Xấp xỉ trung bình bình phương

tính toán, là một nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giải phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu.. Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong n

tính toán, là một nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giải phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu

Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong những nội dung chính của giải tích số, bằng việc thay một hàm số có dạng phức tạp bởi một hàm số đơn giản hơn với sai số nhỏ

Trong các bài toán xấp xỉ hàm thường nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều Song hai dạng toán này có một số nhược điểm Người ta thấy rằng bài toán xấp xỉ trung bình bình phương đã khắc phục được những nhược điểm đó

Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo “NGUYỄN VĂN HÙNG” và nhận thứctrên, tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Xấp xỉ trung bình bình phương”

Cụ thể ở đây tôi nghiên cứu 2 vấn đề:

- Xấp xỉ thực nghiệm

- Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbret và không gian L2a,b

Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu “Xấp xỉ trung bình bình phương” tìm hiểu các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian L2a,b

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian L2a,b

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian L2a,b

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và phân tích tài liệu liên quan

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 1.1.1 Trên tập X  , xác định một cấu trúc  nếu với mọi

x, y  X với mọi t (hoặc t ) xác định phép cộng x+y  X và phép nhân tx X thỏa mãn các tính chất sau:

Trong đó x,y,z X; s,t (hoặc s,t )

Khi đó (X,) là không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.2.Cho hệ n vectơ x1, x2… xn trong không gian tuyến tính X Xét đẳng thức véctơ 1 x1+ 2 x2 +3 x3+ …….+ n xn = 0 Đẳng thức xảy ra nếu 1 = 2 =… =n=0 thì hệ n véctơ đó độc lập tuyến tính hoặc tồn

tại bộ 1, 2, …,n với 2

1

0

n i i

1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Định nghĩa1.2.1 Giả sử x là một không gian tuyến tính trên

Ánh xạ . X  xác định trên X lấy giá trị xác định trên tập số thực :

x  ; xX thoả mãn các điều kiện:

a x  0; xX

x =0 x=0

b x  y  x + y ; x,yX

c x =  x ; xX;  

được gọi là chuẩn trên X

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa1.2.2 Hai . 1; . 2 cùng xác định trong không gian tuyến tính

X gọi là tương đương, nếu tồn tại 2 hằng số C1, C2 >0 sao cho:

xX ; C1 x 1 x 2 C2 x 1

Định nghĩa 1.2.3 Cho X,Y là 2 không gian tuyến tính định chuẩn Ánh

xạ A:X Y gọi là (giới nội) bị chặn nếu tồn tại hằng số M>0 sao cho:

xX , Ax Y  M x X

Định lý : Nếu X là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều thì mọi

chuẩn trong X tương đương

Chứng minh

Thật vậy, giả sử trên X có . 1; . 2 là 2 chuẩn cho trước

Gọi S= xX / x 1 =1 Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn nên x 2

đạt max và min trên S kí hiệu là M và m tương ứng

Ví dụ: Với số p1; xét Lp0,1 với x = x(t)  Lp0, 1 và y= y(t) Lp0,1

0

( )

p p

x t

  Khi đó x là một chuẩn trên L p0,1

1.3 KHÔNG GIAN HILBERT

1.3.1 Tích vô hướng

1.3.1.1 Định nghĩa

Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực hoặc trường số phức ) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích descartes X x X vào trường P,kí hiệu  ,  thoả mãn tiên đề:

1 (x,yX) x,y = x y,

2 (x,y,zX) x +y, z= x , z + y , z

3 (x,yX) (P)  x,y =x,y

4 (xX); x,x >0, nếu x  0

x,x =0, nếu x = 0

Cácphần tử x,y,z… gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x,y gọi là tích vô hướng của 2 nhân tử x và y Các tiên đề 1,2,3,4 gọi là các tiên đề của tích vô hướng

1.3.1.2 Một số tính chất đơn giản

1 (x,yX), 0 , x = 0 vì 0 , x = 0.x , x = 0.x , x = 0

2 (x,yX), (P)  x , y= x,y

Thật vậy  x , y = y x, = y x, = x y,

3 (x,y,zX),  x , y +z =  x , y + x, z

Thật vậy  x , y + z = yz x,  y x,  z x,  x y,  z x,

1.3.2 Không gian tiền Hilbret

Định nghĩa : Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Hệ quả: Mọi không gian có tích vô hướng đều là không gian định chuẩn

với chuẩn x = x, x

Chứng minh

Giả sử dãy điểm bất kỳ (xn)  X hội tụ tới x, dãy điểm bất kỳ (yn) X

hội tụ tới y Khi đó: ( C>0) (nN*

1.3.3.2 Định nghĩa không gian banach

Không gian định chuẩn X gọi là không gian banach, nếu mọi dãy cơ bản

trong X đều hội tụ

1.3.3.3 Một số ví dụ về không gian banach

Ví dụ 1: Đối với số thực bất kỳ x  R ta đặt: x  x

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức : x  x

cho ta một chuẩn trên R Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là R1 Dễ

dàng thấy R1 là không gian banach

Ví dụ 2: Cho không gian véctơ k chiều Ek, trong đó :

Ek= x =(x1, ,xk); xj  C  Đối với véctơ bất kỳ x = (x1 , ,xk)  Ek ta đặt:

x x

0 2

Từ công thức và hệ tiên đề metric suy ra:

Cho một chuẩn trên Ek không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là Ek

Dễ dàng thấy Ek là không gian banach

Ví dụ 3: Cho không gian véctơ La,b Đối với hàm số bất kỳ x(t) 

Định nghĩa 1: Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ

Định nghĩa 2: Ta gọi một tập H0 gồm những phần tử x,y,z, nào đấy

là không gian Hilbert nếu H thỏa mãn:

1 H là không gian tuyến tính trên trường P;

2 H được trang bị một tích vô hướng .,. ;

3 H là không gian banach với chuẩn x  x,x ; x H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Định nghĩa 3: Cho H là không gian Hilbert Hệ các phần tử ei i I của

H gọi là:

Trực giao nếu e n,,e m  0 (nm)

Trực chuẩn nếu: e n,e m  n,m (n,m 1nếu n=m)

(với n,m  N)

Quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt

Cho một hệ thống các véc tơ độc lập tuyến tính (x n n) 1H gồm hữu hạn hay đếm được phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ thống này thành hệ trực chuẩn nhờ quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt

1

1

x e

y e

Quá trình biến hệ thống véc tơ độc lập tuyến tính của không gian H thành hệ véc tơ trực chuẩn như trên thường gọi là quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt

i y x y

p( ) 2 ( )

Trong đó p(t) là hàm trọng (p(t) thường được chọn thỏa mãn các điều kiện xác định và khả tích trên a,b; p(t)  0 trên a,b và p(t)=0 chỉ trên một tập có độ đo 0) Ta trang bị trên L2 a,b một tích vô hướng bằng cách đặt với x(t); y(t)  L2 a,b thì:



b

a

dt t y t x t p y

Hãy trực giao hóa hệ xk (t) nói trên bằng quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt

Nhận thấy x1  2;

1

1 1

2

1 ,e tdt

3

2 ) ( t tdt

Vì

2

2 2

3

3

2 2

1 ,x t dt x

2

3 ,e t tdt

5 2

3 5

2 3 2

) ) 3

1 ( ( 3

1

2 3

3

1

1

2 1 2 2 3

y

dt t

y t

y

Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn ei Tuy nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi ei với một hằng số thích hợp để được một véc tơ mới, vẫn kí hiệu là ei nhưng với dạng đơn giản hơn, như sau:

3 4

t t t

8

e t  t  t  t

CHƯƠNG 2 XẤP XỈ THỰC NGHIỆM 2.1 Bài toán tổng quát

Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một



 nên hệ (1.3) vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để (1.2) có cực tiểu.Từ đó ta suy ra hàm y gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất ta chỉ việc giải hệ (1.3)

0, 32712065 0, 31,526648484 1,50,3 1,5

Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một

số điểm tương ứng y0, y1,…… , yn ứng với x0, x1, …., xn

Tìm hàm y=ax2 +bx +c gần nhất theo phương pháp bình phương bé

x f D

0

2 2

) (

) (

i n

4 3 2 2 0

0

2 0

i n

2

24,58466513 8,719065 6,8981 25,311479168,719065 6,8981 1,59 2, 7261768

Tìm y=axbx gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất?

0, 698509158 0,35

Tìm y=axbx gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất?

Tìm y=axbx gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất?

CHƯƠNG 3 XẤP XỈ TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HIBERT

VÀ TRONG KHÔNG GIAN L 2a b, 

Bài toán tìm đa thức nội suy của một hàm số cho trước y= f(x) trên đoạn

đó ta có thể xem xét vấn đề trong một cách nhìn rộng hơn

Xét X là một không gian metric và X0 là một không gian con của nó Với một phần tử f cho trước trong X, hãy tìm P0X0 sao cho:

d (f,P0)=

0

inf

P X d (f,P) Nếu coi X=Ca b còn X,  0=không gian con các đa thức bậc  m thì bài toán trở thành: Tìm Pn(x) sao cho:

Nếu ta xét X= L2a b,  thì kết quả chắc chắn lại khác biệt nhiều vv…

Bằng cách nhìn như vậy, trong mỗi không gian với khoảng cách khác nhau là lại có những bài toán xấp xỉ hàm khác nhau Do thời lượng hạn chế, dưới đây

ta chỉ xem xét một trong các bài toán đó là đa thức thu được gọi là xấp xỉ trung bình bình phương của hàm y=f(x) đã cho

3.1 Xấp xỉ trong không gian Hilbert

3.1.1 Bài toán

Cho H0 là một không gian con của không gian Hilbert H và fH Bài toán đặt ra là tìm h*H0 sao cho:

Vậy f h1  f h* trái với giả thiết về h* Do đó (f h*) H0

Mệnh đề 3.1.2.2: Giả sử rằng có h*H0 sao cho (f – h*) H0, khi đó:

Dấu bằng chỉ xảy ra khi h=h* Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 3.1.2.3: Giả sử dim H0 = n <  Khi đó với f bất kì trong H thì xấp xỉ tốt nhất h* là tồn tại duy nhất



  tương đương với sự tồn tại duy

f h f h h f f h f

h f h f h f

*, ,

Phương trình trên là phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng: At=0

Hệ thuần nhất trên có nghiệm không tầm thường (1, n, 1 ) khi đó detA=0 Khai triển định thức detA=0 ta suy ra:

 

 

1 2

1

, , , , ,

n n

 

3.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian L 2a b , 

3.2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian L 2a b, bằng đa thức đại số

3.2.1.1 Bài toán ước lượng tham số tổng quát

Kí hiệu tập các hàm bình phương khả tích trên đoạn a b là L,  2a b,  Giả sử f là hàm cho trước thuộc L2a b , ta muốn xấp xỉ f bởi hàm ( ),   x có dạng:

1

( )x ( , , )c c x k

   (5) Trong đó c1,c2,…….ck là các hệ số cần tìm để cho sai số trung bình phương

D 1  ( ) ( ) 2 (6) Đạt cực tiểu trên các cj thay đổi Khi đó ta nói là xấp xỉ tốt nhất của f trên đoạn a b,  theo bình phương tối thiểu





Trong đó i( )x k i1 là các hàm độc lập tuyến tính trong L a b được 2 , 

chọn trước theo phương pháp chuyên gia Lúc đó các ci được tìm nhờ giải hệ phương trình tuyến tính:

k i

c

D

i

, , 2 , 1

x x f x x c

k

i b

a

b

a

j j

34

2

,



Ví dụ: Xấp xỉ bằng đa thức Fourier là xấp xỉ tốt nhất trong L a b nhờ 2 , 

các đa thức lượng giác

2 Số nghiệm thực của đa thức trực giao Qn(x) trên a b đúng bằng n , 

3 Nghiệm của Qn-1(x) và Qn(x) xen kẽ nhau

4 Mỗi đa thức trực giao Qn thỏa mãn công thức truy hồi:

;( 0)( )

2

n n

d Đa thức lượng giác p(x)=1; a ;b

- Hệ hàm lượng giác 1,cos ,s inx, , cosx nx,s innx, trực giao và đầy

2 2 2

0 2

2 2

) (

2 )

(Như ta đã biết, chuỗi Fourier hội tụ trong 2  

Tìm đa thức xấp xỉ tốt nhất dưới dạng: f(x)=  i

i

i x a



 3

6576 , 0

1000 , 1

9944 , 0

3 2 1 0

a a a a

i L x c

Nhận xét: Sử dụng đa thức đại số thường dẫn đến hệ đại số tuyến tính

điều kiện xấu Nghiệm không ổn định với các sai số làm tròn Tính toán với

đa thức trực giao ổn định hơn Đặc biệt, nếu thêm số hạng, dùng đa thức trực giao sẽ không phải tính lại từ đầu

2 0

n n

Mặt khác:

, 1 ) ( )

a z

) ( 4

1 2 2 ) arccos cos(

4

1 2 ) 2 16

17

n

n n n

n n

n

1

) ( ( ) 4

1 2

n k

k k

2 4

1 1

2 4

1 2 4

) ( 2

k k n

k k

k n

n n

k k

x T

Với mọi n 5, như vậy:

160 64 384

13 64

7 512

241 512

31

2560

1 512

1 96

1 16

1 2

1

5 4 3 2

5 4

3 2

1 5

x x x x

x

T T

T T

T S

Ta có thể làm tốt kết quả như sau: Thoạt tiên ta xấp xỉ f  S6 với sai số

4 7 3

2 )

( )

f

Vì

6 4

2 2

4 6

) ( 2 )

6 5 6

5 6



x T

, sai số mắc phải:

32

1 2

1 2

)

(

5 5

1 16

9 2

3

0 ) 1 18 48 32 ( 25

1 )

(

4 2

4 6

2 4 6 6

x P x

x x

x x x x

4 6

2 2 )

5 6

6 5

1 2

2 2

4 6

5





x P

mắc phải sai số 0,00008+0,00002=0,0001.Ta tìm được đa thức bậc 5 xấp

10



 trên đoạn  1,1với độ chính xác =10-5

Giải

Đặt z=cos+ i sin  ,f(z)=

az z

a

n

n n

cos 1

n

n n

z a f

a a

101

10

n

N N n

n

n n

R S x T x

10 9

1 10

1

N k

N k

f

3.2.4 Xấp xỉ bằng hệ trực giao cho bằng bảng

Giả sử có n+1 mốc nội suy x0,… ,xn trên đoạn a b Kí hiệu X= , 

x0, ,x n là tập hợp gồm n+1 phần tử và H(X)=f X :  Nếu ta đưa vào trong H(X) phép cộng và nhân sau:

thì H(X) là một không gian véctơ

Nếu đưa tích vô hướng vào H(X), bằng cách đặt

Giả sử hàm số y=f(x) được cho bởi bảng yi=f(xi), i= 0,1,…,n ta sẽ xây dựng đa thức xấp xỉ trung bình bình phương của y =f(x) như sau:

Với hàm số y =(x) trên đoạn a b thì hạn chế của ,  (x) trên

 0, , 1 n

X  x x x là  xH X( ) tuy nhiên để đơn giản kí hiệu, trong toàn bộ mục này ta vẫn viết  thay cho  x

Giả sử hệ 0( ), ,x m( )x là m+1 hàm số trên a b sao cho hạn chế của , 

chúng trên X thì được m+1 phần tử  0, 1, ,m độc lập tuyến tính trong H(X)

Xét không gian con H(m+1)= 0, ,m của H(X) Bài toán đặt ra là tìm:

với f H X( )cho trước

Từ lý luận chung đã trình bày ở trên rút ra

1 Có nhiều cách chọn hệ i( )x L x i( ),i L x, i( ) là hệ đa thức Legendre có được bằng cách trực giao hóa hệ  i

1 ( 3

2 ) 1 ( 2

) 2

x x

x x x

x

Và đây chính là đa thức xấp xỉ trung bình bình phương cấp 3 của nó

Ta có bảng giá trị của i, i=0,1,2,3 trong không gian H(x)

4 6 4

, ,

,

, ,

,

1 0

1 0

1 1

1 1 0 0 1

0 1

1 0 0 0 0

5

2 5 8 5

2 5 8

1 1

2 2 1 1 2 0 0

2

1 2

2 1 1 1 1 0 0

1

0 2

2 0 1 1 0 0 0

0

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

Thay i, j và f, i vào ta có hệ:

4 98 36 14

4 36 14 6

4 14 6 4

2 1 0

2 1 0

2 1 0

2 1 0

a a a

a a a

a a a

a a a

2

1 10

11 10

KẾT LUẬN

Đề tài “xấp xỉ trung bình bình phương” đã trình bày một phương pháp

tổng quát cho bài toán xấp xỉ thực nghiệm Theo phương pháp bình phương

bé nhất khi ta không biết biểu thức hàm giải tích của hàm f(x) mà chỉ biết một

số điểm tương ứng: x0, x1,… ,xn ứng với y0, y1,… ,yn, ta cã thÓ tìm được một hàm gần đúng với f(x) với một sai số nhỏ nhất Đề tài này tôi đã đưa ra phương pháp giải và một số ví dụ về tìm:

đa thức đại số hoặc xấp xỉ đa thức trực giao vv…

Tuy nhiên do thời gian và năng lực có hạn nên tôi không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc để đề tài được hoàn chỉnh hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Kỳ Anh (2005); Giải tích số, NXB Hà Nội

2 Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều (2003); Giải tích số, NXB ĐHSP

3 Nguyễn Minh Chương(chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Văn Tuấn (2001); Giải tích số, NXB Giáo Dục

4 Hoàng Xuân Huấn (2004); Giáo trình các phương pháp số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội