Bài tập và một số chú ý khi giải toán lượng giác

để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trìn

Cỏc dạng bài tập l ư ợng giỏc a/kiến thức cần nhớ và phân loại bài toán

dạng 1 Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số l ợng giác

Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t 1

Giải phơng trình ……….theo t

Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lợng giác cơ bản

Giải phơng trình:

1/ 2cos2x- 4cosx=1

sinx 0









2/ 4sin3x+3 2 sin2x=8sinx

3/ 4cosx.cos2x +1=0

4/ 1-5sinx+2cosx=0

cosx 0









5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2)

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx=1

3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0

7/ a/ tanx+ 3

cot x -2 = 0 b / 2

4

cos x+tanx=7

c* /sin6x+cos4x=cos2x

8/sin( 5

2 2

x  )-3cos( 7

2

x  )=1+2sinx 9/ sin2x 2sinx2 2sin x1

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4

12/

sin 2 4 cos 2 1

0 2sin cos



13/ sinx 1 cosx0

14/ cos2x+3cosx+2=0

15/

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x

 16/ 2cosx- sin x =1

dạng 2: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c

Cách 1: asinx+bcosx=c Đặt cosx=

2 2

a

a b ; sinx= 2 2

b

a b

2 2 sin( )

Cách : 2 a sinx bcosx c

a

Đặt b tan asinx cos tanx  c

sin(x ) ccos

a

Cách 3: Đặt tan

2

x

t  ta có

2



2 (b c t) 2at b c 0

Đăc biệt :

1 sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )

x x x  x 

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

x x x  x

3 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

x x x   x Điều kiện Pt có nghiệm : a2 b2 c2

giải ph ơng trình :

1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0

3 sin cos

cos

x

3 sin cos 3

3 sin cos 1

  3/ cos 7x 3 sin 7x 2  0 *tìm nghiệm 2 6

4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0

5/ 1 cos 2 cos 2 cos3 2

(3 3 sin )

x

6/ cos 22sin cos

3





Dạng 3 Phơng trình đẳng cấp đối với sin x và cosx

Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0

Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx0 Chia 2 vế cho cos2x ta đợc:

atan2x+btanx +c=d(tan2x+1)

Cách2: áp dụng công thức hạ bậc

Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc

asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0 Xét cos3x=0 và cosx0 Chia 2 vế cho cos2x ta đợc Pt bậc 3 đối với tanx

Giải ph ơng trình

1/ a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4

c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2

x-5-3 =0 2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

4

xk + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0  (cosx- sinx) (2sinxcosx+2sin2x+1)=0

3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0

5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

6/ 2 cos3x= sin3x

7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx

8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x

9/sin3(x-  /4)= 2 sinx

Dang 4 Ph ơng trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx

* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t  2

 at + b

2 1 2

t  =c  bt2+2at-2c-b=0

* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t  2

 at + b

2 1 2

t



=c  bt2 -2at+2c-b=0

Giải ph ơng trình

1/ a/1+tanx=2sinx + 1

cos x b/ sin x+cosx=

1

tan x

-1

cot x

2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x

4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2

6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx

8/1+sin3 2x+cos32x=3

2sin 4x 9/

* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0

10/ sinx cosx 4sin 2x 11/ cosx+1 1

cos x+sinx+

1

sin x =

10

3

12/ sinxcosx+ sinxcosx =1

dang 5 Giải phơng trình bằng phơng pháp hạ bậc

Công thức hạ bậc 2

cos2x= 1 cos 2

2

x



; sin2x= 1 cos 2

2

x



Công thức hạ bậc 3 cos3x= 3cos cos3

4

; sin3x= 3sin sin 3

4

Giải ph ơng trình

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0

4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5

x



 )-2cos29

2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix(0; )

6/sin24x-cos26x=sin(10,510x) với (0; )

2

x  7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3 cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x

10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin cosx x=0

12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 ;

24 2 8 2

k k

x    

  13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2(

4 2

x



 )-7/2 với x  <3 1 15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+

3

 )=cos3x 18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

19/ sin 5

5sin

x

x=1

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2

22/ 3cos4x-2 cos23x=1

Dang 6 : Ph ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức

* a3b3=(ab)(a2ab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4

* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6b6=( a2b2)( a4a 2b2+b4)

Giải ph ơng trình

1/ sin4

2

x

+cos4 2

x

=1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/

(tan cot )

x



5/cos6x-sin6x=13

8 cos

22x 6/sin4x+cos4x=7

7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx

9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

11/ cos8x+sin8x= 1

8 12/ (sinx+3)sin

4 2

x

-(sinx+3) sin2

2

x

+1=0

Dang 7 : ơng trình LG biến đổi về tích bằng 0 Ph

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3

2 sin2x+ 2 cos

2x+ 6 cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5

9/ 2cos2x-8cosx+7= 1

cos x 10/ cos

8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5

4cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14/ 2sin3x- 1

sin x=2cos3x+

1

cos x 15/cos

3x+cos2x+2sinx-2=0

16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos x)=0

18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x=1 cos 22

sin 2

x x



20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1

sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

24/ 2 2 sin( )

4

sinxcosx 25/ 2tanx+cotx=

2 3

sin 2x

 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

Dang 8 : ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc Ph

cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x sin2x=2sinxcosx

tan2x=

2

2 tan

1 tan

x x



sinx = 2 2 1

t t

 ; cosx=

2 2

1 1

t t



 tanx= 2

2 1

t t



Giải ph ơng trình

1/ sin3xcosx=1

4+ cos

3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x

5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2

8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x

10/a* tan2x+sin2x=3

2cotx b* (1+sinx)

2= cosx

Dang 9 : Ph ơng trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng

Giải ph ơng trình

1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x

2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3/sin 3 sin

sin 2 cos 2

1 cos 2

x



4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0

5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1

6/ 3 cos 2 cot 2 

7/ tanx+ tan2x= tan3x

8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

Dang 10 : ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B Ph

Giải ph ơng trình

1/ sin(3

10 2

x



 )=1

2sin(

3

10 2

x



 ) 3 2 ;4 2 ;14 2

xk  k k

2/ sin(3

4

x  )=sin2x sin(

4

x ) x4k2

3/(cos4x/3 – cos2x): 1 tan x 2 =0 x k  3

4/ cosx-2sin(3

x



 )=3 x k  4

5/ cos( 7

2 2

x  )=sin(4x+3 ) ;

k

x    k 

  6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx 2 ; 2

x    k   k

7/2cot2x+ 22

cos x+5tanx+5cotx+4=0 x 4 k





 

8/ cos2x+ 12

cos x=cosx+

1

cos x x k

9/sinx- cos2x+ 1

sin x +2 2

1

sin x=5

7

2 ; 2 ; 2

xk  k k 

11/1 sin 2

1 sin 2

x x



1 tan

1 tan

x x



; , tan 2

xk  k  

Dang 11 : ơng trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp Ph

Giải ph ơng trình

1/ 3 4 6 (16 3 8 2) cos   x 4 cosx 3 2

4

x  k  2/cos 3 9 2 16 80



Zx   21; 3  

3/ 5cosx cos 2x+2sinx=0 2

6

xk  4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x 3 k

5/2 sin tan 

tan sin

x





2 2 3

xk 6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x 2

4

xk  7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x xk4

8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x 2

3

k

x  k

9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k  10/ sinxsinx 1 sin2x cosx

5 1

;sin 2

x k  x 

11/cos2 sin 2 cos 2 





4



4

xk 

x  k  k k

Dang 12 : ơng trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 l Ph ợng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng

đạo hàm

Giải ph ơng trình

1/ cos3x+ 2 cos 3x  2 =2(1+sin22x) x k

2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x x4k

3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x0;

4/ 8cos4xcos22x+ 1 cos3x +1=0 2 2

3

x  k 

5/sin x cosx x 0

6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z* để hệ có nghiệm

7/

1-2 2

x

=cosx 8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x2k 9/ 1 cos 1 cos cos 2 1sin 4

2

4

x  k 

MỘT SỐ LƯU í KHI GIẢI PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

Trong cỏc kớ thỡ chỳng ta thường bắt gặp cỏc phương trỡnh lượng giỏc và những bài phương trỡnh lượng giỏc này đó gõy khụng ớt khú khăn đối với nhiều em học học sinh, cú lẽ lớ do mà cỏc

em học sinh thường lo sợ khi giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc là cú nhiều cụng thức biến đổi lượng giỏc nờn khụng biết sử dụng cụng thức nào để biến đổi phương trỡnh đó cho Trong chuyờn

đề này tụi xin trao đổi một chỳt kinh nghiệm nho nhỏ với cỏc em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đờm ụn tập để hướng tới kỡ thi ĐH năm tới

Trước hết thì các bạn cần nắm được những phương trình lượng giác thường gặp Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos

Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn Minh chứng là

đề thi khối B – 2008

).”

Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu

Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong đó:

bốn

Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương

là phương trình đẳng cấp bậc 3 Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau:

“Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.”

một hàm số là

Ví dụ: Giải các phương trình sau

1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên

2)

3)

Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải)

Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác

2008 )

Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và cung Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng trong đó nên điều đầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung đó

Ta có:

Nhận xét: * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở trên ta có thể

làm theo cách khác như sau:

* Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ còn lại một cung duy nhất nên ta dẽ biến đổi hơn Điều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống đặc biệt là bài toán so sánh thì điều chúng ta cần làm là đưa về cùng một đơn vị hay là cùng một dạng Chẳng hạn tôi xin nêu

ví dụ đơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào đó là một sự tò mò và cuối cùng thì các em trả lời là không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo

là vì sao? Các em trả lời là vì không cùng một loại!

Chắc các em hiểu tôi muốn nói điều gì rồi chứ ?

Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin đưa ra cho các bạn là:

Đưa về cùng một cung.

Bây giờ ta vận dụng nguyên tắc này vào giải những phương trình lượng giác có mặt trong các đề thi của những năm gần đây nhé

Lời giải:

Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung và về cung

Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

Ta có:

Từ đây các bạn tìm được

Chú ý : * Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức

này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó khăn

* Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất Cách giải ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như sau

PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex]

giải phương trình này ta được nghiệm như trên

Lời giải:

Ta chuyển cung về cung

Ta có:

Nên phương trình đã cho

Từ đây ta tìm được các nghiệm

Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể chuyển về cung

2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi

Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung 2x và x, nên ta chuyển cung 2x về cung x.

PT

Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng đưa về được cùng một cung Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

Với phương trình này việc đưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình xuất hiện bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất định đó là quan hệ hiệu hai cung bằng nhau , hơn nữa hai vế của hai phương trình

là tích của hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng Thật vậy

Phương trình

Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, hơn nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này có quan hệ

điều này gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình

Qua hai ví dụ trên tôi muốn đưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là

Biến đổi tích thành tổng và ngược lại

Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện các phép rút gọn) Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích (Mục đích làm xuất hiện thừa số chung ), đặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau

Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến đổi tổng thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các hàm số có lũy thừa bậc nhất thôi Điều này

dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và để thực hiện điều này ta liên tưởng đến công thức hạ bậc

Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác Tuy nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi

Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn là nguyên tắc hạ bậc

Phương trình

chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không được học)

Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình