* Chú ý 1 Nếu tử số có nhiều căn thức, tách thành nhiều giới hạn để tìm từng giới hạn đó.. Đây là các giới hạn đã biết cách tìm.. Phơng pháp trên gọi là phơng pháp gọi số hạng vắng số h
Trang 1A - GIỚI HẠN
I - GIỚI HẠN XÁC ĐỊNH
Bài 1: Tớnh cỏc giới hạn sau:
1) lim(x→−1 x2+2x+1) 2)
1
lim( 2 1)
→ + + 3) ( )2
3
lim 3 4
x x 4)
1
1 lim
2 1
x
x x
→
+
− ; 5)
2 5 1
1
→−
+ + +
x
x x x
2
1 1
6) lim x 1 ; 7) lim ; 8) lim ; 9) lim x 4 ; 10) lim
1
x
II - GIỚI HẠN Vễ ĐỊNH: DẠNG 0
0
1) Loại 1 Dạng ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
x x
f x , g x
f x
L lim
là các đa thức với
f
→
Phơng pháp
Do f x( )0 =g x( )0 = 0 nên x0 là nghiệm của các phơng trình f x( ) =0;g x( ) =0, do đó ta lấy x x − 0 ra khỏi ( ) và g( )
f x x bằng cách phân tích ( )
( ) ( ( 00) ( ) ) ( )11 11( ) ( )
x x f x
g x x x g x g x
−
− Khi đó ( )
( ) ( ) ( )
1 1
lim lim
f x f x L
+ Nếu g x1( )0 ≠ 0 thì ( )
( )
1 0
1 0
L
g x
+ Nếu g x1( )0 =0 thì ( )
( )
0
x x
Khi f L= (theo quy tắc dấu Khi f tiêp tục lặp lại quá trình phân tich nh trên
*) Chú ý: an − bn = − ( a b a ) ( n 1− + a b a.bn 2− + + n 2− + bn 1− )
2) Loại 2 Dạng ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, lim
0
chứa các căn thức cùng chỉ số với
f
→
f x g x
f x L
Phơng pháp
Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu số và tử số (nếu cần) để lấy x x − 0 ra khỏi căn thức và rút gọn để đa về giới hạn đã biết.
*) Chú ý
1) Nếu tử số có nhiều căn thức, tách thành nhiều giới hạn để tìm từng giới hạn đó.
2) Các biểu thức liên hợp
liên hợp với để đ ợc liên hợp với để đ ợc
3) Loại 3 Dạng ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
, lim
0
chứa căn thức không cùng chỉ số với
f
→
x x
f x g x
f x g x L
Phơng pháp
Chọn hằng số c= f x( )0 =g x( )0 và phân tích: ( ) ( )
( )− = ( ) ( )− − ( ) ( )−
f x g x f x c g x c
Tìm các giới hạn ( )
( ) ( ) ( )
lim ; lim
f x c g x c
h x h x Đây là các giới hạn đã biết cách tìm.
Phơng pháp trên gọi là phơng pháp gọi số hạng vắng (số hạng vắng là hằng số c)
*) Chú ý: Có một số bài toán không phải thêm bớt hằng số c nh trên mà phải thêm bớt một biểu thức chứa ẩn x
(ph-ơng pháp tách bộ phân nghiệm kép)
Cụ thể : khi x→x0ta sẽ thờm bớt một đại lượng F(x) sao cho F x( )0 = f x( )0 =g x( )0
Trang 2Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
1-Tìm giới hạn dạng 0
0của hàm phân thức đại số
Bài 2: Tính các giới hạn
2
2
3
x 1
2
1 x 1 2x 1 3x 1
x 1
−
m
x 4
x a n.a x a
3 x 1
25) lim ;
x 2 2
→
−
→
− −
− −
2-Tìm giới hạn dạng 0
0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai
Bài 3: Tính các giới hạn sau
2
2
2
2 2
x 2 2
x 7 3
→
+ − + − −
+ −
Trang 32 2
3-Tỡm giới hạn dạng 0
0 của hàm phõn thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao
Bài 4: Tớnh cỏc giới hạn sau
3
2
3
x 1
9) lim ; 10) lim ; 11) li
+
−
7 4
3
n 1 n
−
−
−
4-Tớnh giới hạn dạng 0
0 của hàm số sử dụng phương phỏp gọi hằng số vắng
Bài 5: Tớnh cỏc giới hạn sau
5 4
2
3
2
x 1
2 5 x x 7
x 1
→
−
3
1
6) lim
1
x
x →
− −
3 2 2
2
x
x x
∞ *) Với giới hạn dạng ∞
∞ ta chia cả tử và mẫu cho xm (m là bậc cao nhất của x dới mẫu số) và sử dụng các kết quả đã biết hoặc quy tắc tìn giới hạn vô cực
*) Với giới hạn dạng ∞ − ∞, 0 ∞ ta nhân với biểu thức liên hợp để đa về dạng ∞
∞.
x
khi x 0 áp dụng khi x + khi x<0 áp dụng khi x
1-Tớnh giới hạn dạng ∞
∞ của hàm số
Bài 6: Tớnh cỏc giới hạn sau
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ − +
2
;
x
Trang 4Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
−
1
x
2 x
x x x
22) lim
x 10
→−∞
+
2-Tính giới hạn dạng ∞ − ∞ của hàm số
Bài 7: Tính các giới hạn sau
x
x
1) lim x 1 x ; 2) lim x x 1 x ; 3) lim x 1 x 1 ;
4) lim 3x x 1 x 3 ; 5) lim 3x x 1 x 3 ; 6) lim 2x 1 x ;
7) lim x x x 4 ; 8) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim x 8x 4 x 7x 4 ;
10) lim x 3x x 2x ;
→+∞
→+∞
n
n
2
x
x 13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ;
16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ;
19) lim x 3
→+∞
x 5 3x 2 ; 20) lim x x 2x x 2 x x ; 21) lim x 1 x
3-Tính giới hạn dạng 0.∞ của hàm số
Bài 8: Tính các giới hạn sau
−
IV - GIỚI HẠN MỘT BÊN
Bài 9: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau
a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim
Bài 10: Tính các giới hạn sau
( )
2
2
9) lim ; 10) lim ; 11) lim ; 12) lim
2x 7x 3
x 1 2 x
( ) x3 víi x<-1 ( ) ( ) ( )
Trang 5Bài 12: Cho hàm số ( ) = −− + > ≤
x 2x 3 víi x 2
f x
4x 3 víi x 2 Tìm x 2lim f x , lim f x vµ lim f x→ − ( ) x 2 → + ( ) x 2 → ( )(nếu có).
Bài 13: Cho hàm số ( )
2
2
9 x víi -3 x<3
f x 1 víi x 3
x 9 víi x 3
Tìm x 3lim f x , lim f x vµ lim f x→ − ( ) x 3→ + ( ) x 3 → ( ) (nếu có).
Bài 14: Tìm giới hạn một bên của hàm số ( )
≤
=
−
2
2
2x 3
víi x 1 5
f x 6-5x víi 1<x<3
x-3
víi x 3
x 9
khi x→1 vµ x± →3 ±
V - MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN
Bài 15: Tìm các giới hạn sau
3
1) lim 3x 5x 7 ; 2) lim 2x 3x 12; 3) lim 1000 x ;
1 4) lim ; 5) lim 3x 5x; 6) lim x 3x ;
2x x 3x 5
Bài 16: Tìm các giới hạn sau
x 0
2
2 x
−
Bài 17: Tìm các giới hạn sau
Bài 18: Tìm các giới hạn sau
4
−
B HÀM SỐ LIÊN TỤC
I - Hàm số liên tục tại một điểm
Bài 19: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
+
3 3
2
x 1 1)f x x x 3 vµ g x
x 1 tại điểm x0∈¡
2)f x x 2 t¹i ®iÓm x=2; 3)f x x 1 t¹i ®iÓm x=1;
1
víi x 0
4)f x x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0;
0 víi x=0
2
víi x 0 x
víi x=-1 1
2
Trang 6Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục
( ) = − + ≠
−
2
víi x -2
4 víi x=-2
Bài 20: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1
≠
2
víi x 1
x 1
Bài 21: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 ( )
− −
−
2
2 2
a víi x=0
x x 6
x 3x
b víi x=3
Bài 22: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
3
3)f x t¹i ®iÓm x=0; 4) f x t¹i ®iÓm x=-2
x víi x>-2
1 x víi x 0
.
Bài 23: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0
x a khi x 0 x 2a khi x 0
x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0
Bài 24: Cho hàm số ( )
2
x 3x 2
khi x 1
x 1
f x
=
.
a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1;
c)Tìm a để hàm số liên tục trên R
II Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 25: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)=x sinx-2cos x+32 2 liên tục trênR.
b)Hàm số g x( ) = x3+xcosx+sinx liªn tôc trªn
c)Hàm số h x( ) (= 2x 1 s inx-cosx+ ) liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k≠ π ∈
Bài 26: Hàm số ( ) = + + ≠
3
x 8
víi x 2
f x 4x 8
3 víi x=2
có liên tục trênRkhông?
Bài 27: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
2 2
2
2 2
2
a x víi x 2
1 a x víi x>2 ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1
x víi 0 x 1 víi x<2
2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2 mx+m+1 víi x 2
Trang 7Bài 28: Xét tính liên tục của hàm số
=
2
2 2x 1 2x 2
khi x > 1
x 1 f(x)
x
mx khi x 1 2
trên ¡ .
III Ứng dụng hàm số liên tục: CM phương trình có nghiệm
Bài 29: Chứng minh rằng:
1)Phương trình x5+ − =x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).
2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm.
3)Phương trình 3+ 2+ =
x 1000x 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm.
4)Phương trình 3− 2− 1 =
100 có ít nhất một nghiệm dương.
5)Phương trình 4− 2+ − =
x 3x 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
6)Phương trình x3+ + =x 1 0có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
7)Phương trình 4 2
4x +2x − − =x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1).
8)Phương trình 2x+6 1 x3 − =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9).
9)Phương trình 2x3−6x 1 0+ = có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2).
10)Phương trình 3+ 2− =
x mx 1 0 luôn có nghiệm dương.
11)Phương trình x3+ax2+bx c 0+ = luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình atan x+btanx+c=02 có ít nhất một nghiệm trên khoảng k ; k , k
4
π