Chuyên đề giới hạn

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I.. Chứng minh giới hạn của hàm số không tồn tại Bài 1: Chứng minh rằng hàm số fx không tồn tại giới hạn khi x→0:   III... Bài 2: Tính các giới hạn sau... aTìm a để

Trang 1

GIỚI HẠN

A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1: Tính các giới hạn sau

n n sin n 1

2

3

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

( )

3

2

1 3 5 2n 1

n n n 2

1.2 2.3 n n 1

+ + + + +

+ + +

( )

1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2(n 1)! (n 2)!

n n 1

2 13) l

( )

2

n

7.5 2.7

5 5.7

+

− ÷÷ + ÷

−

+

Trang 2

( )

2

5) lim n n 1 n 1 ; 6) lim( n n n 1); 7) lim n 1( n 2 n );

1

+ −

+

+ − −

Cấp số nhân lùi vô hạn

Bài 1: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn (u n ), biết tổng của nó bằng 2 2

2 1+ và u 2= − 2.

Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội 2

q 3

Bài 3: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 3

4 và số hạng đầu là một số dương.

Bài 4: Tính các giới hạn sau

n 1

1

2

−

π

α + α + + α α ≠ + π÷

B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I Tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa

Bài 1: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:

2

3

2

x 2

−

II Chứng minh giới hạn của hàm số không tồn tại

Bài 1: Chứng minh rằng hàm số f(x) không tồn tại giới hạn khi x→0:



III Các phương pháp tìm giới hạn của hàm số

1-Tìm giới hạn bằmg phương pháp thê trực tiếp

1) lim(x→−1 x2+2x+1) 2)

1

→ + + 3) ( )2

3

lim 3 4

x x 4)

1

1 lim

2 1

x

x x

→

+

− ; 5)

2 5 1

1

→−

+ + +

x

2

1 1

1

x

2-Tìm giới hạn dạng 0

0 bằmg phương pháp khử nhân tử chung

Trang 3

( )

2

3

x 1

 − − ÷

2

1 x 1 2x 1 3x 1

x 1

+ + + −

−

; 21) lim ;

→

3-Tìm giới hạn dạng 0

0 bằmg phương pháp nhân lượng lien hợp

2

2 2

x 2 2

x 7 3

→

+ − + − −

+ −

; x

3

2

3

x 1

5x 1 1 4x 3 1

9) lim ; 10) lim ; 11) li

+

−

7 4

5-Tính giới hạn dạng 0

0 của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng

5 4

2

Trang 4

2

x 1

→

+ − +

− −

3 2 2

2

x

x x →

+ + + −

−

1

7) lim

1

x

6-Tính giới hạn dạng ∞

∞ của hàm số

2

+ − +

+ +

−

2

;

1

x

2 x

22) lim

x 10

→−∞

+

7-Tính giới hạn dạng ∞ − ∞ của hàm số

x

4) lim 3x x 1 x 3 ; 5) lim 3x x 1 x 3 ; 6) lim 2x 1 x ;

7) lim x x x 4 ; 8) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim x 8x 4 x 7x 4 ; 10) lim x 3x x 2x ;

→+∞

11) lim x( x 2x 2 x x x); 12) lim x 1 x

8-Tính giới hạn dạng 0.∞ của hàm số

−

IV Giới hạn một bên

Bài 1: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau

a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim

Trang 5

( )

2 2

x 1

x 1 2 x

−

2 2

x 1

2x 7x 3

→

+ +

−

Bài 3: Gọi d là hàm dấu: ( )=− =<

 >



1víi x 0

d x 0 víi x 0

1 víi x 0

Tìm x 0lim d x , lim d x vµ lim d x (nếu có).→ − ( ) x 0 → + ( ) x 0 → ( )

Bài 4: Cho hàm số ( ) =  − ≥ −



3 2

x víi x<-1

f x

2x 3 víi x 1 Tìm x 1lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có).→ − ( ) x 1 → + ( ) x 1 → ( )

Bài 5: Cho hàm số ( ) =  − ≤

+ > −

 2

2 x 1 víi x -2

f x

2x 1 víi x 2 Tìm x→ −lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có).( )2− ( ) x→ −( )2+ ( ) x →− 2 ( )

Bài 6: Cho hàm số ( ) =  −− + > ≤



2

x 2x 3 víi x 2

f x

4x 3 víi x 2 Tìm x 2lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có).→ − ( ) x 2 → + ( ) x 2 → ( )

Bài 7: Cho hàm số ( )





− >



2

9 x víi -3 x<3

x 9 víi x 3

Tìm x 3lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có).→ − ( ) x 3 → + ( ) x 3 → ( )

V Hàm số liên tục tại một điểm

Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước

+

3 3

2

x 1 1)f x x x 3 vµ g x

x 1 tại điểm x0∈¡





1 víi x 0

4)f x x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0;

0 víi x=1



2

víi x 0 x

víi x=-1 1

2

( ) = − + ≠

−



2

víi x -2

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1

( )= +− ( ) = − + − − ≠

≠

3 2 2

víi x 1

x 1

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 ( )



 − −



−





2

2 2

x 3x

Trang 6

Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước



3

x víi x>-2

1 x víi x 0

.

Bài 5: Tìm a để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0

Bài 6: Cho hàm số ( )

2

x 3x 2

khi x 1

x 1

f x

= 



.

a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1;

c)Tìm a để hàm số liên tục trên R

VI Hàm số liên tục trên một khoảng

Bài 1: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:

+ +

2 2

x 1

x 7x 10

Bài 2: Hàm số ( ) = + + ≠



3

x 8 víi x 2

f x 4x 8

3 víi x=2

có liên tục trên R không?

Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó





2 2

2

2 2

2

a x víi x 2

1 a x víi x>2

x víi 0 x 1 víi x<2

mx+m+1 víi x 2



Bài 62: Xét tính liên tục của hàm số

= 

 2

nÕu x > 1

x 1 f(x)

x

2

trên ¡

VII Ứng dụng hàm số liên tục

Bài 1: Chứng minh rằng:

1)Phương trình x5+ − =x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

2)Phương trình sinx – x + 1 = 0 có nghiệm.

3)Phương trình x3+1000x2+0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm.=

4)Phương trình 3− 2− 1 =

100 có ít nhất một nghiệm dương.

5)Phương trình x4−3x2+5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).− =

6)Phương trình x3+ + =x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.

7)Phương trình 4x4+2x2− − =x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1).

8)Phương trình 2x+ 6 1 x =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9).3 −

9)Phương trình 2x3−6x 1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2).+ =

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	321,5 KB