Chuyên đề đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa 1... Mối quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số • Hàm số y= f x có đạo hàm tại x thì liên tục tại 0 x Điều ngược lại không đúng.0.. a C

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

I Lý thuyết:

1 Đn đạo hàm:

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên D và x0∈D Khi đó ( ) ( ) ( )

0

0 0

0

x x

f x f x

f x

x x

→

−

=

−

2 Quy tắc tìm f’(x 0 ) hoặc f’(x) bằng định nghĩa:

B1: Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)

B2 :

0

lim

x

y

x

∆ →

∆

∆

KL : y’(x0) = ?

3 Tính đạo hàm bằng công thức :

(u ± v)’ = u’ ± v’

(u.v)’ = u’.v + u.v’

,

2

' '

u u v u v

−

  =

 ÷

 

y’x = (f[u(x)])’ = f’u u’x

Bảng đạo hàm của các hàm số có thường gặp:

C’ = 0

x’ = 1

(xn )’ = n.xn – 1

2

'

  = −

 ÷

 

'

2

x

x

=

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = - sinx

2

1

1 tan cos x = + x

(cotx)’ = 12 (1 cot2 )

(un)’ = n un – 1 .u’

2

  = −

 ÷

 

' 2

u u

u

=

(sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = - u’.sinu

2

'

1 tan cos

u

u

u = +

(cotu)’ = 2' (1 cot2 )

sin

u

u x

II Các dạng bài tập thường gặp:

Dạng 1 Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

1. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y x= 2−9 tại x0 = −1 b) y= 2x−1 tại x0 =5 c) y=sin 2x tại 0

6

x =π

d) y= x2+x tại x =1. e) y x x= ( −1)(x−2) (x−2008) tại x =0

2. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại x0.

x

y x=

d) y=sin x e) y=cos x g) y=tan x

Dạng 2 Mối quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

• Hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x thì liên tục tại 0 x Điều ngược lại không đúng.0

3. Cho hàm số ( )f x = x

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 =0

b) Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải của hàm số tại x0 =0 Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 =0

4. Chứng minh rằng hàm số y= −x 1 không có đạo hàm tại x=1 nhưng liên tục tại điểm đó

5. Tìm f'(0) của hàm số

khi x



= 



6. Tính đạo hàm của hàm số

a) y= −(x 1) x−3. b) y= x2− +3x 2. c) y= x2+4x+3.

Dạng 3 Tính đạo hàm của hàm số bằng công thức

7. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) y x= 6−2 x+2 b) y x x= 3( 2−4) c) y= x x(2 2−1)

d) y= +(x 3) (x−1). e) y=(2x2+1 4) ( x3−2x x) 3 g) y=(x2+1)(x3+2)(x4 +3)

8. Tính đạo hàm của các hàm số sau

c) 1 9

1

x y

x

+

=

2 3 3

x y

x a

−

=

ax b y

a b

+

= +

d)

y

x

− +

=

2 2

y

n x m x

2

y

=

−

9. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) ( 2 )5

2

x − x b) y (x= 3−2 x2+1) 11 c)

3 2

3

y

x

10 Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y= x4−3x2+7 b) y= 1−x2 c) y= x2− −3x 2

1

x y

x

+

=

1

x y

x

=

−

11 Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y= x x. b) y= 31 3 − x c) y x 3.

x

−

=

12 Cho hàm số f x( )= x2−2x−8 Giải phương trình '( ) 1.f x ≤ Đáp số: x< −2

Dạng 4 Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác

13 Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y=5sinx−3cos x b) y=sin(x3− +x 2) c) y=tan (cos ).x

sin

x x y

sin cos

y

+

=

2

cot( 1)

y x= x −

14 Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y cos (x= 2 2+2x 2).+ b) y tan (3x= 2 2+4x) c) 5( )3

y= x

d) y=cot 2 3 x e) y=cot3 1+x2

15 Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y= tan x b) y= cos 2 x c) y= 2+ 2 2cos + x

16 a) Cho hàm số ( ) cos

cos 2

x

f x

x

= Tính giá trị của ' '

f  π + f  π

b) Cho hai hàm số f x( ) sin= 4x+cos4x và ( ) 1cos 4

4

g x = x So sánh f ' x và ( ) g x'( )

Dạng 5 Viết phương trình tiếp tuyến

17 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số

a) y x= −3 3x2+2 tại điểm M( 1, 2).− − Đáp số: y=9x+7

b)

2

y

x

=

+ tại điểm có hoành độ x0 =0. Đáp số:

y= x+

c) y= 2x+1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là 1

3

k = Đáp số: 1 5

y= x+

18 Cho các hàm số y x= +3 bx2+ +cx d

a) Xác định b, c, d để hàm số đi qua các điểm (1,3), ( 1, 3) A B − − và ' 1 5

f   = ÷

  Đáp số:

b= ,c= − ,d = .

b) Với kết quả tìm được ở trên, viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành

độ x0 =1. Đáp số: y=3 x

c) Với kết quả tìm được ở trên, giải phương trình '(sin ) 3.f t =

19 Cho hàm số y x= 3−5 x2 +2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng y= − +3x 1 Đs: 3 7, 3 67

27

b) Vuông góc với đường thẳng 1 4.

7

y= x− Đs: 7 5; 7 103

27

c) Đi qua điểm A( )0; 2 Đs: 2; 25 2

4

y= y= − x+

20 a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=tanxtại điểm có hoành độ 0

4

x =π

b) Tìm góc giữa trục hoành với tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 sin 3

3

y= x tại gốc toạ độ

21 a) Cho hàm số y= f x( )= − +x4 2x2+x có đồ thị ( )C Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C) tại ( 1; 0)A − cũng là tiếp tuyến của (C) tại một điểm khác Tìm toạ độ của các tiếp điểm đó

Đs: (1; 2)

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

a y x

= tạo với các trục toạ độ một tam

Dạng 6: Giải bất phương trình

22 Tìm m để f x'( ) 0> ∀ ∈x R, biết rằng f x( )= +x3 (m−1)x2+2x+1 Đs:

1− 6< < +m 1 6

23 Chứng minh rằng f x'( ) 0> ∀ ∈x R nếu

a) ( ) 2f x = x+sin x

3

f x = x − +x x − x + x− Đs:

2

x

f x = x x − +x + x + − +x

24 Tìm a để f x'( ) 0> ∀ ∈x R, biết ( ) sin sin 2 1sin 3 2

3

f x = x a− x− x+ ax Đs:

'( ) 4sin (2 cos ) 1

f x = x a+ x ⇒ ≥a

25 Cho hàm số y x= −3 2x2+mx−3. Tìm m để

a) '( )f x bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. Đs: 4

3

m=

3

m≥

c) '( ) 0f x < với mọi x∈( )0; 2 Đs: m≤ −4

d) '( ) 0f x > với mọi x>0 Đs: 4

3

m>

26 Cho hàm số

mx mx

f x = − + − −m x+ Tìm m để

5

m

≤ <

b) '( )f x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Đs: 12 3.

5 < <m

c) Trong trường hợp '( )f x có hai nghiệm, tìm hệ thức độc lập giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Đs: x1+ =x2 1, với điều kiện m<0 hoặc 12

5

m≥