Sự suy biến đại số của các ánh xạ giải tích trên trường không acsimet

HỒ CHÍ MINH Trần Phạm Vân Hiển SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Chuyên ngành : Hình học và tô pô... LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Thạc s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trần Phạm Vân Hiển

SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ

GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Chuyên ngành : Hình học và tô pô

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “Sự suy biến Đại số của

các ánh xạ giải tích trên trường không Acsimet” do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn

của TS Nguyễn Trọng Hoà, không sao chép của bất cứ ai Nội dung của luận văn có

tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê

trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận

văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016

Học viên thực hiện

Trần Phạm Vân Hiển

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí

Minh và sự đồng ý của Thầy hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Trọng Hòa, tôi đã thực

hiện đề tài luận văn tốt nghiệp “Sự suy biến Đại số của các ánh xạ giải tích trên

trường không Acsimet”

Để hoàn thành đề tài này, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình

hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học, TS Nguyễn Trọng Hòa, đã

tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá trình làm luận văn

Mặc dù đã cố gắng để thực hiện tốt đề tài này, song do buổi đầu mới làm quen

với công tác nghiên cứu khoa học cũng như sự hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm

nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được Tôi rất

mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô giáo và các bạn đồng nghiệp để khóa luận

được hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Học viên thực hiện

Trần Phạm Vân Hiển

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Trường không Acsimet 3

1.2 Trường số p-adic 5

1.3 Hàm giải tích, hàm phân hình trên trường không Acsimet 7

1.4 Đường cong chỉnh hình 13

Chương 2 ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 20

2.1 Các hàm giải tích p-adic 20

2.2 Các ánh xạ giải tích từ p vào P n 25

2.2.1 Các ánh xạ giải tích khuyết siêu phẳng 25

2.2.2 Ánh xạ nâng vào n P 30

2.2.3 Đa tạp Fermat 31

Chương 3 SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 37

3.1 Các ánh xạ giải tích trên trường không Acsimet đến các đa tạp nữa Abel 37

3.2 Sự suy biến đại số của các ánh xạ giải tích trên trường không Acsimet bỏ đi đủ nhiều ước số 41

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

Dufresnoy (1944) đã chứng minh, một ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức

mà bỏ đi n k siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh P n phải được chứa trong một không gian con tuyến tính có chiều nhiều nhất là n k/ Noguchi và Winkelmann tổng quát hóa kết quả này bằng cách chỉ ra rằng một đường cong chỉnh hình trong đa tạp xạ ảnh tùy ý (tổng quát là đa tạp Kahler compac) bỏ đi đủ nhiều siêu phẳng bất khả quy tương đối với hạng của nhóm tổng quát các lớp đối đồng đều của chúng phải là suy biến đại số Điều này làm cho định lý Dufresnoy được cụ thể hơn bởi hạng của nhóm Néron-Severi Kết quả của Noguchi và Winkelmann được phát biểu chính xác như sau:

Định lý (Noguchi/Winkelmann)

Cho M là một đa tạp Kahler compac có số chiều m Cho  l 1

i i

D  là l siêu mặt bất khả quy ở vị trí tổng quát Gọi r là hạng của nhóm tổng quát sinh bởi  1   1

Ở đây, c là kí hiệu của lớp Chern đầu tiên, và chỉ số không chính quy q là số 1

chiều của không gian chỉnh hình các 1-dạng trong giải kỳ dị của W, đó chính là số chiều của đa tạp Abel Khi điểm bất thường vượt quá số chiều, Bloch đã chứng minh mọi đường cong chỉnh hình là suy biến đại số bằng cách chỉ ra ảnh của nó trong đa tạp Abel là suy biến Điều đó đã được mở rộng bởi Noguchi (và bởi Noguchi và Winkelmann trong trường hợp không đại số Kahler) để kết luận rằng một ánh xạ chỉnh

hình từ bỏ đi một ước số hữu hiệu D là loga không chính quy đối với D , nghĩa là,

số chiều của không gian loga các 1-dạng với cực điểm dọc theo D , là vượt quá số

chiều

Trên trường không Acsimet, một sự tương tự với định lý của Bloch được chứng minh bởi Cherry Môđun cấu trúc chuẩn của đa tạp Abel và đa tạp Picard là vấn đề tiếp theo để kết luận tương tự kết quả của suy biến đại số trong trường hợp phức Trên cơ sở đó, chúng tôi chọn Sự suy biến Đại số của các ánh xạ giải tích trên trường không Acsimet làm đề tài cho Luận văn Thạc sỹ của mình Nội dung chính của

đề tài được tham khảo trong bài báo của các tác giả T T H An, Cherry W., Wang J

T Y (2008), Agebraic degeneracy of Non – Archimedean analytic maps [1]

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các kiến thức trong chương này được tham khảo trong tài liệu của tác giả Hu P C.,

Yang C C., Meromorphic functions over Non – Archimedean fields [7]

Chúng ta kí hiệu các trường số phức, trường số thực và trường số hữu tỉ lần lượt là ,

và Và gọi là vành số nguyên Nếu  là một tập con của , ta viết

x |x 0

    ,   x |x0 Với a b, , ab, ta cũng viết

     Cho  là trường và kí hiệu nhóm nhân  \ 0  bởi *

Khi đó  được gọi là trường Acsimet

Nếu ta thay điều kiện 3) bởi

4) x y maxx y,  với mọi x y, 

thì  được gọi là trường không Acsimet

Cho  là trường cùng với một giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối được gọi là tầm thường nếu

điểm x, ta định nghĩa quả cầu mở và quả cầu đóng bán kính r tâm tại x như sau:

là hai giá trị tuyệt đối tương đương;

2) x11 nếu và chỉ nếu x2 1 với bất kì x;

3) Tồn tại số thực  dương sao cho với mỗi x, ta có x1  x2

Với một số thực hằng p1, hàm v :    được định nghĩa bởi

  log : *

p p

với logp là hàm logarit thực tại p và có tên là giá trị liên kết tới giá trị tuyệt đối

Định lý 1.1.3 Cho  là một trường với hai giá trị tuyệt đối có các giá trị liên kết lần lượt là v và w Hai giá trị tuyệt đối là tương đương nếu và chỉ nếu tồn tại >0 sao cho vw

giá trị liên kết v của nó thỏa các điều kiện sau:

a và kí hiệu là v p a Do đó ta thu được hàm

p-Cho  là một trường số, phép nhúng  :  sẽ cảm sinh một giá trị tuyệt đối trong

 từ giá trị tuyệt đối trong

Các giá trị tuyệt đối đó được gọi là vô cực và được kí hiệu là , và hiển nhiên nó là Acsimet

đều tương đương với một trong các giá trị tuyệt đối

p , với p là số nguyên tố hoặc

p, sao cho:

1) Tồn tại một phép lồng  p, và giá trị tuyệt đối cảm sinh bởi

p trong qua phép lồng là giá trị tuyệt đối p-adic, chúng ta sẽ đồng nhất với ảnh của

p dưới là như nhau, và nó bằng với tập hợp p n|n   0

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng giá trị tuyệt đối p-adic trong p có thể được mở rộng đến một đại số bao đóng p của p Thật vậy, lấy bất kì x p thì x nằm trong mở rộng hữu hạn p x , và do đó ta có thể định nghĩa x bằng cách sử dụng mở rộng p

duy nhất của giá trị tuyệt đối p-adic đến p x Vì vậy ta thu được hàm

: p  

là mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic trong p, và ta chứng minh được hàm này là giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối duy nhất trong p cũng được gọi là giá trị tuyệt đối p-adic Tuy nhiên, p không đầy đủ đối với giá trị tuyệt đối p-adic

Mở rộng của p liên hệ với tôpô cảm sinh bởi p là một trường được kí hiệu là p,

và giá trị tuyệt đối p trong p mở rộng đến giá trị tuyệt đối không Acsimet trong

p, cũng được kí hiệu là

p, sao cho 1) Tồn tại một phép lồng p  p, và giá trị tuyệt đối cảm sinh bởi

p trong pqua phép lồng là giá trị tuyệt đối p-adic, chúng ta sẽ đồng nhất p với ảnh của

Cho  là một trường đại số đóng của trường đặc số không, đầy đủ với một giá trị tuyệt đối không Acsimet không tầm thường

Định nghĩa 1.3.1 Cho U là một tập mở Hàm f U:  là liên tục tại z0U nếu với mỗi  0, tồn tại  0 sao cho với mỗi z z0, , ta có

   0

f z  f z 

Hàm f khả vi tại z nếu giới hạn 0

   0   0 0

tồn tại, và nó khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm trên U

Định lý 1.3.2 Một dãy  a n trên là một dãy Cauchy, và vì vậy hội tụ, nếu và chỉ nếu nó thỏa

Ta đã biết chuỗi

0

n n a





 hội tụ nếu và chỉ nếu  S n hội tụ, nếu và chỉ nếu  S n là dãy Cauchy, nếu và chỉ nếu dãy S nS n1a n hội tụ bằng cách áp dụng định lý 3.2  Xét chuỗi lũy thừa

n

n n a

Nếu  0 (tương tự   ) thì chuỗi hội tụ duy nhất tại z0(tương tự ) Nếu

0   , chuỗi hội tụ nếu z  và phân kì nếu z 

 

 



hội tụ và tổng của chúng là bằng nhau

Định lý 1.3.5 Cho một chuỗi lũy thừa

   0

0

n n

với điểm   \ z 0 Nếu f   hội tụ thì

1) Chuỗi b hội tụ với mỗi n , vì vậy b được định nghĩa tốt;

2) Chuỗi lũy thừa f z và   g z có cùng miền hội tụ, từ đó,   f z hội tụ nếu và  

j j

j n n j

j n

j n n j

n n

Định nghĩa 1.3.6 Cho D là một tập vô hạn trên  và gọi R D là tập hợp của các  

hàm hữu tỉ h z  z không có cực điểm trên D Với mỗi hR D , ta đặt

 sup

Kí hiệu H D là tính đầy đủ của   R D cho tôpô của sự hội tụ đều trong D Các  

phần tử của H D được gọi là các phần tử giải tích trong D  

Định nghĩa 1.3.6 là một khái niệm của giải tích không Acsimet toàn cục Các phần tử giải tích của H D được gọi là các hàm giải tích toàn cục trong D Hiển nhiên,  

 

H D là một không gian  -véctơ, và mỗi f H D  định nghĩa một hàm trong D ,

f là giới hạn đều của một dãy  h n n1 của R D trong D Nếu D đóng và bị chặn  

thì tích của hai hàm giải tích toàn cục trong D là một hàm giải tích toàn cục trong D Cho hai tập hợp vô hạn D và D với DD, khi đó hạn chế tới D của các phần tử

của H D  thuộc về H D  

gọi là giải tích địa phương nếu với mỗi aD , tồn tại r  và a n sao cho

0

n n

Kí hiệu Hol D là tập các hàm giải tích địa phương trong D  

Giả sử f giải tích địa phương trên D Lấy z0D và r  sao cho  z r0, D Khi đó f được phân tích thành chuỗi lũy thừa dạng

0

n n

q sao cho a n 0 với mỗi nq và a q 0 Số q được gọi là bội số của z , và 0 z 0được gọi là điểm không của bội số q Do đó, f có thể được phân tích thành

   0  q    0

f z  zz g z g z  ,

với g là chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ là cận trên hoặc bằng với r Chú ý rằng g

liên tục trên   z r0, Nếu g z 0 0, tính liên tục của g chỉ ra rằng z là một không - 0

điểm cô lập của f

 :

f D  được gọi là phân hình toàn cục nếu tồn tại (vô hạn hoặc hữu hạn) một tập con có thể đếm được S của D sao cho S không có điểm giới hạn trên D , và sao cho f là một phần tử giải tích của F D S \  Ta kí hiệu M D là tập các hàm  

phân hình toàn cục trong D

 :

f D  được gọi là phân hình địa phương nếu với mỗi aD , tồn tại

Ta kí hiệu Mer D là tập các hàm phân hình địa phương trong D  

Theo định nghĩa 1.3.9, nếu aq 0 với q0 thì ta nói f có cực điểm của bội số q tại a Hiển nhiên, tất cả các cực điểm của f là các điểm cô lập

Định nghĩa 1.3.10 Giả sử tập con D là mở Hàm f D:  được gọi là giải tích tại một điểm aD nếu tồn tại     và a n sao cho a, D , nhưng  a,\D  với    nào đó, và sao cho

0

n n

Đĩa a, trong định nghĩa trên được gọi là đĩa chỉnh hình cực đại của f tại a Và

ta chứng minh được H(D)H(D) Hol(D)

Trường các phân số của H(D) sẽ được kí hiệu là M D Một phần tử   f trên tập hợp

 

M D sẽ được gọi là hàm phân hình trong D Nếu f không có cực điểm thì f cũng

được gọi là chỉnh hình

Đầu tiên ta sẽ nhắc lại một số khái niệm cần sử dụng

Xét chuỗi lũy thừa

 

0

n n n

10,

i i

Định nghĩa hàm xấp xỷ m như sau

 ,  log  ,  max 0,log  ,  

Định nghĩa 1.4.3 Lấy f iM(  i1, ,k Với r0 ta có

 

1 1

k

i k i

i i

Bây giờ ta sẽ nói về đường cong chỉnh hình

Cho  là một trường số với giá trị tuyệt đối không tầm thường Gọi V là không gian véctơ có số chiều hữu hạn n 1 0 trên  P V V /* là không gian xạ ảnh

và gọi P V: \ 0 P V  là phép chiếu chuẩn tắc Nếu S V, ta viết

   *

P S P S V , V* V \ 0  Không gian véctơ đối ngẫu *

V của V bao gồm các  - hàm tuyến tính :V , và

ta gọi

 ,

P V là các tham số hóa song ánh các siêu phẳng trên P V  

Gọi ee0, ,e n là cơ sở của V, lấy   0 0e   n n e V, ta định nghĩa chuẩn

Hiển nhiên chuẩn này phụ thuộc vào cơ sở e , và sẽ được gọi là chuẩn trên cơ sở e

Nếu e là một cái chuẩn khác trên cơ sở e e0, ,e n thì ta chứng minh được

e e e

c    c

với mọi V, nghĩa là, các chuẩn trên các cơ sở là tương đương

Gọi   0, ,n là cơ sở đối ngẫu của cơ sở ee0, ,e n Khi đó chuẩn trong V

cảm sinh một chuẩn trong V* định nghĩa bởi

Gọi  là trường đại số đóng của trường đặc số không, đầy đủ với giá trị tuyệt đối không tầm thường không Acsimet Gọi V là không gian véctơ định chuẩn có số chiều n 1 0 trên  và kí hiệu là chuẩn qua cơ sở ee0, ,e n của V Ta định

nghĩa đường cong chỉnh hình

 :

sao cho f0, ,f không có nhân tử chung không tầm thường trên vành của các hàm n

nguyên trong  và không phải tất cả f đồng nhất không Ở đây i

được định nghĩa với mọi r0, sai khác một đại lượng bị chặn O 1

1) f là hằng nếu và chỉ nếu T r f , ologr

2) f là hữu tỉ nếu và chỉ nếu T r f , Ologr

3) f là khác hằng nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số c và A  sao cho

Vậy  2 được chứng minh

Nếu f là hằng thì T r f cũng là hằng Do đó  ,   3 sẽ suy ra  1 Để chứng minh  3, lấy f là hằng Khi đó có ít nhất một hàm f , giả sử là f , có điểm không Vì vậy

r

T r f r

Cho f : P V  là một đường cong chỉnh hình và gọi f  f e0 0  f e n n: V

là biểu diễn giảm của f Khi đó

biến tuyến tính nếu f   Ë a  với mọi  *

aP V

nếu định thức Wronski We f,  của biểu diễn giảm f của f trên cơ sở e là đồng

nhất không

Mở rộng Wf0, , f l1 bởi cột cuối cùng cho ta một phương trình vi phân thuần nhất

bậc l1, được thõa mãn bởi f l1 Hiển nhiên, phương trình vi phân tương tự cũng

được thỏa mãn bởi f0, ,f Theo định lý 4.27 [7], l f0, ,f l1 là phụ thuộc tuyến

tính Do đó, f   phải nằm hoàn toàn trong không gian con của V, và vì vậy f suy

Chương 2 ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Các kiến thức trong chương này được tham khảo trong tài liệu của tác giả Cherry W

(1993), Hyperbolic p-adic Analytic Spaces, PhD Thesis [4]

Trong phần này, chúng ta sẽ nói về các định lý cơ bản của các hàm giải tích được định nghĩa trên p Cho p là giá trị p-adic chuẩn tắc trong , chuẩn hóa để p p  p1 Gọi p là mở rộng đầy đủ của thõa chuẩn p, và gọi p là mở rộng đại số đóng đầy đủ của p Khi đó p cũng là đại số đóng Ta cũng sẽ sử dụng p để kí hiệu cho chuẩn trong p, đó chính là mở rộng chuẩn p trong Gọi

  logp

p

v z   z , đặt biệt v p 1

Với  ,   , , ta gọi

 , x p|v x 

  , x p|v x  Gọi

là kí hiệu cho các phần tử trên p , đôi khi chúng ta cũng gọi nó là mặt p-adic thủng

Một ánh xạ giải tích f trong  ,  được định nghĩa bởi chuỗi Laurent

k k

hay theo nghĩa khác, sao cho

Thông thường thì k f ,K f ,, và nếu k f ,K f , và Conv f  thì

 được gọi là điểm tới hạn Chú ý rằng nếu f z 0 0 thì v z 0 phải là điểm tới hạn của f Mệnh đề sau đây sẽ tổng quát các tính chất quan trọng của các hàm k f ,

và K f ,

Mệnh đề 2.1.1

i) Các hàm k f , và K f , là không tăng với Conv f 

ii) Lấy Conv f  Khi đó tồn tại 1 0 sao cho nếu   1   và

 

Conv f

 thì k f ,K f ,K f ,; và tồn tại 2 0 sao cho nếu       2 và Conv f  thì K f ,k f ,k f ,

iii) Hàm k f , là nữa liên tục phải và hàm K f , là nữa liên tục trái

iv) Mỗi khoảng compac trong Conv f chỉ chứa hữu hạn nhiều các cực điểm  Các cực điểm chính xác là các điểm mà ở đó độ dốc của chuẩn đa giác thay đổi Định

lý tiếp theo sẽ chỉ ra số lượng các điểm không, kể cả bội, của f nằm tại một cực điểm chính là sự thay đổi độ dốc của chuẩn đa giác tại cực điểm đó

Định lý 2.1.2 Cho f là chuỗi Laurent và Conv f  là một cực điểm Gọi

 ,   , 

sK f  k f  Khi đó tồn tại duy nhất cặp P g sao cho P là đa thức bậc , 

s thỏa P 0 1, k P ,0, K P ,s , và sao cho g là chuỗi Laurent thỏa

 

Conv g

 và f Pg Hơn nữa, Conv g Conv f  và k g ,K g , Định lý được chứng minh bằng sự xấp xỉ liên tục của P và g bằng cách lặp lại thuật

toán ước số Euclide cho chuỗi Laurent

Hệ quả 2.1.3 Chuỗi Laurent với một điểm tới hạn thì có một điểm không

Theo định lý ở trên, ta thấy rằng nếu f là một hàm giải tích trong p mà không phải

là đa thức thì f có một điểm không, và thật ra, có vô hạn nhiều điểm không Tương

tự, một hàm giải tích trong p mà không phải đại số, nghĩa là f không thể biểu diễn

được dưới dạng z và 1

z , thì có vô hạn nhiều điểm không Điều này dẫn đến mệnh đề sau