Hàm suy rộng định nghĩa theo dãy

Lý do chọn đề tài Hàm suy rộng kể từ khi ra đời vào thế kỷ XX đã góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.. Do nghiệm của phương trính đạo hàm

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu cả các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, và các thầy cô giáo trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí, đã giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành được bài khoa luận tốt nghiệp của mình

Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành được Khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Nguyễn Thị Lành

LỜI CAM ĐOAN

Kháo luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ ngọc Trí cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp của em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Lành

MỤC LỤC

Lời cảm ơn……… 1

Lời cam đoan……… 2

Mục lục……… 3

Mở đầu……… 4

Chương 1 Những kiến thức cơ sở………

6 1.1 Một vài ký hiệu……… 6

1.2 Không gian các hàm thử………

8 1.3 Hàm suy rộng Schwartz………

12 1.4 Sự hội tụ của hàm suy rộng……… 16

1.5 Đạo hàm của hàm suy rộng……… 17

1.6 Nguyên hàm của hàm suy rộng……… 18

1.7 Giá của hàm suy rộng……… 19

1.8 Tích chập……… 21

1.9 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng……… 28

1.10 Tích của một hàm suy rộng và một hàm trơn………

35 Chương 2 Hàm suy rộng theo dãy……… 38

2.1 Tích của hai hàm suy rộng……… 38

2.2 Kết quả không thể của Schwartz……… 44

Kết luận……… 46

Tài liệu tham khảo……… 47

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm suy rộng kể từ khi ra đời vào thế kỷ XX đã góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Do nghiệm của phương trính đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng, thường không tồn tại toàn cục, nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngày càng trở nên bức xúc

Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng với sự đóng góp chủ yếu của nhà toán học Pháp L Schwartz, đã giải quyết được cơ bản những vấn đề của lý thuyết của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Tuy nhiên, theo định nghĩa hàm suy rộng của L Schwartz không thể lấy tích của hai hàm suy rộng tùy ý Vì vậy mở rộng với định nghĩa của nhà toán học Mikusinski có thể lấy tích của một số hàm suy rộng Tuy nhiên định nghĩa của ông chưa thể giải quyết hoàn toàn vấn đề này Hàm suy rộng vẫn còn rất xa lạ và mới đối với sinh viên, cùng với mong muốn được nghên cứu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, bước đầu làm quen với

công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài " Hàm suy rộng định nghĩa theo dãy "

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu một số khái niệm cơ bản về hàm suy rộng Schwartz

- Tìm hiểu và trình bày một khái niệm về hàm suy rộng định nghĩa theo dãy của nhà toán học Mikusinski

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về một số khái niệm, tính chất của hàm suy rộng Schwartz

như: Sự hội tụ, đạo hàm, nguyên hàm, giá, tích chập, biến đổi Fourier và tích của

Bước đầu làm quen và tìm hiểu về tích của hai hàm suy rộng định nghĩa theo dãy của Mikusinski và chỉ ra tính chưa triệt để của định nghĩa này

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận

văn gồm 2 chương:

Chương 1: Những kiến thức cơ sở

Trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản về hàm suy rộng Schwartz

Chương 2: Hàm suy rộng định nghĩa theo dãy

Tìm hiểu khái niệm hàm suy rộn định nghĩa theo dãy của Mikusinski

CHƯƠNG I

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản

Trong luận văn này, ta sẽ ký hiệu  ={0 , 1 , 2 ,…} là tập các số tự nhiên ,

*

 là tập các số tự nhiên khác 0,  là tập các số nguyên,  biểu thị cho tập các

số thực và trường thực,  biểu thị cho tập các số phức và mặt phẳng phức Với mỗi số tự nhiên n, tập n

 ={ = (1 , 2 , … , n) / j   j = 1, 2, … , n}, tập  n = {x = (x1, x2 , … , xn) / xj   , j = 1 , 2, … , n} là không gian thực n

chiều với chuẩn Euclid

x = ( 2

1 j

n j

 Ta

ký hiệu C  là tập hợp những hàm f giá trị phức xác định trên  sao cho

f



 tồn tại với mọi đa chỉ số  Ta nói của hàm liên tục f :  , là tập hợp

ký hiệu bởi supp f và được xác định bởi supp f = cl { x: f x 0}

Nếu K là một tập compact trong  n ta ký hiệu D là tập hợp { k  n

f C  : supp f  K}

1.2 Không gian các hàm thử

Bổ đề 1.2.1 Cho   n và    Khi đó tồn tại dãy các tập compact {K }, j ( j = 1, 2, 3, …) thỏa mãn K j intK j1 và U K j1 j  

Do đó ta ký hiệu K là một tập compact của  và K là một trong các tập j

compact trong họ K nói trong bổ đề (1.2.1) j

Mệnh đề 1.2.2 C  là một không gian Frechet và D là không gian con K

đóng của C  , với mọi K  

Chứng minh: Do  là mở nên theo bổ đề 1.2.1 có dãy các tập compact K , ( j j

= 1, 2, … ) sao cho K j int K j1 và  j1K j

Với mỗi N = 1, 2, … ta đặt

p N f = max{ f x  : xK N ,  < N } ,

Thì p là một nửa chuẩn Hơn nữa họ các nửa chuẩn N p có tính chất tách được N

các điểm trong C  và topo sinh bởi chuẩn có một cơ sở lân cận đếm được

Do đó một mêtric bất biến qua phép tịnh tiến tương thích với họ đếm được chuẩn

Với mỗi x, hàm F : x f  f x  là hàm liên tục trong topo bởi họ sinh bởi

họ đếm được chuẩn p với N = 1, 2, …Ngoài ra ta cũng có N

K x

x K

Định nghĩa 1.2.3 Ta ký hiệu D  là tập hợp

D  = {C  : supp là tập compact trong }

Ta gọi D  là không gian các hàm thử (test function )

Dễ thấy D  = j1D K j   nên D  là không gian vectơ

Mệnh đề 1.2.4 Không gian các hàm thử D  là một không gian vectơ topo lồi địa phương

Chứng minh: Theo mệnh đề (1.2.1) ta có D K  là không gian Frelet Ký hiệu K là topo lồi trên D K  ,  là họ tất cả các tập W cân, lồi của D  sao cho D K  W K với mọi tập compact K   Gọi  là họ tất cả các tập hợp có dạng  W với  W với  D  và W

a) Ta sẽ chứng minh  là một topo trên D  và  là một cơ sở lân cận của

 Thật vậy, với V , 1 V 2  và  V1 V2, ta chỉ cần chứng minh tồn tại W

sao cho  W  V1 V2 Ta có, do V i , (i = 1, 2, …) nên tồn tại  j D 

Vởy  là một topo trong

Dễ dàng chỉ ra được  là một cơ sở của  Giả sử 1,2 là hai phần tử phân biệt tùy ý của D  Với mỗi D  ta đặt  0=sup

x  x và

W ={D  :   1 2 0} thì W và   1 2 + W

Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong D  theo topo 

b) Tiếp theo ta sẽ chứng minh các phép toán trên D liên tục với topo  Với mọi 1,2  D  và 1+2+W  với W Vì W là cân nên

 



 thì do W

là tập lồi và cân nên ta có   0 W, với mọi   0  và  0 cW

Vậy phép nhân phần tử trong D  với phần tử vô hướng là liên tục trong

 

D  theo topo  Suy ra không gian các hàm thử D  là không gian vectơ

lồi địa phương

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiện đại

Sau đây chúng ta thừa nhận các tính chất của D 

Định lí 1.2.5 Cho không gian D  với topo  Ta có:

1 Dãy các hàm {l}l1 hội tụ theo topo  tới 0 trong D  khi và chỉ khi tồn

2 Tập ED  khi và chỉ khi tồn tại j* sao cho E là tập con bị chặn

trong D K j  Đặc biệt nếu {l}l1 là dãy Cauchy trong D  thì tồn tại

*

j sao cho l hội tụ trong D K j   và do đó hội tụ trong D 

3 Một phiếm hàm tuyến tính : D   liên tục khi và chỉ khi với mọi

j tồn tại N j và hằng số c > 0 sao cho: j

Định lí 1.2.6 Trong không gian D 

1 Phép lấy vi phân :    là tuyến tính, liên tục trên D  với mọi đa

Tập tất cả các hàm suy rộng trên  được ký hiệu ' 

D  Với mỗi hàm suy rộng

Mệnh đề 1.3.3 Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D  Các mệnh đề

sau tương đương:

i) ' 

uD 

ii) Với mọi tập compact K  , tồn tại số thực c > 0 và một số nguyên không

âm N , sao cho:

iii) Mọi dãy {}j1 hội tụ về 0 trong D  thì lim

{ :x x y }   Do đó, với mọi giá trị thực  D  thỏa mãn   0,

Vậy định lí được chứng minh

Ví dụ 1.3.5 Mỗi hàm f L loc  là một hàm suy rộng

K

c f x dx thì f là hàm suy rộng cấp 0

Chú ý 1.3.6 : (Cấp của hàm suy rộng)

Cho K  , ' 

f D  Ta nói hàm suy rộng f có cấp hữa hạn trên K nếu

có một số nguyên không âm k và có một số dương c sao cho

x K k

Số nguyên không âm k nhỏ nhất trong các số nguyên không âm mà ta có bất

đẳng thức (1.3.6) được gọi là cấp của hàm suy rộng f trên tập hợp K Nếu

không có số nguyên không âm k nào để có bất đẳng thức (1.3.6) với số dương c

nào đó thì ta nói rằng hàm suy rộng f có cấp vô hạn trên tập hợp K

Để đơn giản, ta nói rằng hàm suy rộng f ' 

j x



j k j

c 

 , k  j ta chọn jsao cho:

Do đó với mỗi k 0, c0 ta chọn j =maxk1,c1 thì ta có:

Định nghĩa 1.3.10 Cho ' 

uD 

1 Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K  , ký hiệu u 0

K 

nếu u, 0 với mọi D K 

2 Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu suppu và được xác định bởi

suppu = \ {{K\ K mở}   và u 0

K  } Nếu u có suppu là tập compact trong  thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact

1.4 Sự hội tụ của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.4.1 Cho  n là một tập mở và cho  u j , 0 j   là dãy các hàm suy rộng trên  Dãy được gọi là hội tụ trong ' 

uD  nếu

lim

j u j, = u, với mọi D 

Chú ý: Định nghĩa hội tụ này được mở rộng một cách rõ ràng cho các tập hợp

nhất định của các hàm suy rộng phụ thuộc vào một tham số liên tục

f j,  f jdx  f dx f, khi j  với tất cả D 

Chú ý: Điều này đúng với các trường hợp cơ bản của một dãy các hàm liên tục

mà hội tụ đều trên tập compact

Định lí 1.4.3 Cho  n là một tập mở và cho (u ), j 1  j là một dãy các

hàm suy rộng trên  mà có tính chất rằng, với mỗi D  dãy u j, hội tụ

1.5 Đạo hàm của hàm suy rộng

Một trong những lý do cần mở rộng khái niệm hàm đó là mọi hàm trong đó

phải khả vi Trong không gian ' 

Ta lấy dãy  j trong D  sao cho supp j K, j = 1, 2, … và  j 0 khi

j  Do tính liên tục của phép lấy vi phân trong D  nên ta cũng có

0

j



Do đó, nếu hàm suy rộng F có nguyên hàm suy rộng DF 0 thì F tương ứng

với hàm hằng F  F, trong lớp khả tích địa phương 1  

loc

L  Khi đó, với mỗi hàm suy rộng ' 

f D  , luôn có một họ các nguyên hàm suy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng có thể

biểu diễn dưới dạng hàm khả tích địa phương hằng

1.7 Giá của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.7.1 Giá của hàm  x ' n

D

  được định nghĩa là bao đóng của tất cả các điểm n

x sao cho  x 0 Supp={ n:   0

K

  

và suppK K, trong đó K là tập

compact trong  là độc lập với K Phép nhúng    n

D  D  là liên tục và ánh xạ đối ngẫu ' n ' n

D  D  được định nghĩa bởi phép toán lấy hạn chế của hàm suy rộng u x trên tập mở   : u u

u vD  ta nói rằng u x   v x với x nếu

u v, nghĩa là nếu: u,  v, , D  Như vậy tồn tại một miền mở

D K trùng với định nghĩa hội tụ trên '

Ta định nghĩa, u k ,u nếu D'

k

u u và suppu k K trong đó K là tập compact trên n

 độc lập với k Mọi hàm suy rộng   ' n

u x   là hàm có giá compact

Định nghĩa 1.7.8 Nếu   ' n

     , trong đó K: = suppu  supp là tập bị chặn trên n

L  là không gian Banach

1:

p n

p p

Giả sử f L1 n ,gL1 n với 1  p Khi đó  n

n

p p p p

1

n

p p

    

1

n

p p

1

p p

Điều này suy ra fy  f 0 khi  0

Nhờ (1.8.3) và (1.8.4) ta có f  g af trong  n

p

L  khi  0 Mệnh đề được chứng minh

1.8.4.1 Tích chập của hàm suy rộng với hàm cơ bản

Cho ' n

f D  ,  n

D

  khi đó tích chập được xác định  f  x  f y  , xy 

A- compact, B- compact nên AB là tập hợp đóng

A- compact, B- compact nên AB là tập compact

1.8.5 Tích chập của hai hàm suy rộng

Định nghĩa 1.8.5.1 Cho ' 

u vD  , tích chập của hai hàm suy rộng u và v là

một phiếm hàm tuyến tính , ký hiệu u v xác định bởi:

f gL  Thật vậy, với  n

1.9 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.9.1 Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên  n

S  ký hiệu là ' n

trù mật khắp nơi trong  n

S  Do đó phép nhúng đối ngẫu ' n ' n

S  D  là liên tục (với sự hội tụ yếu)

g y    e

Vì vậy ta có:   2 2

n ixy

x ixe

   

f     e  f x dx

  Nếu f là hàm suy rộng thì biến đổi Fourier của f là uf xác định bởi

c) f hội tụ tới j f trong 1 

Theo mệnh đề (1.8.4) phép biến đổi Fourier của một hàm thuộc 1 

Mệnh đề 1.9.4.5 Giả sử , 1 n

f gL  Khi đó  f g       2 n2 f   g  (1.9.2)

Chứng minh:

Sử dụng định nghĩa phép biến đổi Fourier và định lí Fubini ta có:

2

4 4

2 2

4 x L

Đó là điều phải chứng minh

1.10 Tích của một hàm suy rộng và một hàm trơn

Cho  n là một tập mở; u và f là các hàm liên tục trên , như vậy

Và đơn thức    là độc lập tuyến tính Từ định lí Taylor cho đa thức, như

một ví dụ đơn giản, lấy n

CHƯƠNG 2

HÀM SUY RỘNG ĐỊNH NGHĨA THEO DÃY

2.1 Tích của hai hàm suy rộng

Trong mục (1.10) chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn

 

f C  và một hàm suy rộng ' 

uD  Tuy nhiên chúng ta không thể dùng định nghĩa (1.10.1) cho tích của hai hàm suy rộng tùy ý vì f có thể không là hàm thử nếu ' m

f D  và  m

D

Sau đây, chúng ta sẽ định nghĩa tích hai hàm suy rộng theo dáy Delta

 n , n1,2, và tìm hiểu về hàm suy rộng theo dãy dựa trên định nghĩa của Mikusinski Tuy nhiên, chúng ta còn có một cách định nghĩa tích của hai hàm suy rộng dựa trên khai triển Fourier

2.1.1 Định nghĩa tích hai hàm suy rộng của Mikusinski

Định nghĩa 2.1.1.1 (Định nghĩa dãy Delta)

Định nghĩa 2.1.1.2 (Định nghĩa của Mikusinski)

Ta nói rằng S và T có thể lấy tích ST nếu với mọi dãy Delta n , n1,2, thì giới hạn lim n n

n S S T 

   tồn tại trong ' m

D  và giới hạn đó không phụ thuộc vào việc chọn dãy Delta

Cơ sở của định nghĩa (1.11.1.) là do lim n