Chuyên đề về cực trị thcs (dùng để dạy học hoặc làm sáng kiến kinh nghiệm)

cũng có giá trị nhỏ nhất.. Và bài toán dạng này mức độ khó đã tăng lên... Ta dự đoán xem biểu thức 1.5a lúc này có giá trị nhỏ nhất không?. Rõ ràngta thấy biểu thức 1.5a luôn lớn hơn t n

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 3 2



x

x

Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

(Bài 82b, sách bài tập toán 9 tập 1, trang 19-Nhà xuất bản Giáo dục năm2010)

Ta có:

4

3 1 ) 4

3 2

3 2 ( 2

1 ) 2

Dựa vào biểu thức tổng quát này ta có thể có các bài toán tương tự khi thay

a, b, p những giá trị nào đó với lưu ý a  0 Ví dụ: Cho a = 2; b = 5; p = 4, tacó:

Vậy ta có bài toán:

Bài 1.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

29 20

Trang 2

- Cho a 2 ;b 1 ;p 3, ta có:

4 2 2 2 3 1 2 2 2 3

4 2 2

Nên ta có bài toán:

1 5

2

11 5 6

Trang 3

1 3 2 2

5 8 32 8 16 16 5

4 4 5

2

2 3 4

2 3

2 4 2

2 4

x x x x

x x

21 32 24

16

2 8 8 32 1 16 16

2 1 4 4 ) 2 ( 1

2

2 3

4

2 3

2 4

2 2

x x x x

x

x x x

Từ đó ta có bài toán:

1 8 24 32

Trang 4

1 1 2 1

1

2 3 4

2 2 2

x x x x

x

1

2 3 2 4

3 1 3

1 1

2 4

2 2 2

x x

x

4

2 2 4





x x

K

Trang 5

3 1 4

2

2 2 2

1

0 1 0

1 1

x

x x

4

5 1 4 4 5 1 2

2 3 4

2 2 2

x x x x

x

Vậy ta có tiếp bài toán:

5 4

x x L

5 1 4 4 5 4

4

2

2 2 2

3 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

0 0

1 2

0

x

x x

x

Vậy min L = -5, đạt được khi x = 0, hoặc x = 21

Nhận xét 1.4: Tiếp tục mở rộng cho biểu thức có chứa 2 biến Ta có:

cy

a x p p b

ax

n m

Trang 6

   

6 4 2 4

2 1 4 4 2 1 2

2 1 2 2 1

2 2

y y x

x

y x

6 4 2

4 2 2

x

y x y x

, 4 4 1 2 1

2 ) 1 4 4 ( 2 ) 1 2 (

6 4 2 4

2 2

1 2 0 1

y x y

Vậy min M = 4, đạt được khi và chỉ khi x = -1, y = -1/2

- Cho a = 2, b = -1, n = m = c =1, d = 2, p+q = 1 Ta có:

6 4 4 4

1 4 4 1

4 4

1 2 1

2

2 2

y y x x

y x

x

y x y x N

, 1 1 2 1

2

1 ) 4 4 ( ) 1 4 4

(

6 4 4 4

2 2

2 0 1 2

y x y

Vậy min N = 1, đạt được khi và chỉ khi: 





 2 2 1

y x

Nhận xét 1.5: Bây giờ ta thay (ax + b)2m ở biểu thức (1.4) bởi: (ax +by)2m thì biểu thức: (ax + by)2m +(cy + d)2n + t (1.5)

Trang 7

cũng có giá trị nhỏ nhất Và bài toán dạng này mức độ khó đã tăng lên

Ví dụ: Cho a = c = b = d = m = n = 1, t = 4 Ta có:

5 2 2

2

4 1 2 2

4 1

2

2 2

2

2 2

y

x

y y y

y xy y x

P

, 4 4 1

4 1 2 2

5 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

Vậy min P = 4, đạt được khi và chỉ khi: x = 1, y = -1

Bài toán sau cũng có dạng trên:

Bài 1.14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 1

2 2

2 2 2

x xy y x x y xy x

Q

1 2 3

1 ) 9

1 3

1 2 (

2 2 ) 3

1 (

Trang 8

Ta dự đoán xem biểu thức (1.5a) lúc này có giá trị nhỏ nhất không? Rõ ràng

ta thấy biểu thức (1.5a) luôn lớn hơn t nên biểu thức này không có giá trịnhỏ nhất Vậy để biểu thức (1.5a) có giá trị nhỏ nhất ta cần thay đổi điều gì?

Ta cần thay đổi như sau thì biểu thức sẽ có giá trị nhỏ nhất:

 ax by2m  cy d2nt (1.6)

Ví dụ: Cho a = c = t = m = n = 1, b = d = 2, ta có:

3 2 2 2 2 3

1 2 2 2 2

2 2

1 2

y x

y y

y xy x

y y

x

Bài 1.15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 2

3 2 2 2 2 3

2 2

y y

x

y y

y xy x

y xy

y x

0 2

y x y y x y

y

x

(TM)Vậy minR = 1, đạt được khi và chỉ khi: x = 4, y = 2

- Cho a = 31 , b = 3, c = 32 , d = 23 , t = 21, m = n = 1, ta có:

1 2 3 2

1 2 3

2 3 2

3

2

1 2

3 3

2 3

3

2 2

x x y xy x

x y

x

Vậy ta có bài toán sau:

T = x 2 xy 3y 2 x 1

(Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp năm học 2007 – 2008, lớp 9)

Giải:

Trang 9

Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x 0 ,y 0

Ta có:

0 , 0 2

1 2

3 3

2 3

3

1 2 3

2 3 2

3

1 2 3 2

2 2

x y

x

x x y xy x

x y xy x

3 3 0 2 3 3 2 0 3 3

x

y x y x x

y x

(tm)Vậy minT = 21, đạt được khi và chỉ khi: x = 49 , y = 14

- Cho a =

3

1, b = 3, c =

3

2, d = 2

3, t =

2

4009, m = n = 1, ta có:

2006 2

3 2

2

4009 2

3 2 3

2 3 2

3

2

4009 2

3 3

2 3

3

2 2

x x y xy x

x y

x

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 1.17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với x  0 ,y  0:

3

2 3 2

3

2006 2

3 2

x

x y xy

x

S

0 , 0 2

4009 2

3 3

2 3

3

2 2

3 3 0 2 3 3 2 0 3 3

x

y x y x x

y x

(tm)

Trang 10

Vậy minS = 40092 , đạt được khi và chỉ khi: x = 49 , y = 14

Nhận xét 1.7: Như trên ta đã xét những biểu thức có dạng:

 ax by2m  cy d2nt (1.6)đều có giá trị nhỏ nhất, và dạng khai triển của chúng là các đa thức Khi mộtbài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giáo viên cần hướng dẫnhọc sinh chú ý điều gì? Khi một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-[axb2p] (1.1’)-[axb2np ] (1.2’)-{ ax b cx d n p



 } (1.3’)-[ax b2m cy d2n t]



 (1.4’)-[(ax + by)2m +(cy + d)2n + t] (1.5’) -[ ax by2m  cy d2n t ] (1.6’)Với việc làm quen và làm thành thạo các bài toán tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức theo các dạng ở phần trước đã nêu thì việc tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức tạo bởi khi thêm dấu “-“ đằng trước của biểu thức có giá trịnhỏ nhất cũng thật là đơn giản

Trang 11

lớn nhất là -14 , đạt được khi và chỉ khi: x =

Đây là biểu thức chỉ có 1 biến nên ta liên tưởng đến dạng tổng quát là (1.1’)

và (1.2’) Nhưng hạng tử có bậc cao nhất là 2 nên ta liên tưởng đến dạngtổng quát (1.1’)

Ta có: A1 = - 4x(x+1)

= -[(4x2+4x+1)-1]

= - (2x+1)2 + 1  1 x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 21

Vậy giá trị lớn nhất của A1 là: 1, đạt được khi và chỉ khi: x = 21

Bài 1.19: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 1

Vậy max A2 = -3, đạt được khi x = 1

A3 = - (x4 – 8x2 + 15)

Hướng dẫn giải:

Đây là biểu thức đơn biến với hạng tử cao nhất có bậc bằng 4 nên ta liêntưởng đến dạng tổng quát là (1.2’) hoặc (1.3’)

Trang 12

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x2 = 4  x = 2 hoặc x = -2

A4 = 2009 – x2 – 2x – 4y2 + 4y

Hướng dẫn giải

Đây là biểu thức chứa 2 biến nên ta liên tưởng đến biểu thức tổng quát của

nó có thể là (1.4’) hoặc (1.5’) Nhưng không có hạng tử nào chứa một lúc cả

2 biến x và y nên ta chỉ liên tưởng đến dạng tổng quát là (1.4’) thôi!

Vậy max A4 = 2011, đạt được khi và chỉ khi: x = -1, y = 12

A5 = 2011 – 2(x2 + y2 – y + 2xy)

Hướng dẫn giảiĐây là biểu thức có chứa 2 biến trong đó có hạng tử 2xy có chứa cả 2biến, do đó ta sẽ liên tưởng đến dạng tổng quát của nó là (1.5’)

1 - y 0 2

y x y x

Vậy: maxA5 = 2012, đạt được khi và chỉ khi: 





 1 2 2

y x

Trang 13

Bài 1.23: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau với x, y không âm:

y x y y x y

y x

Vậy max A6 = 5, đạt được khi và chỉ khi:

y x

0 ) 3 1 )(

Suy ra: f(x)  1

Vậy: max f(x) = 1, đạt được khi và chỉ khi:

0 4

3 1 1 3

1 1

x x

0



 x (thỏa mãn điều kiện)

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 4

2

16 1 16

y x

x P





Trang 14

(Đề thi học sinh giỏi cấp THCS năm học 2008-2009 vòng 2, huyện QuỳHợp)

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số không âm 1 và 16x4, ta có:

2 4

4 2 16 8 16

1 8

1 8 8 16 1 16

2 2 2 2 2 4

x y

y x

x P

Vậy max P =

4

1, đạt được khi và chỉ khi: x =

Nhận xét 2.1: Để giải bài toán này ta đã áp dụng bất đẳng thức Côsy

cho mẫu thức của 1 biểu thức Sau khi dùng bất đẳng thức Côsy ở mẫu, mẫuthức thu được vẫn còn chứa biến Để triệt tiêu biến đó thì tử cần có thừa sốchứa biến ấy với số mũ tương ứng Ta có biểu thức tổng quát sau:

n n m

m

fy e

dy cx

b

ax

4 2 4

2



(a, b, c, d, e, f, là các số dương; m, n là các số tự nhiên khác 0)

Ta thay a, b, c, d, e, f, m, n, các số cụ thể ta sẽ có những bài toán với cáchgiải tương tự Chẳng hạn cho a = b = c = d = e = f = m = n = 1, ta có bài toánsau:

4 2 4 2 1

y x

x Q

1 2

1 2 2 1

2 2 2 2 2 4

x y

y x

x

Q

Vậy max P = 1, đạt được khi và chỉ khi: x =  1,y =  1

Trang 15

- Cho a = 1, b = 4, c = 1, d = 2, e = f = m = n = 1, ta có bài toán sau:

4 2 4

2 1

2

y x

x M

1 2

2 4 1

2

2 2 2 2 2 4

x y

y x

x M

Vậy max M = 54 , đạt được khi và chỉ khi: x =  2,y =  1

Bài toán 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1

3 4

(Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2010 – 2011 bảng B,Nghệ An)

Giải:

Ta có:

1

) 1 ( 4 4 1

3 4

2

2 2

x x

x

x x

1 2

2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = -2

Vậy min A = -1, đạt được khi và chỉ khi: x = -2

Nhận xét 3.1: Tổng quát lên ta có biểu thức:

d x c

b ax



2 2 2 2

Trang 16

Trong đó a, b, c, d, e là các hằng số, x là biến và a 0, 2 2 0



d

c Để có bàitoán tương tự ta thay các hằng số bởi các số tùy ý với điều kiện trên

Ví dụ: Cho a=c=d=1, b=-1,e=2, ta có bài toán sau:

1

3 2 3

2

2 1

Giải:

Ta có:

1

3 2 3

2

2 1

x

x x

1 2 1

1

2 2 1 2

2

2 2

2 2 2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 1

Vậy min A3.1= 2, đạt được khi và chỉ khi: x = 1

- Cho a = 2, c = 2, b = d = 1, e = -2, ta có bài toán:

1 2

1 4

2 2

Giải:

Ta có:

1 2

1 4

2 2

x x

x

x x

x

x x

) 1 2

(

1 2

) 1 ( 2 ) 1 2

(

1 2

2 4 1 4 4

2 2 2

2 2

2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 21

Vậy min A3.2 = -2, đạt được khi và chỉ khi: x = 21

Trang 17

- Cho a = c = 3, b = 2, d = 1, e = -1, ta có bài toán sau:

1 3

3 3 4

2 3

Giải:

Ta có:

1 3

3 3 4

2 3

x x

x

x x

) 2 3

(

1 3

) 1 3 ( ) 2 3

(

1 3

1 3 4 3 4 3

2 2 2

2 2

2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x= 23 3

Vậy min A3.3 = -1, đạt được khi và chỉ khi: x= 23 3

Bài toán 4: Cho x>0, y>0, z>0 thỏa mãn:

x2011+y2011+z2011=3Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

' 2009

Trang 18



Đẳng thức xảy khi và chỉ khi: x = y = z = 1

Vậy max M = 3, đạt được khi và chỉ khi: x = y = z = 1

Nhận xét 4.1: Với bài toán trên tổng quát hóa ta có bài toán sau: Bài 4.1: Cho x m y m z m a





 , với a là hằng số, x>0, y>0, z>0, m>n.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

) ( 3

3 3

n

mx a n m

) (

m n

a m

a n m nx x

3 ) (

(1)

Tương tự ta có:

m n

a m

a n m ny y

3 ) (

(2)

m n

a m

a n m nz z

3 ) (

(3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

n số

m-n số

Trang 19

n n

x  

m m m

a m

a n m z

y x n

) ( ) (

m n m m n

m n m m

n

a

a a

m

na ma

3 (

Vậy max M1 = m

n m m

n

a

 3 , đạt được khi và chỉ khi: x=y=z=m a

3

Nhận xét 4.2: Từ bài toán tổng quát trên ta thay các chữ: m, n, a bằng

các số cụ thể ta sẽ có những bài toán mới chẳng hạn khi cho: m = 3, n=2,a=3, ta có bài toán sau:

3 ) (

2 3 3 3 2

2

2 y z  x y z    

x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1

Vậy max M2 = 3, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 1

- Cho m = 4, n = 2, a = 3, ta có bài toán:

Trang 20

3 ) ( 4 4 4 2

2

2    x y z    

z y x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1

Vậy max M3 = 3, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 1

- Cho m = 12, n = 3, a = 39, ta có bài toán sau:

Bài 4.4: Cho x12 y12 z12  3 9, x>0, y>0, z>0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M4 = x3 y3 z3

( ) 3 (

8 12 3

3 4

3 3

12

3 9

6

9 12 3

3 4

3 4 3

4

3 3 3 3

4

3 3 )

6

9 6

9 9 6

9 12 12 12 3 3 3

Trang 21

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 12 3  8 3 9

Vậy max M4 = 27, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 3 9

- Cho m = 2012, n = 4, a = 3 504, ta có bài toán sau:

Bài 4.5: Cho x2012 y2012 z2012  3 504, x>0, y>0, z>0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M4 = x4 y4 z4

4

3 503

3 502





x (1)Tương tự ta có:

502

503 2012

4

3 503

3 502

4

3 503

3 502

3 503 3

503

3 502 3

3 503

3 502 3 )

502

504 502

504 504

502

503 2012

2012 2012 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 2012 3 503  4 3

Vậy max M5 = 9, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 4 3

2008 số

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	605 KB