Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert và biến đối hilbert Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS.BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội - 2010

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

và biến đối hilbert

Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học TS.BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội - 2010

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành tại tổ Giải Tích, khoa Toán, trường

ĐHSP Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Bùi Kiên Cường - người

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong

tổ Giải Tích, Khoa Toán, Trường ĐHSP Hà Nội 2 cùng gia đình và bạn bè đã

nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 0] tháng 05 năm 2010

Sinh Viên

Nguyễn Thị Nhâm

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của sự nỗ lực bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Bùi Kiên Cường Vì vậy em xin cam đoan nội dung của khóa luận không trùng lặp với các công trình nghiên cứu của các tác giả trước

đã được công bố

Sinh Viên

Nguyễn Thị Nhâm

MỤC LỤC

Mục lục HH HH nh nh kg 3

Mở Đầu - HH he 6

Chương 1 Hàm cực đại Hardy-Littelewood «55s <<c<xsc> 7

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị: - c6 StxEEEEkSEEEEEEekrrkererkerkerree 7

1.2 Hàm cực đại Hardy-LItt€lewWOOC - án HH, 7 I2 ,ÔỎ 8

2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach -s¿©csecx++xesrxecrxeres 26

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

3.6 Biến đối Hilbert cực đại - cv EEkEkerkEErkerkekerkrrkererkrrke 52

Kết Luận Error! Bookmark not defined Tai Liệu Tham Khảo - Error! Bookmark not defined

MỞ ĐẦU

Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng Các kết quá nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực khác của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học, thiên văn học,

Trong giải tích, các kết quả về chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert không chỉ

có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt

là trong việc giải quyết các bài toán vật lý Chính vì vậy trong khóa luận này

em chọn đề tài “Chuỗi Fourier và biến đôi Hilbert”

Việc nghiên cứu đề tài này đã giúp em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về nguồn gốc của chuỗi Fourier và những tính chất của biến đổi Hilbert

Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:

Chương I: Hàm cực đại Hardy-Littelewood

Chương 2: Chuỗi Fourier

Chương 3: Biến đối Hilbert

Khóa luận này hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tống hợp, đánh giá,

Đối với những vấn đề đã được lựa chọn cho khóa luận này, em hi vọng nó

có thể giúp cho việc nghiên cứu các đối tượng khác của toán học cũng như của vật lý

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

CHƯƠNG 1 HÀM CỰC ĐẠI HARDY - LITTELEWOOD

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị:

1.1.1 Một số không gian hàm

Cho khong gian £L?, 1 <p < œ

Định nghĩa: Cho p € R với 1 < p < © Ta định nghĩa:

£P (0) = {ƒ: 2 > R(hoặc €); ƒ äo được và |ƒ |? khả tích},

L°(Q) = {ƒ:.0 ¬ R(hoặc C); ƒ đo được và 3Œ, |ƒ(x)| < € hầu hết)

Và kí hiệu

1/p Iifllp = | Ferdx

IIfll.oHB = inf{C; |f (x)| < C hau hét}

Nhận xét: Nếu ƒ € £” (0) thi

If(x)l < lIƒll hầu hết x e Ø

Hàm ƒ xác định trên R”, ƒ là hàm khả tích địa phương khi nó khả tích trên

mọi tập bị chặn trong R”

1.1.2 Dinh ly Fubini

Giả sử {ƒ,}„>¡ là một dãy hàm thực không giảm trén doan [a, b] sao cho:

cf, (x) = f(x) ton tai voi Vx € [a, b] Khi đó ƒ là kha vi hầu hết

x € [a, b] va với hầu hết x € [a,b]: f (x) = X§-¡ ƒ, (x)

1.2 Hàm cực đại Hardy-Littelewood

Nếu ƒ € Zj„ (R") thì hàm

Mf (x) = sup "P Tối J | (0) ldt, 1

được gọi là hàm cực đại Hardy - Littelewood

Trong đó @ là ký hiệu của một hình lập phương tâm +, cạnh h, |Q| là thể tích hình lập phương

Trong trường hợp 1 chiều ta có Ợ = [x — h,x + h] Khi đó cho f €£1.(R)

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Nếu ƒ € £P(R*) với 1< p < +œ, ta sẽ chỉ ra rằng Mf € £P(R") Tuy nhiên với p=l điều này không đúng nữa Những gì ta có thể nói chỉ là

ƒ € £!-yếu, nghĩa là:

fla

m{M f(x) > a}<c, 7

Bồ đề 1.1 ( Bé dé pha)

Giả sử R“ được cho với chuẩn nào đó và giả sử cy = 2.3% Néu

AC Rˆ là tập hợp khác rỗng có độ đo ngoài hữu hạn, và % là một phủ của 4

gồm các hình cầu mở thì tồn tại một họ hữu hạn các hình cầu rời nhau

B,, ,B, cua U sao cho

n

Ca » > tr (4)

j=l Chung minh:

Chúng ta có thé gia thiết rằng 4 đo được , vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại tập mở Œ 5 4 với mm(Œ) hữu hạn và như vậy U có thể là phủ của Œ Bây giờ giá sử 4 đo được thì tồn tại I tập compact K C A với m(K) > m(A)/2 Ta phải chọn một phủ con hữu hạn của K Gọi các hình cầu U;,U;, ,U,„„ là những hình cầu được sắp xếp theo thứ tự bán kính giảm dẫn và chọn các hình cầu B, theo cach sau Trước hết B, = U, là hình cầu lớn nhất, sau đó B; là

hình cầu đầu tiên trong dãy U, khác với B Sau đó B; sẽ là hình cầu đầu tiên

của dãy U, khác với B, U B; Tiếp tục quá trình này, đến khi mọi hình cầu của

day U; c6 giao véi B; khác rong

Bây giờ ta cho rằng K C U7_; 3B, mà ta biết K c UP_, Uj Do dé voi

mỗi K, 3ƒ sao cho x € ÙU, Nếu U; = B, nào đó, rõ ràng ta có x € By C 3B, Ngugc lai U; giao với H„ = U, nào đó Chọn k nhỏ nhất thì phải có s < j, vì nếu không ta phải chọn U, thay cho B, trong quá trình trên Do đó bán kính của hình cầu B„ lớn hơn hoặc bằng bán kính của hình cầu U; Vì vậy

Đặt A = {x € R*|M f(x) > a} thi A 1a tập mở, ta vẫn chưa biết nó có

độ đo hữu hạn Vi vay ta xét A, = 4n B„, trong đó B„ là hình cầu tâm Ø bán kính n Với mỗi x € 4„ ta có 'ƒ(+) > ø; đo đó tồn tại I hình lập phương Q

mở có tâm là x sao cho

Q

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Bây giờ các hình lập phương là các hình cầu với chuẩn || ||„ trên R*

Vì vậy ta có thể áp dụng bổ đề phủ để thu được I tập hợp hữu hạn cách hình lập phương phân biệt (Q;)7—¡ sao cho mọi hình cầu đều thỏa mãn (1.2) và

được gọi là diém Lebesgue cua f

Định lý 1.3 (Định lý về tinh kha vi)

Giá sử ƒ: R# — € là hàm khả tích địa phương Khi đó tồn tại I tập con

Z c R* có độ đo không sao cho Vx # Z là 1 điểm Lebesgue của ƒ Nghĩa là:

Các kết quả vẫn đúng đối với một tập trù mật trên £!(R+) Thực tế nếu ƒ

liên tục, cho x và e > 0 thì có một lân cận của x sao cho |ƒ(£) — f(x)| < e

Do đó nếu Q là ký hiệu của một hình lập phương có bán kính đủ nhỏ ta có

+ [lƑœ)~ a] Vo ƒ()ldt <e ƒœ)lát <

Do đó với một hàm ƒ liên tục thì mọi điểm đều là điểm Lebesgue Bây

giờ, điều mà ta quan tâm nhất đó là hàm cực đại xảy ra sự hội tụ điểm như thế

nao

Ta sẽ định nghĩa toán tử 0 Néu f € £'(R®),

f(x) = imiSup re ai) lfŒ) ƒ(œ)lát

Chú ý rằng

Oƒ(x) < Mƒ(z) + |ƒ()|

Bây giờ ta cần chứng minh rằng Oƒ(x) = 0 hầu khắp nơi

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Cố định e > 0, từ đó các hàm liên tục là trù mật trên £1 (R*), ta thu được

ø € £'(R*) liên tục sao cho ||ƒ — ØÌÌ¡ < e

Theo bất đẳng thức tam giác

Oƒ() < 0ø) + 0Q — ø)(2) = 0 — ø)(x)

< MỰ - ø)Œ) + |ƒ(œ) ~ ø@)|

Do đó Vư > 0 ta có

{0ƒ) > ø} c {MỰ ~ ø)(z) > a/2} U {|ƒ(x) — @)| > @/2}

Bây giờ ta sử dụng bất đẳng thức yếu cho hàm cực đại Hardy-

Littlewood va bat dang thirc Chebyshev cho |f — ¢|

If-olh Wal _

m{Of (x) > a} < 2cq a a Sty alm

Từ việc bất đẳng thức này đúng với mọi € > 0, ta suy ra m{Of (x) > a} = 0

Điều đó đúng với Vø > 0 do đó 0ƒ (x) = 0 hầu khắp nơi.n

1.5 Nội suy

Tại cực trị ø = 1 thi ham cuc dai Mf thao mãn bat dang thức yếu Tại

cực trị p = +00: néu f € £°(R4) thì J|AZƒII.„ < lI/lls

Ý tưởng đó cho phép ta thực hiện nội suy giữa 2 cực trị p = 1 vàp = œ

Định lý 1.4

Với mỗi ƒ € £?(R“), 1 < p < +0 taco:

p

Chứng mình:

Voi Va > 0 ta phân tích ƒ ƒ = ƒZa4 + ƒXpavx › trong đó 4 = {|ƒ| > a} Khi

do Mf <a+M(fx,) Vi vay

mM > 2a} < mex.) > ø) < ^^ [ lƒlxuyi.uydm

Điều phải chứng minh phụ thuộc vào sự vận dụng khéo léo bất đẳng thức này Đặc biệt chú ý rằng ta đã sử dụng một sự phân tích khác của ƒ cho

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier va biến đổi Hilbert

Mệnh đề 1.5 Với mỗi hàm ƒ 6€ £!(R2) và B c R* là I tập đo được thì

Các điểm của phép chứng minh này là sự vận dụng phù hợp bất đẳng thức

yếu Với mỗi ø ta có ƒ = ƒXa + fXpay, trong đó A = {f(x) > a} Do do

Hàm + là đo được nên tồn tại một day ham don gian (u,,) tang sao cho

1„ (£) hội tụ tới u(t) voi moi t > 0 Trong trường hợp này khi + giảm, có thể lựa chọn từng 1„

N

Uy (t) = à h Xo„,]Œ),

j=l trong đó 0 < f¡ < f¿ < : < tạ và h, > 0 và số tự nhiên N phụ thuộc vào

Khi này phép chứng minh trở lên đơn giản cho @, (x) = u, (|x|) Theo định lý về sự hội tụ đơn điệu

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Ta có thể thay thế hình cầu B(x, t,) bằng hình lập phương tâm x và cạnh

2 Tỉ số giữa thể tích của hình cầu và hình lập phương bị chặn bằng một hằng số Do đó

ø, *lƒI@) < À, m(0(x,)).Mƒ@) < GllplliƒG).8

CHUONG 2

CHUOI FOURIER

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

2.1.1 Định lý giá trị trung bình thứ hai

Nếu ø là hàm liên tục và ƒ là đơn điệu trên [a, b], äc € [a, b] sao cho

[ F@awat = F-m) | oOae+ fas) | gat

2.1.2 Ki higu f(a+), f(b—) ta xem nhu f xac dinh trén [a, b] voi giá trị tại biên là ƒ(a +) và ƒ(b—)

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

tục và đơn điệu trên mỗi đoạn Điều này sau đó đã được thay thế bởi các kết

quả của Dini và Jordan Để chứng minh các kết quả này ta xem xét kết quả đầu tiên của Riemann

Với 1 hàm liên tục ƒ ta suy ra rang lim|f(j)| = 0 Voi 1 ham f tong

quát ta lấy xấp xỉ chuẩn của nó trong £! bởi một hàm liên tục.m

Đề nghiên cứu sự hội tụ điểm ta xét dãy tổng riêng:

Vì vậy, ƒ — S,(f,x) 1a dạng tuyến tính liên tục xác định trên

£![—m,rr] Hàm D„ tuần hoàn với chu kỳ 2z, với tích phân bằng 1, nhưng

|ID„ ||¡ và ||D„ || không bị chặn đều

Với biểu thức tích phân của tổng riêng ta có thể thu được hai điều kiện

cơ bản cho sự hội tụ điểm

Định lý 2.2 (Dấu hiệu Dini)

Nếu ƒ 6 £![—m,7] và

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

[/Œ+9+ /&—0-~ 2/015 < to,

0 thì chuỗi Fourier của ƒ tại điểm x hội tụ tới ƒ(%)

Định lý 2.3 (Dấu hiệu Jonrdan)

Nếu ƒ € £![—zr,7r] là hàm biến thiên bị chặn trên một khoảng mở

chứa x thì chuỗi Fourier tại x hội tụ tới (ƒ(x + 0) + ƒ(x — 0))/2

Đề không đánh mắt tính tông quát ta có thể giả sử rằng x = 0 và cũng

có thể giả sử rằng ƒ tăng trên một lân cận của 0 Ta phải chứng minh:

1 TL lim>— | Đ,@ŒŒ) + ƒ(9)át = Ứ(0 3) + ƒ(0 =))/2

2.4 Chuỗi Fourier của các hàm liên tục

Các điều khiện hội tụ mà ta đã chứng minh cho thấy chuỗi Fourier của một hàm khá vi hội tụ điểm đến hàm đó Điều này không đúng với các hàm liên tục Du Bois Reymond đã xây dựng một hàm liên tục mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ tại 1 điểm

Ta công nhận kết quả:

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

li,lL= lID,lị ==ylogn +00)

Cac s6 L, = ||D,, ||, được gọi là hằng số Lebesgue

Hệ quá 2.4 Nếu ƒ e £”[—n,z] thì |S„(ƒ,x)| < (Glogn + c) II

D,(t) = "Œ) sin t/2 - + casn trí tant/2 Tp) t sinn t

Hai số hạng cuối cùng bị chặn đều trong n và t Do đó

IS, fixl se + = [Ưœ+o+ ƒŒ&~—t)~ 2ƒ(z)}

Đặt ø¿() =ƒŒ +£)+ ƒŒ&«—£)— 2ƒ(x) Nếu x là một điểm Lebesgue của ƒ, nguyên hàm ®(£) của |ø,(£)| thỏa mãn #®(£) = o(£) khi

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Thì nếu ƒ € £1[—zr,r] thỏa mãn Ð;|ÊŒ)Â\,¡ |’ < +00, thi

f= lim SU, x), hầu khắp nơi

Theo định lý Riesz- Fischer tồn tại một hàm g € £?[—z,], sao cho

30)= FDA | So sanh cdc hệ s6 Fourier ta suy ra đẳng thức

n

S0) = 3 (—- 1 )5.3)+ SiG), A a A

k=0 k k+1 m +1

Theo giả thiết của ta về các hàm trên £?[—m, z], ta suy ra rằng đặc tính

của Š„ (ƒ, x) trùng với những đặc tính của chuỗi

3 Œ- ra) (gx) = yn (x)

k=1

Nhưng khi là một chuỗi trên £?[—z, r], ta có ¥;,|hy|lz < +00 Do đó, chuỗi

hội tụ hầu khắp nơi 1

2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach

Trước hết ta cần biết một số kiến thức về không gian các hàm đo được

£°[—7r,Tr| Đó là không gian metric với khoảng cách

_1 ƒ lƒ=øl

4Ữ/8) “5y | 14 jƑ gi

Đây là một không gian metric đủ Dãy (ƒ,) hội tụ tới 0 khi và chỉ khi

nó hội tụ tới 0 theo độ đo Điều đó nói rằng với Ve > 0 ta có lim, mf{|f,| >

Định lý 2.7 (Nguyên lý Banach về tính liên tục)

Ta giá sử rằng với mỗi hàm f € £L’[—7,7], ham T*f (x) < +œ hầu khắp nơi trên [- z, z] thì tồn tại một hàm €(#) giảm xác định với moi a > 0,

sao cho lim,_, C(a@) = 0 va sao cho

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Theo định lý Baire về phạm trù, 3n € N sao cho F, c6 phần trong khác

rỗng nghĩa la f, € F, vad > 0 sao cho f = fy + 5g voi llgll, = 1

Vi vay,

m{T*(fo + 6g) >n}<e, thi

m{T*g > 2n/5} < m{T*(fo + 6g) > n} + m{T*(fo — 6g) > n} < 2e

Do đó, với mỗi g € £P[—m, r]

m{T"g > (2n/8)lIøll,} <2

Do đó nếu ta đặt

C() = sup m{T"ø > allgll, },

thi ham C(q@) thoa mãn lim„_,.„ C(œ) = 0.0

2.6 Tinh kha tong

Fejér đã chi ra các giá trị trung bình của tổng riêng là :

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Tổng quát hơn ta định nghĩa một hạt nhân khả tổng là một dãy (k„) của

các hàm tuân hoàn sao cho

Định lý 2.8 (Định lý thác triển hạt nhân khá tổng của Fejér)

Giả sử (k„) là một hạt nhân khả tổng Nếu ƒ: R — € là liên tục và tuần

hoàn với chu kỳ 2z thì k„ + ƒ(x) hội tụ đều tới ƒ(+) Hơn nữa với mọi

1 <p<+oœ và ƒ € £P[—r,Tr] ta có:

tim kn *f—fllp = 0

Chung minh:

Trước hết giả sử ƒ liên tục và tuan hoan véi chu ky 27 theo tinh chat (i)

của hạt nhân kha tong

k, *ƒG) = ƒG) =z~ |Œ=19~ƒG))k, (0t

Cho e > 0 ta phân tích tích phân thành 2 phần Phần thứ nhất trên

{lt| < ổ} và phần còn lại trên {ổ < |t| < z} Theo tính liên tục của ƒ và tính

chat (ii) thì phần thứ nhất nhỏ,theo tính chất (iii) thi phần thứ hai nhỏ Cần

chú ý rằng phép chứng minh tương tự cho ta thấy sự hội tụ tại mỗi điểm liên

tục của ƒ cho một hàm ƒ đo được bị chặn

Do (E,) là hạt nhân khả tổng va F, * f là đa thức lượng giác với mọi ƒ nên suy ra những đa thức này trù mật trên £(T)

Bây giờ với mỗi ƒ € £P[—m,r] ta c6 t +> G(t) = ||ƒ(.+£#) - FOI,

là một hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 27r Ta có

1 TL

IIkn *f — fly $= furc-o — ƒC)ll,k„()dt = k„ * GO)

Ta có thể áp dụng cho phần đầu tiên của định lý tích chập này để kết luận rang lim, k, * G(0) — 0.0

Do đó nếu ƒ liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 27, ø„ (ƒ,x) hội đều tới f

và nếu ƒ € £P[—z,1] thì nó hội tụ đều tới ƒ trên £P [—7r, z] Một ví dụ quan

trọng khác đó là hạt nhân Poisson Hạt nhân này xuất hiện khi ta xem xét

chuỗi Fourier của ƒ như là các giá trị biên của một hàm phức hợp xác định

trên một hình cầu đơn vị mở Nếu ƒ € £? [—z,z] thì chuỗi

S fu + ie