Chuyên đề Toán cực trị

Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn.. Do đó vấn đề ở đây là từ điều kiện đề bài ta chuyển về phơng trình hệ phơng trình đồng d một ẩn , biến đổi tơng đơng về phơng trình d

Chơng 1

cực trị số học

I – phép chia hết và phép chia có d

A Lí thuyết cơ bản

1 Định nghĩa

1.1 Phép chia hết và phép chia có d .

Cho a , b Z , b > 0 Chia a cho b ta có : a chia hết cho b hoặc a không chia hết cho b

Nếu a chia hết cho b ta kí hiệu là a  b ta còn nói b chia hết a hay b là ớc của a và kí hiệu là b | a

Nếu a không chia hết cho b ta đợc thơng gần đúng q và d là r , ta viết :

a = bq + r , 0 < r < b

1.2 ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Cho hai số nguyên dơng a , b

ớc chung lớn nhất của a và b đợc kí hiệu là ƯCLN ( a,b) hay ( a , b ) Số d gọi là ớc chung của a và b khi và chỉ khi d là ớc của ƯCLN(a ,b) :

d | a và d | b  d | (a,b)

Bội chung nhỏ nhất của a và b đợc kí hiệu là BCNN(a,b) hay [a,b] Số m là

BCNN(a,b) khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) :

m  a và m  b  m  [a,b]

Hai số đợc gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1

* Tuy nhiên , trong việc tìm ƯCLN của hai số dơng a, b ( a>b) ngời ta còn có thể sử dụng thuật toán Euclide nh sau :

i) a = bq  (a,b) = b

ii) a = bq + r ( r 0 )  (a,b) = (b,r)

b = rq1 + r1 ( r1 0)  (b,r) = (r,r1)

r = r1q2 + r2 (r2 0)  (r,r1) = (r1,r2)

ri = ri+1qi+2  (a,b) = (ri,ri+1)

2 Một số định lí quan trọng th ờng dùng .

2.1 a) (ca,cb) = c(a,b)

b)

c

b a c

b c

a ( , )

;  











( với c =ƯC(a,b) ) 2.2 a.c  b và (a,b) = 1  c  b

2.3 c  a và c  b và (a,b) = 1  c  a.b

2.4 Định lí về phép chia có d .

Với mọi cặp số tự nhiên a,b ( b 0) bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q , r sao cho : a = bq + r ( với 0 r  b )

2.5 Định lí

Trong sự phân tích số n! ra thừa số nguyên tố ( n! = 1.2.3 n)

k a a

a p p k

p

nào đó sẽ là :



















































i i

i

i

p

n p

n p

n

a (  x là kí hiệu phần nguyên của số x , đó là số nguyên lớn nhất không vợt quá x )

B Một số ph ơng pháp th ờng dùng trong giải bài toán chia hết

1 Để chứng minh A(n) ( n  Z ) chia hết cho một số nguyên tố p , ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p

2 Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m ta thờng phân tích m ra thừa số

nguyên tố Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n)  p và A(n)  q suy ra A(n) A(n) pq do (p,q) = 1

Nếu (p,q) 1 thì ta phân tích A(n) rồi chứng minh tích đó chia hết cho m Ta cũng

có thể phân tích A(n) thành tổng nhiều số hạng cùng chia hết cho m

3 Ta thờng sử dụng kết quả sau :

Nếu số d khi chia a cho b>0 là r ( 0< r <b) thì số d khi chia an ( n>1) cho b là số d khi chia rn cho b ( số d này bằng rn nếu rn < b )

C Bài tập áp dụng

* Qui ớc :

Nếu a là số lớn nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu max(a,b,c,d) = a

Nếu b là số nhỏ nhất trong các số a ,b ,c, d thì ta kí hiệu min(a,b,c,d) = b

Bài số 1 : Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao cho 2n – 1  7

Giải : Xét phép chia số nguyên n cho 3 thì n chỉ có một trong ba dạng : n = 3k ; n = 3k+1 ;

n = 3k+3 ( k Z)

Với n = 3k ta có : 2n – 1 = 8k – 1  7

Với n = 3k+1 ta có : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + 1 không chia hết cho 7

Với n = 3k+2 ta có : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + 3 không chia hết cho 7

Vậy với n  3 thì 2n – 1  7 mà n là số nguyên dơng nhỏ nhất nên n = 3

Bài số 2 : Tìm số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn : ( 1994!)1995

 1995k Giải :

Ta có : 1995k = (3.5.7.19)k = 3k.5k.7k.19k Ta cần tìm số mũ lớn nhất của mỗi thừa số

3 , 5 , 7 ,19 trong số (1994!)1995

Ta có :

Số mũ của 3 trong 1994! là :

992 0

221 664 3

1994

3

1994

3

1994

7















Tơng tự : Số mũ của 5 trong 1994! là : 495

Số mũ của 7 trong 1994! là : 329

Số mũ của 19 trong 1994! là : 109

Vậy trong 1994! có các thừa số : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109

Suy ra : (1994!)1995 = (3992 5495 7329 19109 M )1995 Với M là tích các thừa số không chứa các thừa số nguyên tố 3 ; 5 ; 7 ; 19

Với k = 109.1995 thì ( 1994!)1995

 1995k Với k = 109.1995 + 1 thì ( 1994!)1995 không chia hết cho 1995k

Vậy k = 109.1995 là số tự nhiên lớn nhất cần tìm

Bài số 3 Tìm GTLN và GTNN của n để P = (n+5)(n+6) 6n

Giải :

Ta xét 2 trờng hợp :

* Với n>0 :

Ta phải tìm n để P = (n+5)(n+6) 6n

Ta có : P = (n+5)(n+6) 6n = n2 + 11n + 30 = 12n + ( n2 – n + 30 )

P  6n  ( n2 – n + 30 )  6n ; n | n2 – n nên n | 30 , 6 | 30 nên 6 | n2 – n = n(n-1)

n(n-1) là số chẵn vì là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n-1)  3  n  3 hoặc n-1  3

Vậy P  6n thì n là ớc của 30 và là bội của 3 hoặc bội của 3 cộng thêm 1  n = {1;2;3;6;10;15;30} Thay các giá trị trên vào P = ( n+5)(n+6) và 6n thì ta có n = {1;3;10;30} (*) thoả mãn điều kiện bài toán

* Với n< 0 :

Đặt m = - n Ta tìm m sao cho : P = ( -m+5)(-m+6)  -6m Giải nh trên ta tìm đợc n

= { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mãn điều kiện bài toán

Kết hợp (*) và (**) ta có n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15}

Vậy max n = max (1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = 30

min n = min(1;3;10;30;-2;-5;-6;-15 ) = -15

Bài số 4 Cho A = m+n và B = m2 + n2 trong đó m,n là những số tự nhiên nguyên tố cùng nhau Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) của A và B

Giải : Gọi d = (m+n,m2+n2)  (m+n)2

d  (m+n)2 – (m2 + n2) = 2mn  d  d là

-ớc chung của m+n và 2mn (*)

(m,n) = 1  (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = 1 (**)

Từ (*) và (**) 2  d  d = 1 hoặc d = 2 hay d = {1,2}

Vậy max d = max ( 1,2) = 2

min d = min (1,2) = 1

D Bài tập tự luyện

Tìm số nguyên a lớn nhất và nhỏ nhất sao cho 100 < a < 150 ; a chia 5 d 2 và a chia

7 d 3

II - Đồng d thức và ph ơng trình đồng d .

A Lí thuyết cơ bản

1 Định nghĩa và tính chất đồng d thức .

1.1 Định nghĩa đồng d thức .

Cho một số nguyên dơng m Nếu a hai số nguyên a và b có cùng số d khi chia cho m ( tức là m – n chia hết cho m ) thì ta nói rằng a đồng d với b modun m và ta kí hiệu :

a  b ( mod m ) Đây là một đồng d thức với a là vế trái , b là vế phải

Nói riêng , a  0 ( mod m ) nghĩa là a chia hết cho m

Trong trờng hợp b  m thì a  b ( mod m ) có nghĩa là chia a cho m có d là b

1.2 Các tính chất của đồng d thức

1.2.1 Ta có : a a với a

a  b ( mod m)  b  a ( mod m)

a  b ( mod m) và b  c ( mod m)  a  c ( mod m)

1.2.2 Nếu a  b ( mod m) và c  d ( mod m) thì a  c  b  d ( mod m) ; ac 

bd ( mod m)

Suy ra :

i) a  b ( mod m)  a  c  b  c ( mod m)

ii) a+c  b (mod m )  a b-c ( mod m)

iii) a  b ( mod m)  na  nb ( mod m)

iv) a  b ( mod m)  an  bn ( mod m)

1.2.3 a  b ( mod m) 

d

b d

a

 ( mod m) với d là ớc chung của a và b và (d,m) = 1 1.2.4 Nếu a  b ( mod m) và c>0 thì ac  bc ( mod mc)

Nếu d là ớc chung dơng của a,b,m thì ax  b ( mod m) 

d

b d

a

 ( mod

d

m

)

2 Định nghĩa ph ơng trình và hệ ph ơng trình đồng d

2.1 Định nghĩa ph ơng trình đồng d bậc nhất một ẩn

Phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là đồng d thức có dạng : ax  b ( mod m) với

a không chia hết cho m

Trong đó a,b,m>0 là những số đã biết , x là ẩn

2.2 Tính chất

2.2.1 Phơng trình đồng d ax  b ( mod m) có nghiệm duy nhất nếu (a,m) = 1

( ta hiểu phơng trình đồng d ax  b ( mod m) có nghiệm duy nhất nghĩa là tất cả các nghiệm đều thuộc một lớp các số đồng d với b modun m )

2.2.2 Bằng các phép biến đổi của dồng d thức bao giờ ta cũng đa phơng trình đồng

d bậc nhất về dạng ax  b ( mod m) với m>a>0 và m>b0

2.3 Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn

Hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn là hệ các đồng d thức có dạng :









) ( mo d

) (m od

) ( mo d

2 2

2

1 1

1

n n

a

m b

x a

m b

x a

Bằng cách biến đổi tơng đơng các đồng d thức ta có thể qui hệ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn về phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn

B Ph ơng pháp giải bài toán cực trị đối với ph ơng trình đồng d

Từ lí thuyết ở trên , ta biết rằng luôn đa đợc phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d về dạng ax  b ( mod m) Do đó vấn đề ở đây là từ điều kiện đề bài ta chuyển về

phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d một ẩn , biến đổi tơng đơng về phơng trình dạng

ax  b ( mod m) rồi theo điều kiện bài toán ta suy ra GTLN ( GTNN) của ẩn cần tìm

C Bài tập áp dụng

Bài số 1

Tìm số nguyên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn : - 10<x<25 và 17x 13(mod11)

Giải :

Ta có :

17x 13(mod11)  6x  2 ( mod 11)  3x 1 ( mod 11)  3x = 1 + 11t ( t  Z)

Do - 10<x<25 nên t = { -2,-1,0,1,2,3,4,5,6}  x = {-3,4,15}

Vậy max x = max(-3,4,15) = 15

min x = min ( -3,4,15) = -3

Bài số 2 Tìm số học sinh lớn nhất trong một sân trờng THCS biết khi cho học sinh xếp hàng 3,5,7 thì số lẻ hàng cuối lần lợt là 2,3,4 và đoán chừng số học sinh đó không thể vợt quá 900 em

Giải : Theo đề bài ta phải giải hệ phơng trình đồng d sau:

x  2 ( mod 3 ) ( 1)

x  3 ( mod 5 ) ( 2)

x  4 ( mod 7 ) ( 3)

Hệ (1) , (2) cho ta phơng trình : x 8 (mod 15) (4)

Từ (4)  x = 8 + 15k (*) thay vào (3) ta có : 8 + 15k  4 ( mod 7)  15k  -4 ( mod 7)  k 3 ( mod 7)  k = 3 + 7t Do (*) k  59  3 +7t  59  t 

8

Để x đạt max thì k và do đó t đạt max  t = 8  k = 59  x = 893

Vậy số học sinh lớn nhất có thể có trong trờng là 893 em

D Bài tập tự luyện

Tìm số tự nhiên x lớn nhất , nhỏ nhất thoả mãn : x  1000 và khi chia x cho

3,5,9,11 thì đợc số d lần lợt là 1, 3 ,4 ,9

III – Số nguyên tố Số nguyên tố

A Lí thuyết cơ bản

1 Định nghĩa

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 , chỉ có hai ớc là 1 và chính nó

Các số còn lạ gọi là hợp số Từ đó suy ra , số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố ,

số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất

2.1 Định lí cơ bản của số học

Mọi số lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất ( không

kể thứ tự các thừa số )

2.2 Có vô số số nguyên tố

2 Các tính chất

2.3 Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N là số không vợt quá N

Từ đó suy ra : nếu số N > 1 không có một ớc nguyên tố nào từ 2 cho đến N thì N là một số nguyên tố

2.4 Có vô số số nguyên tố dạng ax + b với (a,b) = 1

2.5 Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n  1 , mọi số nguyên tố lớn hơn 3

đều có dạng 6n  1 ( n > 0 )

B Ph ơng pháp tìm cực trị với số nguyên tố

Không có phơng pháp chung để giải các dạng bài tập về số nguyên tố , ta thờng phân tích thành dạng tích từ dữ kiện đề bài rồi sử dụng tính chất chia hết để lọc hoặc

có thể quét các trờng hợp nếu số lần quét có thể kiểm soát đợc

C Bài tập áp dụng

Bài số 1 Tìm số lớn nhất , nhỏ nhất có hai chữ số ab sao cho a ab b là số nguyên tố

Giải : Vì a,b có vai trò nh nhau nên ta giả sử a>b Gọi p =

b a

ab

 với p nguyên tố

 ab  p  a p hoặc b p  p = 2,3,5 hoặc 7  ab=pa-pb  (a+p)(p-b)=p2

 









1

2

b

p

p p

a

 









1

2

p b

p p

* Với p=2 ta có số ab=21,22

* Với p=3 ta có số ab = 62,26

* Với p=5 và p=7 thì a có hai chữ số nên loại

 ab={21,22,26,62}

Vậy max ab = max ( 21,22,26,62) = 62

minab= min( 21,22,26,62)=21

Bài số 2 Tìm số nguyên tố p lớn nhất , nhỏ nhất sao cho 13p+1 là lập phơng của một số tự nhiên

Giải : Với số n tự nhiên , theo đề bài ta phải tìm số p sao cho : 13p = n3 – 1

 13p = ( n-1)(n2+n+1) Do (13,p)=1 nên n-1=13 hoặc n2+n+1 = 13  n= 14 hoặc n=3  p=211 hoặc p=2

Vậy max p = 211, min p = 2

Bài số 3 Tìm k để dãy : k +1,k+2, , k+9,k+10 có nhiều số nguyên tố nhất

Giải : Trong 10 số liên tiếp luôn có 5 số chẵn ( trong đó có nhiều nhất một số nguyên tố là 2) Vậy có không quá 6 số nguyên tố

Với k=0 thì từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố ( 2,3,5,7)

Với k=1 thì từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố ( 2,3,5,7,11)

Với k>1 thì từ 3 trở đi không có số chẵn nào nguyên tố , trong 5 số lẻ liên tiếp có một

số là bội của 3 do đó trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố

Vậy với k=1 thì dãy có nhiều số nguyên tố nhất

D Bài tập tự luyện

Tìm số nguyên tố lớn nhất không vợt quá 98 có dạng p3 + 2

IV – Số nguyên tố Ph ơng trình DIOPHANTE

A Lí thuyết cơ bản

1.Định nghĩa

Một phơng trình có nhiều ẩn số với tất cả các hệ số đều là những số nguyên và ta phải tìm nghiệm nguyên của nó đợc gọi là phơng trình DIOPHANTE

Nói chung phơng trình DIOPHANTE có nhiều nghiệm nguyên nên ta còn gọi là

ph-ơng trình vô định

Ví dụ : 7x + 4y = 10

x2+y2 = z2

x3 – 7y2 = 1

2.Ph ơng trình bậc nhất

2.1.Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn

2.1.1 Định nghĩa

Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng : ax + by = c trong đó a,b,c là những số nguyên , a và b đồng thời khác 0

2.1.2 Một số tính chất

2.1.2.1 Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (a,b)=1

2.1.2.2 Nếu phơng trình ax + by = c có một nghiệm nguyên (x0,y0) thì nó có vô số nghiệm nguyên dạng :













at y

y

bt

x

x

0

0

trong đó t  Z

2.2 Ph ơng trình bậc nhất n ẩn (n>2).

Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) là phơng trình có dạng :

a0+ a1x1+a2x2+ +anxn =0 trong đó ai  Z ( i = 0,1, ,n)

Phơng trình bậc nhất n ẩn (n>2) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi các hệ số ai đôi một nguyên tố cùng nhau

2.3 Định lí lớn Fermat

Fermat đã chứng minh đợc rằng : Với mọi số tự nhiên n >2 thì phơng trình x2+y2=z2

không có nghiệm nguyên dơng

Khi n = 2 thì nghiệm tổng quát của phơng trình là : 











) (

2

) (

2 2

2 2

q p

m z

mpq y

q p

m x

trong đó m,p,q là những số nguyên bất kì , (p,q)=1 , p,q chẵn lẻ khác nhau

2.4.Phơng trình PELL

là phơng trình có dạng : x2 – Dy2 =1

B Ph ơng pháp tìm cực trị với ph ơng trình DIOPHANTE

Nh trên đã trình bày , phơng trình DIOPHANTE là phơng trình vô định , thậm chí nhiều phơng trình cha tìm ra lời giải tổng quát Do phạm vi khuôn khổ đề tài nên tôi không chuyên sâu vào phép giải phơng trình mà chỉ giới hạn với một khoảng nguyên của ẩn để tìm max , min theo dữ kiện đề bài và chỉ với những phơng trình đơn giản Phơng pháp giải chung cho những bài toán đơn giản này là từ dữ kiện đề bài ta thiết lập phơng trình rồi sử dụng tính chất chia hết hoặc đồng d thức hoặc kiến thức liên phân số để tìm nghiệm riêng hoặc nghiệm tổng quát Trên khoảng nguyên xác định

ta tìm đợc max , min thoả đề bài

C Bài tập áp dụng

Bài số 1

Có ba ngời đi câu cá Trời đã tối nên họ bỏ cá trên bờ sông rồi mỗi ngời tìm một nơi

để ngủ Ngời thứ nhất thức dậy đếm số cá thấy chia 3 thì thừa 1 nên ném 1 con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Ngời thứ 2 thức dậy tởng hai bạn còn ngủ , đếm số cá chia

3 thấy thừa 1 con nên ném 1 con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Ngời thứ 3 thức dậy tởng mình dậy sớm nhất đếm số cá chia 3 thấy thừa 1 con nên ném 1 con xuống sông rồi xách 1/3 về nhà Hỏi họ câu đợc nhiều nhất bao nhiêu con cá biết số cá không vợt quá 170 con

Giải : Gọi số cá câu đợc của ba ngời là x và y là số cá còn lại khi cả ba đã lấy đi phần của mình thì ta có phơng trình :

38 27 8 1

1 )

1

(

3

2

3

2

3

2

































áp dụng thuật toán Euclide ta có nghiệm riêng là : x0=-10.38 =-380, y0=-3.38=-144

















t y

t x

8 144

27 380

( t Z)

Do x<170 nên t lớn nhất là 20 khi đó x = 160 , y = 16

Vậy số cá lớn nhất ba ngời câu đợc là 160 con

Bài số 2 Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất sao cho x 9, x+1 25 và x+2 4

Giải :

Do x 9, x+1 25 nên u,v  N : x = 9u , x+1 = 25v  25v-9u = 1 phơng trình này có nghiệm tổng quát là v = 4 + 9t , u = 11 + 25t  x = 99 + 225t ( t N)

Ta lại có : x+2 = 4y  101 + 225t = 4y  t=-101 +4k  x = -22626 + 900k

Do t > 0 nên k 26  min x = -20286 khi k = 26

Bài số 3 Tìm số nghiệm nguyên dơng lớn nhất của phơng trình :

1991

1 1

1

1







z

y

Giải : Với mọi bộ (x,y,z) thoả mãn phơng trình ta giả sử 0 xyz thì :

1991 3 1991

3 1991

1 1 1 1 1 1

1

1

0           x

x z

y x x x

y

giá trị không nhiều hơn 2.1991 Với mỗi giá trị của x ta có :

1991 2 1991

1991 2 2

1 1

1

1991

















x

x y

y z y

Với x,y đã biết thì có nhiều nhất là một giá trị tơng ứng của z

Vậy có nhiều nhất là 23.1991 nghiệm

D Bài tập tự luyện

Bài số 1 Trong các số tự nhiên từ 200 đến 500 tìm số lớn nhất , số nhỏ nhất chia cho 4,5,7 lần lợt có d là 3,4,5

Bài số 2

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia nó cho 7,5,3,11 thì đợc d tơng ứng là

3,2,1,9

V- một số bài toán cực trị khác

Bài số 1 Tìm GTLN, GTNN của tích xy biết x và y là các số nguyên dơng thoả mãn :

x+y = 2005

Giải :

Ta có 4xy = (x+y)2 – (x-y)2 = 20052 – (x-y)2

Giả sử x>y ( không thể có x = y) Ta có : xy lớn nhất  x-y nhỏ nhất ; xy nhỏ nhất

 x-y lớn nhất

Do 1 yx 2004 nên 1 x y 2003 Ta có min(x-y) = 1  x = 1003 ; y=1002 max (x-y) = 2003  x = 2004; y=1

Do đó : max(xy) = 1005006  x=1003; y =1002

min(xy) = 2004  x=2004 ; y= 1

Bài số 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+4y biết rằng x,y là các số tự nhiên và A không phải là số chính phơng

Giải : Vì A không chính phơng nên A>1

Xét A = 2 ta có 2=x2+4y nên x chẵn Khi đó vế phải chia hết cho 4 , vế trái không chia hết cho 4 nên loại

Xét A=3 ta có : 3 = x2+4y nên x lẻ Khi đó vế phải chia 4 d 1, vế trái chia 4 d 3 nên loại

Xét A = 5 ta có : 5=x2 + 4y , tồn tại x,y thoả mãn đẳng thức trên nh x=3 ,y=-1 Vậy GTNN của A là 5

Bài số 3 Cho dãy (1) gồm 50 số hạng : 20+12; 20+22 ; 20+32 ; ; 20+492; 20+502

Xét dãy (2) gồm 49 số là ƯCLN của mỗi số hạng của dãy (1) , không kể số hạng cuối cùng với số hạng đứng liền sau nó trong dãy ấy Tìm số lớn nhất trong dãy thứ (2)

Giải :

Ta có : 49 số số hạng đầu của dãy (1) có dạng : 20+n2 ( n=1,2, ,49) Gọi d là số bất kì của dãy (2) , d =ƯCLN(20+n2, 20+(n+1)2)

Ta có : (20 +n2 +2n +1)-(20+n2)  d  2n+1d  2(20+n2)-n(2n+1) d  40-n

d

 2(40-n)+(2n+1) d  81d

Do đó d  81 Với d = 81 ta có 40-n81 Do n  {1,2,3, ,49} nên n =40

Vậy số lớn nhất trong dãy (2) là 81 , đó là ƯCLN(20+402,20+412)

Bài số 4

Tìm số chính phơng lớn nhất biết rằng nếu xoá hai chữ số tận cùng của nó ( hai chữ

số này không cùng bằng 0 ) , thì ta đợc một số chính phơng

Giải : Gọi số chính phơng cần tìm là n2 ta có : n2 = 100A +b ( A là số trăm , 1 b 99) Theo đề bài , 100A là số chính phơng nên A là số chính phơng

Đặt A = a2 ( a  N ) Ta cần tìm GTLN của a

Ta có : n2 >100a2  n>10a  n 10a+1

Do b  99 nên 20a+1  99  a4

Ta có : n2 = 100a2+b  1600+99 = 1699 Kiểm tra lại : 422 = 1764 , 412 = 1681

Số chính phơng lớn nhất phải tìm là 1681 = 412

Chơng 2

cực trị đại số

I – Ph ơng pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai

A Lí thuyết cơ bản

Ta đã biết A2  0 ( -A2  0) với mọi giá trị của biến trên tập xác định E của A

Nh vậy nếu biểu thức M ( nguyên hoặc phân ) đa đợc về dạngM=A2 + k ( hoặc

M=m-A2) thì rõ ràng supM= m ( infM=k) Nếu tồn tại giá trị của biến để M = k

( hoặc M=m) thì maxM = m ( min M = k)

B bài tập áp dụng

Bài số 1 Tìm max ( min) của các biểu thức sau :

a) A = 2x2 - 8x+1 b) B = -5x2 - 4x +1

Giải:

a) Ta có : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 – 7  -7 Dấu = xảy ra khi x=4 Vậy minA=-7 khi x=4

b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 =

5

9 5

9 ) 5

2 ( 5 5

9 ) 25

4 5

4 (

5 2       2  

x=-5

2

Do đó maxB =

5

9

khi

x=-5

2

L

u ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max , min có thể học sinh mắc sai lầm

Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – 9  - 9 vì (x-1)2

 0 và (x-3)2

0  minA = -9 nhng không tồn tại x thoả mãn điều đó Ta cần làm nh Bài 1a)

Bài số 2 Tìm min của C = x x 2006

Giải : Để C tồn tại thì ta phải có : x 2006 (*)

Ta có :

C = x x 2006 = x – 2006 - x 2006 +

4

1

+

4

8023

=

4

8023 4

8023 )

2

1 2006









x

Vậy min C =

4

8023

4

8027 2

1

2006   

Bài số 3

Tìm min của D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

Giải : Tập xác định của D là IR

Ta có : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – 1  - 1

Dấu = xảy ra khi : ( x2 + 5x + 5)2 = 0  ( x2 + 5x + 5) = 0 

2

5

5 





x

hoặc

2

5

5 





x Vậy minD = - 1 

2

5

5 





2

5

5 





x

Bài số 4 Tìm min của E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5

Giải : Tập xác định của E là IR2

Ta có : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5 = ( x-y)2 + (y-2)2 + 1

Vì ( x-y)2  0 x,y và (y-2)2  0 y nên E 1 x,y

2 0 2 0





























y x y y x y y x

Vậy minE = 1 khi x=y=2

Bài số 5 Tìm min của F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012

Giải : Tập xác định của F là IR3

Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006

Vì : ( x-y+z-1)2 0 x,y,z , ( x+z-2)2 0 x,z và ( z-1)2 0 z nên F  2006

x,y,z































1 1 0

1

0 2

0 1

z y z

z x

z y x

Vậy min F = 2006  x=y=z=1

Bài số 6

9 5 6

2

x

x  Giải :

Ta có : G =

4 ) 1 3 (

2 5

6 9

2 9

5 6

2

2 2















 0 x

 ( 3x-1)2+4  4 x 

2

1 4

2 4 ) 1 3 (

2 4

1 4 ) 1 3 (

1

2 2





















2

1



min G =

2

1



 3x – 1 = 0  x =

3

1

Bài số 7

Tìm min của H =

1 2

6 8 3 2 2









x x

x

Giải : Tập xác định của H là IR\ {1}

) 1 (

) 2 ( 2 1

2

) 4 4 ( ) 2 4 2 (

2

2 2

2 2

























x

x x

x

x x x

x

 min H = 2  x= 2

Bài số 8 Tìm max , min của I =

1

4 3 2





x

x

Giải :

* Tìm min I

1

) 2 ( 1

1 4

4

2

2 2

2 2























x

x x

x x

 x=2

* Tìm max I

1

) 1 2 ( 4 1

1 4 4 4 4

2

2 2

2 2





















x

x x

x x



2

1





x Bài số 9

Tìm min của K = x3 + y3 + xy biết rằng x+y=1

Giải :

Ta có : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2

Có nhiều cách giải ở đây , ví dụ :

K = x2 + (1-x)2 =

2

1 2

1 ) 2

1 (

2 x 2   Min K =

2

1

khi

2

1 2

1





x Bài số 10

Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3

Giải:

Ta có : x + y + z = 3  ( x+ y + z)2  9  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9

 L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*)

Ta luôn có : x2 + y2 + z2  xy + yz + zx x,y,z , dấu = khi x=y=z nên từ (*) suy

ra :

3L  9  L  3  min L = 3 khi x=y=z = 1

C bài tập tự luyện

Bài số 1 Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :

a) A = x2 -5x + 1

b) B = 1 – x2 + 3x

Bài số 2 Tìm min của mỗi biểu thức sau :

a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5)

b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17

Bài số 3 Tìm max của biểu thức sau :

E = xy + yz + xz biết x+y+z=12

Bài số 4 Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :

a) F =

5 2

17 6 3

2

2









x x

x

9

12 27 2





x

x

; c) H =

1 4

3 8 2





x

x

II- Ph ơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối

A Lí thuyết cơ bản

Ta biết rằng : với A , B là những biểu thức đại số thì :

i) AB A  B

ii) A B A  B

Dấu bằng xảy ra khi A.B  0

B bài tập áp dụng

Bài số 1 Tìm min của A = x 2  x 8

Giải :

Ta có : A = x 2  x 8 = 2  x  x 8  2  xx 8  10

Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8)  0   8 x 2

Bài số 2

Tìm max của B = x 2 ( 1  x 1 )  x 2 ( 1  x 1 )

Giải : Tập xác định của B là x  -1 (*)

Ta có : B = ( x 1  1 )2  ( x 1  1 ) 2  x 1  1  x 1  1  x 1  1  x 1  1  2

Suy ra max B = 2 khi (( x 1  1 )( x 1  1 )  0  x 0 (thoả(*))

C Bài tập tự luyện

Bài số 1 Tìm max của biểu thức :

a) C = a 3  4 a 1  a 3  4 a 1

2007 4014

2006

x

Bài số 2 Tìm min của biểu thức :

a) E = x2  64  16xx2

b) F =

4

1 4

2









III – Số nguyên tố Ph ơng pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại

nghiệm của ph ơng trình bậc hai ( ph ơng pháp miền giá trị hàm số )

A.Lí thuyết cơ bản

Ta đã biết : phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu 2 4 0







Nếu biểu thức A =

) (

) (

x g

x f

xác định trên miền D có thể qui về dạng : f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập nguồn

D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A Vì vậy bằng cách gián tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm của phơng trình (1) ta sẽ xác định đợc tập đích E và do đó chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA , minA

B bài tập vận dụng

Bài số 1 Tìm max , min của A =

1

1 2

2









x x

x

Giải : Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình sau có nghiệm :

a =

1

1

2

2









x

x

x

 (a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = 0 ( Do x2 +x +1 > 0  x ) (2)

* Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

* Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có

) 1 ( 3 3

1 0 ) 3 )(

1 3 ( 0 ) 1 ( 4 ) 1

(





























Với

3

1



a hoặc a=3 thì nghiệm (2) là :

) 1 ( 2

1 )

1 ( 2

) 1 (

a

a a

a x













Với

3

1



a thì x = 1 , với a=3 thì x = -1

Kết hợp hai trờng hợp trên ta có : min A = 1

3

1



 x ; maxA = 3  x=-1 Bài số 2

Tìm max , min của B =

x x

x x





 2

Giải :