Biến đổi lượng giác

Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là một hành trang rất tốt tạo cho các bạn sự tự tin và linh hoạt khi học tập về các phần khác của chương trình lượng giác, nếu các bạn thấy được t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2

Lượng giác

Quế võ, tháng 1 năm 2009

Biến đổi lượng giác là một nội dung cơ bản và quan trọng trong quá trình học tập lượng giác Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là một hành trang rất tốt tạo cho các bạn sự tự tin và linh hoạt khi học tập về các phần khác của chương trình lượng giác, nếu các bạn thấy được tinh thần và phương pháp của lượng giác được vận dụng như thế nào trong các bài toán thì các bạn sẽ thấy được toàn bộ nét đặc trưng và vẻ đẹp của lượng giác.

Để giúp các bạn có một bộ tài liệu tương đối đầy đủ để học về lượng giác,chúng tôi

đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập một

hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập được biên soạn theo 2 hướng Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải Tất nhiên các lời giải đưa ra không phải bao giờ cũng là cách giải duy nhất và hay nhất Đối với các bài này thì các bạn cần suy nghĩ theo các hướng mở sau:

• Giải thích được các phép biến đổi và lập luận trong lời giải

• Tìm một lời giải khác nếu có thể

• Lí giải xem tại sao lại giải như vậy

• Tìm cách vận dụng bài toán

• Nêu các bài tập tương tự

Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng cơ bản, dễ hoặc tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải quyết

Chú ý: Đối với các bài toán có phần hướng dẫn đi kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúp các bạn phát hiện ra vấn đề chứ không phải là cách trình bày

2 Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

k A

D

B,

k

,

2 2 -

D

2k

2 2

B

2k

x

y

(tia gốc)

Z) (k 2 )

, (Ox Oy = α +k π ∈

III Định nghĩa hàm số lượng giác:

2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

tg cot

OP OQ AT

α α α α

k k

IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

u u'

1

1 -1

2 2

2 2

V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

sin( ) cos 2

( ) 2

cot ( ) t 2

α α

α α α

α

+ +

tg +tg tg( + ) =

tg tg tg( ) =

α α

2

2 1

tg tg

α α

α α

2 cos 1

2 cos 1

; 2

2 cos 1 sin

; 2

2 cos 1

1 cos

; 1

2 sin

t

t tg

t

t t

t

+

= +

−

= +

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

3 sin 3α = α − α

4

4 cos 3 sin

cos

6 6

4 4

α α

α

α α

α

+

= +

+

= +

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Phần 1 Đẳng thức lượng giác không điều kiện

1: Đẳng thức với biến

Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.Tuy nhiên do số luợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn trong việc lựa chọn công thức nào cho hợp lí.Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trong là khi thực hiện các phép biến đổi là các bạn cần phảp có một định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng khi lựa chon công thức

Các bài toán chứng minh đẳng thức

Khi gặp các bài toán dạng này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong đề bài.Từ đó dẫn đến các hướng để giải quyết:

• Hướng 1: Biến đổi vế trái sao cho bằng vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vế phải,từ về trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi làm xuất hiện các biểu thức trong

cotg

x y x ycos x cos y 2sin sin 2

• Hướng 2:Biến đổi vế phải sao cho bằng vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất hiện các biểu thức trong vế trái.Các bạn có thể lấy ngay ví dụ một để thực hiện theo hướng này hoặc theo dõi ví dụ sau:

Bài 2:

Chứng minh rằng: cos x sin x cos2x

cos x sin x 1 sin 2x

cos x sin x cos x sin x

1 sin 2x cos x sin x 2sinxcosx cos x sin x cos x sin x

tg1

1 cotg cos 1 .cos

1 cotg cos 1 .cos

Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh

Do đó sin46 cos46 1 2sin22 os22 2

sin cos 1 3sin os 3

Ta có: (*) 8 cot tan 2tan 4tan

b/ Ta có: cota - cotb = cosa cosb sin osa-sinacosb sin( )

sina sinb sin inb sin asinb

41/ sin os x= (5 3 os4x)

81/ sin os (35 28 os4x+cos8x)

1 (1 os4x)4

3 1

os4x

4 4

x c c

3(sin os )(sin os ) 4(sin os )(sin sin os os )

3 os2x + 4cos2x(1-sin xcos x)

4os2x(-3 + 4 - sin 2x)

=cos2x(1 - sin 2x) = cos 2

x c

1 cos (1 cos ) os sin

2sin sin sin sin

cot (1 cot ) (1 cot ) cot cot 1 (1)

1 cos 1 cos 1 cos 2cos

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh

Các bạn làm thêm một số bài sau:

1 a.sinxsin x sin x sin 3x

1 b.cosxcos x cos x cos3x

3cot g cot g

b

2 2

2 2

tg a tg 2atga.tg3a

1 tg a.tg 2a

−

=

−

d sin x cos x10 10 63 15cos4x 5 cos8x

Các bài toán rút gọn biểu thức

Việc rút gọn biểu thức lượng giác khó hơn bài toán chứng minh vì không biết trước kết quả của quá trình biến đổi.Thường thì kết quả phải ở dạng đơn giản nhất mới được chấp nhận.Với loại toán này ta bắt buộc phải biến đổi từ biểu thức trong đề bài,nhưng cũng nên

để ý một chút về dạng của biểu thức để việc định hướng trở nên đơn giản hơn.Chẳng hạn,dạng phân thức thì tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để giản ước,dạng căn thức thì tìm cách đưa về dạng bình phương của một biểu thức.

a A sin3xsin x cos3x cos x= 3 + 3

b

2 2

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến:

Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì biểu thức

không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay đổi,do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu thức:

Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a A cos (2 x) cos (2 x) cos (2 2 x) cos (2 2 x) 2sin x2

• Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn

• Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi về cùng một hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi ở trên

ta đã tìm cách ghép các biểu thức rồi sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đưa tất cả các hàm số lượng giác về một hàm số cos2x.Các bạn cũng có thể tách ghép theo một cách khác,miễn là đưa tất cả về cùng một hàm số lượng giác là được

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:

a) A= 2 osc 4x− sin 4x+ sin 2xcos 2x+ 3sin 2x

b) B= 2 +c otx 1+

a A cos (x a) cos x 2cosa cosxcos(a x)= 2 − + 2 − −

b B cos (x a) sin (x b) 2cos(x a)sin(x b)sin(a b)= 2 − + 2 − − − − −

Bài 4: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:

b B sin x(1 sin x) cos x(1 cos x) 5sin xcos x= 4 + 2 + 4 + 2 + 2 2

c C sin x cos x 6sin xcos x 2sin xcos x 1= 8 + 8 + 4 4 + 2 2 +

d D 3(sin x cos x) 4(sin x cos x) 6sin x= 8 − 8 − 6 − 6 + 4

Tìm điều kiện của tham số để biểu thức không phụ thuộc vào biến

Biến đổi f(x, m) về dạng f(x, m) A(m).B(x) + C(m) = và lập luận A(m)=0.

Bài 1 Tìm m sao cho:

6 6 4 4 2

f(x) = sin x + cos x + m(sin x + cos x) + (m +1)sin 2x

không phụ thuộc vào x

Các bài tập còn lại làm tương tự

a f (x) cos x cos(x 2m) cos(x 4m) cos(x 6m)= + + + + + +

b f (x) m(2msin x 1) 4(m2 1)sinx.sin2 x 2(m 1)cos x 2sin x2

2

a f (x)= m(sin x cos x) (2m 1)(cos x sin x) cos2x 48 + 8 + − 4 − 4 + +

b f (x) cos2x msin x 3cos x 1= − 2 + 2 +

c f (x) sin x sin(x m) sin(x 2m) sin(x 3m) sin(x 4m)= + + + + + + + +

a f (x) m(sin x cos x) 4(2sin x cos x) n sin x= 8 − 8 − 6 − 6 − 4

b f (x) m(sin x cos x) n(sin x cos x)6 6 4 4 1sin 2x2

2

Dạng kết quả được chỉ ra trong đề bài:

Phần này khá đơn giản,đề nghị các bạn tự giải quyết

a A sin a sin b sin(a b)= + + + d D cos x cos y sin(x y)= + + +

b B sin(a b) sin(b c) sin(c a)= − + − + − e E sin x sin 2x sin 3x= + +

c C 1 sinx cos x= + + f F cos x cos 2x cos3x= + +

(Chứng minh A có dạng (a sin x bcos x c)+ + 2)

2 Đẳng thức với số cụ thể Tính giá trị biểu thức

Trong phần trước chúng ta chỉ xét những biểu thức chứa biến và các dạng bài tập của nó.Phần này sẽ tiếp tục tìm hiểu về các biểu thức của các số cụ thể,sẽ có nhiều khó khăn hơn.

A.Tính trực tiếp giá trị của biểu thức nhờ vận dụng các công thức biến đổi phù hợp

Trong phần này các bạn cần biến đổi, ghép cặp hợp lí nhằm tạo ra các tính chất đặc biệt Để làm được điều đó các bạn phải căn cứ vào các góc trong đề bài và xét mối quan hệ giữa các góc ấy

a A cos cos2 cos3 cos4

B.Tính tổng, tích các biểu thức có quy luật bằng cách nhân thêm một lượng phù hợp

Thông thường đó là tổng hoặc tích của một hàm số lượng giác của các góc mà 2 góc liên tiếp cách nhau một khoảng không đổi(chẳng hạn ,3 ,5

Bài 1: Chứng minh 16sin10 sin 30 sin 50 sin 70 0 0 0 0 = 1

Bài 2: Chứng minh 16sin10 0 sin30 0 sin50 0 sin70 0 = 1

2

=

cos80 cos60 cos40 cos202

2 cos80 cos40 cos20 sin 20 2 sin160 2

c cos20 2sin 55 1 2 sin 65 g 2sin 70 1

C Hệ thức Viet và ứng dụng để tính giá trị của một biểu thức

Chúng ta đã quá quen thuộc với định lí Viet cũng như ứng dụng của nó trong các bài toán về phương trình bậc 2,hay các bài về biểu thức nghiệm đối xứng.Trong phần này các bạn sẽ tiếp tục thấy được vẻ đẹp và tính ứng dụng rộng rãi của nó trong các bài tính giá trị của một biểu thức lượng giác

cos 20 cos 60 cos 80

tự nhiên,sẽ rất thuận lợi trong việc sử dụng phương pháp quy nạp

22cos2 x 1

c (2cosx 1)(2cos2x 1) (2cos2 x 1)

Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:

sin 2a sin 4a sin 8a sin16a

b 2 2 2 2 2 2

sin2

Phần 2: Đẳng thức lượng giác có điều kiện

Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Giả sử a + c = 2b

Chứng minh rằng: cot cot 2cot

os 2sin os os sin

2sin sin sin

2 2 2 sin sin sin

Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: cos2A+ 2 2 cosB+ 2 2 cosC= 3

Tính ba góc của tam giác ABC

Theo giả thiết: M = 0

2

0 0

2 2

A

B C c

B C A

Cách 3 (Ước lượng + phép tính đạo hàm)

Đặt M =cos2A+ 2 2 cosB+ 2 2 cosC− 3

- 0 +

f'( 6

6 )

2 2

6 6 0

90 2

sin

2 2

B C c

Cách 4: (Ứng dụng tích vô hướng của các véc tơ)

Từ điểm O bất kì thuộc ∆ABC vẽ các véc tơ

đơn vị e e eur uur ur1 , , 2 3 theo thứ tự vuông góc với cạnh

BC, AC, AB và hướng ra ngoài ∆ABC,

Suy ra cos2A= 2 osc 2A− ≤ 1 2cosA− 1

Bởi vậy từ (1) kéo theo cos2A+ 2 2 cosB+ 2 2 cosC≤ 3

Bài 13 Chứng minh rằng nếu có a c 2b+ = thì sin a sin b sin c tgb

cosa cosb cos c

Bài 17 Cho tg a tg b tg b tg c tg c tg a2 2 + 2 2 + 2 2 +2.tg a tg btg c2 2 2 =1

Chứng minh rằng: sin2a+sin2b+sin2c =1

sin(2x y) =m

+ Tính

tgx tgyA

tgx(1 tgx.tgy)

+

=

−

a sin a sin b sin c 2sin a sin bsin c

b tg(a b)sin c cosc

c sin(a b) sin a sin b

Tính theo a, b, c giá trị của biểu thức:

A a= sin (2 α β+ )+bsin(α β+ )cos(α β+ )+ccos2(α β+ )

Chứng minh: cos cos cos 1 (cos3 cos3 cos3 )

12

Chứng minh rằng: sin a sin b sin(a b)2 2 a b

bài toán trở nên đơn giản hơn Chẳng hạn trong kì thi tuyển sinh Đại học năm 2008 vừa qua ở đề thi khối B có một bài có thể áp dụng phương pháp này:

Bài 1: (ĐH khối B 2008)

Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức 2 2

1

x +y = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ giả thiết x2 +y2 = 1 ta đặt x = sint, y = cost, t∈ [0;2 ] π

Khi đó 2(sin2 6sin cos )2 1 os2 6sin 2 1 os2 6sin 2

1 2sin cos 2 os 1 sin 2 1 os2 2 sin 2 os2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -6 và giá trị lớn nhất của P bằng 3

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Vậy maxx D∈ y= y(0) 1, min= x D∈ y= y(1)= −1

( ) sin os 2 sin x cos

(sin os ) sin 2 2sin os