Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.. Chứ
Trang 1TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH
(Đề số 16)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2,5 điểm)
1 Cho hàm số (C) :
1
y
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M Î (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
2 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) :
1 9
6 2 3
y
Câu 2 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: 3 25 2 3 105 2 3
x
2 Giải hệ phương trình:
2 cos
cos
2 sin
sin
y x
y x
Câu 3 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: log cosx sinxlog1cosxcos2x0
x
2 Giải bất phương trình: 3 1 2 1 3 1 0
x
3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
Câu 4 (2 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C Î (P) sao cho ABC là tam giác đều.
2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu 5 (2,5 điểm).
1 Tính :
2 3
sin
cos
x
2 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2
a b c
3 Cho z = 1 3
i
;z; z ;(z) ;1 z z
(Hết)
Trang 2H ƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 16) NG D N GI I: ( ẪN GIẢI: (đề số 16) ẢI: (đề số 16) đề số 16) ố 16) s 16)
b Tìm M Î (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75
1
y Y
x
0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 T = d(M, d) + d(M, d’) = ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4 7
X Y
X
4
| |
| | 2
X
X
2
X X x
0.5
Gọi M(2; m) Î d 1 : x = 2 Khi đó đt d M
d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với
k x
x
m x
k x
x x
9 12 3
2 1
9 6 2 2 3
2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m
y’ = 6(x-2) 2 0 x Hàm luôn đồng biến Pt (1) luôn có nghiệm
duy nhất từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến
đồ thị (C’).
0,5
5
3 5
10 3 25
3
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x
x x
0.25
2 0
3 5
1 0
1 5
3
0 3
5 1 5
3
2 2
2 2
x
x
x x
x x
3
1 log 2 3
1 5
2 5 2 3
x x
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm
x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
2 cos sin cos sin 2 cos cos 2 sin sin
y y x x y x y x
0.25
P
Q
A
B M
C
1
C
2
Trang 3
2 4
2 4 1
4 cos
1 4 cos 2 4 cos 4 cos
l y
k x y
x y
x
0.25
Thử lại thấy đúng nên:
2 4
2 4
l y
k x
cos sin log cos cos2 0 log x x 1 x x
x x
Điều kiện:
0 2
cos cos
0
si n cos
1 0
x x
x
2 cos 2 cos sin
2
0.25
3 2 6
2 2 2
2 2
2 2 2
k x
k x k x x
k x x
Kết hợp với điều kiện ta được:
3
2 6
x (Với k N*) ∊ N*).
0.25
3 1 2 1 3 1 0 3 2 3 3 2 2 0
x
0 2 3 2
3
2
1
x x
2
2
t
t t
0.25
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5
10
C tập con gồm 5 chữ
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
cả 5
10
C = 252 số.
0,25
Trang 4Để ABC là tam giác đều đường cao MC = AB 3 / 2 6
Gọi M là trung điểm của AB M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
(Q): x + z + 1 = 0
0,25 Gọi d = (P) n (Q)
t z t y
t x
z
x
z y
x
d
2 1 2 2 0
1
0 1 7 8
3
:
0,25
0.25
2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) FA = FB ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4
2 2 4
2
2
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
4
2
FE
2
2 2
Trang 5Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có : là góc tạo bởi AD và BC ta có :
2
| 2 2
|
2
|
|
| , cos
|
2 2 2 2 2 2 2
c
a c b c GF
GE
FE GF GE GF
GE
2
2
|
c
b
a
2
2 |
| cos
c
b
a
0.25
Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
2
2 |
| cos
a
c
b
2
2 |
| cos
b
a
c
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5
9
C tập con gồm 5 chữ
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
cả 5
9
C = 126 số.
0,25
Đặt:
0,25
/ 4
/ 4 4
0
F
E
G
A
C
Trang 62 0
J x x x dx Đặt: x - 1 = tgt
2 2
1
dt
0,25
0
3 4
2
sin
1 2 2
1 4
t u
t
du
0,25
1
2
0,25
2
1 1
1
2 2
c b a ab c ac b bc a
Ta có:
ab c ab c ab c ab c
ca b ca b ca b ca b
bc a bc a bc a bc a
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
0.5
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5