Giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THỊ HƯƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý

VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý

VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

(Xác nhận)

PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

Chương 1 Một số giá trị trung bình sơ cấp 5

1.1 Một số giá trị trung bình sơ cấp 5

1.1.1 Giá trị trung bình thông thường 5

1.1.2 Trung bình có trọng 6

1.1.3 Một số tính chất của trung bình Mr(a) 7

1.2 Hàm so sánh được 9

1.2.1 Bất đẳng thức thuần nhất 9

1.2.2 Một số hàm so sánh được 13

Chương 2 Giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan 18 2.1 Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình 18

2.1.1 Các giá trị trung bình tương đương 20

2.1.2 Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình Mr 21

2.2 Một số lớp hàm lồi liên quan 24

2.2.1 Hàm lồi liên tục 24

2.2.2 Hàm lồi hai lần khả vi 33

2.2.3 Hàm lồi nhiều biến 35

2.3 Một số dạng toán liên quan 37

2.3.1 Mở rộng bất đẳng thức H¨older 37

2.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Minkowski 39

Kết luận 43

Bảng ký hiệu

N∗ tập các số tự nhiên dương(a) dãy các số thực

Mr(a) trung bình bậc r

A(a) trung bình cộng

G(a) trung bình nhân

Mở đầu

Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉnhư là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như mộtcông cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các môhình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lýthuyết biểu diễn v.v Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia,thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữacác trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳngthức hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó Các bàitoán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng,tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức chotrước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bấtđẳng thức) tương ứng

Trong bất đẳng thức, thứ tự sắp xếp giữa các đại lượng trung bìnhcủa bộ số thực dương đóng một vai trò quan trọng trong việc so sánhgiá trị giữa các đại lượng trung bình đó Ngoài thứ tự sắp xếp của một

số đại lượng trung bình thông thường như trung bình cộng, trung bìnhnhân, trung bình điều hòa v.v , người ta còn quan tâm đến giá trịtrung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan

Mục đích của luận văn nhằm khảo sát các tính chất của giá trị trungbình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan

Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong 2 chương Chương

1 "Một số giá trị trung bình sơ cấp": trình bày các kiến thức về giátrị trung bình thông thường, định lý về trung bình cộng và trung bìnhnhân, một số tính chất của trung bình Các kiến thức của chương nàyđược viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu [1] và [2] Chương 2 "Giá

trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan": trìnhbày tính chất đặc trưng của giá trị trung bình với hàm tùy ý và một sốlớp hàm lồi liên quan Các kiến thức của chương này được viết trên cơ

sở các tài liệu [1], [2], [3] và [4]

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Thị ThuThủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ

và động viên của các thầy cô của khoa Toán - Tin và các thầy cô trongtrường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT BạchĐằng, Thủy Nguyên, Hải Phòng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạođiều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học

Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bèđồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trìnhhọc tập và làm luận văn tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hương

Chương 1

Một số giá trị trung bình sơ cấp

Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của giá trị trungbình sơ cấp Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tàiliệu [1] và [2]

1.1 Một số giá trị trung bình sơ cấp

Mục này trình bày các kiến thức về: giá trị trung bình thông thường,định lý về trung bình cộng và trung bình nhân, một số tính chất củatrung bình

1.1.1 Giá trị trung bình thông thường

Giả sử n ∈ N∗ Xét tập dãy các số dương

(ii) Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai dãy đều khác dãy (0) thì bi = 0nếu ai = 0.

Sau đây là định nghĩa về trung bình bậc r với r 6= 0 là một số thựccho trước

Định nghĩa 1.1.3 Tổng Mr(a) được định nghĩa bởi:

Định nghĩa 1.1.4 Xét các số thực r khác 0 Khi đó tổng Mr(a, p) xácđịnh theo công thức (1.9) được gọi là trung bình bậc r theo trọng (q).Nhận xét 1.1.5 (i) Ứng với r = −1, r = 1 và r = 2 ta lần lượt nhậnđược các trung bình điều hòa, trung bình cộng và trung bình bìnhphương.

(ii) Trung bình có trọng trở thành trung bình thông thường khi pi = 1với mọi i = 1, , n

1.1.3 Một số tính chất của trung bình Mr(a)

Để chứng minh các tính chất của trung bình Mr(a), ta cần sử dụngbất đẳng thức sau đây

Định lý 1.1.6 Giả sử (a), (b), , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số,

α, β, , λ là các số dương với α + β + · · · + λ = 1 Khi đó,

(1) hoặc tất cả các dãy (a), (b), , (l) tỷ lệ,

(2) hoặc có dù chỉ một trong các dãy đó là dãy (0)

Tính chất 1.1.7 (i) Nếu 0 < r < s thì

Mr(a) < Ms(a), (1.11)trừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (a) bằng nhau

(ii) Nếu 0 < r < s < t thì

Ms(a)s < (Mr(a)r)(t−s)/(t−r)(Mtt(a))(s−r)/(t−r) (1.12)Chứng minh (i) Đặt r = sα và pas = u, p = v Khi đó 0 < α < 1,

v > 0 và pasα = (pas)αp1−α = uαv1−α Sử dụng Định lý 1.1.6 ta nhậnđược

Pn i=1pi

)1/sα

<

(

Pn i=1piasi

Pn i=1pi

)1/s

(ii) Đặt s = rα + t(1 − α), (0 < α < 1) Khi đó bất đẳng thức (1.12) códạng

kỳ thỏa mãn r < s (xem Định lý 5, Định lý 6 trong [1])

Bất đẳng thức này đúng với mọi giá trị thực a1, a2, , an, b1, b2, , bn.

Ta cũng gọi a1, , an, b1 , bn là những biến của bất đẳng thức Cảhai vế của bất đẳng thức (1.14) là các hàm thuần nhất bậc hai của (a)

Chứng minh (i) Giả sử k > 1, lúc đó (1.15) là trường hợp riêng củaĐịnh lý 1.1.6 với hai dãy và α = 1/k, β = 1/k0 Trường hợp này là dạngthông thường của bất đẳng thức H¨older

(ii) Bây giờ giả sử 0 < k < 1, do đó k0 < 0 Nếu một trong các phần

tử của dãy (b) bằng không thì thừa số thứ hai trong vế phải của (1.16)phải coi là bằng không, do đó (1.16) đúng nếu dãy (ab) khác dãy (0)

Nếu mỗi phần tử trong dãy (b) dương, ta xác định l, u, v bằng các đẳngthức

l = 1

k do đó l > 1, k

0 = −kl0và

u = (ab)k, v = b−k do đó ab = ul0 ak = uv, bk0 = vl0

Khi đó (1.16) trở về (1.15) với u, v, l thay cho a, b, k

(iii) Nếu k < 0 thì 0 < k0 < 1 Trường hợp này được đưa về (ii) bằngcách đổi chỗ (a) và (b), k và k0 Cả (ii) và (iii) đều nằm trong (1.16) Sau đây là định nghĩa và một số tính chất của tổng Sr(a) với r > 0

Ss(a) < Sr(a) (1.18)trừ trường hợp có duy nhất một phần tử của dãy (a) khác không.Nhận xét 1.2.5 (i) Tính chất 1.2.4(i) chính là Tính chất 1.1.7(ii).Thật vậy,

Sr(a) = n1/rMr(a), (1.19)trong đó trung bình Mr(a) được thành lập với trọng đơn vị và (1.17)đưa về (1.12)

(ii) Tính thuần nhất đối với dấu P của (1.12) và (1.17) giải thích sựtương ứng giữa Tính chất 1.1.7(ii) và Tính chất 1.2.4(i) Ứng vớiTính chất 1.1.7 ta có Tính chất 1.2.4(ii) đối với tổng nhưng với dấubất đẳng thức ngược lại Do (1.18) thuần nhất theo (a), ta có thểgiả sử Pn

i=1ari = 1 tức là Sr(a) = 12 Khi đó, ai ≤ 1 với mỗi i, dovậy asi ≤ ar

Chứng minh Chứng minh được suy ra từ tính chất lồi của hàm số

F (r) := r ln Mr(a, α) Thật vậy, vì F (r) là hàm khả vi, nên ta kiểm tratính lồi trực tiếp thông qua tính đạo hàm của hàm số

Tương tự, ta có thể kiểm tra được tính lồi của các hàm số g1(r) :=

Sr(a) và g2(r) := ln Sr(a) trong (0, +∞)

Từ đây, ta thu được hệ quả sau

Hệ quả 1.2.8 Với mỗi bộ n số dương (a) và bộ số dương (α), xét bộ số(h) = (h1, h2, , hn) sao cho tổng

1.2.2 Một số hàm so sánh được

Mục này giới thiệu về hàm so sánh được và trình bày điều kiện vềtính so sánh được của hàm tổng

Định nghĩa 1.2.10 Ta nói các hàm

f (a) = f (a1, a2, , an), g(a) = g(a1, a2, , an)

là so sánh được nếu giữa hai hàm ấy có một bất đẳng thức đúng với mọigiá trị thực và không âm của dãy (a)

Chú ý 1.2.11 (i) Hai hàm cho trước, nói chung là không so sánh được.Chẳng hạn hai đa thức thuần nhất dương bậc khác nhau là không

Định lý 1.2.12 Ta luôn có G(a) ≤ A(a)

Chứng minh Bất đẳng thức phải chứng minh có thể được viết lại dướimột trong hai dạng sau:

Dấu bất đẳng thức thật sự sẽ xảy ra ở một trong các trường hợp a1, a2,

a3, a4 không đồng thời bằng nhau Tiếp tục mở rộng bất đẳng thức nàycho a1, a2, , a2m, ta được:

a1 an < Antrừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (b) bằng nhau và vì thế tất

cả các phần tử của dãy (a) bằng nhau Đây là bất đẳng thức (1.20) vớitrọng đơn vị

Thứ hai, hàm G(a + b) và hàm G(a) + G(b) là so sánh được Đó là nộidung của định lý sau

Định lý 1.2.13 Giả sử (a), (b), , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số.Khi đó,

G(a) + G(b) + · · · + G(l) < G(a + b + · · · + l), (1.23)trừ các trường hợp

(1) hoặc là mỗi cặp bất kỳ trong các dãy (a), (b), , (l) tỷ lệ,

(2) hoặc là tồn tại số i sao cho ai = bi = · · · = li = 0

Định lý 1.2.14 Giả sử (a), (b), , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số,

r, α, β, , λ là các số dương với α + β + · · · + λ = 1 Khi đó,

Mr(ab ) < Mr/α(a)Mr/β(b) Mr/λ(l)trừ các trường hợp

(1) hoặc các dãy (a1/α), (b1/β), , (l1/λ) tỷ lệ,

(2) hoặc một trong các thừa số của vế phải bằng không

Đối với r < 0 thì có bất đẳng thức ngược lại

Sau đây là một mở rộng của Định lý 1.2.13

Định lý 1.2.15 Giả sử (a), (b), , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số,

r hữu hạn khác 1 Khi đó,

Mr(a) + Mr(b) + · · · + Mr(l) < Mr(a + b + · · · + l), r < 1 (1.24)

Mr(a) + Mr(b) + · · · + Mr(l) > Mr(a + b + · · · + l), r > 1 (1.25)trừ các trường hợp

(1) hoặc là mỗi cặp bất kỳ trong các dãy (a), (b), , (l) tỷ lệ,

(2) hoặc là r ≤ 0 và tồn tại số i sao cho ai = bi = · · · = li = 0

Chú ý, nếu r = 1 thì đẳng thức nghiệm đúng với mọi dãy (a), (b) Định lý 1.2.13 là trường hợp riêng của Định lý 1.2.15 khi r = 0

Chứng minh Lấy trung bình với trọng (q) và đặt

là khi các dãy (a), (b) tỷ lệ Vì S dương nên từ (1.26) suy ra (1.25).Bây giờ giả sử 0 < r < 1 Nếu không phải tất cả các dãy (a), (b), là dãy (0) thì si > 0 với i nào đó Nếu si = 0 với một giá trị cụ thểnào đó của i thì ai = bi = · · · = li = 0 và ta có thể loại giá trị i ấy Vậy

ta có thể xem như tất cả các si > 0 Với giả thiết này (1.16) của Định

lý 1.2.2 cho ta bất đẳng thức (1.26) với dấu bất đẳng thức ngược lại

Cuối cùng, giả sử r < 0 Nếu một si nào đó bằng 0 thì tất cả trungbình bằng không Do đó, ta có thể giả sử si > 0 với mọi i Nếu một ai

nào đó bằng không thì Mr(a) = 0 và ta có thể bỏ chữ a Do đó, ta cóthể giả thiết mọi dãy (a), (b) dương và khi đó kết luận của định lýđược suy ra từ (1.16) của Định lý 1.2.2

Chương 2

Giá trị trung bình với hàm tùy ý

và một số lớp hàm lồi liên quan

Chương này trình bày tính chất đặc trưng của giá trị trung bình vớihàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan Các kiến thức của chươngnày được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4]

2.1 Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình

Mục này giới thiệu các giá trị trung bình xác định với hàm tùy ý

Mϕ(a) với hàm ϕ cho trước, tính tương đương của giá trị trung bìnhvới hàm tùy ý, một tính chất đặc trưng của giá trị trung bình Mr(a) vàtính so sánh được

Để tiện cho việc trình bày, trong chương này ta sẽ viết P a thay cho

Pn

i=1ai, chẳng hạn

 Xab

trong đó ϕ(x) tương ứng là

xr, log xcòn ϕ−1(x) là hàm ngược của ϕ(x)

(1) tồn tại một và chỉ một M trong khoảng (A, B) sao cho

Xq(ϕ(M) − ϕ(a) = 0,

do đó một vài số hạng của tổng đó phải dương, còn một vài số hạngkhác phải âm, nếu tất cả các số hạng không đồng thời bằng không Do

đó M − a có khi dương, có khi âm, nếu nó không luôn luôn bằng không

Ta đã giả thiết rằng ϕ(x) liên tục trong khoảng đóng [A, B] Lập luậnvẫn còn đúng khi ϕ(x) liên tục và tăng thực sự trong A < x < B, đồngthời ϕ(x) → −∞ khi x → A và ϕ(x) → +∞ khi x → B, nếu xem ϕ(A)

và ϕ(B) tương ứng là −∞ và +∞ và cho M = A nếu P qϕ(a) = −∞

và M = B nếu P qϕ(a) = +∞ Ở đây có thể A = −∞ hoặc B = +∞;trường hợp đặc biệt quan trọng là A = 0, B = +∞ Trong định nghĩa dưới đây và hơn nữa, khi xét các tính chất của Mϕ

ta sẽ giả thiết rằng ϕ(x) liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng đónghoặc là có dáng điệu như vừa chỉ ra

Ta viết

Mϕ = Mϕ(a) = Mϕ(a, q) = ϕ−1n Xqϕ(a)

o

= ϕ−1{A[ϕ(a)]} (2.4)Trọng lượng (q) là số dương tùy ý với tổng bằng đơn vị và khi ta so sánhhai giá trị trung bình, ta giả thiết rằng chúng được xây dựng với cùngmột hệ trọng lượng Trong trường hợp ϕ(x) = x, log x và xr, Mϕ tươngứng là A, G và Mr

2.1.1 Các giá trị trung bình tương đương

Trong mục này ta xét giá trị trung bình Mψ(a) và Mχ(a) với hàm ψ

và χ cho trước và trình bày câu trả lời cho câu hỏi nếu Mψ = Mχ thì

có thể suy ra ψ đồng nhất với χ hay không?

Chứng minh Trong chứng minh này, ta giả thiết rằng các hàm ψ và

χ liên tục trên đoạn [A, B]

(i) Nếu có điều kiện (2.6) thì

χ{Mχ(a)} = Xqχ(a) = Xqαψ(a) + β

= αXqψ(a) + β

= αψMψ(a) + β = χMψ(a)

và do đó Mψ = Mχ Vậy điều kiện là đủ

(ii) Để chứng minh tính cần của điều kiện, ta chỉ giả thiết rằng (2.5)đúng đối với tất cả các dãy gồm hai biến và hai trọng lượng

B, x nhận tất cả các giá trị của đoạn [A, B] và

ϕ(x) − ϕ(B)ϕ(A) − ϕ(B)χ(A)

= αϕ(x) + β,trong đó α và β không phụ thuộc vào x Từ đó

x = χ−1αψ(x) + β đối với tất cả x trong [A, B] Điều này trùng với (2.6) Vậy Định lý 2.1.3

2.1.2 Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình Mr

Mục này so sánh tính chất đơn giản của trung bình Mr(a) ở Mục1.1.3 với giá trị trung bình với hàm tùy ý Mϕ(a); Nêu tính so sánhđược của giá trị trung bình với hàm tùy ý cho trước trên cơ sở trả lờicâu hỏi: Giả sử hai hàm ψ và χ liên tục và đơn điệu ngặt trong khoảng(A, B), khi đó các giá trị trung bình Mψ và Mχ có so sánh được không?Định lý 2.1.4 Giả sử ϕ(x) liên tục trong khoảng mở (0, ∞) và giả sử

đối với tất cả a, q, k dương Khi đó Mϕ(a) = Mr(a) Nói cách kháctrung bình Mr là trung bình thuần nhất duy nhất của Mϕ

Chứng minh Rõ ràng (2.8) đúng khi ϕ = xr hoặc là log x Bây giờ tagiả sử rằng, đẳng thức (2.8) đúng và từ nó sẽ rút ra hàm ϕ Theo Định

lý 2.1.3 ta có thể giả sử

bởi vì ta có thể thay ϕ(x) bằng ϕ(x) − ϕ(1)

Ta viết lại (2.8) dưới dạng

Mϕ(a) = k−1Mϕ(ka) = k−1n Xqϕ(ka)

o

= Mψ(a),trong đó ψ(x) = ϕ(kx) Từ Định lý 2.1.3 suy ra rằng

ϕ(kx) = α(k)ϕ(x) + β(k), (2.10)trong đó α(k) và β(k) là các hàm của k và α(k) 6= 0 Mặt khác, từ (2.9)

α(y) − 1ϕ(y) .

Từ đó suy ra rằng mỗi một trong các hàm đó bằng hằng số c, như thếα(y) = 1 + cϕ(y) Bây giờ từ (2.12) rút ra

ϕ(xy) = cϕ(x)ϕ(y) + ϕ(x) + ϕ(y) (2.14)(1) Nếu c = 0 thì từ (2.14) dẫn đến phương trình cổ điển

ϕ(xy) = ϕ(x) + ϕ(y)

Nghiệm tổng quát liên tục đối với x > 0 là

ϕ = c log x