phương pháp xấp xỉ trung bình mẫu giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rạc

Bài toán quy hoạch với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài toán quy hoạch ngấu nhiên.. Trong các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, bài toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rạc là một

Mở đầu

1 Kiến thức cơ sở

1.1 Một số vấn đề cơ sở cúa lý thuyết xác suất và thống kê

1.2 Bai toan qui hoạch ngấu nhiên 1.3 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rạc

2 Phuong pháp xấp xỉ trung bình mẫu

2.1 Phéplay mau 2

2.2_ Thuật toán xấp xỉ trung bình mẫu

PC (‹<<<‹44 Kết luận

Tài liệu tham khảo

Bài toán quy hoạch với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài toán quy hoạch ngấu nhiên Trong các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, bài toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rạc là một mô hình dành eho nhiều bài toán thực tế Cũng như lý thuyết quy hoạch, việc xét tới các bài toán quy hoạch ngầu nhiên rời rạc cũng gặp nhiều khó khăn Gần đây các công trình nghiên cứu về bài toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rạc đã cho ta những thuật toán hữu hiện góp phần quan trọng không chỉ vào lý luận mà cả việc giải quyết bài toán thực

tế đặt ra Chẳng hạn các công trình của Hochberg và Tamhane; Morton và Wood; Anton J Kleywegt, Alexander Sharpio va Tito Homem-De-Mello Với sự quan tam, chú ý tới những khía cạnh phù hợp của nó, cùng thời gian

và mức độ cho phép, chúng tôi cố gắng xem xét nội dung có liên quan đến công trình của Anton J Kleywegt, Alexander Sharpio và Tito Homem-De-Mello

Đó là lí do chọn đề tài Phương pháp mốp xỉ trưng bỳnh mẫu giải bài toán quụ hoạch ngẫu nhiên rời rac

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và kiến thức eơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài Đồng thời đưa ra các hướng tiếp cận để giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rạc

Chương 2 Phương pháp xấp xỉ trung bình mẫu Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày phép lấy mẫu của bài toán được nêu ra trong đề tài

Cuối cùng đưa ra thuật toán va vi du minh hoa

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn va chi bao tan tinh cia thay giéo PGS TS Tran Xuan Sinh Tác giả xin chân thành bày tổ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, các

cô giáo, thầy giáo trong tổ Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, Khoa toán trường Dại học Vinh, Khoa Đào tạo Sau Dại học, cùng các bạn đã góp ý và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng, nhưng do thời gian cũng như năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được những góp ý của thầy, cô giáo và bạn bè

Vinh, ngay thang 12 nam 2010

Tac gia

KIÊN THỨC CƠ SỞ

1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê

1.1.1 Đại số và ø - đại số Giả sử 2 4 0 va P(Q) 1a ho tat ca các tập con của @ Mỗi họ 4 C 7(9) sẽ dược gọi là lớp

Lép A c (9) được gọi là một đại số nếu thỏa mãn:

1) 2€.1,

2) vi AE Athi AT=2\ AEA,

3) vai A,BE Athi AUBEA

Lớp # C P(2) được gọi là một ø - đại số nếu thỏa mãn:

1) QEF,

2) với A€ Z thh AT =O2\ ACF,

3) với Ay € F, (Vn =1,2, ) th) U An € F

n=1

1.1.2 Không gian đo và độ do xác suất Cặp (2, Z) được gọi là một

không gian đo, trong đó @ là tập bất kì khác rỗng, Z là một ø - đại số các tap con cua 9

Gia stt (2, F) lA mot khong gian đo Một ánh xạ P : Z — R được gọi là một độ đo zác suất trên Z nếu:

1) P(A) > 0.VA EF

2) P(Q) = 1,

oo %

P(U An) = 3 P(A,)

Sau đây là một số tính chất của xác suất thường được dùng trong lý thuyết

quy hoạch ngẫu nhiên:

1 P(0) =0;

2.Nếu Ac B;A,B € F thi P(A) < P(B);

3 Nếu A,B € F thi P(AU B) = P(A) + P(B) — P(AB);

1.1.3 Không gian xác suất Giả sử @ là tập hợp bất kì khác rỗng, Z là một ø - đại số các tập con của Q, P la do đo xác suất trên Z Khi đó bộ ba (Q,F,P) được gọi là không gian xác suất

Tap @ được gọi là không gian biến cố sơ cấp

ø - đại số Z được gọi là øơ - đại số các biến có

Mỗi A e Z được gọi là một biến cố

Không gian xác suất (2,.Z, P) được gọi là không gian ác suất đầy đủ nếu

mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến có

1.1.4 Biến ngẫu nhiên Giả sử (2, 7, P) là một không gian xác suất, đ là

ø - đại số con của ø - dai s6 F B(R) 1a o - đại số Borel trên đường thẳng IR

Khi đó ánh xạ X : Ø2 —› R được gọi là biến ngẫu nhiên Ở - đo được nêu với mọi € B(RÑ) ta có

một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên

1.1.5 Ham phan phối xác suất của biến ngẫu nhiên Giả sử X

là biến ngẫu nhiên xác định trên (2,Z,P), nhận gia tri trén R Ham số I'x(œ) = P[X < +], (+ e'R) dude goi la ham phân phối của biến ngẫu nhiên

X

Hàm phân phối có tính chất:

LO< F(a) <1:

2.a<b thi F(b)— F(a) = P(a< X < 6), do dé F(x) là hàm không giảm;

3 lim F(z) =1, lim F(a) =0

#->-+°o TAO

1.1.6 Ki vong cia bién ngau nhién Gia sti X : (0, F, P) > (R B(R))

là đại lượng ngẫu nhiên Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kè »øng của X và kí hiệu là EX Vay

3 Nếu tồn tại LX thì với mọi e€ 1Ñ, ta có (eX) = c( EX);

4 Nếu tồn tại #X và EY thì E(X £Y)= EX + EY;

` %;p; nếu X rời rạc nhận các gia tri @1,2%9,

va ton tain dé EX; < œ (tương ứng EX; < œ), thì ZX„ † EX (tương

ứng HX, | EX)

7 (Bổ đề Fatou) Nếu X„ > Y với mọi ø > 1 và EY > —œ thì

Elim X„ < lim Xa

8 (Dinh li Lebesgue vé hoi tu bi chan) Néu |X„| < Y với mọi nm > 1,

EY <oova X, > X thì X khả tích, E|X„ — X| > 0 va EX, > BX (khi ø — ©)

9 (Bát đẳng thúc Markoo) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó nếu ton tai /X thì với mọi e > 0 ta có

EX P(X >e)<

1.1.7 Phương sai của biến ngẫu nhiên Giả sử X : @ —› # là biến ngẫu nhiên Khi đó số DX = E(X — EX)? (néu ton tai) goi la phuong sai cha X Phương sai có các tính chất cơ bản sau đây:

trong dé I, (x) va F(x) tuong ting la ham phan phối của các biến ngẫu nhiên

Xn va X; C(F) la tập hợp các điểm mà tại đó F(x) lien tục, ký hiệu X„ Đ, x

Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên gốc

Các biến ngẫu nhiên X; được gọi là các ban sao của X

Mẫu quan sát là thể hiện cu thể của mẫu ngẫu nhiên W = (X1,Xa, , X„)

1.1.10 Đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

- Trung bình mẫu là một biến ngẫn nhiên

- Vì mỗi bản sao X; là biến ngấu nhiên độc lập, cùng phân phối với X, do

đó nếu X có kì vọng m và phương sai ø2 thì kì vọng và phương sai của trung bình mẫu là:

E(X)=m, D(X)=— n

e Phuong sai mau S?

- Là thống kê được xác định bởi biểu thức

n s?=+_S(x,- n—-1¢- x)

i=1

- 9? cũng là một biến ngẫu nhiên

- Nếu X là biến ngẫu nhiên có phương sai ø? thì phương sai mẫu 92 có kì vong [5(S?) = 0?

e Tan suat mau

- Nếu 4 là một biến cố nào đó với xác suất xuất hiện A 1a p, nếu gọi

X ~ A0) và nếu W = (XỊ,Xa, , Xa) là mẫu ngấu nhiên kích thước m= của X, khi đó trung bình mẫu

- Như vậy E(ƒ) = p và D(f) = Opp

1.2 Bài toán qui hoạch ngẫu nhiên

1.2.1 Bài toán Bài toán quy hoạch tổng quát có dạng: min{ƒ(+) | 2 € M} trong dé f(x) la ham số xác định trên tập Aƒ C IR”, lấy giá trị trong R Trong trường hợp các dữ liệu phụ thuộc các biến cố ngẫu nhiên, ta có bai toán quy hoạch ngẫu nhiên

1.2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (SLP) có dạng

min {ca : Ar = b,x > Of.

trong đĩ e = (€j), b = (b¿), A = (a¿;) là các đại lượng phụ thuộc tuyến tính vào biến ngẫu nhiên Ø = (í4,fs, ,£;), nghĩa là cĩ thể biển diễn

Cj = Cj, Hej +++ + ptr, J =1,2, ,n

bj = bj, + biti + + + bi tr, T= 1.2, ,m

Qij = Ajj, + Gij,t1 +++ + Giztr, = 1,2, ,m; J = 1.2, ,n

Ki hiéu mn +n+m = s Gia thiét rang r < s va cdc tham sé t,,k = 1,2, ,7

cĩ cùng phân phối xác suất

Kí hiệu 7 là tập tất cả các tham số Ø, giả thiết rằng 7 là tập lồi

T(a) la tap tat ca cdc @ sao cho thoa man x > 0

Chitng minh - Lay 01,02 € M Néu Ax > b(01) c6 nghiém 21, Ax > b(02) c6 nghiệm #a Với À € |0, 1], xét À + (1— À)Øa thi he Ax > b (AG) + (1— À)92) cũng sẽ cĩ nghiệm, chẳng hạn đĩ là nghiệm A# + (1— À)#a Do vậy À +(1— A)0s € Af với A € [0,1] Vậy Af là tập lồi

- Chứng minh tương tự, lấy z„,z¿ € A/ Nếu 4z > b(Ø) cĩ nghiệm

6, Avg > b(Ø) cĩ nghiệm Øạ Với À € [0,1], xét Àzi + (1 — À)z› thì hệ 4(A#i+(1— À)#a) > b(0) cũng sẽ cĩ nghiệm, chẳng hạn đĩ là nghiệm A1 +

(1—À)0a Do vậy Àzi + (L— À)#¿ € Aƒ với À e [0.1] Vậy A7 là tập lồi T]

1.2.3.2 Dinh lý Kall Để tồn tại phương án + của bài tốn (SLP) uới

moi cách chọn b thì điều kién can va đủ là tôn tại các sô thực mj > 0 va

86 thuc A; <0, (j =1,2, ,n), sao cho

» AjAj = » pj Aj

ở đâu A; là cột thứ j (Jj = 1.2 m) của ma trận A = (œ¡j) hệ Ai, Áa, , Âm

là một cơ sở (nếu khác thì đánh số lại thứ tự)

Chứng minh Xem tai liéu [2]

1.2.3.3 Nếu bài toán (SLP) chỉ có e là ngẫu nhiên thì M* là tập lôi Chứng minh Ta kí hiệu TẺ là tập các phương án tối ưu #* của bài toán đã cho, M* 1a tap cac giá trị Ø de T*(0) A Ta cần chứng minh với e ngẫu nhiên thi M* là tập lồi

That vay, lay 01,02 € M* Xét AO, + (1— A)bo, A € |0, 1], tương ứng phương

An téi wu 2* Do chỉ có ¢ ngau nhiên nên é không làm ảnh hưởng đến tap phương án, do đó ta có

c(01)+” < c(01)z, V+ phương ấn e(02)+” < c(02)z, V# phương án

Khi đó

c(AMi ~(1— À)62)+” < e(A0 + (1— À)02) +, Va phương án

Suy ra ÀØị + (1— À)Øa € Aƒ” với À € [0,1] hay A/* là tập lồi L] 1.2.3.4 Cho c(0,x) là hàm lồi uới z trên miền chấp nhận Cực tiểu của c(0,#) là hàm lồi của b

Chứng mình Dễ đơn giản, ta chứng mình điều kiện Ax = b bao gdm cả điều kiện z > 0 Đặt b := b, giả sử cực tiểu của e(Ø,z) là e(0,#*) = ø(b) Tương

tự, đặt b :— b”, giả sử cực tiểu của e(Ø,+) là e(Ø,*) = e(') Với À e |0 1], xét b® = AM +(1— À)B” Dat 2* = Aw* + (1— A)y* thi z* e A/ Ta thấy

C(O, 2*) = ¢(0,A2* + (1 — A)y*) = Ac(O, 2*) + (1 — A)c(O, y*)

< Ac(O, 2) + (1 — À)c(0,+) = c(0,2), Va € M

Nhu vay, tuong ttng vdi 6°, ta nhan dude gid tri cực tiểu z* Ta cĩ

Az* = A (Aa* + (1— A)y*) = AAx* + (1 A)Ay* = b

Điều đĩ chứng tỏ tại b bài tốn cĩ tập phương án khác rỗng

Do c(Ø,ø) là hàm lồi với x ta dude

u(b°) = c(0,zŸ) = e(0,Àz” + (1 — A)y*)

< Ac(O,2*) + (1 — A)e(O,y*) = Av(b) + (1 — A)v(0’)

1.2.3.5 Cho c(0,+) là hàm lõm của 0 xác định trên miền @ lỗi đĩng

hủ đĩ cục tiểu của c(8.+) là hàm lõm của 9 trong miền xác định đã cho Chứng mình Lấy 0\,0a tương ứng với các phương án tối ưu #) và z(2, nghĩa

là

min { c(@1, 2) } = c(@, z0);

min { (02,2) } = c(0a, +), Xét Ø = ÀØị + (1— À)Øa, À € [0.1]

Do e(0,+) là hàm lõm của Ø nên ta cĩ

min { e(À + (1 — À)Øa,#) }

> min { Ac(#1, 2) + (1 — A)c(G2, 2) }

a

> min Ac(41, 2) + min(1 — À)c(Øa, #)

=\ min c(01, 2) + (1 — A) minc(42, 2)

Vay min {c(6,2)} la hàm lõm của Ø trên miền @ L]

x

1.3 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rac

1.3.1 Bài toán Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên đã nêu trên nếu 4ƒ là tập rời rạc thì ta có bà¿ toán quy hoạch ngẫu nhiên rời rạc

1.3.2 Các hướng tiếp cận giải Trong luận văn này, chúng tôi xét các bài toán tối tru có dạng

2 Hàm (z,) là đễ tính toán đối với z và œ cho sẵn

3 Tập hợp ,9 các nghiệm cho phép (phương án), mặc dù hữu hạn nhưng rất rộng, vì vậy cách tiếp cận bằng liệt kê là không thể thực hiện được

Ta đã biết rằng các bài toán tối ưu rời rạc rất khó để giải Một khó khăn

ở đây là hàm mục tiêu ø(2) có thể phức tạp hoặc khó để tính toán ngay cả với phương pháp xấp xỉ Bởi thế các bài toán tối ưu rời rạc ngẫu nhiên là thực sự khó Có một lý thuyết các bài toán tối ưu rời rạc ngẫu nhiên trong đó

số nghiệm cho phép là đủ nhỏ để xác định công thức ước lượng của ø() đối với mỗi # Quan tâm tới lý thuyết này có Hochberg và Tamhane, Bechhofer, Santner va Goldsman, Futschik va Pflug va Nelson et al Cach tiép can khac

đã được nghiên cứu bao gồm các phương pháp mô phỏng tốt để đếm các sự kiện mà giá trị hàm mục tiêu không được biết đến một cách chính xác Làm

việc trên vấn đề này bao gdm Gelfand và Milter, Alrefaei và Andradattir, Fox

và Heine, Gut - jahr và Pflug và Homem-de-Mello Một cách tiếp cận nhánh để giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên đã được gợi ý bởi Norkin, Ermokiev

và Ruszezynski và Norkin, Pflug và Ruszezynski Con Schultz, Stougie va Van der Vierk đã gợi ý một cách tiếp cận đại số để giải quy hoạch ngẫu nhiên với việc nhờ đến cách sử dụng một hệ dàn của sự rút gọn cơ sở Grobner

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu một mô hình hóa Monte Carlo dựa trên cách tiếp cận các bài toán tối ưu rời rạc ngẫu nhiên Ý tưởng cơ bản thực sự đơn giản - một mẫu ngẫu nhiên của W được tạo thành và hàm giá trị kì vọng được xấp xỉ bởi hàm trung bình mẫu tương ứng Bài toán tối ưu trung bình mẫu được giải quyết và phương pháp được nhắc lại một vài lần cho đến khi một tiêu chuẩn dừng được thỏa mãn Ý tưởng sử dụng xấp xỉ trung bình mẫu để giải quy hoạch ngẫu nhiên là một ý tưởng tự nhiên và đã được

sử dụng qua nhiều năm bởi nhiều tác giả khác nhau Chẳng hạn, cách xấp xỉ được sử dụng với điều kiện của bài toán cái túi ngẫu nhiên trong một bài báo của Morton và Wood.

vos min g(x); On (= gn (2)

của, bài toán tương ứng Chúng tôi cũng xem xét đến tập hợp các nghiệm œ

tối wu (xấp xỉ tối ưu với độ chính xác e) Tức là, chúng ta xem xét tới các điểm

%€ S5, với e >0, thỏa mãn g(%) < v* + «, lic nay ta noi % la mot nghiém ¢

- tối ưu của (1.1) Tương tự ta cũng có được khái niệm nghiệm e - tối ưu của (2.1) Tập hợp tất cả các nghiệm e - tối ưu của (1.1) và (2.1) được biểu thị theo thứ tự bởi SÊ và Se Ro rang, vdi ¢ = 0, tap hgp S* tring vdi tap hop S* va tập hợp Sy tring với tập hợp Sy

2.1.2 Tính chất

Định lý sau đây cho thấy sự hội tụ với xác suất 1, đối với giá trị hàm mục tiêu và nghiệm của bài toán khi thực hiện công thức ước lượng thống kê nêu trên

2.1.2.1 Dinh ly Hai tinh chat sau đâu là tương đương

i) 6n 3 v*, vdi mác suất 1, khi N —> œ

ii) Cho bat kà e > 0, biến cố {SÑ C S°} xảu ra uới xác suất 1, khi N đủ

lớn

Chứng minh Theo luật mạnh số lớn đối với mỗi z € 5, Gn (2) hoi tu tdi g(x) với xác suất 1 khi W -> œ Từ tập S là hữu hạn và sự kết hợp một số hữu hạn các tập hợp mà mỗi tập hợp có độ do không cũng có độ do không, nó cho thấy rằng với xác suất 1, @y() hội tụ tới ø(#) theo moi a € S Vi vay

ỒN := max |ô@w(#) — g(x)| > 0, vdi xc suat 1, khi N > oo ve (2.2) Tit |éy — v*| < dn, với xác suất 1, ôy —> * khi N > o

Với mỗi z > 0 cho trước xét số

Ti bat ki x € S \ S® kéo theo g(x) > v* + va tap hợp Š là hữu hạn nên p(e) >0

Chọn Ấ đủ lớn sao cho ổy < p(e)/2 Thi 6y < 0Ÿ + p(£)/2 và với bất kì

x € S\S® kéo theo ôy(#) > v* +e+p(e)/2 Neu x € S\S* thì @y(#) > én +e

và do dé 2 khong thudéc tap Sy Vi vay Sy cS Oo Chú ý rằng nếu ở là một số sao cho 0 < ð < e thì SŠC S°và Se Cc St Tt

Dinh lý trên với bat kd 6 € [0, <] bién c6 {$8 C Š°} xảy ra với xác suất 1, khi

đủ lớn Nó cũng cho thấy rằng nến S° = {z*} là duy nhất, thi SY = {2*} voi

xác suất 1 khi đủ lớn Trong thực tế, nếu bài toán tất định (1.1) có nghiệm

tối ưu đơn trị x*, thì với xác suất 1 và đủ lớn bài toán xấp xỉ (2.1) có một

nghiệm tối wu don tri @y va fy = a2* Xét tap A := {g(a)-—v* : 2 € SI

S

là tập hữu hạn Từ sự phân tích trên cho thấy với bất kì e € Ry \ A, bién cd

và do đó A

Tap A là một tập con của tập R„ các số không âm va |A] <

CỒN = 6°} xảy ra với xác suất 1 khi ý đủ lón

Dịnh lý nêu trên chưa nói gì tới tốc độ hội tụ của ô¿y và SẺ Trong phần tiếp theo, sẽ đưa ra các tính chất về tốc độ hội tụ của chúng Chúng ta sẽ sử dụng

lý thuyết của Large Deviations [5] để chỉ ra rằng với các điều kiện đã đưa ra

và ở € [0,z], xác suất của biến cố 6É C %° tiến nhanh với tốc độ hàm mũ khi

Ñ — œ Để hiểu được phần cơ bản của lý thuyết của Large Deviations, chúng tôi tóm tắt một số ý chính đã được vạch ra

Ta xét biến ngẫu nhiên (giá trị thực) X có giá trị trung bình ¿ := #[X] Ham tạo thành moment của nó A/(/) := E[e'Ÿ] được xem như là một hàm giá trị

mở rộng, nó có thể nhận giá trị +oo Do đó Ä⁄/() > 0 với mọi £ € ]R, A/(0) = 1

và miền xác định {£ : ă(#) < +oe} của hàm tạo thành moment là một khoảng chứa 0 Hàm liên hợp

ctia ham tao thanh moment logarith A(¢) := log M(t), goi la ham téc do (rate) của X Có thể thấy rằng cả hai hàm A(t) va /(.) đều lồi

Xét dãy X\, , X„ của sự lặp lại thí nghiệm của biến ngẫu nhiên X độc lập cùng phân phối và đặt Z„:= N~! Và X; 1a trung bình mẫu tương ứng Thì với bất kì số thực ø và £ > 0 kéo theo P(Zw > a) = P(e!4* > ef) va tit bất đăng thức Chebyshev's ta có

P(ZN > a) <e '®Ele'ế*] = e '“[M(JN)|Ỷ.

Bằng cách lấy logarith cả hai về của bất đẳng thức, đặt £ := N và giá trị cực

tiểu trên £ > 0 Với a > thì

+ loa {P(Zy > a] < —I(a) (2.5)

Chú ý rằng ø > „ nó chỉ cần lấy cực đại trong công thức (2.4) của /(œ) với

>0 và do đó sự ràng buộc này được bỏ đi Bất đẳng thức (2.5) tương ứng với giới hạn dưới của định lý độ lệch lón của Cramer

Hằng số ƒ(a) trong (2.5) đã cho, có tốc độ hàm số mũ tốt nhất tại xác suất

P(Zx 3 4) hội tụ tới 0 với ø > , Điều này xác định từ cận dưới

1

lim inf — log[P(Zy > a)] > —I (a) (2.6)

Noo N

của định lí độ lệch lớn của Cramer Một điều kiện đủ đơn giản để (2.6) giữ

nguyên là hàm tạo thanh moment M(t) 1a hitu han giá trị với moi t € R Hàm tốc độ /(z) có những đặc tính sau Hàm /(2) là lồi, đạt cực tiểu tại

z = tu và l(0i) = 0 Hơn nữa, giả sử hàm tạo thành moment Ä/(0) là hữu hạn giá trị với mọi f trong một lân cận của # = 0 thì nó xác định bằng định lý hội

tụ được chi phối bởi Aƒ(0); và từ đó hàm A(/) là khác nhan rất nhiều tại ¿ = 0

va A’(0) = ps V6i a > pe dao ham ciia w(t) := ta — A(L) tai t = 0 lớn hơn 0 và

do đó Œ) > 0 với £ > 0 đủ nhỏ Người ta xác định rằng trong trường hợp đó I{a) > 0 Cuối cùng giả sử X có phương sai hữu hạn ø? Vậy thì 7 (w) = 0 và I”(w) = øˆ? và do đó bằng sự mỏ rộng của Taylor