ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC TOÁN (12)

Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.. sin Câu IV 1 điểm.. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn C B, C là hai tiếp điểm s

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH

(Đề số 12)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MễN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phỳt

I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số

2

1 2

+

+

=

x

x

y có đồ thị là (C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.Chứng minh đờng thẳng d: y = - x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Câu II (2 điểm)

1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

4

2 2

2

2 x − x − > x −

x x

dx

cos

sin

Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên

và mặt phẳng đáy bằng 30 0 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đờng thẳng B 1 C 1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a.

Câu V (1 điểm) Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2009 + b 2009 + c 2009 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 4 + b 4 + c 4

II.Phần riêng (3 điểm)

1.Theo chơng trình chuẩn

Câu VIa (2 điểm).

Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới

đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

2 Cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình







 +

=

=

+

=

t z

t y

t x

3 1

2 1

Lập phơng trình

mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số

luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.

2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm)

Câu VIb (2 điểm)

trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

2 Cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình

3

1 1

2

− y z x

Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

Câu VIIb (1 điểm)

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ

số chẵn và ba chữ số lẻ.

đáp án đề số 12 thi thử đại học lần 1 khối a

I.Phần dành cho tất cả các thí sính

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng trình







=

− +

− +

−

≠

⇔ +

−

= +

+

) 1 ( 0 2 1 ) 4 (

2 2

1 2

x

x m x x

x

Do (1) có∆=m2 +1>0va (−2)2 +(4−m).(−2)+1−2m=−3≠0∀m nên đờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B

0,25

Ta có y A = m – x A ; y B = m – x B nên AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) suy ra AB ngắn nhất  AB 2 nhỏ nhất  m = 0 Khi đó AB= 24

0,5

II

(2

điểm)

1 (1 điểm)

Phơng trình đã cho tơng đơng với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin 2 x = 8

 6cosx(1 – sinx) – (2sin2 x – 9sinx + 7) = 0

 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

0,5

 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0

 





=

− +

=

−

) ( 0 7 sin 2 cos 6

0 sin 1

VN x

x x

0,25

2 k

2 (1 điểm)

ĐK:







≥

−

−

>

0 3 log

log

0

2 2

2

x

Bất phơng trình đã cho tơng đơng với

) 1 ( ) 3 (log 5 3 log

2

2

đặt t = log 2 x, BPT (1)  t2 −2t−3> 5(t−3)⇔ (t−3)(t+1) > 5(t−3)

0,5







<

<

−

≤

⇔







<

<

−

≤

⇔

















−

>

− +

>

−

≤

⇔

4 log 3

1 log

4 3

1 )

3 ( 5 ) 3 )(

1 ( 3 1

2

2

x t

t t

t t t









<

<

≤

<

⇔

16 8

2

1 0

x

x

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: ] (8;16)

2

1

; 0

III

1

x x

dx x

x x

dx

cos 2 sin

8 cos cos sin

đặt tanx = t

dt t t t

t

dt I

t

t x x

dx dt

+

=

⇒

+

=

=

⇒

3

3 2 3

2

2 2

) 1 ( ) 1

2 ( 8

1

2 2

sin

; cos

0,5

C x x

x x

dt t t t t

dt t

t t t

+

− +

+

= +

+ +

=

+ + +

=

∫

∫

−

2 2

4 3

3 3

2 4 6

tan 2

1 tan

ln 3 tan 2

3 tan 4

1 )

3 3 (

1 3 3

0,5

Câu

IV

1

điểm

Do AH ⊥(A1B1C1) nên góc ∠AA1H là góc giữa AA 1 và (A 1 B 1 C 1 ), theo giả

thiết thì góc ∠AA1H bằng 30 0 Xét tam giác vuông AHA 1 có AA 1 = a, góc ∠AA1H =30 0

2

3 1

a H

A =

⇒ Do tam giác A 1 B 1 C 1 là tam giác đều

cạnh a, H thuộc B 1 C 1 và

2

3 1

a H

A = nên A 1 H vuông góc với B 1 C 1 Mặt khác AH ⊥B1C1 nên B1C1 ⊥(AA1H)

0,5

Kẻ đờng cao HK của tam giác AA 1 H thì HK chính là khoảng cách giữa

AA 1 và B 1 C 1

0,25

Ta có AA 1 HK = A 1 H.AH

4

3

1

AA

AH H A

Câu V

1

điểm

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a 2009 ta có

) 1 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005

a a

a a a a

a a

+ + + +   



Tơng tự ta có

) 2 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005

b b

b b b b

b b

+ + + +   



) 3 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005

c c

c c c c

c c

+ + + +   



0,5

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc

) (

2009 6027

) (

2009 )

( 4 6015

4 4 4

4 4 4 2009

2009 2009

c b a

c b a c

b a

+ +

≥

⇔

+ +

≥ +

+ +

Từ đó suy ra P=a4 +b4 +c4 ≤3

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3 0,5

Phần riêng.

A1

C

C 1

B1 K

H

1.Ban cơ bản

Câu

VIa

2

điể

m

1.( 1 điểm)

Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ

đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là

hình vuông cạnh bằng 3⇒IA=3 2

0,5







=

−

=

⇔

=

−

⇔

=

−

⇔

7

5 6

1 2

3 2

1

m

m m

m

0,5

2 (1 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi

đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất

khi A≡I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp

tuyến.

0,5

) 3 1

;

; 2 1 ( t t t H

d

H∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên

) 3

; 1

; 2 ( ( 0

⇒

) 5

; 1

; 7 ( )

4

; 1

; 3

⇒H AH Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

 7x + y -5z -77 = 0

0,5

Câu

VIIa

1

điể

m

Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6

C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì

không có số 0)và 2 10

C cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2

5

C 2 5

C = 60 bộ 4 số

thỏa mãn bài toán

0,5

Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập Vậy có tất cả 2

4

C 2 5

C 4! =

1440 số

0,5

2.Ban nâng cao.

Câu

VIa

2

điể

m

1.( 1 điểm)

Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ

đ-ợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là hình

vuông cạnh bằng 3⇒IA=3 2

0,5







=

−

=

⇔

=

−

⇔

=

−

⇔

7

5 6

1 2

3 2

1

m

m m

m

0,5

2 (1 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi

đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi

I

A≡

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp

tuyến.

0,5

) 3 1

;

; 2 1 ( t t t H

d

H∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên

) 3

; 1

; 2 ( ( 0

⇒

) 5

; 1

; 7 ( )

4

; 1

; 3

⇒H AH Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

 7x + y -5z -77 = 0

0,5

Câu

VIIa Từ giả thiết bài toán ta thấy có 10

2

C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số 0,5

1

điể

m

có chữ số 0 đứng đầu) và 3

5

C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2

5

C 3 5

C = 100

bộ 5 số đợc chọn.

Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả 2

5

C 3 5

C 5! = 12000

số.

Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là

960

! 4 3

5

1

C Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán

0,5