyến tính Điều này có nghĩa là nếu

 , 

u x t và v x t là nghiệm riêng, thì  ,  u x t , v x t ,  cũng là nghiệm, với hằng số  và  bất kỳ Do đó, ta có thể chồng chất hai sóng chạy theo những hướng ngược chiều nhau để thấy rằng bất cứ khi nào F và G là hàm khả vi cấp hai thì:

u x t F xt G xt

là một nghiệm của phương trình sóng Thật ra, ta sẽ chỉ ra rằng tất cả các nghiệm của phương trình sóng đều có dạng như công thức này

Ta tạm thời giả sử 0 x  và t 0 và giả sử u là hàm khả vi cấp hai

là nghiệm của phương trình sóng với mọi số thực x và t Đặt  x , t

x t

   , định nghĩa v , u x t ,  Với cách đặt biến như này, v thỏa mãn

20

t  Để sử dụng được kết quả đơn giản bên trên, đầu tiên ta thác triển f trên toàn bộ R bằng cách biến nó thành hàm lẻ trên  , , tiếp theo biến nó tuần hoàn theo x với chu kỳ 2 , và tương tự với nghiệm của bài toán u x t  , 

Cuối cùng, đặt u x t , u x ,t,khi t 0 Sự mở rộng của ulà nghiệm của

bài toán trên toàn bộ R và u x ,0 f x  với mọi xR Do đó,

hiển nhiên g 0 g   Lặp lại, ta mở rộng 0 gtrên R bằng cách làm cho

nó lẻ trên  ,  và tuần hoàn với chu kỳ 2 Hai điều kiện ban đầu của vị trí và vận tốc chuyển thành hệ phương trình:

     ,

F x G x  f x





Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất rồi cộng vào phương trình hai, ta được:

dẫn đến một nghiệm ucủa phương trình truyền sóng với t 0, chuyển thành nghiệm u

được định nghĩa với thời gian t 0, thiết lập đơn giản bằng cách đặt ux, t u x , t

  , sự kiện này được sinh ra từ tính bất biến của phương trình truyền sóng dưới phép biến đổi tt

1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng

Ta chuyển sang phương pháp thứ hai để giải phương trình truyền sóng dựa trên hai kết luận cơ bản từ những quan sát vật lý thu được ở trên Xét hiện tượng sóng đứng, ta thấy nghiệm đặc biệt của phương trình sóng có dạng

 

( )x t

  Phương pháp này cũng áp dụng được với các trường hợp khác (ví

dụ như phương trình nhiệt), được gọi là phương pháp tách biến Khi đó do tính tuyến tính của phương trình sóng, chúng ta mong muốn có thể kết hợp những sóng thuần khiết thành tổ hợp âm phức tạp hơn của âm thanh Tiếp tục

ý tưởng này, chúng ta mong rằng có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình sóng dưới dạng tổng các nghiệm riêng

Chú ý, một vế của phương trình sóng chỉ liên quan đến vi phân theo

x còn vế còn lại chỉ liên đến vi phân theo t Nhận xét này đưa ra thêm lý do

để tìm nghiệm của phương trình bằng công thức u x t , ( )x  t (đó chính

là phép tách biến), với hy vọng đưa một phương trình đạo riêng khó thành một hệ các phương trình vi phân thường đơn giản hơn Trong trường hợp phương trình truyền sóng, với u có dạng như ở trên, ta có:

Nhận xét quan trọng là vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t , và vế phải chỉ

phụ thuộc vào biến x Điều này chỉ xảy ra khi cả hai vế của phương trình là hằng số, cùng bằng một hằng số, gọi là  Vì vậy, phương trình truyền sóng

có thể đưa về hệ về hệ sau:

0(3)

Ta tập trung chú ý vào phương trình đầu tiên của hệ trên Đến bây giờ,

ta nhận ra phương trình mà ta thu được khi khảo sát có dạng chuyển động điều hòa đơn giản Chú ý, ta chỉ cần xét trường hợp  0 bởi vì khi 0thì nghiệm  sẽ không dao động khi thời gian thay đổi Do đó, chúng ta có thể viết  m2, và nghiệm của phương trình có dạng:

số và rút gọn thành trường hợp m 1 bởi vì hàm sin y là hàm lẻ và hàm

cos y là hàm chẵn Cuối cùng, chúng ta có dự đoán với mỗi m 1 , hàm

 ,  A cos sin sin ,

được xem như là một sóng đứng, là nghiệm của phương trình sóng Chú ý, với những biến đổi ở trên, ta chia cho  và  , nhưng đôi khi chúng lại bằng