Tìm hiểu về bài toán điều khiển h

Hệ điều khiển có trễ Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền.. đảm bảo rằng hệ đóng là ổn định bên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ BÍCH VIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học Th.s Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Nguyễn Trung Dũng người đã tận tình

hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tìnhtrong suốt quá trình học tập tại khoa Ngoài ra, trong quá trình thực hiệnkhóa luận em còn nhận được rất nhiều sự động viên và giúp đỡ từ phía giađình, người thân và các bạn trong lớp

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và thực hiện đề tài khóa luận này

Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Trần Thị Bích Việt

LỜI CAM ĐOAN

hoàn thành do sự cố gắng, lỗ lực tìm hiểu, nghên cứu của bản thân cùng với

sự giúp đỡ tận tình của Ths Nguyễn Trung Dũng Những phần sử dụng

tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần tài liệu thamkhảo Các số liệu, kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực,nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm và chịu mọi kỷ luật của khoa vànhà trường đề ra

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quảcủa các tác giả khác

Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Trần Thị Bích Việt

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 3

1.1 Một số khái niệm 3

1.1.1 Hệ điều khiển có trễ 3

1.1.2 Hệ phương trình vi phân hàm 3

1.1.3 Khái niệm ổn định 4

1.1.4 Hàm Lyapunov 4

1.2 Một số bất đẳng thức 6

1.3 Bài toán điều khiển H∞ 8

Chương 2 Điều khiểnH∞ độc lập và phụ thuộc trễ thời gian 10

2.1 Điều khiển H∞ độc lập với trễ thời gian 10

2.2 Điều khiển H∞ phụ thuộc trễ thời gian 15

Kết luận 23

Tài liệu tham khảo 24

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đời sống,đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệu nói riêng Tathường xây dựng mô hình toán học từ các quá trình vật lý Có rất nhiều lĩnhvực cơ bản cần nghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển

Phần lớn các hệ thống trong thực tế luôn chịu tác động của các yếu tốbên ngoài, có thể trong một số trường hợp suy giảm hiệu suất hệ thống nếuhiệu ứng của chúng không được xem xét kĩ trong giai đoạn thiết kế Hiệnnay có rất nhiều cách để loại bỏ ảnh hưởng của những ảnh hưởng bên ngoài.Một trong số đó là kĩ thuật điều khiển H∞ Nó bao gồm việc thiết kế mộtđiều khiển tối ưu để giảm thiểu những ảnh hưởng của các tác động đó

Do đó, để có thể hiểu rõ hơn về vấn đề này em đã chọn đề tài "Tìm hiểu

về bài toán điều khiểnH∞" để làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệpcủa mình

2 Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu.

Khóa luận này gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Điều khiểnH∞ độc lập và phụ thuộc thời gian trễ

4 Đối tượng nghiên cứu.

Bài toán điều khiểnH∞ và Lý thuyết điều khiểnH∞

6 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mụcđích nghiên cứu

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở

1.1.1 Hệ điều khiển có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có

sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền Vì vậy khi mô tảcác quá trình này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình viphân có trễ hay còn gọi là hệ phương trình vi phân hàm

1.1.2 Hệ phương trình vi phân hàm

Giả sử h > 0 Kí hiệu C = C([−h, 0], Rn) là không gian Banach các hàmliên tục trên đoạn [−h, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn của φ ∈ C được chobởi

kφ k = sup−h≤θ ≤0kφ (θ )k

Với t0 ∈ R, A > 0 và x ∈ C([t0− h,t0+ A], Rn), hàm xt ∈ C := C([−h,0],

Rn), t ∈ [t0,t0+ A], được xác định bởi xt(s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0]

Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phương trình vi phân

1.1.3 Khái niệm ổn định

Giả thiết rằng hàm F(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm(t0, φ ) ∈ R+×C hệ (1.1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0, φ ) và xácđịnh trên [t0, ∞) Ta cũng giả thiết F(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.1.1) có nghiệm

không Khi đó ta có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.1.1)

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm không của hệ (1.1.1) được gọi là ổn định nếu với

mọi ε > 0,t0 > 0, tồn tại δ = δ (t0, ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ )

của (1.1.1), nếu kφ k < δ thì kx(t, φ )k < ε, ∀t> t0 Nếu δ không phụ thuộc

t0 thì nghiệm x ≡ 0 gọi là ổn định đều.

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm không của hệ (1.1.1) được gọi là ổn định tiệm

cận nếu nó ổn định và với mỗi t0 > 0, tồn tại δ0 = δ0(t0) > 0 sao cho với

mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1.1), nếu kφ k < δ0 thì lim

t →+∞kx(t, φ )k = 0

1.1.4 Hàm Lyapunov

Định nghĩa 1.1.3 [Lớp hàm K ]

Cho hàm φ ∈ [R+, R+], R+ := [0; +∞) hoặc φ ∈ C[[0, h], R+] Khi đó, φ

được gọi là W - hàm hoặc K - hàm nếu thỏa mãn

(i) φ là hàm tăng.

(ii) φ (0) = 0.

Kí hiệu φ ∈ K

Định nghĩa 1.1.4 [Hàm Lyapunov]

Cho V : R+×C → R là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn V(t,0) = 0,∀t > 0.

Hàm V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1.1) nếu

(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

• Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V : R × C → R sao cho

u(kφ (0)k) 6 V (t, φ ) 6 v(kφ kc)

và

˙

V(t, φ ) 6 −w(kφ (0)k)

thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều.

• Nếu nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều, và w(s) > 0, ∀s > 0, thì

nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều.

• Nếu nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều và lim

s→∞u(s) = ∞ thì

nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.

Định lý 1.1.2 [Định lí Razumikhin]

Giả sử f: R+×C → Rn

biến mỗi tập R+×B (B là tập bị chặn trong C )

thành tập bị chặn trong Rn; và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục không

giảm, u(s) và v(s) dương ∀s > 0, u(0) = v(0) = 0, và v tăng ngặt.

• Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V: R+× Rn → R sao cho

(i) u(kxk)6 V (t, x) 6 v(kxk), ∀x ∈ Rn,t > 0

(ii) ˙V(t, x(t)) 6 −w(kx(t)k), khiV (t + θ , x(t + θ )) 6 V (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0]

thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều.

• Nếu w(s) > 0, ∀s > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không

giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho

(iii) ˙V(t, x(t)) 6 −w(kx(t)k), khi V (t + θ , x(t + θ )) 6 pV (t, x(t)), ∀θ ∈

[−h, 0]

thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều.

• Nếu giả thiết thêm lim

s→∞u(s) = ∞ thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định

tiệm cận toàn cục đều.

w(s)ds



6 ν

Z ν 0

wT(s)Mw(s)ds

Bổ đề 1.2.3 Giả sử A, E, H là các ma trận bất kì với số chiều thích hợp và

F thỏa mãn điều kiện FTF 6 I Khi đó, với mọi ε > 0 và ma trận P đối xứng

xác định dương, ta có

(i) EFH + HTFTET 6 εEET + ε−1HTH.

(ii) Nếu εI − HPHT > 0 thì

(iii) Nếu P − εEET > 0 thì

(A + EFH)TP−1(A + EFE) 6 AT(P − εEET)−1A+ ε−1HTH.

với X ,Y là các ma trận xác định dương Khi đó ta có

• M xác định không âm nếu và chỉ nếu một trong hai điều sau đúng

trong đó L1, L2 tùy ý và có số chiều phù hợp.

• M xác định dương nếu và chỉ nếu một trong hai điều sau đúng

Các hệ thực tiễn luôn chịu tác động của các yếu tố bên ngoài (còn gọi

là nhiễu) có thể ảnh hưởng xấu đến sự vận hành của các hệ thống Kỹ thuật

bên ngoài ảnh hưởng đến sự vận hành của hệ thống

Xét hệ điều khiển liên tục với trễ thời gian được mô tả bởi

z(t) = C1x(t) + D11w(t) + D12u(t)y(t) = C2x(t) + D21w(t)

(1.3.2)

trong đó, x(t) ∈ Rn là vector trạng thái, w(t) ∈ Rl là nhiễu đầu vào giả thiết

là bình phương khả tích, u(t) ∈ Rm là vector điều khiển đầu vào, z(t) ∈ Rp

là vector điều khiển đầu ra, y(t) ∈ Rq là vector đo đầu ra, τ > 0 là trễ thờigian và A, Ad, B1, B, C1, C2, D11, D12, và D21 là các ma trận hằng số với sốchiều phù hợp

Bài toán điều khiểnH∞: Cho trước γ > 0, tìm bộ điều khiển sao cho

Định nghĩa 1.3.1 Một bộ điều khiển {u(t),t ≥ 0} được gọi là một bộ điều

khiển phản hồi trạng thái không nhớ nếu nó có thể được biểu diễn là u(t) =

Kx(t),t ≥ 0, trong đó K là một ma trận hằng số

Định nghĩa 1.3.2 Hệ (1.3.2) với u(t) ≡ 0 được cho là ổn định bên trong

nếu nó là ổn định khi w(t) ≡ 0.

đảm bảo rằng hệ đóng là ổn định bên trong và đồng thời thỏa mãn

với γ là một hằng số dương

Chương 2

Điều khiển H ∞ độc lập và

phụ thuộc trễ thời gian

2.1 Điều khiển H ∞ độc lập với trễ thời gian

Trong mục này, chúng ta sẽ thiết lập tiêu chuẩn kiểm tra hệ thống cưỡng

Định lý 2.1.1 Cho γ là một số dương Nếu tồn tại các ma trận đối xứng,

xác định dương P, Q sao cho

đúng, thì hệ (1.3.2) với u(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận và thỏa mãn (1.3.3).

Chứng minh. Định nghĩa xt ∈ C[−τ, 0] xác định bởi xt(s) = x(t + s), s ∈[−τ, 0) và chọn hàm Lyapunov sau

V(xt) = x>(t)Px(t) +

Z t

t −τ

điều này chứng tỏ hệ ổn định bên trong.

Với T > 0 bất kì, ta định nghĩa một hàm JT như sau

JT =

Z T 0

h

z>(s)z(s) − γ2w>(s)w(s)

ids

Khi đó ta có

JT =

Z T 0

h

z>(s)z(s) − γ2w>(s)w(s)ids−

Z T 0



ξtTΘ0ξt dtvới

ξtT =



x>(t) w>(t) x>(t − τ)

,

Sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2.4), dễ dàng để kiểm tra được

Θ0 < 0nếu và nếu

J∞ =

Z ∞ 0

h

z>(t)z(t) − γ2w>(t)w(t)

i

dt < 0,

ta được (1.3.3) Ta có điều phải chứng minh

Chú ý 2.1.1 Định lý 2.1.1 có thể được sử dụng để kiểm tra xem hệ thống

không bị cưỡng bức với trễ thời gian là ổn định bên trong và thỏa mãn chuẩn

H∞ không vượt quá mức γ > 0 Chú ý rằng điều kiện của định lý này là điều kiện đủ Không thỏa mãn điều kiện này không có nghĩa rằng hệ thống không cưỡng bức là không ổn định và chuẩnH∞ vượt quá mức γ Chú ý rằng điều kiện này cũng không phụ thuộc vào các trễ thời gian của hệ thống.

Trong thực tế nó là mong muốn để tính toán mức độ loại bỏ nhiễu loạntối thiểu γ mà các hệ thống động học không bị cưỡng ép với thời gian trễđược xem xét có thể có Tối thiểu này có thể thu được bằng cách giải quyếtcác vấn đề tối ưu hóa tuyến tính

Định lý 2.1.2 Cho ma trận đối xứng,dương xác định và hằng số dương

µ > 0 là nghiệm của bài toán tối ưu hóa tuyến tính sau

Chú ý 2.1.2 Chú ý rằng bài toán tối ưu hóa này đạt được từ các kết quả

của Định lý 2.1.1 bằng cách thay thế γ2 bới µ và sau đó cực tiểu hóa đối với

µ , P và Q.

Tiếp theo, chúng ta xây dựng bộ điều khiển trạng thái phản hồi có dạngu(t) = Kx(t) đảm bảo hệ đóng là ổn định tiệm cận và thỏa mãn (1.3.3).Với bộ điều khiển u(t) = Kx(t) thì hệ đóng (1.3.2) có dạng

đúng, khi đó hệ (2.1.5) là tiệm cận ổn định và thỏa mãn (1.3.3) Sử dụng Bổ

đề Schur, (2.1.6) tương đương với

Định lý 2.1.3 Với γ là một hằng số dương cho trước Nếu tồn tại các ma

trận đối xứng, dương xác định X , U , và một ma trận Y thỏa mãn (2.1.8), khi đó bộ điều khiển u(t) = Kx(t) với K = Y X−1 ổn định hóa hệ (1.3.2), hệ đóng và thỏa mãn (1.3.3).

Cho bài toán tối ưu hóa tuyến tính sau

min

P>0,Q>0,µ>0µ (2.1.9)thỏa mãn (2.1.8) với γ2 thay bởi µ

Hệ quả 2.1.1 Giả sử γ, X > 0,U > 0 và Y là một tập nghiệm của bài toán

tối ưu hóa (2.1.9) Khi đó, bộ điều khiển u(t) = Kx(t) với K = Y X−1 ổn định hóa hệ (1.3.2) và hệ đóng thỏa mãn (1.3.3) với mức ν =√

γ

Ví dụ 2.1.1 Xét một hệ động lực với trễ thời gian được mô tả bởi (1.3.2),

giả sử rằng các dữ liệu hệ thống như sau:

ổn định hóa hệ đang xét và hệ đóng với mức γ = 1.3274.

2.2 Điều khiển H ∞ phụ thuộc trễ thời gian

Các kết quả ở mục trước là độc lập với trễ thời gian của hệ, điều này cónghĩa là các kết quả đúng với bất kì trễ thời gian nào Đây chính là sự bảothủ (conservative) của các tiêu chuẩn đã xét Trong mục này, chúng ta sẽ

trình bày bài toán điều khiển H∞ phụ thuộc vào trễ thời gian Định lí dướiđây thiết lập một điều kiện đủ phụ thuộc vào trễ thời gian kiểm tra hệ (1.3.2)

có ổn định và thỏa mãn (1.3.3) không

Định lý 2.2.1 Với γ > 0 là một hằng số cho trước Nếu tồn tại các ma trận

đối xứng, dương xác định X , Q1 , Q2 , Q3 thỏa mãn

x(t − τ) = x(t) −

Z t

t −τ

[Ax(s) + Adx(s − τ) + B1ω (s)] ds (2.2.2)Thay (2.2.2) vào (1.3.2), ta được

[Ax(s) + Adx(s − τ) + B1w(s)]ds+ B1w(t)

x(t) = 0, ω(s) = 0, s ∈ [−2τ, 0]

(2.2.3)

Định nghĩa xt ∈ C [−2τ, 0] với xt(s) = x(t + s), s ∈ [−2τ, 0] và xét phiếmhàm Lyapunov sau:

Z 0

−τ

Z t t−τ+θ x>(s)A>d Q−12 Adx(s)dsdθ+

−2x>(t)PAd

A

Z t t−τ

x(s)ds + Ad

Z t t−τx(s − τ)ds + B1

Z t t−τ

w(s)ds



+2x>(t)PB1w(t)

(2.2.6)Dựa trên Bổ đề A.1 (Bổ đề 1.2.5), tương ứng, ta được,

−2x>(t)PAdA

Z t t−τ x(s)ds ≤ τx>(t)PAdQ1A>dPx(t)

+

Z t t−τ

w>(s)B>1Q3B1w(s)ds

(2.2.9)

Hơn nữa, tính toán đơn giản ta được

˙

V1(xt) = τx>(t)A>Q−11 Ax(t) −

Z t t−τ

x>(s)A>Q−11 Ax(s)ds+τx>(t)A>d Q−12 Adx(t) −

Z t t−τ

x>(s − τ)A>dQ−12 Adx(s − τ)ds+τω>(t)B>1Q3B1ω (t) −

h

PAdQ1A>dP+ A>Q−11 A

ix(t)+τx>(t)

h

PAdQ2A>dP+ A>d Q−12 Ad

ix(t)+τx>(t)PAdQ−13 A>dPx(t) + τwτ(t)B>1 Q3B1w(t)

h

z>(t)z(t) − γ2w>(t)w(t)

idt

˙

V(xt)dt

=

Z T 0

+τAdQ1A>d+τX A>Q−11 AX+τAdQ2A>d+τX A>dQ−12 AdX+τX AdQ−13 A>dX+XC1>C1X

Dựa vào Định lý 2.2.1, chúng ta thiết kế một bộ điều khiển không nhớu(t) = Kx(t) ổn định hóa hệ (1.3.2) và đảm bảo hệ đóng thỏa mãn (1.3.3)

Thay u(t) = Kx(t) vào (1.3.2), chúng ta có được hệ đóng sau:

+τAdQ1A>d+τAdQ2A>d

Định lý 2.2.3 Với ký hiệu được định nghĩa trong Định lý 2.2.2, nếu tồn tại

Ví dụ 2.2.1 Chúng ta hãy xem xét một hệ động lực với trễ thời gian được

mô tả bởi (1.3.2) và giả sử rằng hệ thống có các dữ liệu sau đây:

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận "Lý thuyết điều khiểnH∞".

Khóa luận này đã nêu bật được những nội dung chính sau đây:

1 Chương 1: Ở chương này, tôi đã trình bày một số khái niệm về hệphương trình vi phân hàm, ví dụ minh họa

Đưa ra khái niệm về ổn định tiệm cận Bài toán điều khiển H∞

thuộc vào trễ thời gian

Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Lý thuyết điều khiểnH∞", tôi còn tìm hiểu về phần mềm soạn thảo Latex Khóa luận trên

đây được hoàn thành bằng phần mềm soạn thảo Latex

Tuy nhiên do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều nên còn có nhữngsai sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc Tôi xinchân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Văn Hiện, Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân và

điều khiển, Luận án Tiến sĩ Toán học (2010)

[2] M Wu, Y He, J.H She, Stability Analysis and Robust Control of Time

- Delay Systems

[3] EI-Kesbir Boukas, Zi-Kuan Liu, Deterministic and Stochastic Time

Delay Systems, Boston, Basel, Berlin

[4] X.X Liao, L Wang and P Yu (2007), Stability of Dynamical Systems,

Elsevier, Oxford, UK