Chuyên đề hệ thức Viet

Trong suốt quá trình học Toán từ những năm Phổ thông, bản thân tôi đã bị lôi cuốn bởi các bài toán tìm cực trị Đại số và các ứng dụng của định lí Viét.. - Trình bày một số phơng pháp cơ

Phần Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Cùng với sự phát triển của lịch sử, Toán học đợc mênh danh là “Nữ hoàngcủa mọi khoa học”, Toán học chứa đựng trong nó những đặc điểm của lí trí,của lập luận trừu tợng và hớng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ

Trong suốt quá trình học Toán từ những năm Phổ thông, bản thân tôi đã bị

lôi cuốn bởi các bài toán tìm cực trị Đại số và các ứng dụng của định lí Viét.

Cho đến bây giờ, sau hơn hai năm học ở Trờng ĐH Quảng Bình, tôi nhận thấyhai dạng toán này rất hấp dẫn nhng không kém phần hóc búa, đòi hỏi họcsinh nắm đợc phơng pháp chung cha đủ mà cần phải có khả năng t duy để từ

đó định hớng giải quyết bài toán Vì thế, hai dạng toán này thờng hay gặptrong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi Tuy nhiên,hai dạng toán này đợc đa ra ở sách giáo khoa lớp 9 là rất khiêm tốn, nội dungsơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá

ít ỏi nên học sinh thờng lúng túng khi gặp phải ngay cả học sinh giỏi

Xuất phát từ tính bức thiết đó, bản thân tôi là sinh viên năm cuối, chuyênngành CĐSP Toán – Tin, tôi luôn tự ý thức đợc việc tích lũy kiến thức, kinhnghiệm để phục vụ cho công tác giảng dạy nói chung và bồi dỡng học sinhgiỏi nói riêng sau khi ra trờng Vì vậy, dới sự hớng dẫn của thầygiáo.Ths.NCS Nguyễn Quang Hoè, tôi đã mạnh dạn xây dựng đề tài “phơng pháp cơ bản tìm cực trị đại số - định lí Viét và ứng dụng “

Đề tài gồm hai chuyên đề:

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Cung cấp cơ sở lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, các kiến thứccơ bản thờng dùng để giải bài toán cực trị; định lí Viét

- Trình bày một số phơng pháp cơ bản để tìm cực trị của một biểu thức Đạisố; các ứng dụng của định lí Viét

- Trình bày một số sai lầm học sinh thờng mắc phải khi gải toán cực trị

5 Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Tham khảo sách, báo, tài liệu có liên quan

- Thực nghiệm thực tế qua quá trình dạy thêm

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…) ≤ M với M là hằng số

- Tồn tại (x , y ,…) thuộc D sao cho f(x , y ,…) = M

2 Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…) ≥ m với m là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = m

II Các kiến thức thờng dùng

Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),…Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP

1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB

Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A

và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác định

x = x0, tức là maxA = A(x0), maxB = B(x0) thì maxP = P(x0)

2) Cho P = 1

A với A ≥ 0 thì maxP = 1

min A

3) a) P(x,y) = [Q(x,y)]2n + a ≥ a với a là hằng số, n ∈ N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộc D b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b ≤ b với b là hằng số, n ∈ N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y thuộc D

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b ≥ a b+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0

8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai

f x( ) =ax2 + +bx c (a ≠0)

Khi đó:

Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, ∀ ∈ x R

Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, ∀ ∈ x R,

2

b x a

−

≠

Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấuvới a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm

Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị

Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó Do đó đối với nhiều học sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết phơng pháp giải và

kinh nghiệm Nó đòi hỏi ngời làm toán phải nhìn bài toán theo những góc độ khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống.

Sau đây, tác giả xin đợc đa ra một số phơng pháp giải toán cực trị đợc đúc rút từ kinh nghiệm giải toán :

7 Phơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn

8 Phơng pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện

I.Phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị

Tìm GTNN của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz không đổi (với a 2 + b 2 + c 2

≠ 0).Giá trị đó đạt đợc khi nào?

Giải:

Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có:

( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2) ≥ (ax + by + cz)2

Do đó

S = x2 + y2 + z2 ≥ 2 2 2

c b a

y a

x = = , hay nói cách khác Smin = 2 2 2

c b a

aP

+ + ; y = a2 b2 c2

bP

+ + ; z = a2 b2 c2

x x b a ab x

x b x

Khi đó: ( )( ) a b 2 ab ( a b) 2

x

x b x

d) 2 2 3

) 3 (

ab≤ + , nên ta có:

40

1 4

1 4

1 5

2 ) 5 3 ( 2

5 5 4

1 5

2 ) 5 3 )(

2

5 5 ( 5

2 ) 5 3 )(

3 4

1 1

1 3 3 3

1 ) 1 )(

1 )(

1 )(

3 3

Vậy f(x) lớn nhất là

2 2 1

khi x= 2

d) f(x) = 2 2 3

) 2 (x +

x Ta cã:

27

1 ) ( 27

) 2 ( 3

x x f

VËy f(x) d¬ng bÐ nhÊt lµ 2 6 khi

11

,16

,,

x x

− vµ

1 x x

− + +

Hiển nhiên A2 ≥ 0 nhng dấu “ = ” không xảy ra ( vì A > 0 )

Ta biến đổi A2dới dạng khác:

III Phơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới

Khi đó xy = 2 , x + y = 10 nên x và y là nghiệm của phơng trình

3 hoÆc a = 3 th× nghiÖm cña (2) lµ :

1 1

− + + +

MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2

MaxA = 6 khi và chỉ khi x = 1

Theo VD2 điều kiện để phơng trình ẩn t trên có nghiệm là

MinB = a khi và chỉ khi 22

Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng 1

Điều kiện để (1) có nghiệm là:

Nghiệm của bất phơng trình (2) là a1 ≤ a ≤ a2

Trong đó a1, a2 là các nghiệm của phơng trình:

12a + 4 m n− − 4 a+ 4n m− = 0 (3)

Theo đề bài, ta phải có 1 1, 2 3

VI Phơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức

Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x) Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức

f x =Q x −t Nếu f x( ) ≥ 0 hoặc f x( ) ≤ 0với mọi x thuộc tập xác định của Q(x) và tồn tại giá trị t 0 để f x( ) = 0 thì t 0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x)

VD1:

NÕu a > 0 th× g x( ) 0 ≥ víi mäi x khi ∆ ≤ 0vµ g(x) = 0 khi vµ chØ khi ∆ = 0

NÕu a < 0 th× g x( ) ≤ 0 víi mäi x khi ∆ ≤ 0vµ g(x) = 0 khi vµ chØ khi ∆ = 0

+ +

ux v t x x

VII.phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn

Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thờng gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi Với cơ sở lý thuyết

đã đợc cung cấp ở chơng I, tác giả xin đa ra một số ví dụ minh hoạ

= + + với điều kiện x≥ 1,y≥ 2,z≥ 3

áp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có:

Sắp thứ tự giá trị các biến (theo điều kiện hoặc khi vai trò của chúng nh nhau) và

so sánh với giá trị không đổi xen giữa chúng

Nh vậy, từ một bài toán cực trị đại số với các biến có một điều kiện ta đã đề xuất

và giải các bài toán cực trị đại số với các biến bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện hơn

Bài 4 Tìm GTNN của biểu thức A = x2 +y2 +z2

thoả mãn điều kiện x + y + z = 3

chơng III Một số sai lầm khi giải toán cực trị

Một trong những phơng pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng thức quen thuộc Nhng cũng chính phơng pháp này lại dễ gây ra những sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.

Bài toán 1 Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dơng

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…) ≤ M với M là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M

2 Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) hay minf = m trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…) ≥ m với m là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = m

Một số chú ý:

1) Nếu không chỉ ra đợc bộ giá trị (x0, y0 ,…) để f(x0, y0 ,…) = M thì không khẳng định đợc maxf = M, mặc dù có f(x,y,…) ≤ M với mọi (x, y,…) thuộc

D Khi đó ta phải tìm một cách giải khác

2) Bội giá trị (x0, y0 ,…) để f(x0, y0 ,…) = M thờng đợc tìm bằng cách áp dụng

điều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức đã dùng Chẳng hạn: a) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:

b) Bất đẳng thức Bunhiacopsky

(ax + by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b ≥ a b+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0

3) Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện

xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng mà không kết hợp điều kiện ràng buộc của bài toán thì dễ mắc sai lầm

4) Trong các định nghĩa trên thì M và m phải là các hằng số

Thật vậy, xét bài toán sau đây:

Bài toán 2 Cho x,y,z ≥ 0 Tìm GTLN của

f x y z ≤g x y z với mọi x, y, z thuộc D và f x y z( , , ) =g x y z( 0 , , 0 0)= A

(x y z0 , , 0 0)∈D thì f x y z( , , ) ≤ A với mọi x, y, z thuộc D "

2 2

2 min

Vậy GTLN của D không tồn tại

Tôi rất băn khoăn về lời giải này vì đã tìm ra một kết quả khác???

3.Tại sao lại thế?

Chuyên đề 2: Định lí vi – ét và ứng dụng

Nhà toán học Pháp lỗi lạc Francois Viète sinh năm 1540 và mất năm 1603 Ông

là một luật s danh tiếng và là cố vấn cao cấp của nhà vua Pháp trong nhiều năm Công việc của triều đình Pháp rất bận rộn và chiếm hầu hết thì giờ của ông Tuy nhiên, đối với ông , nghiên cứu Toán học trong những lúc rảnh rỗi là một sở thích, một sự giải trí Ông có nhiều phát minh trong đại số và lợng giác Ông là một trong những ngời đầu tiên đã sử dụng kí hiệu chữ để chỉ các ẩn số và hệ số của phơng trình

Các bạn học sinh lớp 9 đã quen biết với một trong những phát minh của ông

Đó là định lí Vi- ét cho phơng trình bậc hai

1 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

2 Tính giá trị cuả các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

NÕu u vµ v lµ hai sè cã tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P th× u vµ v lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai X2 – SX + P = 0 (1)

II VÝ dô minh häa

VD1: T×m hai c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 6m vµ diÖn tÝch b»ng

Xét phơng trình thứ nhất của hệ:

( ) ( )

3 3

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phơng trình ax2 + bx + c = 0

là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2

Ta có thể biểu thị đợc các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và

Cã hai nghiÖm x 1 , x 2 H·y lËp ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nh sau:

0 0

a) CMR víi mäi m > 1 ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc m Gi¶i:

= − < ⇔phơng trình cóhai nghiệm trái dấu x1< < 0 x2

• Nếu >P∆ ≥00⇔phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

0 0 0

P S

P S

1 Cũng từ đây, chúng ta thiết lập đợc điều kiện để phơng trình có các nghiệm

liên quan tới dấu

2 Nếu bài toán yêu cầu “ Xét dấu các nghiệm củaphơng trình tuỳ theo giá trị của tham số ”, chúng ta sử dụng bảng sau:

II Ví dụ minh họa

VD1: Tuỳ theo m hãy xét dấu các nghiệm của phơng trình:

(m− 2)x2 − 2(m+ 1)x m+ − = 5 0

Giải:

Ta có:

++

0+

-+0-

++

Phơng trình vô nghiệm

Phơng trình có nghiệm kép x= -2 < 0 Phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x 1 < x 2 < 0 Phơng trình có một nghiệm x = -1/2 < 0 Phơng trình có hai nghiệm x 1 < 0 < x 2 và x2 < x1

Phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 0 = x 1 < x 2

Phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 0 < x 1 < x 2

VD2: Cho phơng trình: x2 − 2(m+ 1)x m− + = 1 0

Xác định m để phơng trình:

a) Có hai nghiệm dơng phân biệt

b) Có hai nghiệm trái dấu

Vậy với 0 < m < 1 phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2

Khi đó để phơng trình có một nghiệm, điều kiện là:

2 0

0

1

m

m m

0 0

2 3

2

m m f

a) Có hai nghiệm trái dấu.

b) Có hai nghiệm âm phân biệt

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1.Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm x1, x2

'

0 0

Bớc 3.Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)

II Ví dụ minh họa

⇔∆ ≥ ⇔  − ≥ ⇔ − ≠ ≤ (*)

Khi đó phơng trình hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn:

m

m m

m m

có hai nghiệm x 1 , x 2 CMR hệ thức: b3 +a c ac2 + 2 = 3abc là điều kiện cần và đủ

để phơng trình có một nghiệm bằng bình phơng của nghiệm còn lại.

b) Có hai nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào m

c) Phơng trình có hai nghiệm bằng nhau về trị tuyệt đối

d) Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1−x2 = 1

Bài 3 Cho phơng trình:(m+ 2)x2 − 2(m− 1)x m+ − = 2 0

Xác định m để:

a) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

b) Tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình bằng 3

c) Phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1−x2 = 2

Bài 4 Tìm m để phơng trình x2 + 2mx+ = 4 0 có hai nghiệm x1, x2 Khi đó

a) Tính theo m giá trị các biểu thức:

1 2

Giả sử phơng trình tiếp tuyến với ( )P tại A là ( )d :y ax b= +

Phơng trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là:

Bài 1 Cho Parabol ( )P có phơng trình:( )P y x: = 2 + 3x+ 2

Gọi A và B là hai điểm thuộc Parabol ( )P có hoành độ lần lợt là 1 và 8

a) Lập phơng trình đờng thẳng AB

b) Lập phơng trình tiếp tuyến với ( )P tại A

c) Lập phơng trình tiếp tuyến với ( )P tại B

Bài 2 Cho Parabol ( )P có phơng trình:( )P y: = − +x2 2x− 4

Gọi A và B là hai điểm thuộc Parabol ( )P có hoành độ lần lợt là -2 và 5

a) Lập phơng trình đờng thẳng AB.

b) Lập phơng trình tiếp tuyến với ( )P tại A

c) Lập phơng trình tiếp tuyến với ( )P tại B

x x x x x x

a d

x x x x x x x x x x x x

a e

Bớc 2: Lựa chon một trong hai hớng:

Hớng 1: Nếu phơng trình không chứa tham số, biến đổi phơng

trình về dạng (x x g x− 0) ( ) = ⇒ 0 các nghiệmHớng 2: nếu phơng trình chứa tham số, thay x x= 0 vào phơng

x x

Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

2 Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Ta thực hiện các bớc:

Bớc 1: Thiết lập hệ thức Viét giữa các nghiệm của phơng trình (I)

Bớc 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I).

Chú ý: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phơng trình là biểu thức có giá

trị không thay đổi khi ta hoán vị các nghiệm

( )2 ( )

1 2

4

x + +x x = x + +x x − x x +x x +x x =

3 Tìm tham số để phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K

Bài toán thờng đợc giải bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm, khi đó ta có đợc

hệ thức Viét giữa các nghiệm (I)

Bớc 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) ⇒ điều kiện cho tham số

= − Khi đó:

2 2

Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định

bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phơng trình Hãy nhớ điều này rất quan trọngbởi khi đó ta còn phải khẳng định phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định

bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phơng trình Hãy nhớ điều này rất quan trọngbởi khi đó ta còn phải khẳng định phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

2

m x

1& 1& 2 1

1& 2 & 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 3

dựng đợc đề tài “phơng pháp cơ bản tìm cực trị đại số - định lí Viét và ứng dụng” mang tính ứng dụng và khả thi.

Mặc dù đã cố gắng hết sức song đây là lần đầu tiên tôi nghiên cứu

đề tài, kinh nghiệm giảng dạy của bản thân cha có nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để đề tài đợc hoàn chỉnh hơn.

Dạy học là một nghệ thuật, đòi hỏi ngời giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, mang đến cho các em niềm say mê Toán học, tạo cho các em có thói quen t duy và khả năng lập luận Bây giờ tôi đang ngồi trên giảng đờng Đại học nhng ngày tôi

đứng trên bục giảng không còn xa xăm, ớc mơ trở thành ngời giáo viên sắp trở thành hiện thực.

Qua đây, cho phép tôi gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, các bạn cùng lớp đặc biệt là thầy giáo.Ths.NCS Nguyễn Quang Hoè đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đồng Hới, ngày 13 tháng 12 năm 2008

Nhận xét, đánh giá: Sinh viên thực hiện

Lê Thị Mai

Một số tài liệu tham khảo

1 Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ NXB Giáo dục Năm2007

2 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 9.Vũ Dơng Thuỵ NXB Đại HọcQuốc Gia Hà Nội Năm 2006

3 Một số vấn đề phát triển Đại Số 9.Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Năm2005

4 Nâng cao và phát triển Toán 9 Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Năm 2006

5 Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10 Huỳnh Quang Lâu.NXB Đại Học

S Phạm Năm 2008

6 Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10 Nguyễn Thuý Mùi.NXB Đại HọcQuốc Gia Hà Nội Năm 2008