Một số lớp phương trình parabolic suy biến với nguồn logarit tính chất bùng nổ, nghiệm toàn cục và tính chất tắt dần

Vấn đề liên quan đến tính chất tồn tại toàn cục hay không tồn tại toàncục bùng nổ cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng cũng nhậnđược sự quan tâm nghiên cứu trong một thời gian d

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ CÔNG NHÀN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY

BIẾN VỚI NGUỒN LOGARIT:

TÍNH CHẤT BÙNG NỔ, NGHIỆM TOÀN CỤC VÀ

TÍNH CHẤT TẮT DẦN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP Hồ Chí Minh - Năm 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ CÔNG NHÀN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY

BIẾN VỚI NGUỒN LOGARIT:

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS TS Lê Xuân Trường

2 TS Huỳnh Quang Vũ

TP Hồ Chí Minh - Năm 2019

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả luận án

Lê Công Nhàn

L ỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Xuân Trường

và TS Huỳnh Quang Vũ vì đã giới thiệu đề tài, gợi ý cho tôi nhiều vấn đề

và ý tưởng mới, góp phần quan trọng hình thành nên luận án cũng như tậntình giúp đỡ tôi về nhiều mặt trong nghiên cứu khoa học và cả trong cuộcsống

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thành viên trong nhóm nar đã đọc và đưa ra nhiều ý kiến hữu ích giúp tôi hoàn thành luận án Tôixin chân thành cảm ơn các tác giả của các bài báo mà tôi đã trích dẫn, nhờcác công trình của họ mà tôi có thể định hướng giải quyết các vấn đề trongluận án của mình Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Viện nghiên cứu caocấp về Toán đã tạo điều kiện cho tôi có thời gian làm việc và hoàn thànhluận án này trong thời gian làm việc ở Viện

semi-Tôi xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học là thành viên trong các Hộiđồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Cơ sở đào tạo, là các chuyêngia phản biện độc lập và chính thức của luận án, về những nhận xét đánhgiá và bình luận quý báu cùng với những đề nghị quan trọng tạo điều kiện

để tôi hoàn thành tốt luận án

Tôi trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin học, Bộ môn ToánGiải tích và Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiênThành phố Hồ Chí Minh về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tôihọc tập và hoàn thành luận án

Qua luận án này tôi cũng bày tỏ lời cảm ơn đối với các đồng nghiệp thânthiết của tôi ở Bộ môn Toán, Trường Đại học An Giang và các đồng nghiệp

ở Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố

Hồ Chí Minh vì sự động viên giúp đỡ và chia sẻ của họ trong quá trình tôi

iiihoàn thành luận án.

Cuối cùng, tôi xin dành tất cả tình yêu thương cho gia đình, bạn bè vàngười thân của tôi, sự quan tâm và động viên của họ là động lực để tôi tiếptục học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án này

******************************

M ỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC v

DANH SÁCH KÝ HIỆU 1

TỔNG QUAN 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 16

1.1 Không gian Sobolev 16

1.2 Toán tử đơn điệu 21

1.3 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 22

1.4 Một số bất đẳng thức cơ bản 25

Chương 2 Phương trình parabolic chứa toán tử p-Laplace với thành phần phi tuyến dạng logarit 28

2.1 Giới thiệu 28

2.2 Potential well và các đặc trưng 31

2.3 Sự tồn tại nghiệm địa phương 39

2.4 Tính chất tồn tại toàn cục và tính tắt dần 44

2.4.1 Tính chất tồn tại toàn cục 45

2.4.2 Tính chất tắt dần 47

2.5 Tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn 49

Chương 3 Phương trình giả parabolic chứa toán tử p-Laplace với thành phần phi tuyến dạng logarit 54

3.1 Giới thiệu 54

3.2 Potential well và các đặc trưng 57

3.3 Nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục 62

3.4 Tính chất tắt dần của nghiệm toàn cục 68

3.4.1 Tính chất tồn tại toàn cục 69

3.4.2 Tính chất tắt dần 72

3.5 Tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn 75

Chương 4 Phương trình khuếch tán phi tuyến kép với thành phần phi tuyến dạng logarit 81

4.1 Giới thiệu 81

4.2 Potential well trong không gian hàm 84

4.3 Nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục 88

4.4 Tính chất tắt dần của nghiệm toàn cục 95

4.4.1 Tính chất tồn tại toàn cục 96

4.4.2 Tính chất tắt dần 97

4.5 Tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn 99

4.6 Trường hợp năng lượng đầu tới hạn 102

KẾT LUẬN 106

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 110

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

Các không gian hàm

X, X0 Không gian Banach X và đối ngẫu X0

h·,·i Tích đối ngẫu hoặc tích vô hướng trong L2(Ω)

C0(Ω) ≡ C(Ω) Không gian các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω

Cm(Ω) Không gian các hàm u ∈ C0(Ω)sao cho

Diu ∈ C0(Ω)với mọi i =1, 2, , m

Cm(Ω) Không gian các hàm u ∈ Cm(Ω)sao cho

Diubị chặn và liên tục đều trênΩ

m = 0Cm(Ω)

Cc∞(Ω) Không gian các hàm u ∈ C∞(Ω)có giá compắc

Lp = Lp(Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue u : Ω → R

kukp = RΩ|u(x)|pdx

1/p

< ∞, với 1≤ p< ∞

L∞ = L∞(Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn

hầu khắp nơi u : Ω → R với chuẩn

kukL∞ =ess sup

C([0, T]; X) Không gian các hàm liên tục u : [0, T] → X

với chuẩnkukC([0,T];X) = max0≤t≤Tku(t)kX < ∞

Lp(0, T; X) Không gian các hàm đo được u : [0, T] → X

sao cho với 1 ≤ p < ∞,kukLp ( 0,T;X ) = R0Tku(t)kpXdt1/p <∞,

vàkukL∞(0,T;X) = ess sup0≤t≤Tku(t)kX <∞

Để thấy được tầm quan trọng cũng như tính ứng dụng của các lớpphương trình (1), chúng tôi giới thiệu ở đây một vài trường hợp đặc biệt

mà ở đó các phương trình được nghiên cứu trong luận án xuất hiện Chẳnghạn khiP = I và A = ∇u, ta được phương trình truyền nhiệt

được dùng để mô tả quá trình truyền nhiệt, trong đó u := u(x, t) là nhiệt

độ tại x ∈ Ω và ở thời điểm t trong một phản ứng hóa học, f là nguồn nhiệtđược sinh ra do phản ứng (khi f > 0) và là nguồn nhiệt bị hấp thụ (khi

f < 0) Ngoài ra, phương trình (2) cũng được sử dụng trong các mô hình

về dân số, về cơ học chất lưu, v.v

KhiP = I vàA = ∇φ(u), ta được phương trình parabolic dạng

Phương trình (3) được sử dụng để mô tả mật độ dân số trong trường hợp

có dân di cư Trong đó φ là hàm được dùng để chỉ ảnh hưởng đám đông và

f (x, t, u) là đại lượng chỉ dân số thay đổi do tỉ lệ sinh và tử Chẳng hạn,

trong [51], Gurtin và MacCamy xét trường hợp φ(u) = |u|msign(u) với

m > 1 và f (x, t, u) = µu , với µ là hằng số Việc chọn nguồn f dựa vào một

số quy luật về tăng trưởng dân số như theo quy luật tăng trưởng dân sốcủa Malthus thì f (x, t, u) = µu , với µ > 0, theo luật tăng trưởng dân số củaVerhulst thì

trình (3) khi φ(u) = |u|msign(u) cũng được sử dụng để mô tả dòng chảy

qua môi trường xốp và được gọi là phương trình porous medium Chi tiết có

thể tham khảo [72, 106] và các trích dẫn trong đó

KhiP = I vàA = |∇u|p−2∇u, ta được phương trình tiến hóa p-Laplace

trong đó∆pu =div|∇u|p−2∇u, p >1 Đây là một trong những phươngtrình được nghiên cứu rộng rãi nhất trong lớp các phương trình khuếchtán với hệ số khuếch tán phụ thuộc vào gradient, chi tiết có thể tham khảo[27, 93] Phương trình (4) còn được sử dụng để mô tả các dòng chảy Newton

và phi Newton trong cơ học chất lưu Cụ thể, có hai trường hợp sau:

• Khi p =2 phương trình (4) mô tả dòng chảy Newton;

• Khi p 6= 2 phương trình (4) mô tả dòng chảy phi Newton Trong đó

|∇u|p−2 là độ nhớt của chất lưu: p > 2 mô tả dòng chảy nhớt và p < 2

mô tả dòng chảy không nhớt

Khi P = I và A = |∇um|p−2∇um, ta được phương trình khuyếch tánphi tuyến kép

ut−∆p(um) = f (x, t, u), (5)trong đó m > 0 và p > 1 Lớp các phương trình này là tổng quát củanhiều lớp phương trình chẳng hạn như phương trình nhiệt (p =2, m = 1),

phương trình porous media (p = 2) và phương trình p-Laplace (m = 1).Các lớp phương trình này bắt đầu được sự quan tâm nghiên cứu rộng rãi

kể từ sau bài báo của Kalashnikov [58] do các ứng dụng của nó trong cơhọc chất lưu, chi tiết xem [33, 68] và tài liệu tham khảo

KhiP = I−∆ và A = ∇u, ta được phương trình giả parabolic có dạng

ut−∆ut−∆u = f (x, t, u), (6)được sử dụng để mô tả quá trình truyền nhiệt gồm có hai dòng nhiệt độ[19], hay dòng chảy của chất lỏng qua hai môi trường khác nhau (dòngchảy hai pha) [12, 52, 77] Các ứng dụng khác có thể tìm thấy trong [9, 11]

và các trích dẫn trong đó

KhiP = I−∆ và A = ∇φ(u), ta được phương trình dạng

ut−∆ut−∆φ(u) = f (x, t, u) (7)Trong trường hợp f (x, t, u) ≡ 0, phương trình này đã được nghiên cứutrong bài báo [79] và trường hợp tổng quát của f (x, t, u)được nghiên cứubởi Padron [86] Phương trình (7) xuất phát từ mô hình dân số có khuynhhướng tạo thành các nhóm Trong đó u(x, t)là mật độ dân số tại vị trí x ∈ Ω

và thời điểm t ≥0; φ(u) = uϕ(u) với ϕ(u)là tốc độ di cư và f(u) = uσ(u) với σ(u)là dân số thay đổi do tỉ lệ sinh và tử theo mô hình logistic, chi tiết

có thể tham khảo [86]

KhiP = I−∆ và A = |∇u|p−2∇u, phương trình giả parabolic có dạng

ut−∆ut−∆pu = f (x, t, u) (8)Các phương trình dạng này xuất hiện từ nhiều mô hình trong vật lý, chi tiếtxem [8, 65] và các trích dẫn trong đó Đặc biệt là chuyên khảo của Al’shin,Korpusov và Sveshnikov [4]

Về mặt toán học, khi nghiên cứu các phương trình parabolic có dạng

∂tP (u) −divA (x, t, u,∇u) = F (x, t, u), (9)người ta thường quan tâm nghiên cứu các vấn đề sau:

(i) Sự tồn tại nghiệm địa phương hay tính chỉnh địa phương của bài toán.

Cụ thể hơn, với các giả thuyết thích hợp về tính trơn của P, A và Fchúng ta thu được tính chất tồn tại, duy nhất nghiệm và tính phụ thuộcliên tục của nghiệm theo dữ kiện đầu cho các bài toán Cauchy hoặc bàitoán biên–giá trị đầu trong khoảng thời gian 0 < t < T, với T >0 nào

đó Nghiệm tìm được trong trường hợp này thường được gọi là nghiệm địa phương

(ii) Vấn đề đặt ra tiếp theo là nghiệm địa phương này có tiếp tục tồn tạitheo thời gian hay không? Nếu nghiệm thỏa mãn một số điều kiện cầnthiết về tính trơn tiếp tục tồn tại liên tục theo biến thời gian thì ta nói

đây là nghiệm toàn cục Ngược lại, nếu tồn tại một thời gian T > 0 saocho ku(t)kX được xác định với 0 < t < T và không bị chặn khi t dầnđến T,

ku(t)kX → ∞ khi t → T,thì ta nói nghiệm u(t)bùng nổ trong không gian X tại thời gian T và T

được gọi là thời gian bùng nổ.

Các kết quả liên quan đến tính chỉnh địa phương của các phương trình đạohàm riêng cho đến nay đã được nghiên cứu một cách tương đối đầy đủ.Chẳng hạn xem Friedman [39], Ladyzhenskaya [67], Evans [34] cho các lớpphương trình parabolic, DiBenedetto [27, 28, 29] cho các lớp phương trìnhtiến hóa p-Laplace, Raviart [93], Kalashnikov [58] cho các lớp phương trìnhkhuếch tán phi tuyến kép, Showalter và Ting [96, 97], Brezis [13] cho cáclớp phương trình giả parabolic, v.v

Vấn đề liên quan đến tính chất tồn tại toàn cục hay không tồn tại toàncục (bùng nổ) cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng cũng nhậnđược sự quan tâm nghiên cứu trong một thời gian dài Trong đó tính chấtbùng nổ cho nghiệm của các phương trình sóng á tuyến tính được nghiêncứu đầu tiên vào những năm 1950 bởi Keller [62] và sau đó bởi John [57] và

Kato [61] cho lớp phương trình

utt = ∆u+|u|p−1u, p >1 (10)

Do luận án tập trung nghiên cứu các phương trình parabolic nên chúng tôikhông trình bày chi tiết về lớp phương trình này Một số vấn đề liên quanđến tính chất bùng nổ của nghiệm các phương trình hyperbolic có thể thamkhảo các bài báo [15, 16, 48, 49, 63, 64, 89, 98]

Đối với các lớp phương trình parabolic, tính chất bùng nổ của nghiệmcũng nhận được quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học như Fried-man, Ladyzhenskaya, Kaplan, Fujita, Levine, Galaktionov và một số tác giảkhác, xem các bài báo [7, 26, 41, 44, 59, 71] và chuyên khảo [91, 94] cùng cáctài liệu được trích dẫn

Một trong những kết quả đầu tiên liên quan đến tính chất bùng nổ chonghiệm của các phương trình parabolic là vào những năm 1960 bởi hai kếtquả nổi tiếng của Kaplan [59] và Fujita [40] Trong các bài báo của mình,Kaplan và Fujita lần lượt nghiên cứu các bài toán biên–giá trị đầu và bàitoán Cauchy cho phương trình nhiệt có dạng

Trong đó bằng cách dựa vào hệ số Fourier thứ nhất Kaplan đã chỉ ra cácđặc trưng cho tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn của nghiệm phươngtrình (11) trong trường hợpΩ ⊂Rn là miền bị chặn và f là hàm lồi; trườnghợp Ω = Rn và f(u) = up sau đó được nghiên cứu bởi Fujita, trong đóFujita chỉ ra rằng bất kỳ nghiệm không âm khác không của (11) là bùng nổtại thời gian hữu hạn khi

1< p< pcr =1+ 2

n,trong đó pcrđược gọi là số mũ Fujita Từ đây tính chất bùng nổ được nghiêncứu mở rộng cho nhiều lớp phương trình parabolic khác nhau, cùng với đó

là sự phát triển của nhiều phương pháp để nghiên cứu các vấn đề này.Chẳng hạn, Galaktionov [43] đã mở rộng các kết quả của Fujita cho các lớp

phương trình parabolic suy biến

ut =∆um +up và ut =div |∇u|σ∇u

+up, (σ > 0),

và lớp phương trình khuếch tán – phản ứng dạng

ut = A(u) + f(u),trong đóA là toán tử elliptic cấp hai, có thể phi tuyến và suy biến đóng vaitrò là đại lượng khuếch tán và f(u)là hàm trên tuyến tính theo u đóng vaitrò là phản ứng Chi tiết có thể xem bài báo của Levine [71], Deng–Levine[26] và Galaktionov–Vazquez [44]

Bằng cách tiếp cận theo hướng năng lượng, vào những năm 1970, Levine

[69, 70] đã sử dụng phương pháp phương pháp hàm lõm để nghiên cứu tính

chất bùng nổ cho nghiệm của các bài toán parabolic và hyperbolic dạng

Put = −Au+ F (u) và Putt = −Au+ F (u), (12)trong đóP, Alà các toán tử tuyến tính đối xứng thỏa điều kiện P > 0 và

A ≥ 0 xác định trên các không gian Hilbert Trong đó, Levine đã chỉ rarằng với nguồn năng lượng đầu âm hay dữ kiện đầu lớn thì nghiệm củaphương trình (12) là bùng nổ tại thời gian hữu hạn

Trong trường hợp nguồn năng lượng đầu dương hay dữ kiện đầu nhỏ,

Payne và Sattinger [85] đã phát triển phương pháp potential well để nghiên

cứu tính chất tồn tại toàn cục và bùng nổ tại thời gian hữu hạn cho nghiệmcủa bài toán biên–giá trị đầu cho các phương trình nhiệt và phương trìnhsóng dạng

ut = ∆u+ F (u) và utt = ∆u+ F (u), (13)với F có dạng tổng quát của hàm lũy thừa Trong đó, các tác giả đã xâydựng các tập hợp rời nhau W và U sao cho nếu dữ kiện đầu thuộc Wthì nghiệm của bài toán tồn tại toàn cục và nếu dữ kiện đầu thuộc U thìnghiệm bài toán bùng nổ tại thời gian hữu hạn Các tập hợpW vàU tương

ứng được gọi là tập ổn định và tập không ổn định Phương pháp potential

well được giới thiệu đầu tiên bởi Sattinger [95] và Lions [74] khi nghiêncứu tính chất tồn tại toàn cục của nghiệm các phương trình sóng, sau đócũng sử dụng phương pháp này Payne và Sattinger đã nghiên cứu tínhchất tồn tại toàn cục và bùng nổ tại thời gian hữu hạn cho nghiệm của

cả phương trình sóng và phương trình nhiệt có dạng (13) Phương phápnày sau đó được nghiên cứu mở rộng cho nhiều lớp phương trình khácnhau như phương trình sóng và nhiệt [20, 21, 32, 45, 46, 47, 54, 102, 103],phương trình porous medium [36, 37, 38, 72], và các phương trình tiến hóap-Lapalce [40, 56, 73, 99]

Tính chất bùng nổ cho nghiệm của các phương trình giả parabolic dướitác động của nguồn dạng lũy thừa cũng được quan tâm nghiên cứu trongthời gian gần đây, kết quả chi tiết có thể tham khảo các bài báo [18, 65, 66,102] và chuyên khảo [4] cùng các trích dẫn trong đó

Cho đến nay, tính chất bùng nổ của nghiệm các phương trình parabolic

và giả parabolic dưới tác động của nguồn dạng lũy thừa hoặc dạng tổngquát của hàm lũy thừa đã được nghiên cứu tương đối rộng rãi, tuy nhiên córất ít kết quả cho các phương trình với thành phần phi tuyến dạng logarit.Một vài kết quả gần đây cho các phương trình nhiệt có thể xem Chen vàcộng sự [20, 21] Trong đó các tác giả nghiên bài toán biên–giá trị đầu chocác phương trình

ut−∆u = u log|u|, ut−∆ut−∆u = u log|u| (14)Bằng cách sử dụng phương pháp potential well, tác giả đã chỉ ra rằng với

dữ kiện đầu thuộc vào tập ổn định thì nghiệm của bài toán là tồn tại toàncục và tắt dần mũ; với trường hợp dữ kiện đầu thuộc vào tập không ổnđịnh thì nghiệm của bài toán bùng nổ tại ∞ Trong khi đó với điều kiệntương tự và nguồn dạng lũy thừa f(u) = |u|p−2u, p > 2 thì nghiệm củabài toán bùng nổ tại thời gian hữu hạn, xem [46, 103]

Xuất phát từ các kết quả trên, chúng tôi xét một số lớp phương trìnhparabolic suy biến gồm phương trình tiến hóa p-Laplace, phương trình giảparabolic chứa toán tử p-Laplace và phương trình khuếch tán phi tuyến

kép dưới tác động của nguồn dạng logarit Cụ thể, trong luận án chúng tôinghiên cứu ba bài toán sau đây:

Bài toán 1: Chúng tôi xét bài toán Cauchy–Dirichlet cho phương trìnhtiến hóa p-Laplace dưới tác động của nguồn dạng logarit như sau

(15)

trong đó fp(s) = |s|p−2s log(|s|) với p >2

Bài toán 2: Chúng tôi xét bài toán Cauchy–Dirichlet cho phương trìnhgiả parabolic chứa toán tử p-Laplace sau

(16)

trong đó fq(s) = |s|q−2s log(|s|)với q> 1

Bài toán 3: Chúng tôi xét bài toán Cauchy–Dirichlet cho phương trìnhkhuếch tán phi tuyến kép sau

(17)

trong đó fq(s) = |s|q−2s log(|s|)với q> 1

Khi nghiên cứu tính chất nghiệm của ba bài toán trên, nội dung của luận

án sẽ tập trung trả lời các câu hỏi sau đây:

1) Khi nào nghiệm của các bài toán trên là bùng nổ? Khi có hiện tượngbùng nổ xảy ra thì nghiệm bùng nổ tại thời gian hữu hạn hay tại∞?2) Khi nào nghiệm của các bài toán trên tồn tại toàn cục? Nếu nghiệm tồntại toàn cục thì dáng điệu của nghiệm khi thời gian lớn sẽ như thế nào?Nghiệm toàn cục có tắt dần hay không?

Để trả lời các câu hỏi này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu luận án với têngọi:

Một số lớp phương trình parabolic suy biến với nguồn logarit:

tính chất bùng nổ, nghiệm toàn cục và tính chất tắt dần

Để thu được các kết quả trong luận án chúng tôi sử dụng các phươngpháp của giải tích hàm phi tuyến như phương pháp xấp xỉ nghiệm Faedo–Galerkin, phương pháp compact và phương pháp toán tử đơn điệu Đặcbiệt, để thu được kết quả về tính chất tồn tại hay không tồn tại nghiệmtoàn cục chúng tôi sử dụng phương pháp potential well được giới thiệubởi Payne và Sattinger [85] và phương pháp hàm lõm của Levine [69] Tính

ưu việt của phương pháp này được thể hiện ở chỗ không những tính chấtbùng nổ của nghiệm được nghiên cứu mà khi đó tính chất toàn toàn cụccủa nghiệm cũng được suy ra

Cấu trúc của luận án bao gồm phần tổng quan, kiến thức chuẩn bị, bachương chính, kết luận, danh mục công trình của tác giả luận án và tài liệutham khảo Các kết quả chúng tôi thu được cho ba vấn đề ở trên sẽ đượctrình bày lần lượt trong các chương 2, 3 và 4 với nội dung tóm tắt như sau:

Chương 2: Phương trình parabolic chứa toán tử p-Laplace với thành phần phi tuyến dạng logarit.

Chương này trình bày các kết quả trong bài báo [81] và đã được báo cáotại Hội nghị khoa học lần thứ 10, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạihọc quốc gia Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh 11/11/2016

Trước hết, chúng tôi chỉ ra rằng với dữ kiện đầu u0 ∈ W01,p(Ω) thì bàitoán (15) có nghiệm yếu địa phương duy nhất, Định lý 2.7

Để trình bày kết quả tiếp theo, trong Phần 2.2 chúng tôi giới thiệu phiếmhàm năng lượng và phiếm hàm Nehari sau:

Đa tạp Nehari và potential depth

Khi đó Định lý 2.8 và Định lý 2.9 chỉ ra rằng:

(i) Nếu u0 ∈ W thì nghiệm của bài toán tồn tại toàn cục Hơn nữa, nếu

J(u0) ≤ M thì nghiệm của bài toán tắt dần đại số, tức là, có hằng sốdương C :=C(ku0k2)phụ thuộc vào dữ kiện đầu sao cho

ku(t)k2 ≥





ppku0k22−p− (p−2)|Ω|−p−22 t

Chương 3: Phương trình giả parabolic chứa toán tử p-Laplace với thành phần phi tuyến dạng logarit.

Một phần kết quả của chương này được công bố trong bài báo [82] vàđược báo cáo tại Hội nghị toán học Miền Trung – Tây Nguyên lần thứ 2, ĐàLạt 09–11/12/2017 và Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang14–18/08/2018

Kết quả đầu tiên của chương, chúng tôi xét tính chất tồn tại toàn cụccủa nghiệm dựa vào mối liên hệ giữa các tham số p và q Cụ thể, Định

lý 3.5 chỉ ra rằng với dữ kiện đầu u0 ∈ W01,p(Ω) thì nghiệm yếu của bàitoán (16) là nghiệm toàn cục khi 1 < q < p và là nghiệm địa phương khi

p ≤q < p 1+ 2n
Ta lưu ý rằng

p



1+ 2n

(i) Nếu u0 ∈ W thì nghiệm của bài toán (16) tồn tại toàn cục Hơn nữa,nghiệm tắt dần đại số theo nghĩa

Chương 4: Phương trình khuếch tán phi tuyến kép với thành phần phi tuyến dạng logarit.

Chương này trình bày các kết quả trong bài báo [83] Bằng phép đổi biếnthích hợp, ta có bài toán tương đương với bài toán (17) sau

Kết quả 1. Với dữ kiện đầu u0 ∈ W01,p(Ω), Định lý 4.7 chỉ ra rằng bài toán(21) có nghiệm yếu u(t)tồn tại toàn cục khi (m0−1)(q−1) < p−1 và lànghiệm địa phương khi

(i) Nếu u0 ∈ W thì nghiệm của bài toán (21) tồn tại toàn cục Hơn nữa,nghiệm toàn cục thỏa

(ii) Nếu u0 ∈ U thì nghiệm của bài toán không tồn tại toàn cục hay bùng

nổ tại thời gian hữu hạn trong không gian Lm0(Ω)

(iii) Trong trường hợp năng lượng đầu tới hạn J(u0) = dthì khi đó (21) cónghiệm toàn cục tắt dần khi I(u0) > 0 và nghiệm bùng nổ tại thời gianhữu hạn khi I(u0) < 0

Cuối cùng, để tiện theo dõi, chúng tôi có một số điểm lưu ý như sau:

 Trong toàn bộ luận án, các hằng số dương được kí hiệu bởi C mặc dùgiá trị của C vẫn có thể thay đổi trên cùng một dòng hoặc từ dòng nàysang dòng khác

 Ta qui ước đánh số liên tục cho các định nghĩa, định lý, bổ đề và hệ quảtrong khuôn khổ từng chương bởi các nhóm hai thành phần Chẳnghạn như, ta viết "Định lý 2.3" với ý nghĩa rằng đây là định lý thứ 3thuộc chương 2

 Việc đánh số các công thức được thực hiện theo nhóm ba thành phần

Ví dụ như, công thức được đánh số "(2.1.3)" có nghĩa là đây là côngthức thứ 3 thuộc chương 2 mục 1

C HƯƠNG 1

Định nghĩa và xấp xỉ hàm trong không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1 (Đạo hàm suy rộng) Cho u ∈ L1loc(Ω)và α ∈ Nn là một đa chỉ số Nếu tồn tại v∈ L1loc(Ω)sao cho

Dαu := v

Bổ đề 1.2 (Tính duy nhất của đạo hàm suy rộng) Đạo hàm suy rộng cấp k

của u ∈ L1loc(Ω) nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất, sai khác trên một tập có độ đo không.

Định nghĩa 1.3 (Không gian Sobolev) Cho m ∈ N và 1 ≤ p ≤ ∞ Không gian Sobolev Wm,p(Ω)là tập hợp gồm tất cả các hàm u ∈ Lp(Ω)sao cho các đạo hàm suy rộng Diu tồn tại và Diu ∈ Lp(Ω), với mọi i = 1, 2, , m Đặc biệt, khi

và khi p= ∞

kukWm,∞ = max

1 ≤ i ≤ m

nkuk∞,kDiuk∞o

Hơn nữa, không gian Wm,p(Ω) là phản xạ khi 1 < p < ∞ và tách được khi

Định lý 1.7(Tính trù mật) Cho u ∈ Wm,p(Ω), với m ∈ N và 1≤ p <∞ Khi

đó tồn tại dãy các hàm uk ∈ C∞(Ω) ⊂ Wm,p(Ω)sao cho

n − p > p là số mũ liên hợp Sobolev của p.

(ii) Nếu p = n thì W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω), với mỗi q ∈ [p,∞).

(iii) Nếu p > n thì W1,p(Ω) ,→ L∞(Ω) ∩C0,α(Ω), với α =1−np.

Hơn nữa, nếu Ω bị chặn thì các phép nhúng (ii)và(iii) là compact Phép nhúng

(i)là compact với q ∈ [p, p∗).

Bất đẳng thức Sobolev

Sau đây là hai bất đẳng thức quan trọng trong không gian Sobolev được

sử dụng thường xuyên trong phần sau của luận án Chi tiết có thể thamkhảo Ladyzhenskaya, Solonnikov và Uralceva [67]

Định lý 1.9(Sobolev) Giả sử 1 ≤ p < ∞ và Ω là một tập mở bị chặn Khi đó tồn tại hằng số C :=C(Ω, p)sao cho

kukq ≤Ck∇ukp, ∀u ∈ W01,p(Ω), (1.1.1)

với mọi 1≤ q < p∗, trong đó

Bất đẳng thức logarit Sobolev phát biểu rằng với hàm u ∈ H1(Rn)thỏaR

p − 1

π−

p 2

với mọi u ∈ W1,p(Rn) \{0} Đặc biệt, nếu Ω ⊂ Rn là miền bị chặn và u ∈

!

1−q/p∗ log C

q n,p,q

k∇ukqpkukqq

!

dx ≤µk∇uk

r p

kukrq+ qp∗(p∗−q)rlog

 qp∗Crn,p,q(p∗−q)rµe

, (1.1.11)

với µ > 0 tùy ý và 0 < r ≤ min{p, q} Sử dụng bất đẳng thức Young,

ta thu được dạng tham số của bất đẳng thức logarit Gagliardo–Nirenbergnhư sau

Hệ quả 1.14 Với các giả thiết như trong Định lý 1.13, ta có

với µ> 0 tùy ý, 0 <r ≤min{p, q}và C n,p,q,µr là hằng số xác định như sau

Cn,p,q,µr = qp∗

(p∗−q)rlog

(p∗−q)rµe

qp∗Cr n,p,q

!

Nếu Ω ⊂ Rn là miền bị chặn và u ∈ W01,p(Ω) thì bằng cách đặt u(x) = 0 khi

Chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về toán tử đơn điệu (chi tiết

có thể xem [4, 74])

Định nghĩa 1.15 Giả sử X là không gian Banach và A : X → X0 là một toán tử

trên X Khi đó ta nói

• A là toán tử đơn điệu nếuhAu−Av, u−vi ≥ 0, ∀u, v ∈ V

• A là hemicontinuous nếu ánh xạ λ 7→ hA(u+λv), wiliên tục từ R vào R

Nếu J khả vi tại u ∈ U thì tồn tại duy nhất một phiếm hàm tuyến tính A ∈ X0

thỏa(1.2.14) Và A được gọi là đạo hàm Gâteaux của J tại u, ký hiệu JG0 (u) := A.

Bổ đề 1.17 Cho J : X → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux Khi đó đạo

hàm Gâteaux của J, JG0 (u): X → X0 là toán tử đơn điệu và hemicontinuous.

Chú ý 1.18 Giả sử J : X → R là một phiếm hàm có đạo hàm Gâteaux J0

Apu := −div|∇u|p−2∇u

Khi đó ta có thể xem Ap là một toán tử Ap : W01,p(Ω) → W−1,p0(Ω) xác định bởi

Nội dung trong phần này có thể tìm thấy trong [74] Cho X là khônggian Banach và 0 < T < ∞ Không gian Cm([0, T]; X)với m = 0, 1, gồmcác hàm liên tục f : [0, T] → X có đạo hàm liên tục đến cấp m trên[0, T]làkhông gian định chuẩn với chuẩn sau

Và ký hiệu C0([0, T]; X) := C([0, T]; X) và D (0, T; X) := Cc∞([0, T]; X)không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên[0, T].

Ta ký hiệu Lp(0, T; X)là lớp các hàm đo được f : (0, T) → X sao cho

kfkLp ( 0,T;X ) :=

Z T

0 kfkpXdt

1 p

< ∞, nếu 1≤ p <∞,và

Lr(0, T; X) ,→ Lp(0, T; Y), với 1≤ p≤ r≤ ∞

Sau đây là không gian đối ngẫu của không gian Lp(0, T; X)

Định lý 1.20 Giả sử 1 ≤ p < ∞ và X là không gian phản xạ hoặc X0 là không gian khả ly thì

(Lp(0, T; X))0 ≈ Lp0 0, T; X0

Hơn nữa, nếu 1 < p < ∞ và X là phản xạ thì Lp(0, T; X)cũng phản xạ.

Khi đó ta có bất đẳng thức H ¨older cho không gian Lp(0, T; X)

Bổ đề 1.21 Cho f ∈ Lp(0, T; X)và g ∈ Lp0(0, T; X0) Khi đó t 7→ hg(t), f(t)iX0 ,X

là khả tích và

Z T

0

hg(t), f(t)iX0 ,X

hv(s), u(s)iX0 ,Xds, khi n→ ∞

Tiếp theo, ta sẽ định nghĩa đạo hàm của các hàm trong không gian

Lp(0, T; X) Ta ký hiệuD0(0, T; X)là không gian các phân bố giá trị trong

X ,→ H ,→X0,trong đó phép nhúng X ,→ H là compact Với 1 < p < ∞, ta ký hiệu

W1,p(0, T; X, H)như sau

W1,p(0, T; X, H):=nf ∈ Lp(0, T; X) : f0 ∈ Lp0 0, T; X0
o

Khi đó W1,p(0, T; X, H)là không gian Banach với chuẩn

kfk :=kfkLp ( 0,T;X )+ f0 Lp0( 0,T;X0).Hơn nữa, phép nhúng sau là liên tục

W1,p(0, T; X, H) ,→ C([0, T]; H), 1< p< ∞

Bổ đề 1.23(Lions) Cho Qlà một miền bị chặn trongRn

x ×R+

t , gm và g là các hàm thuộc Lq(Q), 1 <q < ∞ thỏa

kgmkLq (Q) ≤C và gm(x, t) → g(x, t) h.h. (x, t) ∈ Q

Khi đó gm * g yếu trong Lq(Q).

Bổ đề 1.24(Aubin–Lions) Giả sử X0, X và X1 là ba không gian Banach sao cho phép nhúng X0 ,→ X ,→ X1 là liên tục và phép nhúng X0 ,→ X là compact Với

1≤ p, q ≤ ∞, đặt

W =u ∈ Lp(0, T; X0): u0 ∈ Lq(0, T; X1)

Khi đó, ta có:

(i) Nếu p < ∞ thì phép nhúng W ,→ Lp(0, T; X)là compact.

(ii) Nếu p = ∞ và q> 1 thì phép nhúng W ,→ C([0, T]; X)là compact.

với mọi t ≥0 nếu σ > 0.

Để chứng minh tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn, chúng tôi cầncác bổ đề phụ trợ sau, xem[32]

Φ(t0) > 0 và Φ0(t0) > 0

Khi đó tồn tại T∗ >0 xác định bởi

T∗ = t0+ Φ(t0)

(α−1)Φ0(t0)

sao cho nếu Φ thỏa bất đẳng thức

Φ1 −α(t) ≤ Φ1 −α(t0) −Φ0(t−t0), t ≥ t0,trong đóΦ0 = (α−1)Φ0(t0)/Φα(t0)là hằng số dương Vì vậy ta có

———-oOo———-C HƯƠNG 2

LOGARIT

2.1 Giới thiệu

Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên–giá trị đầu cho phươngtrình parabolic chứa toán tử p-Laplace với thành phần phi tuyến có dạnglogarit như sau:

(2.1.1)

trong đóΩ là miền bị chặn trong Rn với biên trơn ∂Ω, −∆pu là toán tử Laplace thông thường,∆pu :=div|∇u|p−2∇uvà fp(z) = |z|p−2z log|z|với p ∈ (2,∞) Dữ kiện đầu của bài toán u0 thuộc không gian Sobolev

Sự tồn tại nghiệm địa phương của các bài toán biên–giá trị đầu chophương trình (2.1.2) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả và bằng nhiềuphương pháp khác nhau Chẳng hạn, tính chỉnh địa phương của bài toán(2.1.2) với p =2 và f(u) = |u|q−2uđược nghiên cứu bởi Weissler [104, 105],Brezis và Cazenave [14] bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm toán tử;trường hợp p 6= 2 và f(u) = |u|q−2u các tác giả Ishii [56], Ôtani [3, 84],Akagi [2] đã phát triển lý thuyết phương trình tiến hóa bao hàm thức và ápdụng vào chứng minh tính chất tồn tại nghiệm địa phương của bài toán với

dữ kiện đầu trong các không gian Lebesgue Lr(Ω)và không gian Sobolev

W01,p(Ω) Bên cạnh các phương pháp trên thì phương pháp Faedo–Galerkincũng là một trong những công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất tồn tạinghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và phi tuyến, chẳnghạn xem Lions [74], Tsutsumi [99]

Các kết quả liên quan đến tính chất tồn tại và không tồn tại nghiệmtoàn cục của phương trình (2.1.2) cũng được nghiên cứu bởi nhiều tác giả.Chẳng hạn, Payne và Sattinger [85], Gazzola [45, 46, 47] đã nghiên cứu tínhchất tồn tại toàn cục và bùng nổ tại thời gian hữu hạn cho nghiệm của bàitoán bài toán biên–giá trị đầu cho phương trình (2.1.2) trong trường hợp

p = 2 và thành phần phi tuyến có dạng lũy thừa f(u) = |u|q−2u, q > 2

Số mũ Fujita của bài toán Cauchy được nghiên cứu bởi Fujita, Hayakata vàWeissler, xem [41, 53, 105]

Trong trường hợp p 6= 2, Galaktionov [42] đã nghiên cứu số mũ Fujitacho bài toán Cauchy của phương trình (2.1.2) với thành phần phi tuyến

f(u) = uq, q >max{1, p−1}với số mũ Fujita của bài toán là

pF = p−1+ p

Bài toán biên giá trị đầu cho phương trình (2.1.2) với dữ kiện đầu u0 ∈

W01,p(Ω) và thành phần phi tuyến có dạng lũy thừa f(u) = |u|q−2u đãđược nghiên cứu bởi Tsutsumi [99], Levine và Payne [73], Ishii [56] và Fujii[40] với kết quả như sau:

• Nếu p >qthì bài toán có nghiệm toàn cục duy nhất

• Nếu p < qthì bài toán có nghiệm toàn cục khi dữ kiện đầu u0 đủ nhỏ

và nghiệm bùng nổ tại thời gian hữu hạn khi dữ kiện đầu u0 đủ lớn

• Nếu p =qthì bài toán có nghiệm toàn cục khi λ1 ≥1, với

λ1 = inf{k∇ukpp/kukpp : u ∈ W01,p(Ω) \ {0}}

Dù có rất nhiều kết quả liên quan đến nguồn dạng lũy thừa, cho đếnnay các kết quả cho thành phần phi tuyến có dạng logarit vẫn còn rất hạnchế Chẳng hạn Samarskii và các đồng tác giả [94] đã nghiên cứu tính chấtcủa nghiệm tự đồng dạng của bài toán Cauchy cho phương trình (2.1.1) khi

p = 2; bài toán biên–giá trị đầu cho phương trình (2.1.1) trong trường hợp

p = 2 cũng được nghiên cứu bởi Chen và các đồng tác giả trong bài báo[20] Cụ thể, các tác giả nghiên cứu bài toán

(2.1.4)

với u0 ∈ H01(Ω) Bằng cách sử dụng phương pháp potential well, Chen vàcác cộng sự đã chỉ ra rằng khi u0 nằm trong tập ổn định thì nghiệm của bàitoán tồn tại toàn cục và khi u0 nằm trong tập không ổn định thì nhiệm sẽbùng nổ tại∞ Kết quả này cho thấy sự khác biệt với trường hợp nguồn códạng lũy thừa – thường dẫn đến tính chất bùng nổ tại thời gian hữu hạn.Xuất phát từ các kết quả nêu trên, chương này chúng tôi nghiên cứubài toán (2.1.1) với sự xuất hiện của thành phần phi tuyến dạng logarit

fp(u) = |u|p−2u log|u|với p > 2 Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu tính chấtbùng nổ, tồn tại toàn cục và tính tắt dần cho nghiệm của bài toán (2.1.1)trong trường hợp suy biến khi 2 < p < ∞ Kết quả này nhằm mở rộngkết quả của Chen [20] cho trường hợp suy biến và cũng góp phần làmphong phú các kết quả về tính chất nghiệm của các phương trình tiến hóap-Laplace với thành phần phi tuyến dạng logarit So với nguồn dạng lũythừa thì sự xuất hiện của nguồn phi tuyến dạng logarit trong phương trìnhthường dẫn đến những khó khăn nhất định về mặt toán học do tính chất

không thuần nhất và đổi dấu của hàm logarit Để giải quyết những khókhăn này, chúng tôi sử dụng bất đẳng thức logarit Sobolev được giới thiệubởi Del Pino [23, 24, 25].

Bố cục của chương được trình bày như sau: Phần 2.2 chúng tôi xây dựngcác tập ổn định và không ổn định cho bài toán (2.1.1) và các đặc trưng củanó; Phần 2.3 trình bày kết quả tồn tại nghiệm yếu địa phương của bài toán;các kết quả về tính chất tồn tại toàn cục và bùng nổ của nghiệm được trìnhbày ở các phần còn lại, trong đó tính chất tồn tại toàn cục và tính tắt dầncủa nghiệm được trình bày trong Phần 2.4 và tính chất bùng nổ của nghiệmđược trình bày trong phần cuối cùng của chương

Để kết thúc phần này, chúng tôi đưa ra hai định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1(nghiệm yếu) Một hàm u được gọi là nghiệm yếu của bài toán

với mọi w ∈ W01,p(Ω)và hầu hết t ∈ [0, T].

Định nghĩa 2.2 Giả sử u(t) := u(x, t) là nghiệm yếu của bài toán (2.1.1) Ta định nghĩa số thực dương Tmaxnhư sau:

Tmax = supT >0 : u(t) tồn tại trên [0, T)

(i) Nếu Tmax =∞ thì u(t)là nghiệm toàn cục.

(ii) Nếu Tmax < ∞ thì ta nói u(t) không tồn tại toàn cục hay bùng nổ tại thời gian hữu hạn Hơn nữa, nếu lim

t → T max

ku(t)k2 = ∞ thì Tmax được gọi là thời gian bùng nổ.

2.2 Potential well và các đặc trưng

Trong phần này chúng tôi xây dựng các tập ổn định và tập không ổn định

cho nghiệm của bài toán (2.1.1) và các đặc trưng của chúng Các tập này

liên quan đến trạng thái dừng của bài toán (2.1.1) và để giải quyết các bàitoán như thế ta sử dụng phương pháp biến phân Cụ thể ta xét bài toánelliptic sau:

Ta định nghĩa đa tạp Nehari như sau:

N = nu ∈ W01,p(Ω) \{0} : I(u) = 0(u), u = 0o

Để nghiên cứu đặc trưng của đa tạp Nehari, Drabék và Pohozaev [31, 87]

đã giới thiệu phương pháp fibrering được trình bày như sau:

Lấy u ∈ W01,p(Ω) \{0} và xét hàm số j : λ 7→ J(λu) với λ > 0 xác địnhbởi

Từ đẳng thức trên ta nhận thấy rằng để tìm các điểm thuộc đa tạp Nehari,

ta cần nghiên cứu các điểm tới hạn của ánh xạ j

Bổ đề sau đây chỉ ra rằng với mỗi u ∈ W01,p(Ω) \{0}, hàm số j(λ)có duy

nhất một điểm cực trị dương λ∗ = λ∗(u), hay với mỗi u ∈ W01,p(Ω) \{0}

thì λu∈ N khi và chỉ khi λ =λ∗

Bổ đề 2.3 Lấy u∈ W01,p(Ω) \{0} Khi đó

(1) lim

λ→ 0 +j(λ) = 0 và lim

λ→ ∞j(λ) = −∞;

(2) tồn tại duy nhất λ∗ = λ∗(u) > 0 sao cho j0(λ∗) = 0;

(3) j(λ)là hàm tăng trên(0, λ∗), giảm trên (λ∗,∞)và đạt cực đại tại λ∗; (4) I(λu) > 0 khi 0 <λ < λ∗, I(λu) < 0 khi λ∗ <λ < ∞ và I(λ∗u) = 0 Chứng minh. Lấy u ∈ W01,p(Ω) \{0}, theo định nghĩa của j ta có

ta được các khẳng định (2) và (3) Khẳng định cuối cùng của bổ đề đượcsuy ra trực tiếp từ (3) và đẳng thức sau

I(λu) = λj0(λ) = λp

k∇ukpp −

Bổ đề chứng minh xong