Tính đối xứng phải của vành không suy biến

Alahmadi Adel đã phát triển thêm tính đối xứng cho vành nguyên tố không suy biến phải, CS phải, có chiều đều vô hạn với iđêan phải đều, và đã chỉ ra rằng, một vành nguyên tố phải R với c

MỞ ĐẦU

Cùng với nhóm và trường, vành là một trong ba cấu trúc cơ bản của đại

số và có ứng dụng rộng rãi Có nhiều hướng khác nhau để nghiên cứu lý thuyết vành Một trong những hướng quan trọng là đặc trưng vành theo tính

chất của lớp môđun trên vành đó Trong suốt luận văn, vành R luôn được giả

thiết là một vành kết hợp, có đơn vị Các môđun trên một vành luôn được

hiểu là môđun phải unita Chúng ta đã biết rằng, một vành R là Goldie nguyên

tố phải, CS-vành phải với chiều đều phải ít nhất 2 thì R là vành Goldie trái và

CS-vành trái (xem [7]) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, đến năm 2006, S K Jain, S Al-Hazmi Husain, và N Alahmadi Adel đã phát triển thêm tính đối xứng cho vành nguyên tố không suy biến phải, CS phải, có chiều đều vô hạn

với iđêan phải đều, và đã chỉ ra rằng, một vành nguyên tố phải R với chiều đều phải ít nhất là 2, R là CS-vành không suy biến phải, cực đại và cực tiểu phải với iđêan phải đều nếu và chỉ nếu R là CS-vành trái, cực đại và cực tiểu

trái với iđêan trái đều Trên tinh thần đó, mục đích của luận văn này cũng tập trung nghiên cứu về tính đối xứng phải của vành không suy biến Toàn bộ nội dung chính của luận văn là dựa trên bài báo “Right-left symmetry of right nonsingular right max-min CS prime rings” của S K Jain, S Al-Hazmi Husain và N Alahmadi Adel đăng 2006 (xem [8]) để trình bày một cách chi tiết về tính đối xứng phải của vành không suy biến

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 trình bày một số khái niệm của lý thuyết môđun và lý thuyết vành nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2 trình bày các kết quả trong bài báo [8] của S K Jain, S Hazmi Husain và N Alahmadi Adel Cụ thể là chúng tôi sẽ trình bày những vấn đề sau

Al-2.1 Môđun suy biến, môđun không suy biến

2.2 Vành suy biến, vành không suy biến

2.3 Tính đối xứng phải của vành không suy biến

Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS Ngô Sỹ Tùng - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả cảm ơn các thầy, cô giáo trong Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn cho chúng tôi học tập và nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tập và nghiên cứu theo chương trình liên kết đào tạo sau đại học giữa hai Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn

Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, nhưng chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót Rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của quí thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Thảo

r Linh hóa tử phải của x

( ) Linh hóa tử trái của x

)

(M

J(R) Căn Jacobson của vành R

ACC Điều kiện xích tăng

DCC Điều kiện xích giảm

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong suốt luận văn, vành R luôn được giả thiết là một vành kết hợp, có

đơn vị, các môđun trên một vành luôn được hiểu là môđun phải unita (nếu không nói gì thêm) Chương này trình bày một số những định nghĩa và kết quả cơ bản có liên quan đến luận văn

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu, môđun con đóng

1.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R môđun và N là môđun con của M Môđun con N được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M và kí hiệu là N * Mnếu với mọi môđun K  M , K  thì 0 NK 0

Nếu N * M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N

1.1.2 Bổ đề Cho A, B, C là các môđun con của M Khi đó :

(i) Nếu A BC thì A* M kéo theo B*C

(ii) Nếu A i *M , i = 1,2,…,n thì *

1

n i i





(iii) Nếu :M  N là đồng cấu môđun và B* N thì 1( )B *M

Chứng minh (i) Giả sử E là môđun con khác không của C, thế thì E cũng là

môđun con của M và EA 0 EB0 Điều này chứng tỏ B*C

(ii) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n Với n =1, mệnh đề đúng

theo giả thiết Giả sử mệnh đề đúng với n – 1, tức là 1 *

1

n i i



Bây giờ giả sử E  là một môđun con của M Do 0 A cốt yếu trong M n

nên A nE 0 Vì A cốt yếu trong M nên A(A nE) 0 AA n*M

(iii) Giả sử E là môđun con của M và E1( )B 0 Khi đó B( )E 0 và

vì vậy ( ) E  do 0 B* N Từ đó EKer   1( )B EE1( )B 0 Điều này chứng tỏ 1( )B *M 

1.1.3 Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong

M nếu với mỗi môđun con EM ta đều có A E M (một cách tương

đương, nếu A E M thì EM ) Khi đó ta kí hiệu A0 M

1.1.4 Ví dụ

 Đối với mỗi môđun M ta đều có 00 M

 Trong  -môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu

1.1.5 Bổ đề Cho A, B, C là các môđun con của M Khi đó :

(i) Nếu ABC thì B0C kéo theo A0M

(ii) Nếu A i 0M , i = 1,2, ,n 0

1

n i

i A M



(iii) Nếu  : M N là đồng cấu môđun và A0 M thì ( )A 0 N

Chứng minh (i) Giả sử D là môđun con trong M sao cho A D M Khi đó

BDM và theo luật môđula ta có (DC)B(D B )CM CC

Do B0C nên D C C Do đó CD Nên M A D D, chứng tỏ 0

A M

(ii) Ta tiến hành quy nạp theo n Với n =1 mệnh đề đúng do giả thiết

Giả sử ta đã chứng minh được AA2 A n0 M Bây giờ giả sử D

là môđun con của M sao cho (A1A)DM Khi đó, do A10 M nên

A D M Lại do A0M nên DM , điều này chứng tỏ A1A0 M Do

(iii) Giả sử ( )A DN , với D là môđun con của môđun N Ta chứng tỏ

1.1.8 Định nghĩa Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có

mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N *K thì K=N

1.1.9 Định nghĩa Môđun con X của M được gọi là bao đóng của U trong M

nếu U * X và X đóng trong M

1.1.10 Mệnh đề Bao đóng của một môđun con trong môđun M luôn tồn tại

Chứng minh Thật vậy, cho H M Ta chứng minh luôn tồn tại bao đóng của

giả thiết tính tối đại của K Do đó BK 

1.1.11 Hệ quả i) Nếu A là môđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của

1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh

1.2.1 Định nghĩa (i)Một R-môđun M được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng

cấu f A: M và với mỗi đơn cấu :g AB của những môđun trên R tồn tại

một đồng cấu h B: M sao cho h.g=f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

(ii) Một R-môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f M: B và với mỗi toàn cấu g A: B của những môđun trên R tồn tại một đồng cấu

1.2.2 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi

đồng cấu f A: M và với mỗi đơn cấu g A:  N với A là một môđun trên

R đều tồn tại một đồng cấu h N: M sao cho h.g=f, nghĩa là biểu đồ sau

giao hoán

(ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f M: B

và với mỗi toàn cấu g N: B với B là một môđun trên R đều tồn tại một

đồng cấu h M: N sao cho g.h=f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

1.2.3 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu nó là M-nội

xạ

(ii) Một R-môđun M được gọi là tựa xạ ảnh nếu nó là M-xạ ảnh

1.2.4 Mệnh đề Mỗi môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các tính chất sau:

( C ) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử của M 1

( C ) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử của M thì A là một 2

  Khi đó, ta có f M( )M Giả sử x M (f  f M)( ), tồn tại

yM sao cho x(f  f)( )y  f y( ) f y( ), suy ra f y( ) x f y( )M, do

đó yX Ta có x f y( ) f y( ) f y( ) f y( ) 0 nên M(f  f)(M)0

Vì M * E M( ), M(f  f)(M)0 nên (f  f)(M) hay (0 f M) f M( )

mà f M( )M cho nên f M( )M Ta có E M( )E1E2 với E1E N( )

Vì (f M)M với mọi f End E M( ( )) nên M M E1M E2 Gọi U là

môđun con khác không của M E1, ta có U là môđun con của E , mà 1

*

1

N E nên NU 0, do đó N*ME1 Vậy (C ) đã được chứng minh 1

(C ) Giả sử A2 M và AM' với M’ là một hạng tử trực tiếp của M, khi đó

tồn tại đơn cấu f M: 'M sao cho Imf  A Vì M là tựa nội xạ, M’ là hạng

tử trực tiếp của M nên M’ là M-nội xạ, suy ra tồn tại đồng cấu g M: M 'sao cho

1.3 Môđun đều

1.3.1 Định nghĩa. Cho R là vành, một R-môđun U được gọi là đều nếu U 0

và AB 0đối với mọi môđun con khác không A, B của U Nói khác đi U là

môđun đều nếu U 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U

1.3.3 Mệnh đề Nếu M là một môđun con khác không, không chứa tổng trực

tiếp vô hạn các môđun con khác không thì M chứa môđun con đều

Chứng minh Nếu M là môđun con đều, chứng minh xong

Nếu M không là môđun con đều Khi đó tồn tại 0U U1, M mà

U U  suy ra (U1U)M

Nếu U là môđun đều, chứng minh xong 1

Nếu U không là môđun đều, khi đó tồn tại 1 V V1, 2U V V1, ,1 2 , mà 0

1 2 0

V V  suy ra (V1V2)U1, suy ra tồn tại (V1V2U)M Quá trình

này tiếp tục, do M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác

không, nên quá trình trên phải dừng lại sau hữu hạn bước Vậy tồn tại môđun

k

U đều 

1.4 Chiều đều

1.4.1 Định nghĩa. Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều hữu hạn

nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong

M, M được gọi là có chiều đều vô hạn trong trường hợp ngược lại

Nếu M có chiều đều hữu hạn thì ta có sự tồn tại của một số hữu hạn bé nhất n sao cho M không chứa một tổng trực tiếp có nhiều hơn n môđun con khác không Khi đó, số n được gọi là chiều đều của M Kí hiệu

n M

1.4.2 Mệnh đề (i) Nếu dim M   thì dim A   với mọi A là môđun con

của M

(ii) Nếu A, B là các môđun con của M và tồn tại AB với dim( AB) 

thì dim(AB) dim AdimB

Chứng minh (i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác

không Do AM nên suy ra M chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không Vậy M có chiều đều vô hạn Mâu thuẫn với giả thiết dim M  

Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không, hay

dim A   , với mọi A là môđun con của M

(ii) Do A B, (AB), theo giả thiết dim(AB)  , nên từ (i), dim A  ,

dim B   Đặt dim A n  , dim Bm Do vậy trong A tồn tại *

1

n i

i U A



  , và

Vậy dim(AB) n mdimAdimB 

1.5 Môđun đơn, căn và đế

1.5.1 Định nghĩa. Môđun S được gọi là đơn nếu S 0 và không có môđun con thực sự

1.5.2 Định nghĩa. Với mỗi môđun M, ký hiệu Soc (M) là tổng tất cả các

môđun con đơn của M và gọi là đế của môđun M Nếu M không có môđun

con đơn thì quy ước Soc(M)0

Đế của môđun M cũng là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M

1.5.3 Định nghĩa Với mỗi môđun M, ký hiệu Rad(M) là giao của tất cả các

môđun con tối đại của M là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun

M Nếu M không có môđun con tối đại thì ta quy ước Rad(M) = M

Đặc biệt chúng ta đã biết Rad R( R)Rad(R R)J R( ) do đó không sợ

nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là Radical của R

1.6 Linh hóa tử

(1) Cho M là một R-môđun phải và m  M

Tập hợp r m R( ) { rR mr0} được gọi là linh hóa tử của phần tử m,

và được viết gọn là r(m), và r M R( ) { rR mr0, m M} được gọi là linh

hóa tử của môđun M, viết gọn là r(M)

Một môđun M được gọi là trung thành nếu r(M)=0

(2) Cho R là một vành nào đó và S là tập con khác rỗng của vành R (a) Linh hóa tử phải của S trong R là r(S){xR sx0,sS}

(b) Linh hóa tử trái của S trong R là l(S){xR xs0,sS}

Nếu tập S chỉ gồm một phần tử s  ta viết R r (s) hoặc l (s) tương ứng

1.7 Phần tử lũy đẳng

1.7.1 Định nghĩa Cho vành R Phần tử e được gọi là phần tử lũy đẳng trong

R nếu e 2 e

1.7.2 Tính chất Nếu e lũy đẳng thì 1e lũy đẳng

1.7.3 Định nghĩa Hai phần tử e, f được gọi là lũy đẳng trực giao nếu e 2 e,

1.7.5 Định nghĩa. Một iđêan phải (trái) của vành R được gọi là iđêan nguyên

thủy nếu nó có dạng eR (tương ứng Re) với mọi lũy đẳng nguyên thủy e R

1.7.6 Bổ đề Giả sử e, f là các lũy đẳng của vành R Các phát biểu sau là

1.8 CS-môđun, CS-vành

1.8.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là CS-môđun nếu mọi môđun con của

M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, tức là A  M sao choA* X , X  M

Hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của môđun M

1.8.2 Định lý Cho M là một R-môđun Khi đó các điều kiện sau là tương

(i)  (ii) Giả sử N là một môđun con của M Vì M là CS-môđun nên N cốt

yếu trong một hạng tử M của M Do đó ta có sự phân tích 1 M M1M2

sao cho N * M1 mà M 2 * M2 nên N M2 * M

(ii)  (iii) Giả sử N là một môđun con đóng của M, ta có sự phân tích

Vì N M2* M nên U = 0, suy ra N * M1 Mà N là môđun con

đóng của M nên N= M hay N là một hạng tử của M 1

(iii)  (i) Giả sử N là một môđun con của M Gọi B là tập hợp các mở rộng cốt yếu của N trong M Vì N  nên B khác rỗng, mặt khác mọi bộ phận sắp B

thứ tự theo quan hệ bao hàm của B đều có cận trên, nên theo bổ đề Zorn, B có

phần tử tối đại là M Gọi K là một mở rộng cốt yếu của 1 M , ta có 1 N *M1,

1

*

M  K nên N *K hay KB Do tính tối đại của M trong B nên 1

1

KM , hay M là môđun con đóng của M, vì vậy 1 M là một hạng tử trực 1

tiếp của M, do đó M là CS-môđun  1

1.8.3 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của CS-môđun là CS-môđun

Chứng minh Giả sử M là CS-môđun và M PQ , ta sẽ chứng minh P là

AP suy ra A là hạng tử trực tiếp của P 

1.8.4 Bổ đề Giả sử M là CS-môđun và có chiều đều hữu hạn Khi đó M phân

tích được thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều

Chứng minh Vì M là chiều đều hữu hạn nên tồn tại môđun U là môđun con 1

đều của M Gọi X là bao đóng của 1 U trong M Giả sử 1 X không là môđun 1

đều suy ra tồn tại A B, X A B1, , 0,AB0

Do U1* X U1, 1A0,U1B0

Do AB 0 (U1A)(U1B) 0 U1 không là môđun đều Điều này mâu thuẫn

Vậy X là môđun đều 1

Vì M là CS-môđun và X là bao đóng của 1 U1

Do M là CS-môđun và có chiều đều hữu hạn nên M cũng là CS-môđun 1

và có chiều đều hữu hạn

Lí luận như trên đối với M , ta có 1 M1X2M2, trong đó X là 2

môđun con đều và đóng của M và 1 M là CS-môđun và có chiều đều hữu 2

hạn Khi đó ta có M X1X2M2

Lại tiếp tục lí luận như trên ta được M X1X2 X nM n (trong

đó X i, i 1, 2, ,n là môđun đều và đóng trong M) Do M là chiều đều hữu hạn nên quá trình đó phải dừng sau hữu hạn bước Nghĩa là tồn tại n để

0

n

M  và do đó M X1X2 X n (trong đó X i, i 1, 2, ,n là môđun

đều và đóng trong M) 

1.8.5 Định nghĩa Một R-môđun M được gọi là CS-môđun tối tiểu nếu mọi

môđun con đóng tối tiểu của M là một tổng trực tiếp của M

Một R-môđun M được gọi là CS-môđun tối đại nếu mọi môđun con đóng tối đại của M với linh hóa tử khác không là một tổng trực tiếp của M

1.8.6 Bổ đề Cho M là một R-môđun phải không phân tích được với một

môđun con đều Nếu M là CS-môđun tối tiểu thì M là môđun đều

Chứng minh Vì M chứa một môđun con đều, M chứa một môđun con đóng,

tối tiểu Mà M là CS-môđun tối tiểu không phân tích được nên M là R-môđun

phải đều 